1 Successioni numeriche

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1 Aalisi Matematica 2 Successioi umeriche CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 5 SERIE NUMERICHE Chiamiamo successioe di umeri reali ua fuzioe a valori reali defiita su N oppure su u sottoisieme di N del tipo N p = { N, p}, per qualche p N. Se la successioe è defiita i N (rispettivamete i N p ), allora per ogi (rispettivamete per ogi p) idichiamo co a il valore che essa assume i ; idichiamo la successioe co (a ) N, oppure (a ) Np ; se o c è ambiguitá, si puó scrivere semplicemete (a ). chiamiamo a il termie -mo della successioe. Assegare ua successioe sigifica assegare a, per ogi p, per qualche p N.. Diciamo che ua proprietá P è verificata da (a ), se essa vale per ogi ; verificata defiitivamete da (a ) se esiste k N tale che la proprietá vale per ogi k. I particolare diciamo che (a ) = (b ), se a = b, per ogi ; (a ) = (b ) defiitivamete, se a = b, per ogi k, per qualche k N. 2. Mootoia. Diciamo che (a ) è crescete (risp. decrescete) se a a +, (risp a a + ),. (a ) è defiitivamete crescete (risp. defiitivamete decrescete) se esiste k N tale che a a +, (risp a a + ), k. 3. Limitatezza. Diciamo che (a ) è superiormete itata se esiste K reale tale che a K, ; (a ) è iferiormete itata se esiste H reale tale che a K, ;

2 Aalisi Matematica 2 2 (a ) è itata se è sia superiormete che iferiormete itata, cioè esistoo H, K reali tali che H a K,. Si osservi che ua successioe è superiormete e/o iferiormete itata se essa lo è defiitivamete. Se (a ) è superiormete itata, si defiisce S = sup a come il piú piccolo dei maggiorati; se (a ) è iferiormete itata, si defiisce s = if a come il piú grade dei miorati; Pertato (a ) è superiormete ilitata se e solo se sup a = + ; (a ) è iferiormete ilitata se e solo se if a = ; 4. Limite. Data ua successioe (a ), il problema di stabilire come si comporta la successioe quado + è studiato mediate l operazioe di ite a. Ci soo tre possibili comportameti della successioe rispetto a questa operazioe. (a) La successioe è covergete, se esiste u ite fiito L : ció sigifica che a = L; ɛ, ν >, tale che, per ogi ν si ha a L < ɛ. (b) la successioe è divergete (positivamete o egativamete) se a = +, oppure ; ció sigifica che K >, ν >, tale che, per ogi ν si ha a > K oppure rispettivametea < K. (c) la successioe è idetermiata, se o esiste alcu ite, é fiito, é ifiito. Osservazioe. Il carattere di ua successioe, cioè il fatto che essa sia covergete, divergete o idetermiata, o è ifluezato dai primi termii della successioe, qualuque sia. I particolare, se si sopprimoo o si cambiao i modo arbitrario i primi termii della successioe (qualuque sia ), la successioe matiee lo stesso carattere; ioltre, i caso di covergeza, il ite rimae lo stesso.

3 Aalisi Matematica 2 3 Per i iti delle successioi valgoo gli stessi teoremi visti per i iti di fuzioi. Il seguete teorema è molto importate. Teorema. Le successioi mootoe o defiitivamete mootoe o soo mai idetermiate. (a) Se (a ) è crescete, allora a = sup a, se la successioe è superiormete itata; a ==, se la successioe è superiormete ilitata. (b) Se (a ) è decrescete, allora a = if a, se la successioe è iferiormete itata; a ==, se la successioe è iferiormete ilitata. Osserviamo che se la successioe è defiitivamete mootoa, allora - el caso i cui la successioe sia itata - o è piú vero che il ite coicide co l estremo superiore o iferiore a secoda che essa sia crescete o decrescete. 5. Sottosuccessioi. Data ua successioe (a ), ua sua sottosuccessioe è ua successioe otteuta cacellado da (a ) ifiiti termii, attraverso la scelta di ua successioe k di umeri iteri positivi, crescete e ilitata: (a k ) (a ). Il seguete teorema evidezia l importaza delle sottosuccessioi. Teorema. Sia (a ) ua successioe. (a) (a ) coverge a u ite fiito L se e solo se ogi sua sottosuccessioe coverge a L; (b) (a ) diverge positivamete (egativamete) se e solo se ogi sua sottosuccessioe diverge positivamete (egativamete). Dal teorema si ricava il seguete criterio per stabilire che ua successioe è idetermiata. Corollario. Ua successioe (a ) è idertermiata se e solo se esistoo due sottosuccessioi che covergoo o divergoo a iti differeti. 6. Codizioe di Cauchy. Se ua successioe è covergete, allora, qualuque sia il valore del ite, i valori della successioe si addesao cioè divetao sempre piú vicii tra loro al crescere di. Viceversa, il fatto che i valori della successioe divetao sempre piú vicii tra loro, al crescere di, fa pesare che la successioe deve essere covergete, ache se o si sa a quale ite. Queste idee ituitive soo formalizzate el seguete teorema che caratterizza la covergeza di ua successioe. Teorema. Ua successioe (a ) è covergete se e solo se soddisfa la seguete codizioe - detta codizioe di Cauchy -

