Lezione 19 Propagazione di onde EM in un plasma freddo in presenza di campo magnetico

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1 Leione 19 Propagaione di onde M in un plasma freddo in presena di campo magnetico G. Bosia Universita di Torino 1

2 Derivaione della relaione di dispersione In questa leione studiamo la propagaione di un onda elettromagnetica in un plasma magnetiato, utiliando le equaioni fluide ed alcune ipotesi semplificatrici: 1) plasma freddo: sono trascurati i moti termici delle componenti del plasma ) la pressione del plasma e nulla: p ; 3) la velocità di fase dell onda e molto maggiore della velocità termica: v f >> v thermal quaione fluida : (XIX-1) Assumiamo, B B e v e lineariiamo l equaione: (XIX-) variano sinusoidalmente. v e la perturbaione della velocità del plasma dovuta alla presena dell onda. Sostituendo e scegliendo le coordinate in modo che B B (,, B ) si ottiene:

3 Derivaione della relaione di dispersione (XIX-3) che risolto per v in funione di da: (XIX-4) con: girofrequena e con il segno della carica della specie considerata. La densità di corrente è : (XIX-5) 3

4 Derivaione della relaione di dispersione splicitando le equaioni (XIX-4) e (XIX-5) si ottiene q n qnv ( i Ω σ σ m( Ω ) ) q n qnv ( Ω i σ σ m( Ω ) ) q n qnv i σ σ σ m Dal confronto dei termini sinistra e a destra dell equaione possiamo scrivere il tensore conduttività per la j-esima specie del plasma come: σ σ (XIX-6) 4

5 Derivaione della relaione di dispersione La conduttività totale si ottiene sommando su tutte le specie: (XIX-) e pertanto: (XIX-8) Utiliando la definiione di tensore dielettrico (XVII-5) si arriva alla definiione delle componenti del tensore dielettrico: 5

6 Derivaione della relaione di dispersione (XIX-6) Con: (XIX-7) e le frequene di plasma relative alle determinate specie: (XIX-8) 6

7 Derivaione della relaione di dispersione Le quantita S, D e possono anche essere espresse in funione di altre quantita : L e R, che si ottengono da una derivaione della relaione di dispersione che tiene conto delle possibili polariaione dell onda (L polariaione sinistra, R polariaione destra): (XIX-9) Da cui la definiione dei termini L e R diventa: (XIX-1) Ottenuto il tensore dielettrico e ora possibile risolvere la relaione di dispersione ottenendo k() e la polariaione dell onda. Si noti, in particolare, che ε e indipendente da k, e che pertanto, come gia notato, la relaione di dispersione e una forma quadratica in k o N. (XVIII-4) 7

8 Polariaione dell onda M In assena di campo magnetico, la propagaione dell onda M e indipendente dal piano di polariaione e pertanto non e necessario specificarlo la polariaione dell'onda La presena del campo magnetico rende la propagaione dell onda nel plasma e diversa a seconda della polariaione pertanto necessario necessario definirlo La ragione fisica dell anisotropia e che gli elettroni e gli ioni hanno un loro verso naturale di giraione attorno alle linee di campo magnetico. quindi è lecito aspettarsi che un'onda a polariaione circolare interagisca in maniera diversa a seconda che il verso di polariaione sia concorde o discorde col verso di giraione degli elettroni. Se, come nel nostro caso, i campi elettrici sono descritti da numeri complessi, il verso di rotaione del campo elettrico si può stabilire assegnando una relaione tra le componenti del campo ortogonali alla direione di propagaione Per esempio un camo elettrico polariato circolarmente e rappresentato da : i per una rotaione a destra φ > e -i per una rotaione a sinistra φ > Infatti in entrambi i casi e φ ±π/ 8

9 Propagaione di un onda ad un angolo arbirario Definiamo la geometria di propagaione dell onda, come mostrato in figura : Si e assunto B diretto come B(,,B ) e la direione locale dell onda, individuata dal vettore k nel piano (k ). Non si fa alcuna ipotesi sulla direione di polariaione del vettore campo elettrico (e.g. k ovvero polariaione trasversale), per includere sia il caso di polariaine trasversale che longitudinale. Se θ e l angolo tra k e B (XIX-11) e si esplicita la (XIX-1) (XVII-7) k ) k k ( ε ε ) c k ( ε ) ε c k ) k k σ c ( k ( k si ottiene: 9

