Strumenti di simulazione per il controllo di gestione: dall Analisi dei Sistemi alla System Dynamics

Transcript

1 Strumenti di simulazione per il controllo di gestione: dall Analisi dei Sistemi alla System Dynamics Federico Barnabè, Marco Fei, Chiara Mocenni, Emiliano Sparacino Obiettivi di apprendimento: Comprendere quale possa essere l uso di strumenti e tecniche di simulazione per la risoluzione di problemi manageriali ed a supporto della funzione di controllo di gestione. Assimilare i principi di base della Teoria dei Sistemi Dinamici e della metodologia denominata System Dynamics. Capire quali siano le caratteristiche fondamentali di un progetto volto a sviluppare un modello di simulazione relativo ad un tipico problema dinamico aziendale, come quello connesso alla gestione della Supply Chain. Sintesi dei contenuti: Il capitolo prende avvio con alcune considerazioni introduttive sull opportunità di utilizzare strumenti e tecniche di simulazione in azienda ed a supporto dei processi di controllo di gestione. Successivamente, dopo aver illustrato le caratteristiche e le finalità principali della metodologia denominata System Dynamics (paragrafo ), il capitolo procede prima a presentare alcune informazioni inerenti alla Teoria dei sistemi dinamici (paragrafo ) e poi a prospettare nelle sue linee essenziali l integrazione che può realizzarsi tra quest ultima e la System Dynamics (paragrafo 4). Il paragrafo 5, invece, illustra in dettaglio un caso operativo, procedendo a mostrare tutte le fasi di elaborazione, validazione e simulazione di un modello matematico rappresentante le caratteristiche e le politiche gestionali tipicamente associate ad una supply chain. Il paragrafo 6, infine, riporta alcune riflessioni di sintesi. Parole chiave: Simulazione; Modelli matematici; System Dynamics; Teoria dei Sistemi Dinamici; Supply Chain; Identificazione Parametrica.. Introduzione Nel corso degli ultimi anni gli studi di management hanno dedicato una crescente attenzione agli strumenti di pianificazione e, ancora più nello specifico, alle tecniche di simulazione relative alla modellizzazione ed analisi di sistemi e problemi aziendali. In particolare, la simulazione effettuata tramite supporti informatici ha acquistato un ruolo di primo piano tra gli strumenti volti ad approfondire e supportare l analisi di contesti manageriali altamente complessi e dinamici. In tal senso, questi strumenti rappresentano dei preziosi ausili per i decisori aziendali non solo nella direzione di meglio comprendere i contesti manageriali sotto osservazione, ma anche di facilitare l assuzione di decisioni ed il reperimento di informazioni essenziali per tutto il sistema di controllo di gestione implementato in azienda, soprattutto ove esso debba essere impostato ed implementato in contesti di elevata turbolenza. In questo senso, proprio la complessità sistemica, in termini di interdipendenze tra tutte le variabili che appartengono ad un determinato sistema di riferimento, ed il connaturato dinamismo attinente alla loro continua evoluzione nel corso del tempo, sono due caratteri che richiedono specifici strumenti e metodologie di analisi quali quelle trattate in questo contributo. In maggior Sebbene questo contributo sia frutto di ricerca comune, segnaliamo le sezioni scritte dai vari autori: Federico Barnabè ha lavorato alla Sezione, Chiara Mocenni ed Emiliano Sparacino hanno congiuntamente lavorato alle Sezioni e 4. Le sezioni, 5 e 6 sono opera congiunta di tutti gli autori.

2 dettaglio, l uso di modelli matematici rende possibile dotare i decisori aziendali, i manager e gli analisti aziendali, di strumenti tali da rendere più chiara la correlazione esistente tra le cause e gli effetti delle politiche gestionali intraprese ed al fine di poter studiare nel loro dinamico evolversi tutti i fenomeni di azienda. In aggiunta, l uso di siffatti modelli matematici rende agevole sviluppare analisi gestionali basate su tutto il complesso di dati ed informazioni disponibili in azienda, siano essi relativi agli aspetti economici e/o finanziari della gestione, oppure siano essi di natura quantitativa e/o qualitativa. Ciò, in definitiva, consente di supportare i sistemi di controllo manageriale in modo costante e tempestivo, affidandosi a strumenti gestionali sia qualitativi sia prettamente quantitativi e/o matematico/statistici. Del resto, numerose tecniche e metodologie di simulazione potrebbero essere menzionate come appropriate o plausibili per il perseguimento degli obiettivi in precedenza richiamati. In questo senso, il capitolo si focalizza sulla presentazione di una specifica metodologia di simulazione denominata System Dynamics, alla cui base si pone l elaborazione ed il successivo utilizzo a fini gestionali di appositi modelli dinamici. Per modello dinamico si intende un modello matematico di un sistema reale capace di riprodurre simulazioni che variano nel tempo. Qualora siano note le dinamiche del sistema, si può utilizzare un modello fisico, le cui equazioni rappresentano i processi analizzati e le relazioni tra le variabili che riassumono lo stato del sistema. Un ruolo particolarmente importante è rivestito dai parametri del modello, che rappresentano i tassi di crescita e i pesi di fattori modellati inclusi nelle equazioni. Deve essere evidenziato che una caratteristica fondamentale dei modelli fisici è rappresentata dal fatto che le equazioni matematiche possono essere analizzate di per sé e che tale analisi fornisce indicazioni sulla dinamica di medio e lungo periodo del sistema. In questo contesto, risulta spesso utile approfondire il ruolo dei parametri del modello, ad esempio cercando di capire in che modo le proprietà dinamiche del modello stesso dipendono da essi o effettuando apposite analisi di sensitività. Inoltre, tali proprietà possono essere affiancate a procedure di stima allo scopo di migliorare le prestazioni dei modelli in rapporto al sistema reale (fitting). Prendendo avvio dalle precedenti considerazioni, il contributo si struttura come segue. In primo luogo il paragrafo illustra le caratteristiche e le finalità principali della System Dynamics mentre il paragrafo riporta alcune informazioni inerenti alla Teoria dei sistemi dinamici. Nel paragrafo 4 sono invece descritte le modalità che possono consentire una positiva integrazione tra System Dynamics e Teoria dinamica dei sistemi. Il paragrafo 5, successivamente, presenta in dettaglio un caso operativo, relativo alla costruzione di un modello matematico incentrato sulla rappresentazione e gestione di una tipica Supply Chain. Alcune riflessioni di sintesi chiudono il lavoro.. L approccio metodologico della System Dynamics La System Dynamics è una metodologia che si basa sulla elaborazione di modelli matematici, simulati tramite supporti informatici (Forrester 96 e 968; Richardson, Pugh 98; Sterman 000). La prospettiva di analisi è orientata alla identificazione, studio e comprensione dei circuiti di retroazione (anche detti feedback loops) tra le differenti variabili che caratterizzano i sistemi A tal riguardo pare significativo richiamare il pensiero di Gino Zappa (957, Tomo II, pp. 98 e 9) ove afferma che la conoscenza dei fenomeni dinamici impone la percezione non solo dei tempi e delle durate, ma anche della varia e mutevole direzione di altri fenomeni connessi, sia pure per vie mediate. ( ) L osservazione degli andamenti trascorsi non è fatta, nella concreta gestione d impresa, per la ricerca delle cause di situazioni ormai sorpassate o per la rettificata determinazione di risultati ormai largamente scontati, ma piuttosto per ritrovare fondamento alla percezione di nuove tendenze e alla predeterminazione di situazioni future.