4 Aalisi Matematica 2 4 ɛ >, ν >, tale che se, m ν, allora a m a < ɛ o equivaletemete ɛ >, ν >, tale che se ν, allora per ogi p, a +p a < ɛ Attezioe! La codizioe di Cauchy caratterizza la proprietá di covergeza della successioe, seza dare alcua idicazioe sul valore del ite. 2 Defiizioe di serie Se cosideriamo u isieme fiito di umeri reali {a,, a } si puó cosiderare la somma dei suoi elemeti. Sia (a ) ua successioe di umeri reali; ci propoiamo di estedere l operazioe di somma all isieme ifiito degli elemeti della successioe. Per ogi si puó cosiderare la somma dei primi termii della successioe, dal primo a a quello -mo a : S = a k. S è detta somma parziale o ridotta -ma della successioe (a ). Al variare di, si costruisce cosí ua uova successioe di umeri reali (S ). Si oti che S + = S + a +,. Se cosideriamo l operazioe di ite applicata a questa successioe, questa opearazioe descrive il processo di sommazioe di tutti gli elemeti della successioe assegata (a ). Questa operazioe viee detta serie (della successioe (a )) e viee idicata = a. I altre parole = a := S = a k. Come visto per ua geerica successioe umerica, si possoo verificare tre casi:. S esiste fiito; 2. S esiste ifiito; 3. S o esiste. Se duque cosideriamo la serie = a, si possoo verificare i tre casi segueti.

5 Aalisi Matematica 2 5. Se S = S, co S R, allora diciamo che la serie è covergete; S è la somma della serie; e scriviamo a = S. = 2. Se S = + ( ), allora diciamo che la serie è positivamete o egativamete divergete; e scriviamo a = + ( ). = 3. Se S o esiste, allora diciamo che la serie è idetermiata. Esempi.. La serie = 2 coverge e = 2 = 2. I effetti i questo caso S = 2 S = 2 2 k = + 2 k = ( ) k 2 k= ( ) k, 2 da cui si deduce, sottraedo membro a membro, che ( ) ( ) + S =, 2 2 da cui e passado al ite 2. La serie = S = ( ) = = 2 2 = S = 2. è positivamete divergete, i quato S = +, ( 2 (+)). 3. La serie = ( ) è idetermiata; i effetti risulta e quidi a 2k =, a 2k+ =, k, S 2k =, S 2k+ =, k. Pertato la successioe S è idetermiata, i quato ha due sottosuccessioi che covergoo a iti differeti.

6 Aalisi Matematica 2 6 Osservazioi.. Se cosideriamo ua successioe (a ) defiita per p, per u umero itero positivo p, allora si puó defiire i modo del tutto aalogo =p a, essedo =p a : + S, dove S = k=p, per ogi p. 2. Se (a ) è ua successioe defiita per ogi, e fissiamo p >, e cosideriamo le due serie a, a, = si dimostra che le due serie hao lo stesso carattere, cioé ua coverge o diverge o è idetermiata se e solo se l altra ha questo stesso comportameto. I effetti si ha, per defiizioe, =p = a = S, =p a = T, se poiamo da cui segue che S = T = k=p a k,, a k, p. S = S p + T, p. Questa uguagliaza assicura che S esiste fiito o ifiito se e solo se esiste, fiito o ifiito T, da cui segue quato volevamo provare. Osserviamo peró che - i caso di covergeza delle due serie - la somma delle due serie è differete; ifatti se poiamo S = = a e T = =p a, allora S = S p + T. 3. Se, piú i geerale, cosideriamo due successioi (a ) e (b ), tali che per qualche p >, allora le due serie a = b, p, = a, = b hao lo stesso carattere e - i caso di covergeza - si ha se poiamo S = = a e T = = b. T S = T p S p,

