DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE

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1 U N I V E R S I T À D E G L I S T U D I D I P I S A DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE Cmunicazini numeriche Esercizi su sistemi di variabili aleatrie-e sui prcessi stcastici Sistemi di variabili aleatrie Esercizi 1 La ddp cngiunta di va x, y è data da k( x + y) < x <, < y < XY ( x, y) = altrve Dve k è una cstante 1) Si calcli il valre di k ) Si ricavin le ddp marginali di x e y e si dica se le va sn indipendenti x y p y x 3) Si ricavin le ddp cndizinate p ( ) e ( ) Esercizi Si cnsideri il sistema di variabili deinit dalla seguente trasrmazine lineare V = X Y Z = Y essend X e Y variabili aleatrie Gaussiane standard, indipendenti 1 Calclare varianze e valri medi di V e Z Disegnare la densità di prbabilità di V 3 Stabilire se V e Z sn indipendenti 4 Calclare la prbabilità che V>α Esercizi 3 X e Y sn va Gaussiane e indipendenti, a media nulla e varianza unitaria Si stabilisca se le va Z=X+Y e V=X-Y sn indipendenti Esercizi 4 Sian date due variabili aleatrie X 1 e X, indipendenti tra di lr Sapend che entrambe hann una densità di prbabilità Gaussiana a valr medi unitari e varianza σ = 9, si calcli la densità di prbabilità delle variabili Y1 = X1 + X e Y = X1 X Si dica se le due variabili aleatrie sn n indipendenti Esercizi 5 Sian date le variabili aleatrie X e Y cn ddp cngiunta x + y x + y XY ( x, y) = exp per < x <, < y < Si dimstri che X e Y 4π sn dipendenti ma incrrelate

2 DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE - - Prcessi stcastici Esercizi 1 Il segnale utile (deterministic) s( t) = A viene ricevut insieme a rumre additiv Gaussian bianc (AWGN) W ( t ), avente densità spettrale di ptenza S ( ) W = N, ed inviat in ingress ad un iltr LTI avente rispsta impulsiva h( t) = Bsinc( Bt) All uscita del iltr tteniam il segnale [ ] Z( t) = s( t) + W ( t) h( t) = r( t) + N( t), dve r(t) è la cmpnente di segnale utile ed N( t ) il prcess di rumre iltrat (1) Determinare il valr medi η N, la ptenza P N e la densità spettrale di ptenza SN ( ) del rumre iltrat N( t ) Tracciare un graic di SN ( ) () Il segnale Z( t ) viene campinat all istante t=, ttenend la va Z = Z() = r() + N () Determinare il rapprt segnale-rumre al campinatre, deinit cme SNR r () E{ N ()} = ; tracciare il graic dell andament di SNR in unzine di del parametr B (banda del iltr LTI) Z > α ed (3) Che densità di prbabilità ha la va Z? Calclare la prbabilità dell event { } esprimerla in unzine di SNR quand α = A B Esercizi Un prcess di rumre bianc in banda B è applicat cme ingress ad un sistema LTI cn rispsta impulsiva pari a h( t) = 3exp( t) u( t) Si calclin il valr medi del prcess Y(t) all uscita del sistema e la sua densità spettrale di ptenza Esercizi 3 Sia Y(t)=X(t)+W(t), dve X(t)=A e A è una variabile aleatria cn media nulla e varianza σ, mentre W(t) è rumre bianc in banda B indipendente da A e cn ptenza σ A 1)Si dimstri che Y(t) è stazinari in sens lat; )Si calcli la densità spettrale di ptenza di Y(t) Esercizi 4 Si cnsideri il prcess aleatri X ( t) M ( t)cs ( π t θ ) stazinari in sens lat avente densità spettrale di ptenza S( ) rect ( B) = + in cui M(t) è un prcess = e θ è una va unirmemente distribuita in [, π] Si calcli la unzine di autcrrelazine di X(t) e si dica se il prcess è stazinari almen in sens lat Esercizi 5 Il prcess X ( t) = + 5sin( π t + θ ), dve θ è una variabile unirmente distribuita in π, π, alimenta un sistema LTI la cui rispsta impulsiva è data da h( t) = exp( t) u( t) Si calclin [ ] valr medi e densità spettrale di ptenza del prcess all ingress e all uscita del sistema Esercizi 6 Sian X(t) e Y(t) prcessi stcastici a media nulla e cngiuntamente stazinari in sens lat Si cnsideri il prcess casuale Z(t) deinit da Z(t)=X(t)+Y(t) 1) Si determini la densità spettrale e la unzine di aucrrelazine di Z(t) ) Si suppnga ra che X(t) e Y(t) sian rtgnali Si calclin nuvamente la crrelazine e la densità spettrale di Z(t) 3) Si dimstri che se X(t) e Y(t) sn rtgnali, la media quadratica di Z(t) è uguale alla smma delle medie quadratiche di X(t) e Y(t) Esercizi 7 Sian dati i due prcessi X ( t) = cs(4 πt + θ ) e Y ( t) = cs(6 πt + θ ) dve θ è una variabile aleatria unirmemente distribuita in [, π ]