3 aziendali indagati, coniugando in un unico approccio la ricostruzione formale della struttura causale di un determinato sistema e la riproduzione e l osservazione del comportamento dinamico di quella stessa struttura, generato attraverso la simulazione su computer (Davidsen 000). Conoscere la struttura causale, di conseguenza, risulta presupposto indispensabile alla vera e piena comprensione degli andamenti osservati all interno del sistema indagato ed irrinunciabile supporto cognitivo alla razionale assunzione di decisioni volte alla gestione delle risorse presenti in tale sistema. Nel suo complesso, la System Dynamics mette a disposizione dell analista un insieme completo di strumenti tra i quali si ricordano (Morecroft 000: 5 e 9-): - mappe, quali i Causal Loop Diagrams (CLD s) o gli Stock and Flow Diagrams (S&FD s), volte ad esplicitare e razionalizzare le conoscenze e le informazioni possedute dai vari soggetti; - modelli di simulazione, che filtrano ed organizzano la conoscenza degli attori, formalizzando le nozioni ed i dati disponibili tramite l uso del linguaggio matematico; - simulatori di volo, destinati alla sperimentazione dei modelli in precedenza sviluppati. Interagendo con il modello logico-matematico e grazie all utilizzo di un interfaccia grafica che proietta il partecipante in una simulazione gestionale completa di report, grafici e leve direzionali da controllare, i simulatori di volo, anche detti Interactive Learning Environments (ILEs) o micromondi, si propongono lo scopo di fornire un ambiente protetto nel quale sia possibile sperimentare liberamente le proprie idee, percezioni ed intuizioni, con costi generalmente limitati e liberi dai vincoli altrimenti imposti nella realtà 4. Da un punto di vista metodologico, l assunto fondamentale alla base della System Dynamics consiste nel riconoscere l esistenza di due uniche tipologie di feedback (ovvero circuiti chiusi di legami di causa-effetto tra due o più variabili), descritti di seguito. a) Un circuito di feedback positivo (o reinforcing loop - contraddistinto dalla lettera R ) comprende e descrive l interazione tra diverse variabili tra le quali esiste una relazione di causalità diretta (segnalata dal segno «+» posizionato nei pressi della testa della freccia) 5. Un loop positivo opera rinforzando le tendenze e le dinamiche in atto all interno di un determinato sistema. Da un punto di vista dinamico, un circuito di feedback positivo può dare origine unicamente ad una crescita o decrescita di tipo esponenziale, come mostrato di seguito 6 : Obiettivo principale della metodologia, pertanto, è il supporto alla policy analysis ed a processi di apprendimento aziendali, concretizzantisi nell ottenimento di una migliore conoscenza sulla struttura e sul comportamento di un determinato sistema piuttosto che nella previsione e nella predizione delle dinamiche attese di quello stesso sistema. 4 In particolare, l utilizzo di micromondi (Papert, 980), anche denominati virtual worlds (Schön, 98), Learning Laboratories (Senge, Sterman 000) e Management Flight Simulators (MFSs - Sterman 000), sembra essere rilevante al fine di incentivare e sostenere il processo di apprendimento (Spector e Davidsen, 998; Bianchi, 00; Barnabè 005). 5 La figura rappresenta un causal loop diagram (CLD): i CLD sono mappe finalizzate alla individuazione ed evidenziazione dei meccanismi di feedback che legano le variabili considerate. Attraverso l utilizzo di frecce che mettono in diretta connessione le variabili, essi esprimono le relazioni di diretta od inversa causalità tra quelle stesse variabili. Il segno «+» indica un legame di causalità diretta tra le due variabili collegate che, di conseguenza, tenderanno a muoversi nella stessa direzione. Un eventuale segno denoterebbe l esistenza di un legame di causa-effetto negativo, ovvero la tendenza delle due variabili a muoversi in direzioni opposte una volta che intervenga un cambiamento. 6 Ad esempio, un conto corrente bancario risulta incrementato dal versamento degli interessi maturati sul saldo attivo del conto stesso. Tali interessi si stratificano sul pre-esistente saldo in modo da costituire una nuova base, più elevata, per la computazione di nuovi interessi attivi che, di conseguenza, in questo secondo caso risulteranno di ammontare ancora maggiore rispetto al versamento precedente. Tale meccanismo, in definitiva, produce un effetto rinforzante tipico del feedback positivo.

4 Tavola - Struttura e comportamento dinamico di un feedback positivo. + Stato del sistema variabile variabile R oppure Tasso di crescita netto + L azione di un circuito di causa-effetto positivo non è usualmente illimitata nel tempo poiché vincoli di varia natura potrebbero intervenire modificandone la dominanza. b) Un feedback negativo (o balancing loop - B ) è finalizzato a regolare le tendenze in atto nel sistema, creando in tal modo un processo di auto-bilanciamento ed allineamento verso un equilibrio statico. Il comportamento generato da un tale tipo di feedback, definito di goal-seeking, è rappresentato nella seguente figura congiuntamente alla sua struttura di base 7 : tempo Tavola - Struttura e comportamento dinamico di un feedback negativo. tempo + Stato del sistema B Stato desiderato del sistema variabile - + Differenza variabile oppure goal Azioni correttive + goal tempo tempo Le due precedenti tipologie di feedback sono le uniche esistenti all interno di un qualsiasi sistema reale. Del resto, la presenza di ritardi temporali e la contemporanea esistenza ed interazione dei due feedback, eventualmente caratterizzata da non-linearità, conduce a sperimentare comportamenti dinamici maggiormente complessi. In questo senso, si può affermare che oltre alla crescita (o decrescita) esponenziale ed al goal-seeking, le oscillazioni possono essere classificate come la terza modalità fondamentale di comportamento in un sistema dinamico. Nello specifico, all origine di un andamento oscillatorio si pone la struttura costituita da un feedback negativo congiuntamente a ritardi temporali. In questa ipotesi lo stato del sistema viene posto a confronto con il suo livello desiderato e, sulla base di un gap eventualmente rilevato, azioni correttive verranno messe in atto. Tuttavia, a differenza di quanto riscontrato nel caso del semplice feedback negativo, in questa struttura potrebbe essere presente un numero variabile di ritardi di natura temporale: tale situazione implica che le azioni correttive possono continuare anche una volta raggiunto il livello desiderato, 7 Ogni processo di allineamento progressivo ad un obiettivo superiore od inferiore produce il comportamento dinamico richiamato nel testo. Esempi ne sono la gestione del magazzino o la politica del personale, ovvero situazioni aziendali in cui lo stato attuale del sistema viene costantemente comparato con specifici livelli desiderati, pre-definiti dal management aziendale stesso.