7 Aalisi Matematica 2 7 Se = a è ua serie covergete e S è la sua somma, allora si ha, per ogi, S = S + k=+ a k = S + R, se si poe R = k=+ ak. Essedo S = S, segue che R =. R è detto resto -mo della serie; esso forisce ua valutazioe dell errore che si commette se si approssima S co la somma parziale -ma S. È duque importate cooscere u espressioe esplicita di R. Osservazioe. I geerale o si coosce e o si puó determiare i modo esplicito la somma di ua serie covergete. Pertato scopo pricipale della teoria sulle serie umeriche è quello di forire strumeti che permettao di stabilire se ua serie coverge o o, idipedetemete dalla ricerca della somma. 3 Esempi. Serie geometriche Sia a R fissato e sia a = a, per ogi. La serie = a è detta serie geometrica di ragioe a. Se a =, la serie si riduce a = e quidi la serie diverge positivamete. Suppoiamo allora a e studiamo la covergeza della serie. Si ha S = a k, a S = + k= a k, da cui, sottraedo membro a membro si deduce ( a) S = a +,. Passado al ite per +, si trova allora a + a, se a <, S = = + se a >, a, se a. Cocludedo, se a <, = a coverge e la sua somma è a : = a = a ; se a, = a = + ; se a, = a è idetermiata.

8 Aalisi Matematica 2 8 Se per p > fissato si cosidera la serie =p a, allora il carattere della serie è quello della serie geometrica precedete; peró si osserva che, per a <, quado la serie coverge, allora =p a = S S p = a ap a = ap a. 2. Serie telescopiche Ua serie = a è detta serie telescopica se a = α + α, a = α α +,,, oppure essedo (α ) ua successioe assegata. (a) Suppoiamo che sia a = α + α,. I tal caso si ha, per ogi, S = a k = (α k+ α k ) = = α + α. α k+ α k = + k= α k α k Perció la serie = (α + α ) coverge se e solo se coverge la successioe (α ) e ioltre, se α = α, allora (α + α ) = α α. = (b) Suppoiamo ivece che sia a = α α +,. I tal caso, si prova i modo aalogo che, per ogi, S = α α +. Perció è acora vero che la serie = (α α + ) coverge se e solo se coverge la successioe (α ) e ioltre, se α = α, allora (α α + ) = α α. = Piú i geerale, per u qualsiasi p, si ha, se α = α, (a) =p (α + α ) = α α p, (b) =p (α α + ) = α p α,

9 Aalisi Matematica 2 9 Ua serie telescopica è ua serie apparete, i quato ogi successioe covergete puó essere cosiderata come ua serie telescopica. Esempio: Serie di Megoli. Si cosideri la serie = ( + ). È immediato osservare che, per ogi, si ha ( + ) = +. Perció la serie è ua serie telescopica, del tipo = (α α + ), se α =,. Di cosegueza è immediato cocludere che la serie è covergete e che = ( + ) = α α =, essedo α = =. 4 Liearitá delle serie Siao = a e = b due serie umeriche assegate e sia λ u umero reale. I segueti teoremi soo ua cosegueza immediata della defiizioe di serie e delle proprietá dei iti di successioi.. Teorema. Se = a = S e = b = T, allora (a) = (λ a ) = λ S; (b) = (a + b ) = S + T. 2. Teorema 2. Se = a = + e = b = T (+ ), allora (a) = (λ a ) = λ (+ ) = + / ; a secoda del sego di λ; (b) = (a + b ) = +. Attezioe! Se = a = + e = b =, o si puó dire ulla sul comportameto della serie = (a + b ). (Caso di idecisioe). 3. Corollario. Se = a coverge, ma = b o coverge, allora è immediato che la serie = (a + b ) o coverge. Attezioe! Se le due serie = a e = b o covergoo etrambe, allora la serie = (a + b ) puó covergere oppure o.

10 Aalisi Matematica 2 5 Codizioe di Cauchy Parlado di successioi, abbiamo defiito la codizioe di Cauchy per ua successioe e abbiamo osservato che ua successioe coverge se e solo se essa verifica la codizioe di Cauchy. Abbiamo ioltre osservato che la codizioe di Cauchy permette di stabilire la covergeza, ache seza ua diretta coosceza del valore del ite. Se si cosidera ua serie umerica = a, tutte queste cosiderazioi possoo essere applicate alla successioe (S ) delle somme parziali della serie; si puó duque defiire la ozioe di codizioe di Cauchy per ua serie umerica e l equivaleza tra tale codizioe e la covergeza. Sia = a ua serie umerica. Diciamo che la serie verifica la codizioe di Cauchy se la successioe (S ) verifica tale codizioe, cioè se ɛ >, ν >, tale che, per, m ν, si ha S S m < ɛ. Se ad esempio si assume (seza perdere di geeralitá) che sia m >, allora si ha S S m = S m S = m k=+ a k, e quidi la codizioe di Cauchy si puó esprimere el seguete modo equivalete: ɛ >, ν >, tale che, per m > ν, si ha m k=+ a k < ɛ. Se poi scriviamo m = + p, co p >, allora la codizioe di Cauchy si puó esprimere el seguete modo equivalete: ɛ >, ν >, tale che, per ν e ogi p >, si ha +p k=+ a k < ɛ. È immediato dimostrare che La serie = a coverge se e solo se essa verifica la codizioe di Cauchy. Va osservato che, oostate la codizioe di Cauchy sia sufficiete a garatire la covergeza della serie, essa o è operativa; la sua importaza è solo teorica.

11 Aalisi Matematica 2 6 Codizioe ecessaria per la covergeza La codizioe di Cauchy permette di idividuare ua semplice codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie umerica. Sia = a ua serie umerica, che suppoiamo covergete. Per quato detto ella sezioe precedete, la serie verifica la codizioe di Cauchy: ɛ >, ν >, tale che, per ν e ogi p >, si ha +p k=+ a k < ɛ. Se scegliamo i particolare p =, allora +p k=+ a k = a + e vale la codizioe: ɛ >, ν >, tale che, per ν, si ha a + < ɛ, o equivaletemete ɛ >, ν >, tale che, per ν, si ha che sigifica avere a =. Si ha duque a < ɛ, Teorema. (Codizioe ecessaria per la covergeza di ua serie) Se la serie umerica = a coverge, allora a =. Corollario. Sia = a ua serie umerica; se allora la serie o coverge. a, Pertato, se si vuole studiare la covergeza di ua serie umerica data, la prima cosa da fare è calcolare a. Se a, allora possiamo affermare che la serie o coverge; Domada: se a =, si puó affermare che la serie coverge? La risposta a questa domada è NO! Ifatti se a =, allora o possiamo dire ulla circa il carattere della serie: la serie puó covergere o o! Cioè la semplice codizioe a = o è sufficiete a garatire la covergeza di ua serie, come mostra l esempio seguete. Esempio. Si cosideri la serie È immediato osservare che = ( l + ). ( l + ) =.

12 Aalisi Matematica 2 2 Peró si dimostra che Ifatti si puó scrivere = La serie data è duque telescopica, del tipo ( l + ) = +. ( l + ) ( ) + = l = l( + ) l. (α + α ), = co α = l. Pertato S = l(+) l = l(+) +, da cui segue che la serie diverge positivamete. 7 Serie a termii positivi Ua serie a termii positivi è ua serie umerica = a tale che a,. Le serie a termii positivi soo particolarmete semplici da studiare, perché esse o soo mai idetermiate e si cooscoo criteri abbastaza semplici per stabilire se la serie coverge o diverge. Si ha il seguete teorema. Teorema. Sia = a ua serie a termii positivi. Allora la serie coverge oppure è positivamete divergete. Precisamete:. se la successioe delle somme parziali (S ) è superiormete itata e S = sup S allora la serie coverge e la sua somma è S a = S; = 2. se la successioe delle somme parziali (S ) è superiormete ilitata, allora la serie diverge positivamete: a = +. = Dimostrazioe. L ipotesi che la serie è a termii positivi assicura che la successioe delle somme parziali è crescete: S + = S + a + S, ; Perció il teorema è ua cosegueza di quato detto sul ite di successioi cresceti. Poichè ua serie a termii positivi puó essere solo covergete o positivamete divergete, si puó scrivere seza ambiguitá: = a < +, per idicare che la serie coverge; = a = +, per idicare che la serie diverge; Determieremo criteri (codizioi sufficieti) per stabilire se ua serie a termii positivi coverge o diverge.