10 Propagaione ad un angolo arbitrario raccogliendo le componenti di si ottiene : c c ( k ) k k ε ε k k (XIX-1 bis) c ε ( k ε ) c c k ( ) k k σ ossia in forma matriciale: (XIX-13) Ponendo eguale a ero il determinante della matrice (XIX-14) con: 1

11 Soluioni della relaione di dispersione (XIX-15) Dove F e il discriminante dell equaione biquadratica: (XIX-16) in generale necessario che sia F > perché la propagaione dell onda si verifichi. Alternativamente, se F < l onda e evanescente o riflessa sena assorbimento. La relaione di dispersione (XIX-14) può essere riscritta nella forma : (XIX-17) che permette di definire in un modo semplice le caratteristiche di propagaione in funione dell angolo di propagaione θ. In particolare : Per propagaione parallela al campo magnetico (tan(θ) ) : P, N R, N L Per propagaione ortogonale al campo magnetico (1/tan(θ) ) : N P, N RL/S 11

12 Caratteristiche di propagaione parallela a B (P, N R, N L) Relaione di dispersione (onda destra): (XIX-18) Scritta per elettroni e ioni: (XIX-19) L onda ha un cut-off per N R Questo avviene quando: pe R 1 ( Ω pe L 1 ( Ω e e pi ) ( Ω pi ) ( Ω i i ) ) (XIX-) Che per m i >> m e si può approssimare a : L onda destra ha una risonana per: > Ω e (XIX-1) che avviene per e per N 1 1

13 In condiioni di risonana Caratteristiche di propagaione parallela a B L indice di rifraione N la velocita di fase v φ /c e la lunghea d onda λ πv φ / La risonana prende il nome di risonana ciclotronica elettronica L andamento della relaione di dispersione nell intorno di una risonana e mostrato in figura : in generale risonana e cut off si presentano a coppie. Dalla figura si vede che la risonana si verifica a frequene inferiori alla frequena di cut-off e non sarebbe pertanto accessibile in un plasma a proprieta dielettriche uniformi Risonana Cut off 13

14 Caratteristiche di propagaione parallela a B (P, N R, N L) Allo stesso modo per l onda sinistra: (XIX-18 bis) L si ottiene: pe L 1 ( Ω e pi ) ( Ω i ) (XIX-19 bis) N 1 pe ( Ω e ) pi ( Ω i ) L onda ha un cut-off per N L (XIX- bis) L < Ω e < R o approssimativamente Per N 1 L - < Ω e < R (XIX-1) L onda sinistra non ha una risonana ciclotronica elettronica, ma una risonana cicloronica ionica. Questa proprietà e legata alla polariaione relativa delle due onde, che e discussa in seguito. 14

15 15 Propagaione parallela a B - Polariaione dell onda L equaione di dispersione per θ (cos( θ) 1) è: Per N R diventa: L onda destra un onda trasversa polariata circolarmente a destra nel piano ortogonale al campo magnetico. Questa polariaione e concorde con il verso di rotaione degli elettroni nel campo magnetico B Se la frequena dell onda e uguale alla frequena di giraione degli elettroni onda e particella sono in risonana ed e possibile un trasferimento (risonante) di energia tra onda e particella (o viceversa). P S N id id S N P D id id D i i i

16 16 Propagaione parallela a B Polariaione dell onda L equaione di dispersione per θ (cos( θ) 1) per N L diventa: L onda sinistra un onda trasversa polariata circolarmente a sinistra nel piano ortogonale al campo magnetico. Questa polariaione e opposta al verso di rotaione degli elettroni nel campo magnetico B, ma concorde con quello degli ioni Se la frequena dell onda e uguale alla frequena di giraione della particella, onda e particella non sono in risonana perche i loro moti non dono sincroni Non è possibile un trasferimento (risonante) di energia tra onda e particella (o viceversa). La risonana avviene, a frequena molto piu bassa con il moto di giraione degli ioni P S N S N id id S N P D id id D i i i