Esame di Statistica A-Di Prof. M. Romanazzi

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1 1 Università di Venezia Esame di Statistica A-Di Prof. M. Romanazzi 25 Maggio 2015 Cognome e Nome N. Matricola Valutazione Il punteggio massimo teorico di questa prova è 30/30 e lode (4/30 per ciascuno degli 8 esercizi). La prova è sufficiente se il punteggio è maggiore o uguale a 18/30. L esame è individuale. Non è consentito consultare libri o appunti di qualsiasi genere. È ammesso l uso della calcolatrice tascabile e del personal computer. Prova orale. La prova orale è obbligatoria se il voto è 18 o superiore a 28. Negli altri casi è a richiesta dello studente.

2 2 1. Una classe ha 250 studenti, dei quali 190 parlano inglese, 70 parlano francese e 30 parlano sia inglese che francese. Domanda 1 Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso non parli inglese? Domanda 2 Uno studente scelto a caso parla francese; qual è la probabilità che parli anche inglese? 2. La Tabella 1 mostra la distribuzione di probabilità, per classi di valori, dell assegno mensile X percepito dai pensionati italiani (ISTAT, dati in migliaia di euro riferiti al 2010). È indicata con 0 < p < 1 la probabilità di X 3. Importo mensile, X < 0.5 [0.5, 1) [1, 1.5) [1.5, 2) [2, 2.5) [2.5, 3) 3 Probabilità, P X p Tabella 1: Distribuzione di probabilità dell assegno mensile percepito dai pensionati italiani (ISTAT, dati in migliaia di euro riferiti al 2010). Domanda 1 Calcola la probabilità p 1 che risulti 0.5 X < 2 e la probabilità p 2 che risulti X 1. p 1 = p 2 = Domanda 2 Descrivi la proprietà caratteristica del nono decile x 0.9 di una distribuzione. Scegli, tra le classi indicate, quella cui appartiene il nono decile della distribuzione della Tabella 1. Proprietà di x 0.9 : < 0.5 [1.5, 2) [2, 2.5) Altro (specificare) 3. Il signor Rossi sta valutando le caratteristiche di due fondi d investimento. Il primo è un fondo bilanciato il cui rendimento annuo, indicato con X, è una variabile aleatoria normalmente distribuita con media µ = 3% e deviazione standard σ = 1.5%. Il secondo è un fondo obbligazionario il cui rendimento annuo è costante (non è una variabile aleatoria) e uguale a 2%. Domanda 1 Calcola la probabilità p che X sia negativo. Qual è il rendimento x 0 che viene superato da X con probabilità 0.25? p = x 0 = Domanda 2 Il signor Rossi investe euro nel fondo bilanciato e euro nel fondo obbligazionario. Indica con Y l interesse complessivo che maturerà tra un anno. Qual è il valore prevedibile per Y e qual è il margine di rischio? Valore prevedibile: Rischio:

3 3 4. Il Veneto comprende N = 581 comuni divisi in sette province, Belluno (BL), Padova (PD), Rovigo (RO), Treviso (TV), Venezia (VE), Verona (VR) e Vicenza (VI). Il numero dei comuni per provincia è riportato nella Tabella 2. Provincia BL PD RO TV VE VR VI Numero di comuni Tabella 2: Distribuzione dei comuni delle province del Veneto. Domanda 1 Supponi di estrarre a caso e con reinserimento un campione di n = 20 comuni del Veneto e sia T n,a il numero di comuni della provincia di Vicenza presenti nel campione. Calcola la probabilità dell evento E : T n,a = 3 T n,a = 4. P (E) = Domanda 2 Supponi di estrarre a caso e con reinserimento un campione di n = 100 comuni e di considerare le frequenze relative campionarie dei comuni delle province di Belluno, Treviso e Venezia. I tre istogrammi di probabilità sono riportati nella Figura 1. Associa alle lettere A, B, C le rispettive province. Perchè le tre curve hanno un andamento di tipo normale? A: B: C: Andamento normale dovuto a: 5. In una lotteria ad ogni puntata si estrae una pallina dall urna contenente 10 palline rosse, 10 bianche e 10 verdi. Se esce il rosso si perde 1 euro, se esce il bianco non si perde e non si vince nulla, se esce il verde si vince 1 euro. Il signor Bianchi vuole valutare il pagamento aleatorio totale, indicato con T n, di n > 1 puntate. Domanda 1 Poni n = 2. Qual è la probabilità p 2 che il pagamento totale sia pari a 2 euro? p 2 = Domanda 2 Poni n = 80. Qual è il massimo valore di T n? Valuta P (T n 5). max T n = P (T n 5) = 6. Indichiamo con X 12 e X 13, rispettivamente, il grado di autonomia impositiva 1 dei comuni italiani nel 2012 e nel Vogliamo studiare la differenza X = X 13 X 12. Il ramo-foglia della Tabella 3 mostra i dati di X rilevati in un campione casuale di n = 53 comuni. 1 Il grado di autonomia impositiva di un comune misura l incidenza delle entrate tributarie sulle entrate correnti.