13 Aalisi Matematica Covergeza assoluta Se = a o è a termii positivi, si puó cosiderare la serie = Questa serie è ovviamete a termii positivi e quidi - per quato detto alla sezioe precedete o coverge o diverge. Diremo che a.. la serie = a è assolutamete covergete se coverge la serie = a. 2. la serie = a è assolutamete divergete se diverge la serie = a. L importaza della covergeza assoluta è dovuta al seguete teorema. Teorema. Se ua serie = a è assolutamete covergete allora essa è ache covergete. Dimostrazioe. Se la serie = a coverge, allora essa soddisfa la codizioe di Cauchy; perció ɛ >, ν >, tale che, per ν e ogi p >, si ha D altra parte si osserva che +p k=+ +p k=+ a k = a k +p k=+ +p k=+ Perció sará vero che ɛ >, ν >, tale che, per ν e ogi p >, si ha +p k=+ a k < ɛ. a k < ɛ. Ció sigifica che la serie = a verifica la codizioe di Cauchy e quidi coverge. a k. Domada. La covergeza implica la covergeza assoluta? La risposta è NO. Esistoo ifatti serie covergeti che o soo assolutamete covergeti. Esempio. Vedremo el seguito che ua serie covergete, ma o assolutamete covergete è la serie ( ). Perció se la serie = a coverge, allora ache la serie = a coverge; = ma se la serie = a diverge, allora o si puó dire, seza uo studio ulteriore, se la serie = a coverge o o.

14 Aalisi Matematica Criteri di covergeza per serie a termii positivi I questa sezioe cosideriamo esclusivamete serie a termii positivi e illustriamo per tali serie i pricipali criteri che permettoo di stabilire la covergeza o la divergeza della serie. 9. Criterio del cofroto Il carattere di ua serie a termii positivi puó essere determiato attraverso il cofroto dei suoi termii co quelli di ua serie a termii postivi di cui coosciamo il carattere, secodo quato afferma il seguete teorema. Teorema del cofroto. Siao = a e = b serie a termii positivi. suppoiamo ioltre che sia a b,. Allora. = b < + = = a < + ; ioltre se = a = S e = b = T, allora S T ; 2. = a = + = = b = +. Dimostrazioe. Per ipotesi si ha S T, per ogi ; allora. se T T, si ha S T T, ció assicura che la successioe (S ) è superiormete itata e quidi covergete e che S = S T. 2. Se ivece S +, allora ache T +. ; Applichiamo il criterio del cofroto i alcui casi particolari, per determiare la covergeza o divergeza di alcue serie fodametali.. Esempi.. = = +. È oto che l( + x) x, per ogi x >. Da ció segue che, per ogi, l( + ). Abbiamo provato che la serie = l( + ) diverge. Allora dal criterio del cofroto si deduce immediatamete che ache la serie data diverge. 2. = 2 < +. Osserviamo che, per ogi, si ha ( + ) < ( + ) 2 ; perció, per ogi, Abbiamo provato che la serie = ( + ) 2 < ( + ). (+) coverge.

