I nostri amici vettori

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1 Capitolo I nostri amici vettori. Perché si introducono i vettori r Si può descrivere la posizione di una particella in un piano tramite un vettore avente la coda nell origine degli assi e la testa nella particella. tale vettore r si dà il nome di vettore posizione. Mentre la particella si sposta, la testa del vettore posizione descrive una curva detta traiettoria, che costituisce l insieme delle posizioni occupate dalla particella nello spazio. Si può descrivere lo spostamento di una particella che si muove da una posizione iniziale ad una posizione finale 2 tramite un vettore che abbia la coda nella posizioni iniziale e la testa nella posizione finale. tale vettore r si dà il nome di vettore spostamento. r r 2 r 2 r Quando si seguono due spostamenti successivi l effetto complessivo è quello di uno spostamento che abbia la coda nella coda del primo vettore spostamento e la testa nella testa del secondo. La tecnica si estende se gli spostamenti sono più di due. E possibile dimostrare che sommare i vettori con il metodo suggerito dal vettore spostamento, detto metodo di punta-coda, corrisponde ad addizionare le componenti lungo le ascisse dei due vettori, ed in modo del tutto indipendente r r 2 r r 2

2 addizionare le componenti lungo le ordinate. In altri termini se, tramite il metodo di punta coda, si è ottenuto: r r r 2 llora si può dimostrare che, riportati tre segmenti orientati equiversi, paralleli e della stessa lunghezza rispettivamente di individuate le loro componenti, valgono le relazioni: r, r e r 2, ed r r 2 r 2 r r r r 2 r r r r r 2 r 2 r r L evidenza sperimentale mostra che per le grandezze fisiche che necessitano di un vettore per essere descritte, (ed in particolare per quelle cinematiche che ora ci interessano, come la velocità e l accelerazione), vale un principio scoperto da Galileo Galilei, che sancisce l indipendenza dei moti in direzioni perpendicolari. In altri termini se una particella viene accelerata in una direzione questo non influenza minimamente il moto nella direzione ad essa perpendicolare. Il più clamoroso esempio di questo è il cosiddetto problema della palla lanciata da una bocca di cannone in altura. Se si spara con un cannone dalla cima di una fortezza, e contemporaneamente lascia andare un altra palla in verticale, le due toccano terra nello stesso istante, a patto che si possa trascurare la resistenza dell aria. v v v v La componente orizzontale della velocità iniziale non ha quindi nessuna influenza sul moto in verticale, che è regolato dalla sola accelerazione dovuta alla gravità. ddizionare i vettori con il metodo di punta coda è dunque il modo di tradurre in matematica questa indipendenza delle componenti perpendicolari che si osserva in natura. Poiché per eseguire la somma è necessario portare la coda del secondo vettore spostamento a coincidere con la testa del primo, bisogna che il vettore conservi intatte le proprietà quando il segmento orientato che lo rappresenta viene spostato mantenendo direzione, verso ed intensità. Diremo quindi che un vettore è un insieme di infiniti segmenti orientati,

3 paralleli, equiversi e di stessa lunghezza, che si dicono rappresentanti del vettore. Le componenti del vettore saranno poi individuabili tramite le coordinate della testa di quel particolare suo rappresentante che ha la coda nell origine. QUESTI NON SONO TNTI VETTORI M TNTI RPPRESENTNTI DELLO STESSO VETTORE Esempio Si sommino i due vettori spostamento e B essendo 3.0 m, 20, B 5.0 m, 80, B Scriviamo le componenti: cos m sin m B B cos m B B sin m Indicando con C B, sommiamo le componenti corrispondenti: C B m 5.9 C B m Risulta quindi C 3.8; 5.9. In termini di intensità ed angolo si ha poi: 4.9 B C C C 2 2 C m C 5.9 tan C.6 C tan.6 58 C 3.7 ttraverso dei vettori posizione la cui lunghezza misura nelle unità del sistema di riferimento, che sono detti versori, è possibile introdurre anche le cosiddette componenti vettoriali del vettore. Indicheremo con: un vettore di lunghezza avente la direzione ed il verso dell asse delle ascisse, quindi sarà (; 0)

4 un vettore di lunghezza avente la direzione ed il verso dell asse delle ordinate, quindi sarà (; 0). Se quindi risulta che un vettore ha componenti scalari: ; componenti vettoriali di i vettori: cioè ( ;0) cioè (0; ), chiameremo in modo che risulti: Implicitamente risulta definita anche l operazione di moltiplicazione di uno scalare a per un vettore, intendendo che si deve moltiplicare ciascuna delle componenti del vettore per lo scalare. a a ; a d esempio se a 2 ed ; 3 avremo 2 ( 2; 6), ed il risultato dell operazione è un vettore la cui intensità vale a. 4

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