5 oltrepassandolo. Il comportamento dinamico che una tale struttura mostrerebbe è caratterizzato dalla presenza di oscillazioni intorno al livello desiderato e ricercato dal management aziendale. Tavola - Comportamento dinamico caratterizzato da oscillazioni. Valori Livello desiderato Tempo La struttura in analisi, in definitiva, mostra un comportamento in cui l obiettivo perseguito, o lo stato di equilibrio, risulta costantemente superato, sia quando il sistema si avvicina a quel fine con un andamento crescente che, nel caso opposto, vi si avvicini provenendo da un valore maggiore e quindi stia decrescendo. Le persone attive all interno di quel sistema, di fatto, reagiscono in misura eccessiva a quanto necessario e dovranno ricorrere, in un secondo momento, ad una nuova azione correttiva. Le oscillazioni, purtroppo, rappresentano una caratteristica estremamente comune dei sistemi reali, poiché assai numerosi sono i delays riscontrabili in essi 8. Tentando di chiarire le precedenti considerazioni si può far notare che ritardi temporali potrebbero essere connessi a motivazioni e situazioni contingenti tra loro anche molto diverse, come rappresentato nella seguente figura 9. Tavola 4 - Rappresentazione di struttura che genera oscillazioni. + Stato del sistema Stato desiderato del sistema B - Differenza + Azioni correttive + Nel particolare, la figura mostra tre possibili ipotesi. ) Ritardo n., derivante da ritardi nella misurazione dei valori attuali del sistema, nella compilazione di successivi report, nella non perfetta comprensione dell esistenza stessa di ritardi temporali o di altri specifici fenomeni. 8 Inoltre, si noti che è possibile riscontrare l esistenza di oscillazioni di tipo diverso: oscillazioni che tendono a diminuire nel tempo verso uno stato di equilibrio, cicli, comportamento caotico. Pur non risultando obiettivo del presente lavoro analizzare in dettaglio tali forme di oscillazione, merita comunque di essere ricordato che ognuno di tali comportamenti ha quale sua base strutturale un feedback negativo caratterizzato da ritardi temporali che siano rilevanti per il sistema. 9 Quale annotazione di carattere grafico, si mette in evidenza che la linea che attraversa il link tra due variabili viene comunemente utilizzata per indicare la presenza di un ritardo temporale.

6 ) Ritardo n., collegato alla presenza di delay connessi al processo decisionale ed amministrativo. Una volta rilevata la presenza di una discrepanza tra stato effettivo del sistema e stato desiderato, il management aziendale potrebbe impiegare un tempo talvolta significativamente lungo per l assunzione di decisioni e la messa in atto di azioni correttive. ) Ritardo n., emergente dalla necessità di un lasso temporale legato alla messa in atto ed alla concreta realizzazione delle decisioni assunte dal management aziendale. Comprese quali sono le principali strutture e modalità di comportamento dinamico, dobbiamo adesso segnalare che ai fini della successiva ed effettiva modellizzazione del sistema indagato viene utilizzato un numero limitato di tipologie di variabili la cui definizione è indispensabile per la rappresentazione logico-matematica del sistema di riferimento e delle interrelazioni esistenti e riferite ai fenomeni gestionali indagati: variabili stock e variabili flusso 0. Gli stock ed i flussi, in definitiva, costituiscono il cuore dell analisi dinamica poiché i primi rappresentano lo stato del sistema ed identificano le risorse/variabili chiave da gestire e sulle quali agire, mentre i secondi costituiscono l unica modalità con la quale è possibile intervenire e modificare gli stock e, quindi, rappresentano e devono incorporare le politiche gestionali dell azienda. Di conseguenza, un modello di simulazione risulta sempre composto da due differenti ma tra loro complementari parti (Sterman 99: 0): a) la descrizione della struttura fisica del sistema reale analizzato; b) la rappresentazione della struttura decisionale e comportamentale degli attori principali, ovvero la formalizzazione delle regole decisionali seguite dagli stessi soggetti ed utilizzate per agire e reagire in presenza di determinate situazioni contingenti. Questi due macro-elementi sono usualmente descritti in un primo momento attraverso specifici simboli grafici e, in una seconda fase, sono espressi tramite formule matematiche, imputate direttamente all interno di apposite finestre di dialogo del simulatore. In tal senso, si evidenzia che i software di System Dynamics sono una tipologia di VIMS ( Visual Interactive Modelling Systems ): in essi, pertanto, ogni icona o simbolo grafico rappresenta una ben specifica tipologia di variabile; connettendo le icone tra di loro si ricostruisce l interazione logica tra le differenti variabili del modello. In tal modo, i VIMS consentono di sviluppare un 0 Gli stock esprimono il livello delle risorse-chiave del sistema indagato; esempi ne sono la consistenza del magazzino, lo staff, l ammontare del denaro in cassa, ma anche variabili soft quali il morale del personale o la customer satisfaction. I flussi, invece, costituiscono le variazioni aumentative o diminutive delle variabili stock; esempi ne sono l acquisizione di materie prime, la spedizione di prodotti finiti, l assunzione od il licenziamento di personale, l incasso di crediti v/clienti od il pagamento di debiti v/fornitori. In tal senso, le principali convenzioni adottate sono le seguenti. a) Gli stock sono rappresentati da rettangoli che, nella loro concezione grafica, dovrebbero rappresentare dei contenitori di uno specifico oggetto. b) Gli inflow sono rappresentati da una freccia in entrata indirizzata verso lo stock, che indica un flusso destinato ad accrescere il livello dello stock. c) Gli outflow sono raffigurati da frecce in uscita dallo stock, provocandone una diminuzione. d) Ogni flusso possiede una valvola che ne controlla l intensità ed è frutto delle politiche aziendali messe in atto. e) Ai limiti vengono posizionate delle nuvolette che rappresentano i confini del sistema indagato, ovvero le risorse esterne a cui l azienda attinge, nel caso di un inflow, e lo spazio esterno nel quale i flussi in uscita vanno a confluire. Tali elementi, le risorse a cui si attinge e le destinazioni finali degli oggetti in uscita, sono considerate aventi capacità infinita e, in tal senso, non rappresentano alcun limite (numerico) ai flussi che vi risultano collegati. Entrambi tali elementi, di fatto, indicano situazioni lasciate volutamente al di fuori dei confini del modello. f) Eventuali costanti presenti nel modello vengono rappresentate tramite il ricorso a dei rombi. g) Variabili ausiliarie del modello sono rappresentate come un cerchio, collegato da frecce (nessi informativi) ad altre variabili od ai flussi. h) I nessi informativi esistenti tra tutte le

