Esercizi di meccanica

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1 Esercizi di meccanica CAPITOLO 1 Esercizio 1.1) Il vettore A ha la lunghezza di 6 unità e forma un angolo di 45 con l asse x. Il vettore B ha la lunghezza 3 unità ed è diretto lungo l asse x positivo ( 0 ). Trovare il vettore risultante A+B usando a) il metodo grafico e b) la somma vettoriale espressa in termini delle componenti cartesiane. Esercizio 1.2) Un aeroplano vola dalla città A alla città B in direzione est per 800 km. Nella parte successiva del volo l aereo viaggia dalla città B alla città C in direzione nord-est a 40 per 60 km. Qual è lo spostamento risultante dell aereo tra la città A e la città C? Esercizio 1.3) Una particella esegue tre spostamenti consecutivi, il primo verso est di modulo 25 m, il secondo verso nord di modulo 42 m. Lo spostamento risultante ha modulo 38 m ed è diretto a nord est, con un angolo di 30 rispetto alla direzione est. Quali sono il modulo e la direzione del terzo spostamento? Esercizio 1.4) Una particella si muove nel piano xy dal punto (3m;0m) al punto (2m;2m). a) Determinare una espressione vettoriale per lo spostamento risultante, b) Quali sono il modulo e la direzione di questo vettore spostamento?

2 Esercizio 1.5) Sono date tre forze F 6i N, 9 N 1 2 j F, e F 3i 4 N. a) 3 j Trovare il modulo e la direzione della forza risultante; b) Quale forza bisogna aggiungere a queste tre per rendere zero la forza risultante? Esercizio 1.6) Una persona che va a fare una passeggiata segue l itinerario mostrato nella figura 1. L escursione totale consta di quattro tratti rettilinei. Alla fine della passeggiata qual è lo spostamento risultante misurato a partire dall origine? Esercizio 1.7) Un parallelepipedo rettangolo ha dimensioni a, b, c come in figura 2. a) Ottenere una espressione vettoriale per il vettore R1 diagonale di una faccia. Qual è il modulo di questo vettore? b) Ottenere una espressione vettoriale per il vettore R2 diagonale del parallelepipedo. Qual è il modulo di questo vettore? Esercizio 1.8) Dalla definizione di prodotto scalare, trovare gli angoli formati dalle seguenti coppie di vettori: a) A 3i j e B 2i 2 j ; b) A i 4 j e B 2i j 2k ; c) A 2i j 3k e B 2 j 2k

3 Esercizio 1.9) Dati due vettori l angolo tra A e B. A 3i j e B i 2 j Esercizio 1.10) Se A B A B qual è l angolo tra A e B?, si trovi a) A B e b) Esercizio 1.11) Dimostra che il modulo di un prodotto vettore è uguale all area del parallelogramma avente per lati i due vettori componenti (figura 3). Questo fatto può suggerire un criterio per rappresentare nello spazio un elemento di superficie orientato? Esercizio 1.12) Dimostrare che l area del triangolo contenuto tra i vettori a e b è 1 2 a b Esercizio 1.13) Dimostrare che a b c è numericamente uguale al volume del parallelepipedo formato dai tre vettori e a, b, c. Esercizio 1.14) Siano b e c le diagonali delle facce xy e yz di un cubo di spigolo a (figura 4), a) Calcolare le componenti del vettore d definito come d b c ; b) Calcolare il valore di b c, d c, d b. Esercizio 1.15) Si considerino due generici vettori A e B come i lati di un

4 parallelogramma; a) Mostrare che l area del parallelogramma è A B ; b) si trovi l area del parallelogramma per A 3i 3 j m e B i 2 j m. Esercizio 1.16) E dato un vettore che giace nel piano x y avente modulo v o, che dipendente dalla variabile t, e avente direzione anch essa dipendente dalla variabile t: v(t) = v x (t)i + v y (t)j = v o (t)cosθ(t)i + v o (t)senθ(t)j = v o (t)u Considerando il vettore scritto in termini del versore u, che è un versore istantaneo in direzione parallelo al vettore v(t) stesso, calcolare la derivata del vettore v(t) rispetto alla variabile t e dimostrare che si ottiene il vettore dv(t) = dv 0(t) u dt dt + v o (t) dθ(t) u dt dove u è un versore in direzione ortogonale a u nel piano xy. Ripetere il calcolo della derivata del vettore v(t) rispetto alla variabile t considerando il vettore scritto in termini dei versori i e j del sistema di riferimento in coordinate cartesiane e dal confronto dei due calcoli ottenere le definizioni dei versori u e u in termini dei versori i e j del sistema di riferimento in coordinate cartesiane, verificando l ortogonalità dell uno rispetto all altro.