3 DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE a Determinare le unzini valr medi e le unzini di autcrrelazine dei due prcessi Stabilire se i due prcessi sn stazinari in sens lat b Dat il prcess smma Z(t)=X(t)+Y(t), determinate la unzine valr medi e la ptenza E Z ( t ) { } Esercizi 8 Un prcess stcastic stazinari in sens lat cn unzine di autcrrelazine a R ( τ ) = e τ, dve a è una cstante psitiva reale, è applicat ad un sistema lineare temp X bτ invariante (LTI) cn rispsta impulsiva h( t) = e u( t), dve b è una cstante psitiva reale diversa da a Si determini la unzine di crrelazine del prcess Y(t) all uscita dell LTI Esercizi 9 Sia Y(t)=A+W(t), dve A è un parametr deterministic, e W(t) è rumre bianc in banda B indipendente da A e cn ptenza σ 3)Si calcli la densità spettrale di ptenza di Y(t) Il prcess Y(t) viene iltrat cn un iltr passa banda cme in Fig 1 4)Si calcli la densità spettrale di ptenza del prcess all uscita del iltr e la sua unzine di autcrrelazine H() B - Fig 1 Esercizi 1 Sia dat il prcess Gaussian X ( t ) cn densità spettrale di ptenza X ( ) temp-invariante (LTI) avente rispsta in requenza H ( ) rect ( B) S ( ) = η rect 4B Il segnale X ( t ) viene inviat in ingress a un sistema lineare e =, ttenend in uscita il prcess Y ( t ) Si cnsideri il prcess Z( t) = X ( t) + Y ( t) (1) Determinare la unzine di autcrrelazine RZ ( τ ) del prcess Z( t ) () Determinare la densità spettrale di ptenza ( ) e la ptenza media statistica P Z del prcess Z( t ) Si tracci il graic di S ( ) SZ Z Esercizi 11 Il prcess aleatri X ( t) N( t) cs ( π t ) = + Θ cn N(t) prcess aleatri a N valr medi null e cn densità spettrale di ptenza SN ( ) = rect B, e Θ variabile aleatria (va) unirmemente distribuita in π,π ed indipendente da N(t), viene applicat ad un sistema lineare e stazinari caratterizzat da una rispsta in requenza H = rect / B, dand lug in uscita al prcess aleatri Y(t) ( ) ( ) 1 Si calclin il valr medi, la ptenza media e la unzine di autcrrelazine del prcess X(t) Si discuta se il prcess X(t) è stazinari in sens lat in sens strett 3 Si calclin il valr medi e la ptenza media del prcess d uscita Y(t) al variare di

4 DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE dy( t) Esercizi 1 Sia dat un sistema LTI caratterizzat dall'equazine + y( t) = x( t) dt N All'ingress del sistema viene pst il prcess X(t) bianc cn crrelazine RX ( τ ) = δ ( τ ) 1) Calclare la crrelazine e la densità spettrale di ptenza del prcess Y(t) all'uscita del sistema; ) Calclare la ptenza dei prcess X(t) e Y(t) Esercizi 13: Si cnsiderin i prcessi casuali stazinari in sens lat X ( t) Acs π t θ Y ( t) = Bcs π t + α, cn A, B, e 1 cstanti θ e α sn = ( + ) e ( 1 ) variabili aleatrie (va) statisticamente indipendenti unirmemente distribuite in [,π ] 1) Si calcli la unzine di crrelazine mutua (, ) cngiuntamente stazinari ) Si riaccia il calcl per θ = α R t t e si dica se i prcessi sn XY 1 Esercizi 14 Sian X(t) e Y(t) prcessi stcastici a media nulla e cngiuntamente stazinari in sens lat Si cnsideri il prcess casuale Z(t) deinit da Z(t)=3X(t)+Y(t) 4) Si determini la densità spettrale e la unzine di aucrrelazine di Z(t) 5) Si suppnga ra che X(t) e Y(t) sian rtgnali Si calclin nuvamente la crrelazine e la densità spettrale di Z(t) dy( t) x( t) Esercizi 15 Sia dat un sistema LTI caratterizzat dall'equazine + y( t) = dt 3 N All'ingress del sistema viene pst il prcess X(t) bianc cn crrelazine RX ( τ ) = δ ( τ ) 1) Calclare la crrelazine e la densità spettrale di ptenza del prcess Y(t) all'uscita del sistema; ) Calclare la ptenza dei prcessi X(t) e Y(t) Esercizi 16 Si cnsideri il prcess Y ( t) = X ( t + t) X ( t t), dve t è una cstante temprale deterministica e X(t) un prcess stazinari almen in sens lat Si calclin unzine di crrelazine e densità spettrale di ptenza di Y(t) sapend che la crrelazine di R ( τ ) = σ exp τ X(t) è pari a X X ( ) Esercizi 17 Si cnsideri il prcess X ( t) Acs ( π t) =, cn A va unirmemente distribuita in (,1) 1 Si rappresentin 3 unzini del prcess Si determini la densità di prbabilità delle va X 1= X() e X = X(1/( )) 3 Si determini la densità di prbabilità cndizinata ( x x ) 4 Il prcess X(t) è stazinari? X X1 1