7 modello di simulazione al computer senza necessitare di un vero e proprio linguaggio di programmazione, spesso eccessivamente complesso. La successiva simulazione del modello, resa possibile dall impiego del software, consente infine l osservazione prospettica del comportamento del sistema oggetto di modellizzazione. Nel suo insieme, quindi, è possibile creare un intero ambiente informatizzato, costituito da mappe, modelli matematico-statistici ed un interfaccia grafica, completa di report e diagrammi, idonea per permettere all utente di interagire con il modello e prendere le proprie decisioni, sperimentando politiche e strategie manageriali. Tuttavia, non si deve credere che il processo così descritto sia di semplice attuazione. Molteplici, infatti, sono le fasi che devono essere completate per la realizzazione di un modello di simulazione di System Dynamics, come sintetizzato di seguito : ) definizione del tema specifico da analizzare ed individuazione di andamenti problematici in relazione alle variabili chiave considerate; ) iniziale formulazione di ipotesi a carattere dinamico, atte ad esplicitare la struttura di base delle relazioni causali tra le variabili analizzate; ) sviluppo di un modello formale di simulazione; 4) effettuazione di specifici test di validità del modello di simulazione; 5) simulazione, valutazione dei risultati e policy analysis. In definitiva, nell insieme emerge una metodologia in grado di supportare l analisi di contesti complessi e dinamici. In maggior dettaglio e con riferimento al contesto manageriale, deve segnalarsi che nonostante le prime applicazioni di System Dynamics siano state essenzialmente legate ad ambienti industriali e per la risoluzione di problemi tipicamente connessi alla corretta gestione dei flussi e degli stock materiali di approvvigionamenti, scorte, prodotti in corso di lavorazione, finiti e consegnati, gli ambiti di utilizzo e di intervento dei modelli di simulazione risultano oggigiorno decisamente ampi e sono riscontrabili numerosi esempi in molteplici campi di studio. Al riguardo, basti segnalare che applicazioni di modelli di System Dynamics possono rinvenirsi tipicamente nelle seguenti aree: business e management, economia, difesa e settore militare, ambiente ed ecologia, istruzione, sanità e medicina, sicurezza, informatica ed ingegneria gestionale, energia e telecomunicazioni, solo per citare quelle più frequenti. In tutti questi settori, in sostanza, è possibile rinvenire applicazioni di System Dynamics volte a fornire ai decisori dei preziosi supporti informativi ai fini della conduzione del processo decisionale. In tal senso, i modelli di simulazione rappresentano un fondamentale ausilio alle funzioni aziendali di controllo di gestione e di governo strategico, consentendo di: a) supportare i decisori aziendali nella individuazione e formalizzazione delle variabili (struttura di stock e flussi) chiave del sistema indagato; b) mettere a disposizione strumenti logico-matematici atti ad esplicitare e rappresentare le politiche aziendali in uso; tipologie di variabili menzionate sono rappresentati da frecce ulteriori, di carattere più sottile delle precedenti relative ai flussi. Nonostante non sia possibile affermare che il processo così descritto sia valido in tutte le situazioni, le fasi identificate nel testo trovano sostanziale approvazione da parte di numerosi studiosi e sono usualmente citate dai vari contributi rinvenibili nella letteratura specializzata.

8 c) sperimentare ex-ante gli effetti delle decisioni assunte, identificando anche eventuali conseguenze collaterali delle politiche realizzate; d) generare ipotetici scenari gestionali, tali da poter analizzare in anticipo situazioni operative che potrebbero essere critiche o di difficile gestione. Di fatto, i modelli di simulazione qui considerati costituiscono un ottimo ausilio per la conduzione in azienda di analisi volte a comprendere le caratteristiche dei sistemi sotto osservazione, di impostazione delle politiche aziendali e di conduzione di processi di condivisione delle informazioni e delle conoscenze tra i componenti aziendali. Rimane da chiarire, del resto, come sia possibile elaborare effettivamente siffatti modelli, e come essi possano essere accuratamente calibrati e parametrizzati (attraverso la cosiddetta analisi di sensitività) al fine di rappresentare con accuratezza la complessa realtà indagata. Queste tematiche sono trattate di seguito.. Cenni alla teoria dei Sistemi Dinamici e alla modellizzazione In questa sezione vengono illustrati gli elementi e le proprietà principali dei sistemi dinamici ed il processo di costruzione di un modello matematico di tali sistemi. Vengono inoltre presentati alcuni aspetti teorici ed implementativi della procedura di identificazione parametrica dei modelli matematici dei sistemi dinamici.. Sistemi e modelli Un sistema è un complesso normalmente costituito di più elementi interconnessi, in cui si possono distinguere grandezze soggette a variare nel tempo (variabili) che ne definiscono lo stato. Solitamente l evoluzione di alcune variabili dipende da altre variabili, per cui si parla di ingressi (cause) ed uscite (effetti) (Fornasini 994). Dunque, un sistema dinamico è definito da tre elementi: gli Ingressi, lo Stato e le Uscite. Gli ingressi rappresentano le variabili esogene che influenzano la dinamica del sistema, lo stato è una variabile interna che tiene conto della storia passata del sistema e tramite la quale è possibile conoscere la condizione in cui si trova il sistema in un dato istante. Le uscite, infine, sono definite univocamente dagli ingressi e dallo stato e da essi dipende la loro evoluzione. Il modello matematico di un sistema è un insieme di equazioni e di parametri che permettono di determinare (in modo approssimato) gli andamenti nel tempo dello stato e delle uscite, noti quelli degli ingressi. La relazione tra sistema dinamico e modello puo essere rappresentata come segue: Tavola 5 - Relazione tra sistema dinamico e modello.