5 CAPITOLO 2 Esercizio 2.1) Una cavallerizza trotta in linea retta con una velocità media di 5 m/s per 4 min, e poi con una velocità media di 4 m/s per 3 min. (a) Qual è il suo spostamento totale? (b) Qual è la sua velocità media durante questo tempo? Esercizio 2.2) A t=1s una particella in moto con velocità costante è posta a x=-3m e a t= 6s la particella è posta a x=5 m. (a) Da questa informazione tracciare un grafico della posizione in funzione del tempo. (b) Determinare la velocità della particella dalla pendenza del grafico. Esercizio 2.3) Una particella si muove lungo l asse x secondo l equazione x( t) 2 3t t 2 dove x è in metri, t in secondi. A t=3s trovare la posizione della particella, la sua velocità e la sua accelerazione. Esercizio 2.4) Una particella parte da ferma dalla sommità di un piano inclinato e scivola giù con accelerazione costante. Il piano inclinato è lungo 2,0 m e occorrono 3,0 s affinché la particella raggiunga il fondo. Trovare (a) l accelerazione della particella, (b) la sua velocità sul fondo, (c) il tempo che impiega la particella a raggiungere la metà del piano inclinato e (d) la sua velocità nel punto di mezzo. Esercizio 2.5) Un vagone ferroviario viene abbandonato da una locomotiva su un piano inclinato. Quando il vagone raggiunge il fondo ha una velocità di 50 km/h, in seguito passa attraverso una guida ritardante che lo rallenta. Se la guida è lunga 10m, quale decelerazione deve produrre per arrestare il vagone?

6 Esercizio 2.6) Una palla è lanciata verticalmente verso l alto con una velocità iniziale di 10 m/s. Un secondo dopo una pietra è lanciata verticalmente verso l alto con una velocità iniziale di 25m/s. Determinare (a) il tempo che impiega la pietra a raggiungere la stessa altezza della palla, (b) la velocità della palla e della pietra quando sono alla stessa altezza e (c) il tempo totale in cui ciascuna delle due rimane in moto prima di ritornare all altezza originale. Esercizio 2.7) Un pallone calciato con un angolo di 50 rispetto al suolo percorre una distanza orizzontale di 20 m prima di toccare il suolo. Trovare (a) il modulo della velocità iniziale del pallone, (b) il tempo in cui è in aria, (c) la massima altezza raggiunta. Esercizio 2.8) Un fucile è puntato orizzontalmente al centro di un largo bersaglio distante 150 m. La velocità iniziale di della pallottola è 450 m/s. (a) Dove la pallottola colpisce il bersaglio? (b) Per colpire il centro del bersaglio, la canna deve essere ad un certo angolo al di sopra della linea di punta. Trovare l angolo di elevazione della canna. Esercizio 2.9) Uno studente è in grado di lanciare una palla verticalmente ad una altezza massima di 40 m. A quale distanza massima (misurata orizzontalmente) lo studente può lanciare la palla?

7 CAPITOLO 3 Esercizio 3.1) Due forze F 1 e F 2 agiscono su una massa di 5 kg. Se F 1 =20 N e F 2 =15N si trovi l accelerazione nei casi (a) e (b) di figura 5. Esercizio 3.2) Un elettrone di massa 5 3,0 10 / 5 7,0 10 / 31 9,1 10 kg ha una velocità iniziale di m s. Esso viaggia in linea retta e la sua velocità aumenta a m s in una distanza di 5,0 cm. Assumendo che la sua accelerazione sia costante, (a) determinare la forza sull elettrone e (b) confrontare questa forza con il peso dell elettrone, che avevamo trascurato. Esercizio 3.3) Un peso di 200 N è legato al centro di una fune robusta che due persone tendono alle opposte estremità nel tentativo di mantenere sollevato il peso. (a) Quale forza F deve applicare ciascuna delle due persone per sospendere il peso come mostrato in figura 6? (b) Possono tirare in maniera tale

8 da tendere il filo orizzontalmente? Spiegare. Esercizio 3.4) Due masse di 3,0 kg e 5,0 kg sono connesse da una fune leggera che passa sopra una puleggia come in figura 7. Determinare (a) la tensione nella fune, (b) l accelerazione di ciascuna massa e (c) la distanza relativa fra le due masse dopo un secondo dall inizio del loro moto se esse partono dalla quiete. Esercizio 3.5) Due masse m 1 e m 2 poste su una superficie priva di attrito sono connesse da una fune leggera. Una forza F viene esercitata da destra su una delle masse (figura 8). Determinare l accelerazione del sistema e la tensione T della fune. Esercizio 3.6) Un blocco si muove su per un piano inclinato di 45 con velocità costante sotto l azione di una forza di 15 N applicata parallelamente al piano inclinato. Se il coefficiente di attrito dinamico è 0,3, determinare (a) il peso del blocco e (b) la minima forza necessaria per permettere al blocco di muoversi giù per il piano inclinato con velocità costante.

9 Esercizio 3.7) Due blocchi di massa 2,0 kg e 7,0 kg sono connessi da una fune leggera che passa su una puleggia priva di attrito (figura 9). I piani inclinati sono lisci. Trovare (a) l accelerazione di ciascun blocco e (b) la tensione della fune. Esercizio 3.8) Il sistema descritto in figura 9 è osservato avere una accelerazione di 1,5 m/s2 quando i piani inclinati sono scabri. Supponiamo che i coefficienti di attrito dinamico fra ciascun blocco e i piani siano gli stessi. Trovare (a) il coefficiente di attrito dinamico e (b) la tensione della fune. Esercizio 3.9) In figura 10 il coefficiente di attrito dinamico fra i di blocchi di 2,0 kg e 3,0 kg è 0,3. La superficie orizzontale e le pulegge sono prive di attrito (a) Disegnare i diagrammi di corpo libero per ciascun blocco, (b) Determinare l accelerazione di ciascun corpo, (c) trovare la tensione dei fili.