15 Aalisi Matematica 2 5 Allora dal criterio del cofroto si deduce che coverge ache la serie = ( + ) 2 = m=2 m 2, cioè la serie data. 3. = = +, per ogi α <. α Osserviamo che, se α <, allora α <, per ogi ; perció sará ache <,, se α <. α Allora, per quato visto ell esempio, dal criterio del cofroto segue che la serie data diverge. 4. = < +, per ogi α > 2. α Osserviamo che, se α > 2, allora α > 2, per ogi ; perció sará ache α <,, se α > 2. 2 Allora, per quato visto ell esempio 2, dal criterio del cofroto segue che la serie data coverge. Attezioe! Il criterio o permette di dire ulla sulla covergeza o divergeza della serie = < +, per ogi < α < 2. α 9.2 Criterio itegrale Sappiamo che ua successioe (a ) si puó iterpretare come ua fuzioe defiita su N. Se rappresetiamo el piao xy tale fuzioe, attraverso il suo grafico, come ua qualsiasi fuzioe reale, la somma parziale -ma S = puó essere iterpretata come l area di u plurirettagolo compreso tra x = e x =, costituito da rettagoli, di base [k, k + ] e altezza a k, per ogi k =,...,. Piú i geerale, la somma parziale -ma a k +p a k T +p = puó essere iterpretata come l area di u plurirettagolo compreso tra x = p e x = + p, costituito da rettagoli, di base [k, k + ] e altezza a k, per ogi k = p,..., + p. Pertato la serie = a è il ite dell area del plurirettagolo compreso tra x = e x =, quado +, e puó essere pertato iterpretata come l area del plurirettagolo idividuato dalla successioe compreso tra x = e x = +. k=p

16 Aalisi Matematica 2 6 Se f(x) è ua fuzioe cotiua (o almeo localmete itegrabile) e positiva i [, + ), sappiamo che l itegrale f(t) dt rappreseta l area sottesa dal grafico della fuzioe tra x = e x = ; ioltre l itegrale geeralizzato + f(t) dt := f(t) dt rappreseta l area sottesa dal grafico della fuzioe tra e +. Se la successioe (a ) è otteuta discretizzado la fuzioe f(x), cioè a = f(),, allora, a codizioe che la fuzioe sia decrescete e ifiitesima, c è ua relazioe be precisa tra la somma S = a k e l itegrale f(t) dt e di cosegueza tra la serie = a e l itegrale geeralizzato + f(t) dt, o piú i geerale tra la serie =p a e l itegrale geeralizzato + p f(t) dt, È quato afferma il teorema seguete, che mette i relazioe la covergeza della serie co la covergeza dell itegrale geeralizzato. Teorema. Sia f(x) ua fuzioe cotiua (o localmete itegrabile) positiva e decrescete i [, + ). Sia a = f(),. Allora = a < + + f(t) dt < +. Ioltre = a + f(t) dt = a. Dimostrazioe. Per ogi, cosideriamo l itervallo [, + ]. Poiché f(x) è decrescete, sará f() f(x) f( + ), x [, + ]. Di cosegueza, + f() dt + f(t) dt + Se allora poiamo b = + f(t) dt, e osserviamo che f( + ) dt = f( + ) = a +, si ha + f( + ) dt. + f() dt = f() = a e a b a +,. Applicado allora il criterio del cofroto per le serie, si deduce che

17 Aalisi Matematica 2 7 se = a coverge allora ache = b coverge; se = b coverge allora ache = a + = = a coverge. È cosí provato che = a coverge se e solo se coverge = b. D altra parte osserviamo che, per ogi, b k = k+ k f(t) dt = + f(t) dt; perció Ció prova la tesi. = b = + f(t) dt = + f(t) dt. Corollario. Si cosideri la serie Allora = = α coverge se α > ; = α diverge se < α ;, per ogi α >. α Dimostrazioe. Per dimostrare il corollario basta ricordare che - attraverso u calcolo esplicito dell itegrale - si prova che + + t α dt coverge se α > ; t α dt diverge se < α, e applicare il teorema precedete (co al posto di ). Applicazioe. Usado il teorema precedete si prova che =2 =2 l diverge; l 2 coverge. Basta ifatti provare, attraverso u calcolo diretto degli itegrali, che t l t t l 2 t e usare il teorema. dt diverge, metre dt diverge, Osservazioe. Il criterio itegrale forisce u metodo per valutare l errore di trocameto di ua serie a termii positivi covergete = a, el caso i cui si possa scrivere a = f(), per ua fuzioe f(x), cotiua, positiva decrescete i [, + ). Suppoiamo ifatti di avere S = e di voler dare ua valutazioe approssimata di S, mediate la somma parziale -ma S. = a,

18 Aalisi Matematica 2 8 Sappiamo che S S = R = k=+ Se allora esiste ua fuzioe f(x), cotiua, positiva decrescete i [, + ), tale che sia a = f(), per ogi, si puó maggiorare il resto -mo el modo seguete: R + + f(t) dt. Se si sa calcolare esplicitamete l itegrale, sará duque possibile determiare i modo tale che sia + + f(t) dt < E, per u errore assegato E, e quidi sia R < E. a k. Esempio. Sia S = Se =, si ha = 4. R = S S = = + 4 t 4 dt = Criterio del cofroto asitotico Come cosegueza del teorema del cofroto, si ottiee u criterio per stabilire il carattere di ua serie umerica a termii positivi, molto utile e di facile applicazioe, aalogo a quello visto per gli itegrali geeralizzati su u itervallo [a, + ). Criterio del cofroto asitotico. Siao a, = serie a termii positivi (suppoiamo che sia b >, almeo defiitivamete). a Suppoiamo ioltre che esista b. Allora. se a b = L, allora = a < +, = = b b < + ; 2. se a b =, allora o equivaletemete 3. se a b = +, allora o equivaletemete b < +, = = a = +, = a < +, = = b = +, = a < + = b = + ; = b < + = a = +. =

19 Aalisi Matematica 2 9 Dimostrazioe. Diamo la dimostrazioe di () ((2) e (3) si provao i modo aalogo). Essedo = L, allora a b ɛ >, ν tale che per ν si ha cioè a L b L ɛ < a b < L + ɛ. Scegliamo ɛ i modo tale che sia L ɛ > e poiamo L ɛ = H, L + ɛ = K. Allora, per ν si ha H b < a < K b, e quidi, usado il criterio del cofroto si coclude che la covergeza della serie = a implica la covergeza della serie = b e viceversa. Esempi.. ( ( = cos )) < +. Ricordiamo il ite fodametale cos x x x 2 = 2. Se poiamo x =, segue che cos ( ) = 2. 2 Poiché è oto che la serie = coverge, per il criterio del cofroto asitotico si 2 coclude che ache la serie data coverge. 2. = si ( ) = +. Ricordiamo il ite fodametale si x x x =. Se poiamo x =, segue che Poiché è oto che la serie che ache la serie data diverge. = si ( ) =. diverge, per il criterio del cofroto asitotico si coclude Attezioe! Se accade che a = L, allora la serie = a ha lo stesso carattere della serie = Peró, se accade che a =, e quidi diverge. allora o si puó dire ulla circa la covergeza o la divergeza della serie = a.

20 Aalisi Matematica 2 2 Esempio. Cosideriamo le due serie =2 l, =2 l 2. etrambe le serie soo tali che peró, usado il criterio itegrale, si prova che =2 =2 l diverge; l 2 coverge. a =, 9.4 Criterio dell ordie di ifiitesimo Se è data ua serie = a, a termii positivi, di cui vogliamo stabilire il carattere, si puó usare il criterio del cofroto asitotico, scegliedo come serie di cofroto = b ua serie semplice di cui coosciamo il carattere. Il problema riguarda i effetti solo le serie per cui il termie geerici a è ifiitesimo; ifatti sappiamo che se ció o accade la serie o puó covergere. Se duque il termie geerico è ifiitesimo, la serie di cofroto che si sceglie usualmete è la serie armoica di ordie α α, α >, = di cui coosciamo il carettere per ogi α. Si deduce cosí il seguete corollario, che forisce u criterio dell ordie di ifiitesimo per la covergeza di ua serie a termii positivi. Teorema. Sia = a ua serie a termii positivi e sia a.. Se a è u ifiitesimo di ordie α >, allora la serie coverge; 2. se a è u ifiitesimo di ordie α, allora la serie diverge. Attezioe! Se peró si sa soltato che a ha ordie maggiore di, el seso che a =, ma iferiore a ogi α >, allora o si puó dedurre ulla circa la covergeza o la divergeza della serie data, come mostrao gli esempi l, l 2. =2 Ifatti per etrambe le serie l ordie di ifiitesimo del termie a è maggiore di, ma iferiore ad ogi α >, e sappiamo che la prima serie diverge, metre la secoda coverge. =2