9 L utilità di costruire modelli matematici dei sistemi consiste nel fatto che essi permettono di affrontare la risoluzione di un problema organizzandone lo studio, comprendendo dati che si sono raccolti e facendo previsioni basate sul modello stesso. Esistono numerose tipologie di modelli in base alle caratteristiche del sistema che modellizzano e agli obiettivi per i quali vengono costruiti, quali ad esempio, modelli statici o dinamici, lineari o non lineari, tempo continuo o discreto, a parametri concentrati o distribuiti (Hinrichsen 005). I modelli utilizzati nell ambito della System Dynamics sono solitamente di tipo deterministico, sebbene tengano conto delle variazioni aleatorie legate al mercato. Infatti, essi si basano su una buona conoscenza dei meccanismi che stanno alla base del fenomeno, quali ad esempio la dinamica dei processi di produzione, e allo stesso tempo tengono conto delle fluttuazioni del mercato che viene modellizzato come un ingresso esogeno. Qualora l evoluzione del sistema avvenga in modo continuo, il modello del sistema viene descritto da un insieme di equazioni differenziali (Polking 005), in quanto mette in relazione lo stato con le sue derivate temporali. Se invece tale evoluzione avviene tramite una successione di istanti di tempo discreti, il modello viene descritto da equazioni alle differenze, in cui lo stato al tempo t+ dipende dallo stato al tempo t. Nel presente capitolo verranno trattati sistemi dinamici del primo tipo. La dinamica del sistema puo essere lineare o non lineare a seconda che il modello matematico che la descrive sia lineare o non lineare. In entrambi i casi all interno delle equazioni compaiono delle costanti e dei parametri, cioè grandezze numeriche e quantità note a priori (le prime) o dipendenti dal problema (i secondi). Una volta realizzato e prima di procedere al suo utilizzo per effettuare simulazioni o predizioni, il modello matematico del sistema dovrà essere analizzato per evidenziarne proprietà fondamentali, quali, ad esempio, la stabilità e la capacità di riprodurre il sistema dinamico per il quale è stato costruito (identificazione). Tali aspetti vengono descritti nei paragrafi seguenti.. La stabilità dei sistemi dinamici In generale, il concetto di stabilità indica il fatto che un ente o una persona abbia un comportamento poco sensibile rispetto ad eventuali perturbazioni o a cambiamenti delle condizioni ambientali. Parlando di instabilità ci si riferisce, invece, a comportamenti critici e sensibili a perturbazioni di qualsiasi tipo agenti sul sistema. Nell ambito della teoria dei sistemi dinamici il concetto di stabilità riguarda la dinamica di lungo periodo (asintotica) di particolari soluzioni (traiettorie) del sistema: le soluzioni di equilibrio. Esistono due tipi di stabilità degli equilibri: la stabilità di Lyapunov e la stabilità asintotica. Si * dice che una soluzione di equilibrio x è Lyapunov stabile se le traiettorie con condizione iniziale * x 0 = x( t = 0) vicina a x rimangono entro un raggio ε da esso per tutti i tempi positivi ( t ): * * ε > 0, δ > 0 t. c. x0 x < δ x() t x < ε t 0. Nel secondo caso, invece, la condizione di * stabilità è più forte: una soluzione di equilibrio x è asintoticamente stabile se è Lyapunov stabile e * * inoltre x attrae le traiettorie per tutti i tempi positivi ( lim x( t) = x ). Il concetto di stabilità appare t più chiaro se pensiamo di apportare una piccola perturbazione alla soluzione di equilibrio: mentre la stabilità di Lyapunov richiede che le traiettorie perturbate (la perturbazione viene applicata alla condizione iniziale) rimangano vicino all equilibrio, l asintotica stabilità impone qualcosa di più,

10 cioè che la perturbazione venga in qualche modo assorbita e che le traiettorie perturbate tendano a ritornare all equilibrio. La tavola 6 illustra graficamente i due concetti. Eliminato: Tavola 6 - Stabilità di Lyapunov (a) e stabilità asintotica (b). (a) (b). L identificazione parametrica Con il termine identificazione si designa l insieme di tecniche che consentono di costruire modelli matematici di sistemi dinamici a partire da misure sperimentali (dati) (Ljung 999). Gli elementi principali del problema sono: un set di dati quale, ad esempio, una sequenza di N campioni dell ingresso u(t) e dell uscita y(t) di un sistema dinamico; una classe di modelli candidati, di struttura prefissata, all interno della quale scegliere il modello identificato; un criterio di selezione del modello ottimo ; le procedure di validazione del modello. Il ruolo di ciascun elemento viene illustrato brevemente nel seguito. Set di dati I dati sono l insieme delle misure effettuate sul sistema, in base alle quali si desidera stimare un modello del sistema stesso. In molti casi è possibile scegliere l ingresso da fornire al sistema, o, più in generale, le condizioni operative del sistema stesso. Altri aspetti importanti sono la durata dell esperimento (cioè la lunghezza del set di dati), il tempo di campionamento, etc. Tutto ciò fa parte del progetto dell esperimento di identificazione, che costituisce la prima fase dell intera procedura. Purtroppo, non è sempre possibile scegliere l ingresso e le condizioni operative sono fissate; questo si verifica ad esempio quando il sistema in esame dipende da ingressi esogeni difficilmente controllabili, come variabili che dipendono dal mercato. Classe di modelli La scelta della classe di modelli rappresenta la parte più delicata della procedura di identificazione, poiché condiziona pesantemente il risultato finale. In generale, un modello può essere visto come una mappa dai dati alle uscite. È possibile individuare due macrotipologie di modelli: modelli parametrici, in cui è presente un vettore di parametri di dimensione finita;

11 modelli non parametrici, in cui è presente una funzione che descrive alcune caratteristiche fondamentali del modello. Nell ambito dell identificazione parametrica si possono distinguere modelli in cui i parametri derivano da leggi fisiche o conoscenze di altro tipo (modelli a scatola grigia ), e modelli in cui i parametri sono usati per rappresentare il comportamento ingresso-uscita del sistema, senza alcun particolare significato fisico (modelli a scatola nera ). Inoltre, i modelli possono essere scelti tra le tipologie elencate nel paragrafo. in base alle caratteristiche peculiari del sistema. Infatti, un requisito fondamentale per una classe di modelli è la capacità di rappresentare i fenomeni di interesse nell ambito considerato (modello dipendente dallo scopo). Selezione del modello ottimo Una volta raccolti i dati e fissata la classe di modelli, il problema dell identificazione consiste nel determinare il set di parametri ϑ che minimizza il funzionale di costo J ( ϑ), che rappresenta l errore quadratico medio tra la simulazione xˆ () t del modello e i dati misurati x ( t) nell intervallo di tempo [0,T]: J T = T ( ϑ) ( xˆ () t x() t ) t= ϑ = arg min J ϑ Θ ( ϑ) Validazione del modello Una volta che il modello è stato identificato occorre validarlo, ossia verificare se esso è sufficientemente buono per gli scopi prefissati, e come si relaziona ai dati disponibili e alla conoscenza a priori. Esistono varie procedure generali per la validazione di un modello. L importanza attribuita all esito di ciascuna di esse è tuttavia fortemente dipendente dall utilizzo che si intende fare del modello una volta che lo si è identificato. Un modello può non essere validato per diverse ragioni: non convergenza dell algoritmo di ottimizzazione (problema numerico); errata scelta del funzionale di costo; classe di modelli non appropriata; set di dati non sufficientemente informativo. Come già detto, spesso il punto cruciale è proprio la scelta della classe di modelli (ad esempio, per modelli lineari tempo-invarianti, la scelta dell ordine del modello). Nella pratica, la procedura di identificazione viene tipicamente iterata fino al soddisfacimento dei criteri di validazione, modificando ogni volta uno o più elementi del problema.