10 Esercizio 3.10) Tre blocchi sono in contatto l uno con l altro su una superficie orizzontale come in figura 11. Una forza orizzontale F è applicata a m 1. Se m 1 =2,0 kg, m 2 =3,0 kg, m 3 =4,0 kg e F= 18N,trovare (a) l accelerazione dei blocchi, (b) la forza risultante su ciascun blocco e (c) la forza di contatto tra i blocchi. Il coefficiente di attrito dinamico tra i blocchi e la superficie è 0,1. Esercizio 3.11) Quale forza orizzontale deve essere applicata al carrello in figura 12 affinché i blocchi rimangano stazionari rispetto al carrello? Supponiamo che in tutte le superfici, ruote e pulegge siano senza attrito. (Suggerimento si noti che la tensione del filo accelera m 1.)

11 CAPITOLO 4 Esercizio 4a.1) L orbita della luna attorno alla terra è approssimativamente 8 circolare con un raggio medio di 3, m. Occorrono 273 giorni affinché la luna compia una rivoluzione attorno alla terra. Trovare (a) la velocità orbitale media della luna e (b) la sua accelerazione centripeta. Esercizio 4a.2) Uno studente fa roteare una palla attaccata alla estremità di una fune di lunghezza 0,5m secondo un cerchio verticale. La velocità della palla è 4 m/s nel suo punto più alto e 6 m/s nel punto più basso. Trovare l accelerazione della palla (a) nel suo punto più alto e (b) nel suo punto più basso. Esercizio 4a.3) La figura 13 rappresenta l accelerazione totale di una particella che si muove in verso orario su una circonferenza di raggio 3,0 m a un certo istante. A questo istante trovare (a) l accelerazione centripeta, (b) la velocità della particella, e (c) la sua accelerazione tangenziale. Esercizio 4a.4) Una massa di 3,0 kg attaccata a una corda di massa trascurabile ruota su una circonferenza su un tavolo orizzontale privo di attrito. Il raggio della circonferenza è 0,8 m e la corda può sopportare una massa di 25 kg prima di spezzarsi. Qual è l intervallo di velocità che la massa può avere prima di spezzarsi? Esercizio 4a.5) Una curva di una autostrada ha un raggio di 150 m ed è stata progettata per una velocità di traffico di 17,9 m/s (64,4 km/h).(a) Se la

12 curva non è sopraelevata, trovare il minimo coefficiente di attrito tra auto e strada. (b) Di quale angolo dovrebbe essere sopraelevata la curva se si trascura l attrito? Esercizio 4a.6) Il pilota di un aeroplano esegue a velocità costante la manovra del giro della morte in un piano verticale. La velocità dell aereo è 480 km/h, e il raggio della circonferenza è 360 m. (a) Qual è il peso apparente del pilota, nel punto più basso della traiettoria se il suo peso effettivo è 740 N? (b) Qual è il suo peso apparente nel punto più alto della traiettoria? (c) Descrivere come il pilota potrebbe esperimentare l assenza di peso se si variano sia il raggio che la velocità. (il peso apparente è uguale alla forza del sedile sul suo corpo.) Esercizio 4a.7) Una massa di 4,0 kg è attaccata ad una sbarra orizzontale mediante due corde come in figura 16. Le corde sono in tensione quando la sbarra ruota attorno al suo asse. Se la velocità della massa è 4,0 m/s quando è osservata nelle posizioni che seguono, trovare la tensione nelle corde nel caso in cui la massa si trova, (a) nel suo punto più basso, (b) in posizione orizzontale e (c) nel suo punto più alto. Esercizio 41.b) Un automobile viaggia in direzione nord con una rapidità di 60 km/h su una autostrada rettilinea. Un carro viaggia in direzione opposta con una rapidità di 50 km/h. (a) Quale è la velocità dell automobile rispetto al carro? (b) Quale è la velocità del carro rispetto all automobile?

13 Esercizio 4b.2) Un fiume ha una corrente di 0,5 m/s. Uno studente nuota controcorrente per 1 km e ritorna al punto di partenza (figura 14). Se lo studente può nuotare con una velocità di 1,2 m/s in acque ferme, quanto tempo richiede il percorso? Confrontare con il tempo occorrente se le acque fossero ferme. Esercizio 4b.3) Una palla è sospesa da un filo di 25 cm di lunghezza al tetto di un auto in moto. Un osservatore, situato nell auto, nota che la palla è deflessa di 6 cm dalla verticale verso la parte posteriore dell auto. Qual è l accelerazione dell auto? Esercizio 4b.4) Una massa di 5,0 kg, posta su una superficie orizzontale liscia è attaccata ad una bilancia a molla. La bilancia bloccata alla parete anteriore, segna 18 N quando il vagone in moto. (a) Se la bilancia segna zero quando il vagone è fermo, determinare l accelerazione del vagone. (b) Quale sarà il valore segnato se il vagone si muove se il vagone si muove con velocità costante. (c) Descrivere le forze che agiscono sulla massa come osservata da una persona, situata nel vagone, e da un altra che si trova al di fuori di esso. CAPITOLO 5