21 Aalisi Matematica Criterio della radice e criterio del rapporto I segueti criteri di covergeza soo ua cosegueza diretta del criterio del cofroto; essi soo di facile applicazioe, ma i molti casi o soo coclusivi.. Teorema A (Criterio della radice). Sia = a ua serie a termii positivi. Sia Allora (a) se L <, la serie coverge; (b) se L >, la serie diverge; a = L. (c) se L =, la serie puó covergere o divergere. Dimostrazioe. Se a = L, sappiamo che ɛ >, ν tale che se ν, allora L ɛ < a < L + ɛ. (a) Se L <, si puó scegliere ɛ i modo che sia L + ɛ <. Se allora poiamo λ = L + ɛ, si ha, per ν, a < λ <, e quidi a < λ, co λ <. Poiché la serie = λ coverge, dal criterio del cofroto si deduce che ache la serie data coverge. (b) Se ivece L >, si puó scegliere ɛ i modo che sia L ɛ >. Se allora poiamo λ = L ɛ, si ha, per ν, a > λ >, e quidi a > λ, co λ >. Poiché la serie = λ diverge, dal criterio del cofroto si deduce che ache la serie data diverge. (c) Ifie se L =, il metodo o è coclusivo, perchè esistoo serie covergeti e divergeti per cui accade che sia L =, come mostrao gli esempi segueti. Esempi. Cosideriamo le due serie =, = 2. sappiamo che la prima serie diverge, metre la secoda coverge; peró etrambe le serie soo tali che a =. 2. Teorema B (Criterio del rapporto). Sia = a ua serie a termii positivi. Suppoiamo che sia a >, per ogi. Sia Allora a + a = L.

22 Aalisi Matematica 2 22 (a) se L <, la serie coverge; (b) se L >, la serie diverge; (c) se L =, la serie puó covergere o divergere. Omettiamo la dimostrazioe, che è aaloga a quella del teorema A. Osserviamo che le due serie =, = 2, mostrao come ache questo secodo criterio o è coclusivo se L =. Ifatti per etrambe le serie si ha a + a =. Il teorema seguete mostra la relazioe tra i due criteri. Teorema. Sia = a ua serie a termii strettamete positivi. Si ha ma o viceversa. a + a = L = a = L Perció il criterio della radice è piú geerale di quello del rapporto: se si puó applicare il criterio del rappporto, allora si puó applicare ache il criterio della radice, ma o viceversa. Cosideriamo l esempio seguete di applicazioe dei due criteri. Esempio. Si cosideri la serie = Usado il criterio del cofroto asitotico o il criterio dell ordie di ifiitesimo si prova che la serie coverge. Il criterio del rapporto e quello della radice soo etrambi risolutivi i quato risulta 2. 2 = = /2.

23 Aalisi Matematica 2 23 Serie a segi alteri Tra le serie che o soo a termii positivi, soo particolarmete iteressati quelle a segi alteri. Ua serie a segi alteri è del tipo ( ) b = oppure ( ) + b, = co b >, per ogi. Per serie di questo tipo c è u criterio di covergeza che forisce ache iformazioi sull errore che si commette sostituedo la somma co la somma parziale -ma, quado la serie coverge. Teorema (Criterio di Leibiz). Sia ( ) b, co b >,. = Se b = ; b + b,, allora la serie coverge. Ioltre, se poiamo S = = ( ) b, allora. S S < b +, per ogi, 2. S 2k+ S S 2k, per ogi k. Dimostrazioe. L ipotesi di decresceza per la successioe b assicura che S 2k+ S 2k, per ogi k, la successioe (S 2k+ ) è crescete; la successioe (S 2k ) è decrescete. Poiché ioltre la successioe b è ifiitesima, si ha S S + = b +, per ogi. Pertato si puó cocludere che S 2k+ = sup S 2k+ = if S 2k = S 2k. Ció assicura che la serie data coverge; ioltre, se S idica la somma della serie, allora S = S 2k+ = sup S 2k+ = if S 2k = S 2k e quidi S verifica () e (2). Come applicazioe del criterio di Leibiz, se la serie a segi alteri soddisfa le ipotesi del teorema, allora si puó datermiare la somma della serie a meo di u errore arbitrariamete prefissato. Ifatti, se E è l errore accettabile, si puó determiare il piú piccolo per cui sia b < E. Allora sará S S, co u errore iferiore a E.