12 Tavola 7 - La procedura di identificazione (Ljung 999). Nel presente capitolo si fa riferimento a modelli descritti da mappe, quali i Causal Loop Diagrams o gli Stock and Flow Diagrams, nei quali vengono esplicitate le relazioni causa-effetto tra gli elementi del sistema; le mappe in questo caso sono rappresentate da equazioni differenziali ordinarie con ingressi esogeni. Cio implica che la classe di modelli da utilizzare per l identificazione è data, cosi come gli ingressi e le costanti del modello. La procedura di identificazione risulta quindi utile per risolvere il problema di individuare i parametri ottimi che permettono di ottenere dinamiche desiderate. Il funzionale di costo da ottimizzare è definito dalla equazione (----), dove la variabile x () t rappresenta la dinamica target e la variabile xˆ ( t) è definita dall evoluzione dello stato nell intervallo di tempo di interesse. 4. Integrazione tra System Dynamics e Teoria dei Sistemi Dinamici Come già descritto nella sezione, la System Dynamics mette a disposizione dell analista diverse tipologie di modelli grafici e di simulazione basati su modelli matematici e un ambiente di

13 sperimentazione e di analisi dei modelli sviluppati. Attraverso questi strumenti l utente è dunque in grado di impostare una serie di scenari e di ipotesi di lavoro dei quali puo valutare la bontà e le conseguenze attraverso l interfaccia grafica disponibile. Le potenzialità di questo tipo di strumenti e il ruolo che essi assumono nella risoluzione di problemi decisionali sono evidenti. Esse dipendono pero in maniera significativa dalla capacità dell utente di rappresentare adeguatamente i flussi e le dinamiche, cioè di formulare (indirettamente) modelli matematici corretti del sistema. D altro canto, la teoria dei sistemi dinamici e le tecniche di identificazione, descritte nella sezione forniscono le metodologie per effettuare l analisi dei modelli matematici e studiarne proprietà fondamentali, quali la stabilità e le performance nel riprodurre dati misurati dei sistemi studiati. Se cioè, da un lato la System Dynamics è uno strumento di supporto alle scelte dei decisori, la teoria dei sistemi dinamci permette di valutare quantitativamente se i modelli scelti dal decisore e le loro prestazioni sono adeguati a risolvere i problemi per i quali sono stati formulati. L integrazione dei due approcci risulta pertanto naturale e promettente per entrambi i settori scientifici. A titolo esemplificativo, nella seguente sezione viene illustrato un modello della supply chain. Tale modello viene analizzato sia attraverso l applicazione di metodologie proprie della System Dynamics che tramite la teoria dei sistemi dinamici e la identificazione parametrica. 5. Applicazione ad un tipico caso aziendale: la supply chain 5.. La modellizzazione della catena logistica La corretta gestione della catena logistica di fornitura, anche detta supply chain (SC), risulta un elemento critico di successo per una qualsiasi azienda. In una supply chain numerosi soggetti sono tra loro connessi al fine di realizzare il processo di consegna al cliente finale di uno specifico prodotto, dovendo portare a compimento i processi, a loro volta interrelati, di approvvigionamento delle materie prime, trasformazione di queste nel bene finale, consegna al cliente. Alla gestione di queste attività, devono aggiungersi tutte le operazioni relative alla corretta trasmissione ed al conseguente ricevimento dei numerosi flussi di informazioni (es. ordini di prodotti, ordini di approvvigionamenti, etc.) che si possono manifestare lungo la catena. Ne risulta una struttura complessa, la cui gestione non sempre si rivela una facile operazione. In relazione al governo della SC, infatti, possono riscontrarsi numerose problematiche che possono andare dalla difficoltà di coordinamento e di cooperazione tra i vari soggetti coinvolti, alla mancanza di appropriate misure atte a valutare le performance di quelle aziende/individui, alla difficile gestione di comportamenti dinamici tipicamente associati alla catena logistica, quale la presenza di accentuate oscillazioni. A supporto ed ai fini di una corretta gestione della SC, in tal senso, possono essere proposti numerosi approcci e strumenti di analisi, quali i sistemi informativi integrati di tipo ERP (Enterprise Resource Planning), metodologie come il TQM (Total Quality Management) ed il JIT (Just-in-Time), soluzioni del tipo CRM (Customer Relationship Management) e Six-sigma o, ancora, modelli matematici di simulazione di vario tipo e genere, da quelli di ottimizzazione agli OPT (Optimized Production Technology), ed ancora a quelli di carattere continuo come nel caso della System Dynamics. Su questi aspetti, tra gli altri, si veda quanto messo in luce da Akkermans, Dellaert (005).

14 Proprio in quest ottica, prendendo in considerazione l ultima opzione appena ricordata, di seguito si intende mostrare come può strutturarsi un intervento di System Dynamics volto alla elaborazione di un modello di simulazione computerizzato che possa essere utilizzato a supporto della policy analysis aziendale, con specifico riferimento al governo delle dinamiche associate ad una generica supply chain. Queste riflessioni sono proposte nel seguente paragrafo. 5.. La struttura di stock e flussi di una tipica supply chain Come punto iniziale dell analisi occorre identificare con precisione quale sia il problema dinamico che il modello di simulazione intende affrontare. In questo senso, tra i vari problemi menzionati nella precedente sezione tipicamente associati alla gestione di una catena logistica risulta estremamente frequente riscontrare la presenza di elevate oscillazioni lungo la SC stessa, dovute alla contemporanea esistenza di un numero elevato di flussi che si trovano sotto l influenza di significativi ritardi temporali. Tale situazione rappresenta un problema dinamico noto ed ampiamente studiato in letteratura. Si tratta del cosiddetto bullwhip effect, derivante dal contemporaneo effetto di stime non sempre accurate della domanda di mercato, della politica delle scorte aziendali (volta a generare dei cuscinetti di sicurezza negli stock amministrati), della presenza di numerosi ritardi temporali presenti nel sistema. L esistenza di delays, nello specifico, appare di particolare rilevanza. Tali ritardi, inoltre, possono essere relativi tanto a fenomeni di tipo materiale che di natura informativa. Essi, di fatto, possono concretizzarsi in sfasamenti nel processo decisionale, in ritardi nell attuazione di specifiche operazioni, in un disallineamento tra processo decisionale e realtà operativa, etc.. In tutti questi casi, l effetto di tali delays conduce a situazioni in cui il sistema gestito viene sottoposto a continue azioni correttive di portata diversa da quella realmente necessaria, generando delle oscillazioni nelle variabili chiave del sistema stesso 4. Ne consegue che ai fini della corretta gestione di questi sistemi risulta determinante identificare quale sia la loro struttura fondamentali di stocks e flussi, quali siano i principali ritardi temporali attivi e come sia possibile sviluppare delle politiche aziendali che attenuino la portata di quei delays e consentano una governo ottimale delle risorse a disposizione. In questo senso, la metodologia di simulazione nota come System Dynamics risulta senza dubbio idonea al compito 5. In sostanza, per l analisi di questo tipo di sistema, prendendo in analisi una tipica SC relativa ad un azienda manifatturiera, è possibile procedere alla elaborazione di un modello di simulazione, volto ad identificare e formalizzare i seguenti elementi: a) la struttura di stock e flussi coinvolti nei processi di acquisizione, immagazzinamento e trasformazione degli input e di consegna degli output al cliente finale. Si noti al riguardo che appare particolarmente rilevante identificare in questa fase quali siano i principali ritardi temporali presenti nel sistema. b) i principali feedback loop presenti nel sistema, con la specificazione della loro tipologia (ovvero se essi sono di tipo positivo o negativo); 4 Si pensi, in questo senso, alle oscillazioni che assai frequentemente caratterizzano numerosi cicli economici, quali quelli legati all edilizia od agli investimenti in borsa. 5 Al riguardo, abbiamo già evidenziato che non solo le oscillazioni costituiscono un ben noto problema dinamico, ma abbiamo anche messo in luce come sia generalmente noto che alla base di tali moti si ponga una struttura ben precisa, contraddistinta dalla presenza di notevoli ritardi temporali.