14 Esercizio 5.1) Un blocco di 15 kg è tirato su una superficie orizzontale scabra da una forza costante di 70 N che forma un angolo di 25 con l orizzontale. Il blocco è spostato di 5 m e il coefficiente di attrito dinamico è 0,3. Trovare il lavoro eseguito (a) dalla forza di 70 N, (b) dalla forza di attrito, (c) dalla forza normale, (d) dalla forza di gravità. (e) Qual è il lavoro totale eseguito sul blocco? Esercizio 5.2) Una forza F = 6i - 2j N agisce su una particella che compie uno spostamento s = 3i + j m. Trovare (a) il lavoro eseguito dalla forza sulla particella e (b) l angolo fra forza e spostamento. Esercizio 5.3) Una cassa di 40 kg inizialmente ferma è spinta per 5 m da una forza applicata costante di modulo 130 N diretta parallelamente al piano. Se il coefficiente di attrito fra la cassa e il pavimento è 0,3 trovare (a) il lavoro fatto dalla forza applicata, (b) il lavoro fatto dalla forza di attrito, (c) la variazione dell energia cinetica della cassa e (d) la velocità finale della cassa. Esercizio 5.4) Un blocco di 2 kg è attaccato a una molla di massa trascurabile di costante elastica 500 N/m, come è mostrato in figura 17. Il blocco è tirato 5 cm verso destra dalla posizione di equilibrio e poi lasciato libero dalla quiete. Trovare la velocità del blocco quando esso passa dal punto di equilibrio se (a) la superficie orizzontale è priva di attrito, (b) o se il coefficiente di attrito fra blocco e superficie è 0,35.

15 Esercizio 5.5) Un blocco di 3 kg è tirato su un piano inclinato di 37 da una forza costante orizzontale di modulo 40 N. Il coefficiente di attrito dinamico vale 0,1 e il blocco è spostato di 2m lungo il piano inclinato. Calcolare (a) il lavoro eseguito dalla forza di 40 N, (b) il lavoro eseguito dalla gravità, (c) il lavoro eseguito dall attrito e (d) la variazione di energia cinetica del blocco. (Si noti che la forza applicata non è parallela al piano inclinato). Esercizio 5.6) Una cassa di 200 kg è tirata da un motore lungo una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito tra cassa e superficie è 0,4. (a) Quanta potenza deve erogare il motore per far muovere la cassa d una velocità costante di 5 m/s? (b) Quanto lavoro è eseguito dal motore in 3 minuti? Esercizio 5.7) Una particella di 4 kg si muove lungo l asse delle x. La sua 3 posizione varia col tempo secondo la legge x t 2t, dove x è in metri e t in secondi.. Trovare (a) l energia cinetica in ogni istante t, (b) l accelerazione della particella e la forza che agisce su di essa al tempo t, (c) la potenza che è fornita alla particella al tempo t e (d) il lavoro eseguito sulla particella nell intervallo di tempo da t=0s a t=2,0 s. (Si noti Esercizio 5.8) Una piccola sfera di massa m è sospesa mediante una corda di lunghezza L come in figura 18. Una forza variabile orizzontale F è applicata alla massa in modo tale che essa si muova lentamente dalla posizione verticale fino a che dw P ) dt la corda forma un angolo con la verticale. Assumendo che la sfera sia sempre in equilibrio, (a) mostrare che F mg tan. (b) Mostrare, mediante l espressione

16 W noti che s F ds, che il lavoro eseguito dalla forza F è uguale a mgl 1 cos L e quindi ds Ld ).. (Si CAPITOLO 6 Esercizio 6.1) Una forza conservativa F (3x 5) N agisce su una particella di 5,0 kg, essendo x espresso in metri. Quando la particella si muove lungo l asse x da x=1,0 m a x= 4,0, calcolare (a) il lavoro fatto da questa forza, (b) la variazione dell energia potenziale della particella e (c) la sua energia cinetica nel punto x=4,0m, se la sua velocità è pari a 3,0 m/s nel punto x=1,0 m. Esercizio 6.2) Una particella di 200 g è lasciata libera dalla quiete in un punto A che si trova sul diametro interno di una cavità semisferica liscia di raggio R=30 cm (figura 19). Calcolare (a) la sua energia potenziale gravitazionale nel punto A rispetto al punto B, (b) la sua energia cinetica nel punto B, (c) la sua velocità in B e (d) la sua energia cinetica e potenziale nel punto C. x

