Esercitazioni di Statistica

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1 Esercitzioi di Sttistic 16 Dicembre 009 Riepilogo Prof. Giluc Cubdd Dott.ss Emmuel Berrdii Esercizio 1 I dti segueti costituiscoo le ore di studio d u cmpioe di studeti che ho superto l esme reltivo u isegmeto d CFU. (57, 58, 31, 55, 38, 10, 63, 63, 53, 59, 50, 11, 67, 4, 73, 33, 97, 8) ) Clcolre l medi e il MAD. b) Lo scrto qudrtico medio di questi dti è A cos è dovut l differez fr il vlore dello scrto qudrtico medio e quello del MAD? Soluzioe ) Per clcolre l medi è ecessrio ordire le osservzioi i mier crescete. Serie ordit x (1) = 4 x () = 11 x (3) = 8 x (4) = 31 x (5) = 33 x (6) = 38 x (7) = 50 x (8) = 53 x (9) = 55 x (10) = 57 x (11) = 58 x (1) = 63 x (13) = 63 x (14) = 67 x (15) = 73 x (16) = 97 x (17) = 10 x (18) = 59 1

2 per poi clcolre l profodità dell medi e il suo vlore prof(med) = + 1 = 19 = 9.5 med = x (9) + x (10) = = 56 Per clcolre il MAD si devoo clcolre le devizioi dll medi (56) x i Med(x i ) x i Med(x i ) orditi e poi l medi di quest uov distribuzioe med = x (9) + x (10) = = 17.5 MAD = Med( x i Med(x i ) ) = = 5.95 b) L differez tr lo scrto qudrtico medio e il MAD è dovut ll presez di vlori omli ell distribuzioe (59). Metre il MAD o risult ifluezto dll presez di vlori omli, l vriz, essedo l medi dei qudrti degli scrti dll medi, è sesibile rispetto i vlori omli, e così che lo scrto qudrtico medio. Esercizio (10.9 Moti) L distribuzioe dei voti coseguiti dgli studeti u esme di sttistic h u distribuzioe pprossimtivmete ormle, co medi 4 e scrto qudrtico medio 3.3. Ivece l distribuzioe dei voti coseguiti u esme di ecoomi h u distribuzioe pprossimtivmete ormle co medi 5 e scrto qudrtico medio 1.5. Se i doceti utilizzo u grdutori, i bse ll qule soo clssificti co A il 10% dei più brvi, è preferibile otteere 8 ll esme di sttistic, o 7 ll esme di mtemtic? Soluzioe Chimimo X l vribile voto otteuto ll esme di sttistic e Y l vribile voto otteuto ll esme di mtemtic. Uo studete srà clssificto co A se il suo voto srà tr il 10% dei voti più lti coseguiti ll esme. Quidi per spere se si ricdrà el gruppo A prededo 8 sttistic, o 7 mtemtic, è sufficiete clcolre l probbilità che qulcuo otteg u voto più lto del ostro. Ossi ( ) 8 4 P (X > 8) = P Z > = P (Z > 1.1) = =

3 e P (Y > 7) = P ( Z > ) 7 5 = P (Z > 1.33) = = Poichè el cso dell esme di mtemtic, se predessimo 7, l probbilità che qulcuo pred u voto più lto del ostro è solo del 9%, i questo cso dovremmo ricdere tr il 10% dei migliori. Diversmete è el cso di u 8 sttistic. Quidi srebbe meglio predere u 7 sttistic. Esercizio 3 Si clcolio le segueti probbilità ) P (t 8 >.306) b) P (t 9 <.6) c) P (t 17 < 1.740) d) P (t 3 < 1.5) e) P (χ 9 > 19.77) f) P (χ 70 < 85.53) Soluzioe ) P (t 8 >.306) = 0.05 b) P (t 9 <.6) = P (t 9 >.6) = 0.05 c) P (t 17 < 1.740) = 1 P (t 17 > 1.740) = = 0.95 d) e) P (χ 9 > 19.77) = 0.9 P (t 3 < 1.5) = 1 P (t 3 > 1.5) 0.05 < P (t 3 > 1.5) < < P (t 3 < 1.5) < < P (t 3 < 1.5) < 0.95 f) P (χ 70 < 85.53) = 1 P (χ 70 > 85.53) = = 0.9 Esercizio 4 Americ Airlie sostiee che il 5% degli idividui che ho preotto il volo o si preseto l check i. Se l compgi h veduto 40 biglietti per u volo che h solo 33 posti sedere, qul è l probbilità che tutti i psseggeri che si preseto bbio u posto sedere? 3

4 Soluzioe X = Presetrsi l check-i X Ber(0.95) X 1, X,..., X 40 è u cmpioe csule di vribili csuli i.i.d di X. Defiimo 40 Y = X i, i=1 quidi, Y B(40, 0.95), essedo l somm di 40 vribili csuli idipedeti ed ideticmete distribuite secodo u Beroulli di prmetro Essedo sufficietemete elevto, per il teorem del limite cetrle si h che: Y N( , (1 0.95)). Y N(8, 11.4). A questo puto l esercizio è di fcile risoluzioe; cosiderdo, iftti, u pprossimzioe per cotiuità, otteimo che: ( ) Y P (Y 33) = P P (Z 1.48) = Esercizio 5 Per lizzre l riuscit scolstic degli dolesceti si estre u cmpioe csule semplice co reitroduzioe di 600 studeti dell prim clsse superiore. I tle cmpioe il umero di rgzzi bocciti è pri 0. ) Defiire lo stimtore putule per l medi e l vriz dell vribie csule essere bocciti, e le reltive stime el cmpioe. b) Defiire lo stimtore per itervllo dell proporzioe di rgzzi bocciti l livello di cofidez α, e ricvre l stim per itervllo per u livello di cofidez del 90%. c) Clcolre l lughezz dell stim per itervllo l puto sopr. d) Verificre l ipotesi ull che π = 0.4 cotro l ltertiv che π 0.4 l livello di sigifictività del 10%. Possimo utilizzre i risultti dei puti precedeti per rispodere quest domd? Perchè? e) Clcolre il p-vlore ssocito l set d ipotesi del puto precedete. Soluzioe Defiimo X l vribile essere bocciti. { 1 se lo studete viee boccito prob = π X = 0 se lo studete viee promosso prob = 1 π. X Ber(π). 4