15 c) le regole decisionali utilizzate in azienda, esprimibili attraverso idonee formule matematiche 6. Il compimento di queste tre fasi è cruciale per poter effettivamente modellizzare la SC di riferimento e, successivamente, per poter utilizzare tale rappresentazione logico-matematica al fine di analizzare le dinamiche relative alla catena stessa, risolvendo i problemi tipicamente associati ad essa, nel caso specifico le oscillazioni. Prendiamo avvio dal primo step appena menzionato. In questo senso, è innanzitutto necessario riuscire a chiarire quali siano gli stock ed i flussi che costituiscono la struttura sistemica di riferimento ed analizzare i singoli legami tra quegli elementi. Per far ciò, concentrandosi sulle fasi interne alla singola realtà aziendale che procede a trasformare le materie prime in prodotto finiti, può essere presentata la seguente figura, che schematizza in estrema sintesi quali siano gli stock ed i flussi chiave del sistema in analisi. Tavola 8 - Struttura semplificata degli stock e dei flussi del modello. Input Produzione Work in Progress Produzione PF Magazzino Prodotti Spedizioni La figura considera il processo tipico per un azienda manifatturiera, fino all ottenimento del prodotto finito che sarà consegnato al cliente finale. Successivamente, è necessario ampliare tale prima rappresentazione per poter fornire una raffigurazione maggiormente completa e per includere nell analisi anche le politiche decisionali adottate in azienda. Al riguardo, la seguente figura mostra la cosiddetta policy structure della SC, comprensiva delle principali variabili stock, dei flussi che connettono tali variabili livello, delle primarie variabili ausiliare tendenti a chiarire le regole decisionali all interno del sistema. Tavola 9 Struttura base dei principali feedback loops identificati nel modello. Supply Chain Produzione e Magazzino Input Produzione B Controllo WIP Produzione desiderata Work in Progress Produzione PF B Controllo del magazzino Magazzino Prodotti Spedizioni B Soddisfare gli ordini Tasso di spedizione massimo Domanda di mercato Forecast della domanda di mercato 6 Si noti che in questo paragrafo l attenzione viene focalizzata su una singola azienda, inclusa in una più ampia SC.

16 La struttura della SC si basa su uno stock principale, il magazzino prodotti finiti, che risulta alimentato dai beni fabbricati lungo la catena e posizionati in attesa della consegna al consumatore finale 7. Tuttavia, l input effettivo per la catena e imprescindibile focus di analisi è costituito dagli ordinativi di mercato. In tal senso, il processo produttivo è strutturato per riuscire a soddisfare con compiutezza e tempestività le richieste di mercato; in tal senso, ad un ordine inevaso potrebbe corrispondere un cliente perso. Ne deriva che una esclusiva gestione corrente ed in itinere del magazzino e degli ordinativi in ingresso non costituisce una politica del tutto efficiente. Ciò porta a due considerazioni ed alla conseguente trasmissione di specifiche informazioni lungo la catena. In primo luogo, lo stato attuale del magazzino viene costantemente confrontato con il suo livello desiderato. Ove emergano delle discrepanze, tale gap viene prontamente corretto. In secondo luogo, in azienda si tenta di sviluppare una corretta previsione della domanda esogena per poter gestire in modo adeguato l intera catena. Questa considerazione viene formalizzata considerando in modo esplicito la domanda attesa di mercato e procedendo ad una forecast degli ordinativi futuri. Le due suddette situazioni forniscono degli input decisionali a ritroso lungo l intera SC, consentendo di stabilire il programma di produzione, organizzare le risorse aziendali e gestire il piano degli approvvigionamenti. Emerge adesso l elemento di maggior complessità gestionale e punto centrale per l analisi qui in discussione. Si evidenzia, infatti, che molteplici ritardi temporali sono attivi lungo tutta la catena; una loro mancata identificazione od una loro erronea valutazione condurrebbero a sostanziali amplificazioni delle oscillazioni riscontrabili nella SC stessa 8. Tra tali delays, a titolo esemplificativo, basti pensare al fatto che approvvigionarsi di materie prime può richiedere anche molti giorni o settimane, che la produzione stessa richiede tempi di operatività a volte variabili, che i servizi di amministrazione (ad esempio quelli relativi alla elaborazione e trasmissione degli ordini) potrebbero occupare archi temporali più o meno ampi, etc. Tutte queste riflessioni sono maggiormente chiare ove si presenti la raffigurazione estesa del modello generico di SC sviluppato, riportato di seguito: 7 Come reso evidente e come già evidenziato nel testo, i software di System Dynamics sono dei VIMS ( Visual Interactive Modelling Systems ): ogni icona, o simbolo grafico, rappresenta una ben specifica tipologia di variabile; connettendo le icone tra di loro si ricostruisce l interazione logica tra le differenti variabili del modello. In tal modo, i VIMS consentono di sviluppare un modello di simulazione al computer senza necessitare di un vero e proprio linguaggio di programmazione, spesso eccessivamente complesso. Su tali aspetti si confronti Pidd (004). 8 Si tratta del cosiddetto bullwhip effect. Per approfondimenti, tra gli altri si veda Croson, Donohue (005).