17 Esercizio 6.3) La particella descritta nel problema 6.2 è lasciata libera dalla quiete nel punto A, la velocità della particella nel punto B è 1,5 m/s. (a) Qual è la sua energia cinetica in B? (b) Quanta energia cinetica si perde a causa dell attrito quando la particella va da A a B? (c) E possibile determinare il coefficiente di attrito dinamico da questi risultati in maniera semplice? (Spiegare) Esercizio 6.4) L energia meccanica totale iniziale di una particella che si muove lungo l asse delle x è 80 J. Una forza di attrito di 6N è la sola forza che agisce sulla particella. Quando l energia meccanica totale è 30 J, trovare (a) la distanza che la particella ha percorso, (b) la variazione di energia cinetica della particella e (c) la variazione della sua energia potenziale. Esercizio 6.5) Un bambino di 25 kg situato su un altalena di 2,0 m è lasciato libero, da fermo, quando i supporti dell altalena formano un angolo di 30 con la verticale. (a) Trascurando l attrito trovare la velocità del bambino nel punto più basso. (b) Se la velocità del bambino nel punto più basso è 2,0 m/s, quanto vale l energia perduta a causa dell attrito? Esercizio 6.6) Una massa di 3,0 kg è collegata ad una molla di massa trascurabile mediante una puleggia (figura 20). La puleggia è priva di attrito e la massa è lasciata libera da ferma quando la molla non è in tensione. Se la massa scende di 10 cm prima di fermarsi, trovare (a) la costante elastica della molla, e (b) la velocità della massa quando essa si trova a 5,0 cm dal suo punto di partenza.

18 Esercizio 6.7) Un blocco di 2,0 kg situato su un piano inclinato scabro è connesso ad una molla di massa trascurabile avente una costante elastica di 100 N/m (Figura 21). Il blocco è lasciato libero dalla quiete quando la molla non è in tensione e la puleggia è priva di attrito. Il blocco scende di 20 cm lungo il piano inclinato prima di fermarsi. Trovare il coefficiente di attrito dinamico tra il blocco e il piano inclinato. Esercizio 6.8) Un blocco di 25 kg è connesso a un altro blocco di 30 kg da una corda di massa trascurabile che passa attorno ad una puleggia priva di attrito. Il blocco di 30 kg è attaccato a una molla di massa trascurabile e di costante 200 N/m, come mostrato in figura 22. La molla non è in tensione quando il sistema si trova nelle condizioni indicate in figura e il piano è liscio. Il blocco di 25 kg è tirato in giù lungo il piano inclinato di 20 cm (sicché il blocco di 30 kg è 40 cm al sopra del pavimento) ed è lasciato libero da fermo. Trovare la velocità di ciascun blocco quando quello di 30 kg si trova a 20 cm del pavimento (cioè quando la molla non è in tensione)

19 Esercizio 6.9) Una funzione energia potenziale di un sistema è espressa da U( x) 3x 4x x 2 3 (a) determinare la forza x valori di x la forza è uguale a zero? (c) Fare un grafico di U(x) e F(x) in funzione di x e indicare i punti di equilibrio stabile e instabile Esercizio 6.10) Una massa di 1,0 kg scivola verso destra su una superficie con coefficiente di attrito 0, 25. (figura 23). Quando viene in contatto con una molla di costante elastica k=50 N/m, la sua velocità è v=3,0 m/s. La massa si ferma quando la molla è stata compressa di un tratto d. La F in funzione di x. (b) Per quali massa è quindi spinta verso sinistra dalla molla e continua a muoversi nella direzione al di là della posizione di equilibrio della molla. Infine la massa si ferma a una distanza D a sinistra della posizione di equilibrio della molla. Trovare (a) il tratto d di cui è stata compressa la molla, (b) la velocità v nella posizione di equilibrio della molla, e (c) la distanza D, dove la massa si ferma, a sinistra della posizione di equilibrio della molla.

20 CAPITOLO 7 Esercizio 7a.1) Una forza F x che agisce su una particella di 2 kg varia nel tempo come è indicato in Fig. 24. Calcolare (a) l impulso della forza, (b) la velocità finale della particella, se questa è inizialmente in quiete, e (c) la velocità finale della particella se questa si muove inizialmente lungo l asse x con una velocità di -2 m/s. Esercizio 7a.2) Una palla da baseball di massa 0.16 kg viene lanciata con una velocità di 40 m/s, ed è rimandata verso il lanciatore con una velocità di 55 m/s. Qual è l impulso impresso alla palla? (b) Calcolare la forza media esercitata dalla mazza se la palla rimane in contatto con questa per 2 x 10-3 s? Paragonare questa forza con il peso della palla e dire se l approssimazione impulsiva è valida.

21 Esercizio 7a.3) Due blocchi di masse M e 3 M si trovano su di un piano orizzontale senza attrito. Una molla di massa trascurabile è fissata ad uno di essi, ed i due blocchi vengono spinti l un contro l altro, con la molla, in mezzo (Fig. 25). La corda che li tiene uniti viene bruciata, ed il blocco di massa 3M si muove verso destra con un velocità di 2 m/s. Qual è la velocità del blocco di massa M (assumere che i due blocchi siano inizialmente fermi). Esercizio 7a.4) Una massa di 2 kg ha velocità i j, e una massa di 2 m / s 3 kg ha velocità i 6 j m / s Calcolare (a) la velocità del centro di massa e (b) la quantità di moto totale del sistema. Esercizio 7a.5) Due bambini in una barca di 90 kg navigano verso sud con una velocità costante di 1,5 m/s. Ciascun bambino ha una massa di 50 kg. Qual è la velocità della barca immediatamente dopo che (a) uno dei bambini cade in acqua dalla poppa della barca; (b) uno dei bambini si tuffa dalla poppa della barca in direzione nord con una velocità di 2 m/s rispetto a un osservatore fermo sulla spiaggia, e (c) uno dei bambini si tuffa verso est (perpendicolarmente alla barca) con una velocità di 3 m/s? Esercizio 7a.6) Un oggetto di massa M a forma di triangolo rettangolo ha le dimensioni mostrate in Fig Individuare le coordinate del centro di massa, assumendo che l oggetto abbia una densità superficiale costante.