5 DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE Esercizi 18 Si cnsiderin i seguente prcessi aleatri X ( t) = Asin π t + B cs π t e Y ( t) = Asin π t Bcsπ t dve è una cstante, A e B sn variabili aleatrie Gaussiane standard incrrelate tra lr 1 Veriicare se X(t) e Y(t) sn prcessi cngiuntamente stazinari Si estraggan ra la variabili aleatrie X=X() e Y=Y() Si calcli la prbabilità che X>Y t Esercizi 19: Sia dat il prcess X ( t) = Arect, cn A e θ variabili aleatrie (va) θ statisticamente indipendenti cn le seguenti caratteristiche: 1) A va Gaussiana a valr medi η e varianza σ ) θ va espnenziale negativa cn ddp pari a ( θ ) exp( θ ) u( θ ) Si calcli in valr medi del prcess = Esercizi Si cnsideri il segnale ( π ) X ( t) = Acs t + W ( t), cn A e parametri deterministici nti e W(t) rumre Gaussian bianc cn densità spettrale di ptenza S ( ) W = N X(t) viene iltrat cn un sistema LTI la cui rispsta in requenza è pari ( ) 1 H ( ) = 1+ jπ L uscita del iltr suddett è pari a Y ( t) = s ( t) + N ( t) dve s ( t ) è la cmpnente di uscita del segnale e N(t) il rumre di uscita 1) Calclare l espressine di s ( t ); ) Calclare la ptenza di W(t) e di s ( t ); 3) Sia Y = Y ( t) la variabile estratta dal prcess aleatri Y(t) campinand all istante t = t Scrivere la densità di prbabilità di Y Esercizi 1: Sia dat un prcess Gaussian X(t) cn valr medi E{ X ( t )} = 3 e unzine di crrelazine R ( t, t ) = 9 + exp 5 t t X 1 1 1) Si dica se il prcess è stazinari in sens lat C t, t ) Si calcli la unzine di cvarianza del prcess X ( 1) 3) Si calcli la varianza del prcess Var[ X ( t )] 4) Si scriva la densità di prbabilità del prim rdine della generica variabile aleatria X ( t ) 5) Si scriva la densità di prbabilità del secnd rdine delle due variabili X ( t ) e X ( t 1) cn t = 3 e t 1 = 7 Esercizi Il sistema di igura è alimentat da una srgente di rumre bianc cn densità spettrale di ptenza N / Si determini il valre di B che rende uguali le ptenze di X(t) e Y(t)

6 DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE H() N(t) X(t) DERIVATORE Y(t) -B B Esercizi 3 Si cnsideri il segnale ( π ) X ( t) = Asin t + W ( t), cn A e parametri deterministici nti e W(t) rumre Gaussian bianc cn densità spettrale di ptenza S ( ) W = N X(t) viene iltrat cn un sistema LTI cstituit da un derivatre seguit da un iltr passa bass ideale di banda B= L uscita del sistema suddett è pari a Y ( t) = s ( t) + N ( t) dve s ( t ) è la cmpnente di uscita del segnale e N(t) il rumre di uscita 4) Calclare l espressine di s ( t ); 5) Calclare la densità spettrale di ptenza e la ptenza di N(t); 6) Sia Y = Y () = s ( ) + N la variabile estratta dal prcess aleatri Y(t) campinand all istante t = sec Scrivere la densità di prbabilità di Y e calclare P( Y > ) in unzine del rapprt segnale-rumre all'uscita del sistema deinit cme s ( ) SNR = E N { } Esercizi 4 Calclare la media del prcess aleatri X ( t) = Acs(π t + Φ) dve A e Φ sn due variabili aleatrie statisticamente indipendenti cn densità di prbabilità A a 1 σ 1 ( a) = e u( a) φ, e Φ ( φ ) = rect, rispettivamente σ π π Esercizi 5 Sian X 1 e X due variabili aleatrie indipendenti unirmemente distribuite nell intervall [,1] Si determini la media e la unzine di autcrrelazine del prcess Y ( t) = X cs X t Si determini se il prcess è stazinari, almen in sens lat ( ) 1 Esercizi 6 Dat il prcess Gaussian stazinari X(t) avente densità spettrale di ptenza SX ( ) = N rect + 9 δ ( ), calclare la densità spettrale di ptenza e la unzine di B dx ( t 1) autcrrelazine del prcess Y ( t) = dt