Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 3. Docente: Laura Palagi

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1 Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 3 Docente: Laura Palagi

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3 TESTO DEL PROBLEMA Si vuole programmare la dieta di un individuo su un periodo T avendo n cibi utilizzabili Ci con m caratteristiche nutrizionali Nj ; Il contenuto dei valori nutrizionali aij e il costo degli alimenti ci sono riferiti a 100gr di prodotto; PI è il valore dell altezza espressa in centimetri al di sopra del metro (ad es.per una persona alta 1mt e 70cm, risulta PI=70); In riferimento a PI si calcolano i requisiti minimi e massimi giornalieri: calorie necessarie giornalmente minime e massime Calmin x PI Calmax x PI grassi necessari giornalmente minimi e massimi Lipmin x PI Lipmax x PI 3

4 proteine necessarie giornalmente minime e massime Prtmin x PI Prtmax x PI Delle proteine minime giornaliere la quantità di origine animale deve essere compresa tra una percentuale minima e una percentuale massima del quantitativo utilizzato; Sul periodo T in media devono essere rispettati dei requisiti di contenuto minimo di principi nutrizionali Nj min ; Obiettivo: determinare la dieta a costo minimo. 4

5 Tabella nutrizionale CIBO calorie Kcal grassi gr carboidrati gr proteine gr fibre gr vit. A mgc vit. B29 mgc costo euro/100 gr riso 358 0,52 79,15 6,5 2,8 0 2,25 0,6 zuppa borlotti 136 0,46 24,46 9, ,25 pasta di semola 371 1,51 74,67 13,04 3, ,3 caciocavallo ,59 2,17 30, ,2 latte intero 60 3,25 4,52 3, ,56 mozzarella ,22 23,67 11, ,5 uovo intero 143 9,94 0,77 12, ,5 carote lesse 35 0,18 8,22 0, ,2 patate fritte surgelate 174 5,05 29,92 2,12 2, ,68 spinaci lessi 23 0,26 3,75 2,97 2, ,1 pesce spada 155 5, , pesce persico 117 1, , ,3 hamburger (salse) ,25 24,81 11, ,59 petto di pollo 165 3, , ,5 bistecca di manzo , , cereali crunck ,7 6,7 4, ,35 Tabella nutrizionale di requisiti minimi massimi e in media su tre giorni REQUISITI MINIMI/MASSIMI calorie Kcal grassi gr proteine gr fibre gr minimo giornaliero massimo giornaliero 45 2,5 5 - minimo in tre giorni 35 0,5 1 0,5 5

6 Il problema della dieta si inserisce nei modelli di miscelazione in cui si decide come combinare (miscelare) tali risorse in maniera da soddisfare al meglio determinati obiettivi rispettando opportune richieste. Poiché valgono le ipotesi di linearità, si può costruire un modello di PROGRAMMAZIONE LINEARE per rappresentare il problema in analisi. Variabili decisionali : scegliamo come variabili di decisione xid rappresentanti la quantità di etti dei singoli alimenti Ci da includere nel giorno d nella dieta con i=1,,n e d=1,,t. Nel caso della nostra istanza abbiamo che gli alimenti utilizzabili sono n=16 e il periodo T considerato è di tre giorni. 6

7 Vincoli : 1. Vincoli di qualità: la dieta ogni giorno deve contenere una quantità non inferiore ai fabbisogni minimi giornalieri bj*pi delle caratteristiche nutrizionali Nj e con aij contenuto di valori nutrizionali j=1,,m : n i=1 a ij x id b j PI j = 1,, m d = 1,, t Nel caso della nostra istanza abbiamo considerato PI=70 e m=4. la dieta ogni giorno deve contenere una quantità non superiore ai fabbisogni massimi giornalieri lj*pi delle caratteristiche nutrizionali Nj e con aij contenuto di valori nutrizionali j=1,,m : n i=1 a ij x id l j PI j = 1,, m d = 1,, t 7

8 la dieta deve rispettare in media sul periodo T i requisiti di contenuto minimo sj di principi nutrizionali Nj, con aij contenuto di valori nutrizionali, j=1,,m t d=1 n i=1 t a ij x id s j PI j = 1,, m t=3 la dieta ogni giorno deve contenere una quantità di proteine di origine animale, compresa tra una % minima e una % massima del quantitativo di proteine utilizzato: i a ij x id n % i=1 a ij x min id d=1,,t i a ij x id n % i=1 a ij x max id Nel caso della nostra istanza i= 7,13,14,15 e la colonna delle proteine è la quarta j= 4, %min=15% e %max =20% 8

9 2. Vincoli di non negatività: si devono considerare i vincoli di non negatività sulle variabili cioè x id 0, i = 1,, n d = 1,, t Funzione obiettivo: dato che l obiettivo è determinare la dieta a costo minimo possiamo scrivere la funzione obiettivo come: min t d=1 n i=1 c i x id 9

10 Nella risoluzione del modello è stata trovata una soluzione ottima. Tuttavia anche se il costo viene minimizzato il valore delle variabili ottenute non rendono la dieta equilibrata. Variabili di decisione giorno 1 giorno 2 giorno 3 riso zuppa borlotti 4, pasta di semola 0 0 4, caciocavallo latte intero mozzarella uovo intero 0, , , carote lesse patate fritte surgelate spinaci lessi pesce spada pesce persico hamburger (salse) petto di pollo bistecca di manzo cereali crunck 2, , ,

11 E evidente dalla Tabella precedente che bisogna imporre vincoli aggiuntivi per rendere la dieta più variegata e più consona a una alimentazione corretta per un individuo. Abbiamo diviso i vari cibi per: - Colazione (latte intero, cereali crunck); - Primo piatto(pasta di semola, riso, zuppa borlotti); - Contorno(carote lesse, spinaci lessi, patatine fritte surgelate); - Secondo piatto(pesce spada, pesce persico, hamburger, petto di pollo, bistecca di manzo, uovo intero, caciocavallo e mozzarella); minimo latte la quantità di cereali è troppo elevata mentre il latte non viene assunto in nessuno dei tre giorni latte giorno 1 latte giorno 2 latte giorno 3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 massimo cereali cereali giorno 1 cereali giorno 2 cereali giorno 3 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 11

12 La quantità di zuppa e pasta è troppo alta e la varietà di scelta del primo piatto è bassa minimo primo piatto pasta/zuppa pasta/riso giorno 1 giorno 2 massimo primo piatto zuppa/riso giorno 3 3 2, pasta/zuppa/riso giorno 1 pasta/zuppa /riso giorno 3 pasta/zuppa/riso giorno

13 minimi contorni patate fritte/spinaci giorno 1 carote/spinaci giorno carote/patate fritte giorno 3 La quantità di tutti i contorni è nulla massimi contorni carote/patate massimi contorni carote/patate carote/patate fritte/spinaci fritte/spinaci fritte/spinaci

14 Come secondo piatto è positiva solo la variabile dell uovo, abbiamo imposto che distintamente nei tre giorni vengano consumati pesce, carne e latticini/uovo. minimo secondo piatto pesce spada/pesce persico hamburger /petto pollo/ bistecca massimo secondo piatto pesce spada/pesce persico uovo/ mozzarella/ caciocavallo 1 1, hamburger /petto pollo/ bistecca uovo/ mozzarella/ caciocavallo 1 1,5 1 1,5 1,5 1,5 14

15 Con la nuova formulazione si ottengono le seguenti variabili ottime che garantiscono una dieta più equilibrata, anche se alcune rimangono inutilizzate perché essendo una dieta a costo minimo vengono presi i cibi con costo inferiore. Variabili di decisione giorno 1 giorno 2 giorno 3 riso zuppa borlotti 3 0, pasta di semola 0 2, caciocavallo 2, , latte intero 0,5 0,5 0,5 mozzarella uovo intero carote lesse patate fritte surgelate spinaci lessi pesce spada pesce persico hamburger (salse) 3, ,5 1, petto di pollo bistecca di manzo cereali crunck 1,5 1,5 1,5 15

16 Questo miglioramento lo paghiamo con un aumento del costo ottimo: Modello dieta min costi funzione obiettivo 7, Modello dieta equilibrata min costi funzione obiettivo 16, Il Rapporto valori è diviso in tre sezioni: - Funzione obiettivo; - Celle variabili; - Vincoli: riporta lo stato del vincolo (attivo/non attivo) e di conseguenza la tolleranza (slack), ovvero la differenza tra il primo membro all ottimo e il termine noto, che se diversa da zero fa parte delle variabili «in base» insieme alle variabili positive del modello. 16

17 Il Rapporto sensibilità è diviso in due parti: - Le celle variabili riportano: il costo ridotto diverso da zero se il valore della variabile è nullo (ovvero «fuori base»), il coefficiente Ci con cui compare nella funzione obiettivo e l incremento/decremento consentito per Ci affinché la soluzione trovata rimanga ottima, se decido di rendere positiva una variabile nulla. - Le celle dei vincoli riportano: il prezzo ombra (variabili del problema duale) diverso da zero per i vincoli attivi, che rappresenta l incremento o decremento della funzione obiettivo per variazione unitarie di risorsa e gli estremi degli intervalli di previsione entro il quale sono validi i prezzi ombra. Nelle righe evidenziate nei fogli di reports generati da Excel possiamo notare queste caratteristiche. 17

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