5 ) Poichè X è distribuit come u Berulli, lo stimtore dell medi di X è l proporzioe cmpiori ˆp, e lo stimtore dell vriz di X è. Le stime el cmpioe soo i=1 x = ˆp = x i = 0/600 = 0.36 ˆσ = = 0.36(1 0.36) = 0.3 b) Di coseguez l qutità pivot per l costruzioe dello stimtore per itervlli è l proporzioe cmpiori studetizzt ˆp π / Quest qutità per sufficietemete elevto h u distribuzioe pprossimtivmete ormle stdrd. Lo stimtore per itervllo l livello di cofidez 1 α è, quidi, u itervllo csule i cui estremi soo defiiti dlle sttistiche cmpiorie L 1 = ˆp z α/ / L = ˆp + z α/ / dove z α/ è il percetile di u vribile csule ormle stdrd, tle che P (Z > z α/ ) = α/. L stim per itervllo l livello di cofidez del 90%, è l itervllo che h come estremi i vlori di L 1 e L i corrispodez del cmpioe osservto: [ ] 90%IC [l 1, l ] = ˆp z α/ ; ˆp + z α/ [ ] 0.36(1 0.36) 0.36(1 0.36) = ; = [0.38; 0.39] c) L lughezz dell stim per itervllo è dt dll differez tr l estremo superiore e l estremo iferiore dell stim ( ) L = (l l 1 ) = ˆp + z α/ ˆp + z α/ ( ) = z α/ = ( ) = d) Voglimo verificre il seguete sistem d ipotesi { H 0 : π = 0.4 H 1 : π 0.4. l livello di sigifictività del 10%. Per testre quest ipotesi si utilizz l sttistic test T = N(0, 1), π0 (1 π 0 )/ 5

6 ossi l medi cmpiori stdrdizzt per u popolzioe di Beroulli. Per il teorem del limite cetrle, per sufficietemete elevto, qudo π = π 0, l sttistic test vrà u distribuzioe pprossimtivmete ormle. Il test è bidireziole, quidi dl cofroto tr ipotesi ull e ipotesi ltertiv, possimo dire che l regioe critic, e l regioe di ccettzioe sro del tipo: R.C. : π0 (1 π 0 )/ > z α/ R.A. : π0 (1 π 0 )/ z α/ Il vlore di z 0.1 è determibile ttrverso l seguete relzioe: α = 0.1 α/ = 0.05 Φ(z 0.05 ) = = 0.95 z α/ = 1.645, z α/ = Rissumedo si è trovto che l regioe critic R.C. è dt d: R.C. : π0 (1 π 0 )/ > 1.645, e l regioe di ccettzioe R.A. : π0 (1 π 0 )/ Per decidere fvore o cotro l ipotesi ull si clcol il vlore dell sttistic test, dto il ostro cmpioe, sotto l ipotesi ull: t = ˆp π 0 π0 (1 π 0 )/ = = 0.4(1 0.4)/600 Dto che il vlore osservto dell medi cmpiori stdrdizzt pprtiee ll regioe critic, si può rigettre l ipotesi ull i fvore di quell ltertiv, dt l evidez empiric l livello di sigifictività del 10%. No si può utilizzre l stim per itervllo clcolt l puto b) per rispodere quest domd perchè, el cso di test sull proporzioe, l sttistic test o coicide co l qutità pivot per l costruzioe dell itervllo. e) Il p-vlore è l probbilità che u sttistic test ssum u vlore più estremo di quello osservto sotto l ipotesi ull. Per u test d ipotesi bilterle p vlore = P (T < t ) + P (T > t ) = P (T > t ) = P (Z > ) = ( ) = Dto questo p-vlore, si rifut l ipotesi ull per vlori di sigifictività superiori l p-vlore (come el cso sopr 10%), e o si rifiut l ipotesi ull per livelli di sigifictività iferiori (Es: 1%). 6

7 SINTESI DELLE DISTRIBUZIONI DELLE STATISTICHE TEST E DELLE QUANTITA PIVOT Commeto lle tvole: sigific che l sttistic test (o l qutità pivot) si distribuisce pprossimtivmete. Dove o è riportt l distribuzioe sigific che l sttistic test (o l qutità pivot) o h u distribuzioe ot. Tbell 1: Distribuzioe dell qutità pivot e dell sttistic test per l probbilità di successo π X Ber(π) piccolo grde Qutità Pivot Sttistic Test ˆp π ˆp(1 ˆp)/ ˆp π 0 π0 (1 π 0 )/ ˆp π ˆp(1 ˆp)/ ˆp π 0 π0 (1 π 0 )/ 7

8 Qutità Pivot Sttistic Test Tbell : Distribuzioe dell qutità pivot e dell sttistic test per l medi µ X N(µ, σ ) X N(µ, σ ) piccolo grde piccolo grde σ ˆσ σ ˆσ σ ˆσ σ ˆσ σ/ ˆσ/ t 1 σ/ ˆσ/ t 1 σ/ ˆσ/ σ/ ˆσ/ σ/ σ/ ˆσ/ ˆσ/ σ/ σ/ ˆσ/ ˆσ/ 8