22 Esercizio 7b.1) Un proiettile di 8 g viene sparato in un pendolo balistico di 2,5 kg e vi rimane infisso. Se il pendolo sale verticalmente di 6 cm, qual è la velocità del proiettile? Esercizio 7b.2) Una sfera di 3 kg urta anelasticamente un altra sfera in quiete. Il sistema composto si muove con una velocità uguale ad un terzo della velocità iniziale della sfera da 3 kg. Calcolare la massa della seconda sfera. Esercizio 7b.3) Una particella di 5 g si muove verso destra con una velocità di 20 m/s e urta centralmente e elasticamente un altra particella di 10 g, inizialmente in quiete. Calcolare (a) la velocità finale di ciascuna particella e (b) la frazione dell energia iniziale trasferita alla particella di 10 g. Risolvere il punto (a) anche nel sistema di riferimento del centro di massa. Esercizio 7b.4) Una pallottola di 6 g viene sparata contro un blocco di 2 kg, inizialmente in quiete sul bordo di un tavolo alto 1 m (Fig. 26). Il proiettile si conficca nel blocco e, dopo l urto, il blocco cade a 2 m dallo spigolo del tavolo. Calcolare la velocità iniziale del proiettile. Esercizio 7b.5) Un blocco di massa M ha velocità iniziale v 0 sopra una superficie piana scabra. Dopo aver percorso una distanza d, il blocco urta centralmente ed elasticamente un altro blocco di massa 2 M. Che distanza percorrerà il secondo blocco prima di fermarsi? (Assumere che il coefficiente di attrito sia lo stesso per i due blocchi).

23 CAPITOLO 8 Esercizio 8.1) Una ruota di 4 m di diametro gira con un accelerazione angolare costante di 4 rad/s 2. La ruota parte da ferma all istante t = 0 e, a questo istante, il raggio vettore dal centro ad un punto P sul bordo della ruota forma un angolo di 57.3 con la direzione orizzontale. Calcolare all istante t = 2 s (a) la velocità angolare della ruota, (b) velocità e accelerazione lineare del punto P e (c) posizione nel punto P. Esercizio 8.2) Tre particelle sono collegate da sbarrette rigide, di massa trascurabile, poste lungo l asse y (Fig. 28). Se il sistema ruota intorno all asse x con una velocità di 2 rad/s, calcolare (a) il momento d inerzia del sistema rispetto all asse di rotazione e l energia cinetica totale, 1 usando l espressione 2 I 2 e (b) la velocità lineare di ciascuna particella e l energia cinetica totale, usando ora l espressione 1 m i v i 2. 2 Esercizio 8.3) L effetto risultante di una forza esterna e dell attrito è un momento di 24 N m applicato a una ruota che gira intorno al suo asse. La forza esterna agisce per 5 s e, in questo intervallo di tempo, la velocità angolare della ruota passa da 0 a 10 rad/s. A questo istante, la forza esterna viene eliminata e la ruota si ferma in 50 s. Calcolare (a) il momento di inerzia della ruota, (b) il momento dovuto all attrito e (c) il numero di giri fatto dalla ruota.

24 Esercizio 8.4) Una massa di 12 kg è fissata a una corda che è avvolta su una puleggia di 10 cm di raggio (Fig. 29). L accelerazione della massa lungo il piano inclinato senza attrito è 2 m/s 2. Assumendo che l asse della puleggia sia pure senza attrito, calcolare (a) la tensione della corda, (b) il momento d inerzia della puleggia e (c) la velocità angolare della puleggia 2 s dopo che inizia a ruotare, partendo dalla quiete. Esercizio 8.5) Un disco pieno omogeneo di raggio R e massa M è libero di ruotare, senza attrito, intorno ad un perno passante per il bordo del disco (Fig. 30). Se il disco è inizialmente in quiete nella posizione indicata a tratto continuo, (a) qual è la velocità del suo centro di massa quando raggiunge la posizione indicata a tratteggio? Qual è la velocità del punto più in basso del disco, nella posizione indicata con la linea tratteggiata? (c) Ripetere la parte (a) del problema usando come oggetto un anello omogeneo, invece del disco.