17 Tavola 0 - Modello semplificato del segmento Produzione-Magazzino della SC aziendale 9. Supply Chain Produzione e Magazzino Livello_desiderato_magazzino_PF Domanda_di_mercato Copertura_di_magazzino Livello_desiderato_di_WIP Input_produzione B Controllo WIP Work_in_Progress Magazzino_PF Produzione_PF Spedizioni Soddisfare gli ordini Manufacturing_Cycle_Time Tempo_adeg_magazz_PF Tasso_spedizione_massimo Controllo del Indice_soddisfazione_ordini magazzino Adeguamento_WIP Livello_desiderato_di_WIP Tempo_minimo_spedizione Tasso_iniziale_desiderato_di_produzione Adeguamento_produzione_per_politica_scorte Copertura_minima_magazzino Tempo_di_adeguamento_WIP B B Livello_desiderato_Spedizioni Livello_desiderato_magazzino_PF Produzione_desiderata Copertura_desiderata_di_magazzino Domanda_di_mercato Domanda_attesa_di_mercato Variazione_domanda_di_mercato_attesa Domanda_di_mercato Tempo_di_adeguamento_domanda_di_mercato_attesa Dall analisi della rappresentazione grafica del modello emergono interessanti informazioni sulla struttura della SC di riferimento e sulle politiche necessarie alla sua corretta gestione. Ad esempio, appare agevole a questo punto identificare con esattezza il numero e la tipologia di ritardi temporali attivi nel sistema, elencati di seguito. a) Un primo ritardo fondamentale, di tipo informativo, è legato alla domanda di mercato. Nello specifico, nonostante sia teoricamente possibile adeguare in modo istantaneo le politiche e le decisioni aziendali al valore attuale di tale variabile, più frequentemente in azienda si procede ad elaborare una forecast futura della domanda esogena, prendendone in considerazione il trend storico e rettificandolo in base ad una formulazione che è tipica della formazione di aspettative adattive. In tal modo, nel sistema viene di fatto introdotto un primo delay, legato al Tempo di adeguamento della domanda di mercato attesa. b) Una seconda categoria di ritardi è connessa al tempo necessario per riportare i livelli attuali dei principali stock in equilibrio con i livelli desiderati e fissati in base alle varie politiche aziendali (ad esempio, relative alle scorte minime da detenere in magazzino). Nel modello qui presentato, rientrano tra questi delays le variabili denominate Tempo di adeguamento Work In Progress e Tempo di adeguamento del magazzino Prodotti Finiti. c) Un ulteriore variabile di rilievo ai fini dell analisi è denominata Tempo minimo di spedizione. Questo valore si riferisce al tempo minimo che è usualmente necessario per ogni spedizione di un prodotto finito al cliente. La corretta identificazione e modellazione di tale valore, in 9 Ai fini dell elaborazione del modello qui presentato, viene fatto riferimento agli studi ed alle considerazioni presentate nel lavoro di Sterman (000: capitolo 7).

18 sostanza, risulta di fondamentale rilevanza per la capacità dell azienda di soddisfare con prontezza ed efficienza le richieste dei propri clienti. d) Una quarta variabile temporale è relativa al cosiddetto Manufacturing Cycle Time, ovvero al tempo mediamente intercorrente tra il momento in cui la fabbricazione di un prodotto prende il via e l istante in cui quel bene sarà effettivamente completato e stoccato in magazzino. Nel complesso, emerge un insieme ben identificato di variabili temporali che debbono essere opportunamente considerate ai fini della elaborazione e della successiva simulazione del modello. Procedendo nel processo di analisi così descritto, risulta a tal punto interessante identificare i meccanismi di retroazione (o feedback loop) attivi in questo sistema. Nello specifico, nel modello sono presenti tre loop di particolare rilevanza, già indicati nelle figure sopra riportate. Il feedback denominato Soddisfare gli ordini è incentrato sulla regolazione delle vendite di prodotti finiti, rese possibili dalla spedizione di prodotti stoccati in magazzino e provenienti dal reparto produzione. I loop Controllo del magazzino e Controllo WIP, invece, mostrano come dovrebbero essere regolati i tassi di produzione al fine di mantenere i due stock in essi contenuti a valori uguali o prossimi a quelli desiderati, tenuto conto di numerose altre variabili di riferimento, quali la domanda attesa di mercato e la copertura minima di magazzino 0. I tre loop, in sostanza, agiscono come riequilibratori del sistema, svolgendo in pieno la propria funzione di feedback di tipo negativo. La loro identificazione e rappresentazione, quindi, risulta di fondamentale importanza per poter ridurre l ampiezza delle oscillazioni che si possono verificare lungo la SC. Quella fin qui presentata, del resto, risulta solo una rappresentazione grafica del modello di simulazione. Ai fini della corretta analisi e comprensione delle sue dinamiche e dell efficacia delle policies aziendali è necessario procedere con la formulazione matematica del modello e, successivamente, con la simulazione vera e propria dello stesso tramite supporto informatico. 5. Formulazione matematica del modello della supply chain La presente Sezione illustra il modello matematico della supply chain. In particolare, vengono individuate le variabili di stato, gli ingressi, le uscite, i parametri e le costanti del modello. Successivamente, vengono descritte le equazioni che esprimono le relazioni dinamiche che legano le variabili di stato tra di loro, agli ingressi e alle uscite. La tavola riporta le variabili di stato, gli ingressi, le uscite, le costanti ed i parametri del modello, il loro significato e l unità di misura. Tavola Variabili di stato, ingressi, uscite, costanti e parametri del modello matematico. Variabili di Stato Nome Significato Unità Domanda attesa di mercato x x x Magazzino Prodotto Finito Work in Progress 0 Come richiamato ed interpretando i tre loop, da un punto di vista dinamico, risulta evidente che lo stock di magazzino diminuisce man mano che le spedizioni sono realizzate in risposta a richieste dei clienti; ove tali livelli scendano al di sotto del desiderato, questa informazione deve condurre alla riorganizzazione del processo produttivo in modo tale da avviare la fabbricazione di nuove unità che saranno successivamente stoccate in magazzino come prodotti finiti e, in ultimo, vendute per far fronte alla domanda di mercato esogena.

19 Ingressi u Domanda di Mercato Uscite Spedizioni y y y Livello Desiderato di Magazzino Prodotto Finito Copertura di Magazzino Costanti a Tempo di Adeguamento Domanda di Mercato Attesa b Tempo minimo di spedizione c Copertura minima di magazzino d Definisce la funzione f h Definisce la funzione f Parametri Tempo adeguamento di magazzino Prodotto Finito k k k Manufacturing Cycle Time Tempo di adeguamento Work In Progress Le equazioni matematiche che descrivono il modello della supply chain sono le seguenti: dx u x = dt a dx = u f dt, ( x, u) x + k dx = A x + A x + A x; dt, (a) y y = = u f ( x, u), ( b + c) x, x y = u f ( x, u), (b) dove f ( x, u) =, + e x d + h bu ()

20 A A A = ( k + k )( k + b + c) = = ( k + k ), ( k + k ). k k k k k k, () 5.4 Calibrazione e simulazione del modello Il modello sopra descritto è stato simulato per un periodo di tempo di 00 giorni. I valori per l inizializzazione del modello sono riportati nella seguente tavola. Tavola - Calcolo delle condizioni iniziali e valore delle costanti del modello. Costanti Valore a 8 b c d 6 h 5 Conidizioni iniziali ( 0) ( 0) ( 0) = u( 0)( b c) ( 0) u( ) k u Valore x = 099 x x = Alcuni parametri significativi del modello sono stati successivamente stimati per ottenere valori che assicurino il miglior fitting tra l andamento simulato del Magazzino prodotto finito e il livello desiderato della stessa variabile. In particolare, la metodologia di identificazione del modello permette di aggiustare in modo automatico alcuni parametri significativi del modello in modo da adeguare il magazzino prodotto finito a valori auspicabili per sopperire alle richieste del mercato. Nello specifico, questo strumento permette di adeguare in modalità real time, all interno del processo produttivo, il Tempo adeguamento di magazzino Prodotto Finito k, il Manufacturing Cycle Time k e il Tempo di adeguamento Work In Progress k. Il problema di stima parametrica del modello viene impostato come segue: