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1 Geometria Lingotto LeLing9: Prodotto tra matrici Ārgomenti svolti: Prodotto tra matrici Dimostrazione del teorema del rango L algebra delle matrici quadrate: Il prodotto tra matrici non e commutativo Rotazioni e operazioni elementari usando il prodotto, cioe matrici elementari La trasposizione, cioe la matrice trasposta Ēsercizi consigliati: Geoling 12 Prodotto tra matrici Per dire in modo semplice che la colonna B e combinazione lineare delle colonne A 1, A 2,, A n si usa il concetto di prodotto tra una matrice A e una colonna C Piu precisamente, se la colonna B e una combinazione lineare delle colonne A 1, A 2,, A n allora esistono c 1, c 2,, c n tali che c 1 A 1 + c 2 A n + + c n A n = B Possiamo allora pensare alle colonne A 1, A 2,, A n come le colonne di una matrice A e possiamo an- c 1 c 2 che pensare i coefficienti c 1, c 2,, c n come gli elementi di una colonna C = Dunque il prodotto AC della matrice A e la colonna C sara per definizione la colonna B Definizione 1 Sia A = (a ij una matrice m n, cioe A ha m righe e n colonne Sia C = (c i una colonna di n elementi Allora il prodotto A C e la combinazione lineare c 1 A 1 + c 2 A n + + c n A n Osservare che il prodotto A C della matrice A e la colonna C ha senso solo quando C e una colonna con un numero di elementi uguale al numero di colonne della matrice A ( Esempio 2 Il prodotto A C della matrice A = e la colonna C = e A C = 5 ( 1 ( ( ( 1 + = ( 4 8 c n Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing9 1 Geometria

2 Geometria Lingotto Una volta che abbiamo definito il prodotto tra una matrice A e una colonna C possiamo definire il prodotto tra una matrice A e una matrice C L idea e pensare C dal punto di vista delle colonne e usare la definizione precedente Definizione 3 Sia A una matrice m k e sia C una matrice k n prodotto A C e la matrice m n : A C := (A C 1 A C 2 A C n dove A C j e il prodotto tra la matrice A e la colonna C j Allora il Dunque la prima colonna del prodotto A C e la combinazione lineare delle colonne di A ottenuta usando i coefficienti della prima colonna della C, la seconda colonna del prodotto A C e la combinazione lineare delle colonne di A ottenuta usando i coefficienti della seconda colonna della C e cosí via In questo modo, il prodotto A C si pensa dal punto di vista delle colonne Pensando alla matrice A dal punto di vista delle righe, cioe A = R 1 R 2 R m osserviamo che il prodotto A C tra A e una colonna C, si puo anche calcolare faccendo il prodotto tra le righe di A e la colonna C, cioe : A C = R 1 C R 2 C R m C Questa osservazione dimostra la seguente proposizione R 1 R 2 Proposizione 4 Sia A = una matrice di m k, cioe la riga R j R m ha k elementi, e sia C = (C 1 C 2 C n una matrice di k n Allora il prodotto A C e la seguente matrice m n: A C := R 1 C 1 R 1 C 2 R 1 C n R 2 C 1 R 2 C 2 R 2 C n R m C 1 R m C 2 R m C n Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing9 2 Geometria

3 1 Dimostrazione del Teorema del rango Geometria Lingotto Dove R i C j = k s=1 a isc sj Dunque possiamo anche pensare al prodotto A C del punto di vista delle righe, cioe A C = R 1 C R 2 C R m C Detto a parole: la prima riga della matrice A C e la combinazione lineare delle righe della matrice C usando i coefficenti della prima riga di A, la seconda riga della matrice A C e la combinazione lineare delle righe della matrice C usando i coefficenti della seconda riga di A e cosí via Ecco un modo pratico di fare il prodotto A B : 1 Dimostrazione del Teorema del rango Questa possibilitá di pensare il prodotto tra matrici dal punto di vista delle colonne oppure delle righe ci permette dimostrare molto semplicemente il Teorema del rango che afferma che il rango righe ρ R (A e uguale al rango colonne ρ C (A per qualsiasi matrice A Ricordare che questo permette definire il rango ρ(a di una matrice A come ρ(a = ρ R (A = ρ C (A Dimostrazione del Teorema del rango Sia A una matrice n m e sia c = ρ C (A il rango colonne Allora le colonne della matrice A sono combinazione lineare di c colonne Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing9 3 Geometria

4 1 Dimostrazione del Teorema del rango Geometria Lingotto C 1, C 2, C c Sia C la matrice le cui colonne sono le C 1, C 2,, C c Interprentando il prodotto dal punto di vista delle colonne segue che esiste una matrice M tale che A = C M, cioe la prima colonna di A e la combinazione lineare delle colonne di C usando i coeficienti della prima colonna di M, etc Osservare che la matrice C e n c e la matrice M e c m Adesso e il momento d interpretare il prodotto A = C M dal punto di vista delle righe Dunque le righe di A sono combinazioni lineari delle righe di M Questo implica che lo spazio righe di A, R A e un sottospazio dello spazio righe R M di M e quindi risulta ρ R (A = dim(r A dim(r M = ρ R (M Ma M ha c righe dunque: ρ R (A = dim(r A dim(r M = ρ R (M c = ρ C (A da cui ρ R (A ρ C (A In modo analogo, cioe pensando inizialmente A dal punto di vista delle righe risulta la desiguaglianza ρ C (A ρ R (A Dunque ρ C (A = ρ R (A L algebra delle matrici quadrate n n Sia M n,n l insieme di matrici quadrate n n Sappiamo che M n,n e uno spazio vettoriale Ma sappiamo anche che il prodotto A B tra due matrici in M n,n e pure una matrice quadrata n n Questo permette di parlare di algebra delle matrici quadrate, poiche in matematica un algebra e uno spazio vettoriale dove si possono moltiplicare i vettori in modo che le regole usuali tra i numeri vengano soddisfatte, cioe la associativita e la distributivita Proposizione 5 Siano A, B, C tre matrici Allora le seguente regole usuali di calcolo sono vere: (i (A B C = A (B C, cioe la proprieta associativita, (ii { (A + B C = A C + B C A (B + C = A B + A C, cioe la proprieta distributiva E importante notare la ragione per cui si enuncia due volte la proprieta distributiva; essa e dovuta al fatto che a differenza del prodotto tra i numeri il prodotto tra matrici non e commutativo Esempio 6 Ecco un esempio ( di due matrici A, ( B il cui prodotto A B non e uguale 1 al prodotto B A Sia A = e sia B = Dunque 1 ( 1 A B =, Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing9 4 Geometria

5 2 Operazioni elementari tramite il prodotto A B Geometria Lingotto invece B A = ( 1 2 Operazioni elementari tramite il prodotto A B Abbiamo visto che la prima riga del prodotto A B e la combinazione lineare delle righe della matrice B usando i coefficenti della prima riga della matrice A Ad esempio, moltiplicare la prima riga della matrice B con il numero r e il risultato della seguente moltiplicazione: r 1 B 1 L operazione elementare rr i di moltiplicare la riga R i per un numero r si puo fare tramite il prodotto matriciale Semplicemente si cambia l uno della posizione i i della matrice identica per il numero r Ad esempio se B e una matrice 4 3 la operazione 7R 3 e il risultato del prodotto A B dove la matrice A e : A = Per motivi ovvi questa matrice si chiama rr i invece di A, cioe scrivendo rr i B si capisce subito che il risultato e quello di fare una operazione elementare sulle righe di B La operazione elementare di scambio di due righe si puo fare anche usando il prodotto Ad esempio se vogliamo scambiare la prima e la seconda riga della matrice B basta calcolare A B dove A e : 1 1 A = 1 1 Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing9 5 Geometria

6 2 Operazioni elementari tramite il prodotto A B Geometria Lingotto Per questa ragione invece di usare la lettera A si usa il simbolo R 1 2 per denotare questa matrice Quindi la matrice R 1 2 B e la matrice che risulta scambiando la prima riga con la seconda della matrice B Secondo la stessa idea possiamo scambiare qualsiasi coppia di righe i, j moltiplicando per un matrice R i j Ad esempio, se vogliamo scambiare la seconda riga con la quinta di una matrice B 5 6 basta calcolare R 2 5 B dove R 2 5 e : R 2 5 = Anche l ultima operazione elementare R i + rr j, cioe sommare alla i-esima riga la riga j -esima moltiplicata per r, si puo fare tramite il prodotto matriciale Questa matrice verra denotata con R i+rj Se B e una matrice 5 6 ecco la R 2+174, cioe l operazione di sommare alla seconda riga di B la quarta riga di B moltiplicata per 17: R = Possiamo riassumere quanto detto nel seguente teorema Teorema 7 Sia A una matrice e sia E la matrice echelon che si ottiene da A usando il metodo di Gauss-Jordan Allora esiste una matrice M tale che M A = E, dove M si ottiene moltiplicando tra di loro matrici del tipo R i+rj, R i j e rr i Le matrici del tipo R i+rj, R i j e rr i si chiamano matrici elementari La matrice trasposta Abbiamo visto che una matrice si puo pensare facendo particolare attenzione alle righe oppure mettendo in maggior rilievo le colonne, cioe possiamo pensare la matrice dal punto di vista delle righe o dal punto di vista delle colonne Se A e una matrice allora la matrice traposta A t e la matrice che si ottiene di A facendo diventare la riga R i una colonna C i, cioe la colonna C i della A t ha gli elementi della riga R i della A E facile vedere che se A = (a ij allora A t = a ji, cioe si scambiano i sottoindici, poiche le righe diventano colonne e viceversa Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing9 6 Geometria

7 2 Operazioni elementari tramite il prodotto A B Geometria Lingotto Esempio 8 Se A = ( allora A t = Osservare che se A e n m allora A t e m n Ovviamente (A t t = A Una matrice si chiama simmetrica se A t = A e anti-simmetrica se A t = A Notare che gli elementi diagonali di una matrice anti-simmetrica sono zeri Ecco le proprieta piu importanti della trasposizione Proposizione 9 Se A, B sono matrici allora: (A + B t = A t + B t, (ra t = ra t, (A B t = B t A t Osservare che le due prime propieta ci assicurano che la trasposta di una combinazione lineare e la combinazione linerare delle trasposte, cioe (c 1 A c n A n t = c 1 A t c n A t n Invece l ultima ci dice che l ordine del prodotto cambia dopo la trasposizione Ecco un corollario del teorema del rango Proposizione 1 Il rango di A e uguale a quello di A t Simbolicamente ρ(a = ρ(a t Abbiamo visto che M n,m, cioe l insieme di matrici n m, e uno spazio vettoriale di dimensione nm poiche le matrici E ij che hanno tutti zeri tranne al posto (i, j, dove c e 1, sono nm matrici independenti che generano M n,m Sia A una colonna di n elementi e sia B una colonna di m elementi Allora A B t M n,m e A B = (a i b j Osservare che i prodotti e i (e j t, dove (e i e la base canonica delle colonne sono le matrici E ij Osservare che cosi e facile calcolare il prodotto A E ij = A (e i (e j t = (A e i (e j t = A i (e j t ; pertanto il prodotto A E ij e la matrice dove tutte le colonne sono nulle tranne la colonna j che e la colonna i della A Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing9 7 Geometria

8 2 Operazioni elementari tramite il prodotto A B Geometria Lingotto Rotazioni Una applicazione importante del prodotto A C e qualla delle rotazioni Supponiamo che vogliamo ruotare una figura di un angolo θ intorno al punto O nel senso anti-orario: Il problema e trovare le coordinate dei punti A, B, C usando le coordinate dei punti A, B, C ( cos(θ sin(θ La matrice R = permette di risolvere il problema facilmente sin(θ cos(θ Assumiamo( che le coordinate del punto O sono,, cioe O si rappresenta ( tramite a la colonna Possiamo rappresentare il punto A tramite la colonna A =, ( ( a il punto B con la colonna B = e infine il punto C tramite la colonna C = b b Ecco la soluzione: A = R A B = R B Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing9 8 Geometria

9 2 Operazioni elementari tramite il prodotto A B Geometria Lingotto C = R C Dunque, in generale, se vogliamo ruotare la colonna X = prodotto R X Ecco il risultato: ( cos(θ sin(θ R X = sin(θ cos(θ ( x y = ( x y ( cos(θx sin(θy sin(θx + cos(θy basta calcolare il Piu avanti si fara vedere che usando i numeri complessi e anche molto facile ruotare le figure nel piano Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing9 9 Geometria

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