25 Esercizio 8.6) Un cilindro pieno omogeneo, di massa M e raggio R, ruota intorno ad un asse orizzontale senza attrito (Fig. 31). Due masse uguali sono appese a corde di massa trascurabile, che sono avvolte sul cilindro. Se il sistema parte da fermo, calcolare (a) la tensione di ciascuna corda, (b) l accelerazione di ciascuna massa, e (c) la velocità angolare del cilindro, dopo che le masse sono scese di un tratto h. Esercizio 8.7) Una massa m 1 è collegata per mezzo di una corda di massa trascurabile ad una massa m 2, che può scivolare su una superficie senza attrito (Fig. 32). La puleggia ruota intorno ad un asse liscio e ha momento d inerzia l e raggio R. Assumendo che la corda non slitti sulla puleggia, calcolare (a) l accelerazione delle due masse, (b) le tensioni T 1 e T 2 e (c) i valori numerici di a, T 1, T 2 se I = 0.5 kg m 2, R = 0.3 m, m 1 = 4 kg e m 2 = 3 kg. (d) Quali sarebbero i risultati se la puleggia avesse momento d inerzia trascurabile? Esercizio 8.8) Una corda di nylon di 3 m è avvolta intorno a una bobina cilindrica omogenea di raggio 0.6 m e massa 1 kg. La bobina è montata su un asse senza attrito, ed è inizialmente ferma. La corda viene svolta dalla bobina con un accelerazione costante di 2.5 m/s 2. (a) Quanto lavoro è stato fatto sulla bobina, quando raggiunge la velocità angolare di 6 rad/s? (b) Assumendo che vi sia abbastanza corda sulla bobina, dopo quanto tempo questa raggiunge la velocità di 6 rad/s? (c) Vi è corda sufficiente sulla bobina, affinché questa raggiunga la velocità di 6 rad/s?

26 Esercizio 8.9) Una sbarretta omogenea di lunghezza L e massa M è calettata su di un asse orizzontale senza attrito, posto a uno dei suoi estremi. La sbarretta viene abbandonata, in quiete, in posizione verticale, come mostrato in Fig. 33. Quando la sbarretta si trova in posizione orizzontale, calcolare (a) la velocità angolare della sbarretta, (b) la sua accelerazione angolare, (c) le componenti x e y dell accelerazione del suo centro di massa, e (d) le componenti della reazione vincolare del perno. Esercizio 8.10) Una particella inizialmente dotata di una velocità v 0 j nel punto (-d, 0), viene accelerata dalla forza peso diretta lungo l asse y (Fig. 34). (a) Si trovi l espressione della variazione con il tempo del suo momento angolare rispetto all origine, (b) il valore del momento meccanico rispetto all origine agente in ogni istante sulla particella; (c) verificare, utilizzando i risultati di (a) e (b) che Esercizio 8.11) Una particella di massa 0.3 kg è attaccata all estremità di un asta lunga 100 cm e di massa 0.2 kg, che ruota su un piano orizzontale liscio con velocità angolare di 4 rad/s. Si calcoli il momento angolare del sistema rispetto all asse di rotazione perpendicolare al piano se l asta ruota (a) intorno al suo punto centrale, (b) intorno all estremità opposta alla massa. dl dt

27 Esercizio 8.12) Lo studente di Fig. 35 regge due pesi ognuno di 10 kg di massa. Quando ha le braccia distese orizzontalmente i pesi sono a 1 m dall asse di rotazione e lui ruota con velocità angolare di 3 rad/s; poi lo studente tira a sé i pesi orizzontalmente a 0.3 m dall asse. Si calcoli, considerando costante il momento d inerzia dello studente e dello sgabello pari a 8 kg m 2, (a) la velocità angolare finale del sistema e (b) la sua variazione di energia meccanica. Esercizio 8.13) (a) Si calcoli l accelerazione di un disco omogeneo che ruota lungo un piano inclinato e la si compari a quella di un cerchio. (b) Quale è il minimo coefficiente di attrito necessario a mantenere il disco in moto di puro rotolamento? Esercizio 8.14) Una sfera piena omogenea di raggio r è posta sulla superficie interna scabra di una ciotola emisferica di raggio R. La sfera parte da ferma in un punto definito da un angolo con la verticale (Fig. 36), si determini la sua velocità quando passa al fondo della ciotola (moto di puro rotolamento). Esercizio 8.15) Una macchina da corsa accelera uniformemente da 0 km/h a 80 km/h in 8 s. La forza esterna che accelera la macchina è la forza di attrito tra i pneumatici e la strada. Se le ruote non slittano determinare il minimo coefficiente di attrito fra i pneumatici e il suolo.

28 Esercizio 8.16) Una corda di massa trascurabile è avvolta intorno ad un disco omogeneo di raggio R e massa M, mentre l altro estremo è agganciato a un supporto fisso (Fig. 37). Il disco è lasciato partire da fermo, si mostri che mentre il disco scende (a) la tensione della corda è un terzo del peso del disco, (b) l accelerazione del 2 centro di massa è g e (c) dopo una discesa di h 3 la velocità del centro di massa è (4gh/3) 1/2. Verifica il risultato (c) usando bilanci energetici. Esercizio 8.17) A uno spianaterra, assimilabile a un cilindro omogeneo di raggio R e massa M (Fig. 38), è applicata una forza orizzontale costante F; se esso sotto l azione di questa forza si muove senza slittare su un piano orizzontale, si mostri che (a) l accelerazione del suo centro di massa è 2F/3M e (b) il minimo coefficiente d attrito per consentire il puro rotolamento è F/3Mg. (Considera i momenti rispetto al centro di massa). Esercizio 8.18) Si consideri di una sfera omogenea che rotola lungo un piano inclinato (fig. 39). (a) Scelto come polo per i momenti il punto P di contatto istantaneo tra sfera e piano, si mostri che l accelerazione del centro di massa è a c 5 gsen. (b) Si mostri che il minimo 7 coefficiente d attrito perché la sfera rotoli senza slittare è min 2 tan 7.

29 Esercizio 8.19) Un asta omogenea di massa m 1 e lunghezza l è libera di ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro. Inizialmente l asta è in quiete in posizione orizzontale. Un punto materiale di massa m 2 cade dall alto con direzione ortogonale all asta e colpisce l asta in corrispondenza di un suo estremo con velocità v i. Dopo l urto il punto materiale rimane attaccato all estremo dell asta. Determinare la velocità angolare ω f del sistema asta + punto materiale immediatamente dopo l urto (l asta è ancora in posizione orizzontale) e la velocità v f CM del suo centro di massa (determinare la posizione del centro di massa del sistema rispetto ad O). Determinare in questo istante (immediatamente dopo l urto) anche la accelerazione angolare α f del sistema e la reazione vincolare R f. Determinare inoltre la velocità angolare ω v, l accelerazione angolare α v del sistema e la reazione vincolare R v nel momento in cui il sistema, ruotando, passa per la verticale. v i ω f, α f O ω v, α v

30 CAPITOLO 9 Esercizio 9.1) Sulla trave uniforme di Fig. 49 pesante W e lungo L sono poggiati i due pesi W 1 e W 2 ; la trave è appoggiata su due punti. Si calcoli per quale valore di x la trave in equilibrio poggia solo sul punto P, cioè la reazione normale dell appoggio O è nulla. Esercizio 9.2) Una placca piatta ha la forma a T e le dimensioni di Fig. 41; trovare la posizione del baricentro (suggerimento: i pesi delle parti rettangolari sono proporzionali ai rispettivi volumi). Esercizio 9.3) In un automobile, avente una massa di 1600 kg, la distanza tra l asse anteriore e quello posteriore è 3 m. Se la reazione normale sulle ruote anteriori è maggiore del 20% di quella sulle ruote posteriori, si determini (a) la posizione del baricentro rispetto all asse anteriore e (b) la reazione normale su ogni ruota. Esercizio 9.4) Il ponte di Fig. 42, lungo 50 m e di massa pari a 8 x 10 4 kg è appoggiato ai suoi estremi. Sul ponte si trova a 15 m dalla fine un camion di massa 3 x 10 4 kg, si calcolino le forze agenti sul ponte ai punti di appoggio.

31 Esercizio 9.5) Una scimmia di 25 kg si sposta lungo una scala a pioli di 30 kg lunga L (Fig. 43). Non vi è attrito su entrambe le estremità della scala, che è fissata in basso alla parete con una corda orizzontale che può reggere al massimo 25 kg. (a) Tracciare il diagramma delle forze applicate alla scala; (b) trovare quale è la tensione della corda quando la scimmia dista dall estremità inferiore di un terzo della lunghezza della scala e (c) calcolare quale è la massima distanza dall estremità inferiore che la scimmia può raggiungere senza rompere la corda. Esprimere la risposta come frazione di l. Esercizio 9.6) Alla trave di Fig. 44, lunga 4 m e con una massa di 10 kg, è appeso un corpo di 20 kg. (a) Disegna il diagramma delle forze agenti sulla trave. (b) Determina la tensione del cavo e le componenti della reazione del perno. Esercizio 9.7) Una massa di 150 kg poggia, come in Fig , su una trave di 50 kg. La massa è anche collegata all estremo della trave tramite una fune passante attraverso una puleggia. Assumendo il sistema in equilibrio (a) disegna il diagramma delle forze agenti sul sistema massa-trave; (b) calcola la tensione della fune e le componenti della forza di reazione del perno O.

32 Esercizio 9.8) Una scala a pioli di 15 m pesante 500 N poggia contro una parete liscia in modo da formare un angolo di 60 con l orizzontale. (a) trovare le componenti orizzontale e verticale della reazione del suolo sulla scala quando su di essa poggia a 4 m dal fondo un pompiere pesante 800 N. (b) La scala inizia a slittare quando il pompiere sale a 9 m dal fondo, si calcoli il coefficiente di attrito tra scala e suolo. Esercizio 9.9) Sul blocco di Fig. 46, avente massa di 100 kg, agisce una forza F. (a) Se il blocco scivola a velocità costante quando F è pari al peso di 50 kgf ed h=1,0 m, trova il coefficiente di attrito dinamico e la posizione della reazione normale. (b) Determinare per quale valore di h il corpo inizia ad inclinarsi dalla posizione verticale e su quale spigolo. Esercizio 9.10) Una trave omogenea di peso w ed inclinata di all orizzontale poggia sul pavimento ed è sostenuto da una corda orizzontale attaccata alla parete. (a) Si calcoli quale è il massimo peso W che può essere appeso all estremità della trave senza farla slittare in funzione del coefficiente di attrito statico s tra pavimento e trave. (b) Si calcoli anche, in termini di w, W e s, la forza di reazione del pavimento e quella con cui la trave agisce sulla fune. rispetto