4 4 Campione di 100 Comuni del Veneto Probabilità A B C Frequenza Relativa Campionaria Figura 1: Istogrammi di probabilità. Domanda 1 Quanti comuni del campione hanno visto aumentare il grado di autonomia impositiva nel 2013 rispetto al 2012? Calcola inoltre i quartili campionari x 0.25, x 0.5, x Numero di comuni: x 0.25 = x 0.5 = x 0.75 = Domanda 2 I dati del comune di I**, non appartenente al campione, sono x 12 = 61.3, x 13 = Descrivi la sua posizione rispetto ai dati osservati usando la nomenclatura: coda sinistra o destra, intervallo centrale, dato anomalo, ecc. Posizione: 7. Riprendi i dati dell Es. 6. Si vuol valutare se, in media, l autonomia impositiva è diminuita. A tale scopo indichiamo con µ la media di X nella popolazione degli oltre 8000 comuni italiani e consideriamo il sistema d ipotesi H 0 : µ 0, H 1 : µ < 0 (livello di significatività α = 0.05).

5 n = si legge 13% n i=1 x i = n i=1 x2 i = Tabella 3: Ramo-foglia dei dati campionari di X. Domanda 1 Descrivi la regione di rigetto di H 0 e riporta il valore osservato della statistica test. Regione di rigetto di H 0 : Valore osservato statistica test: Domanda 2 H 0 è rigettata? Fornisci un interpretazione del risultato scegliendo una delle alternative o proponendone una diversa. No, H 0 non è rigettata Sì, H 0 è rigettata L autonomia impositiva nella popolazione dei comuni è diminuita significativamente nel 2013 rispetto al 2012 L autonomia impositiva media nella popolazione dei comuni è diminuita significativamente nel 2013 rispetto al 2012 L autonomia impositiva nella popolazione dei comuni non è diminuita significativamente nel 2013 rispetto al 2012 L autonomia impositiva media nella popolazione dei comuni non è diminuita significativamente nel 2013 rispetto al 2012 Altro (specificare) 8. I risultati del censimento del 2011 permettono di studiare la composizione del patrimonio edilizio italiano. Qui consideriamo le variabili X : % degli edifici residenziali costruiti tra il 1970 e il 1990, Y : % degli edifici residenziali costruiti dopo il I valori congiunti delle due variabili sono stati rilevati in un campione casuale di n = 31 comuni del Veneto (fonte: ISTAT, censimento 2011). La Figura 2 mostra il diagramma di dispersione e la Tabella 4 riporta le statistiche riassuntive. n i=1 x i i=1 y i i=1 x2 i i=1 y2 i i=1 x iy i x y s X s Y s X,Y r X,Y Tabella 4: Statistiche riassuntive.

6 6 Campione di comuni del Veneto Edifici Residenziali dopo 1990 (%) Edifici Residenziali (%) Censimento 2011 Figura 2: Diagramma di dispersione. Domanda 1 Calcola medie, deviazioni standard, covarianza e coefficiente di correlazione lineare e riporta i risultati nella Tabella 4. Determina inoltre l intervallo di confidenza per la media di X, µ X, nella popolazione di tutti i comuni veneti (livello di confidenza 1 α = 0.95). IC per µ X : Domanda 2 Calcola le stime campionarie dei coefficienti a, b del modello lineare ŷ = a + bx e l indice di bontà del modello. Nel comune di Cortina d Ampezzo gli edifici residenziali costruiti tra il 1970 e il 1990 sono il 15.4% del totale. Qual è la stima ŷ CA della % degli edifici residenziali costruiti dopo il 1990, sulla base del modello lineare? Qual è l errore imputabile alla stima? a = b = Indice di bontà: ŷ CA = Errore: