Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi

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1 Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi Esercizio 1 Data la variabile casuale X con funzione di densità f(x) = 2x, per 0 x 1; f(x) = 0 per x [0, 1], determinare: a) P( - 0,5 < X< 0,7) b) P( 0,3 < X< 0,5) c) E(X); var(x). Esercizio 2 Per un campione casuale di 14 ragazzi, sono stati osservati i seguenti pesi (in Kg) : 48, 47, 49, 53, 52, 51, 54, 40, 46, 57, 61, 63, Nell'ipotesi che tale campione provenga da una Normale con media e varianza incognita, trovare l'intervallo di confidenza per la media µ dell'intera popolazione, con α = 0,05 e con α = 0,02. Esercizio 3 Si vuole sottoporre a verifica l'ipotesi che una moneta sia ben bilanciata (ovvero che sia P(T) = 0,5), contro l'alternativa che sia P(T) = 2/3. Si decide di procedere nel seguente modo: si lancia la moneta 10 volte. Se esce testa almeno 8 volte si rifiuta l'ipotesi nulla H 0 che sia P(T) = 0,5; a) Calcolare la probabilità dell'errore di prima specie, α. b) Calcolare la potenza del test. Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi Esercizio 1 Data la seguente tabella a doppia entrata: Y\ tot a) Determinare i parametri della retta di regressione Y = a + bx b) Calcolare l'indice R 2. Esercizio 2 Si lanciano due dadi, uno bianco ed uno rosso, siano X ed Y il numero di punti, rispettivamente, sul dado bianco e sul dado rosso. Sia Z= X+Y (ovvero Z e' la somma dei punti presentatisi). Calcolare: a) Pr(X=3,Z=6) b) Pr(Z=6) c) La probabilita' condizionata Pr(X=3/ Z=6) d) La distribuzione condizionata della v.c. X/Z=6, e calcolarne valore atteso e varianza. e) X e Z sono indipendenti? X e Y sono indipendenti?

2 Esercizio 3 Secondo un produttore di spine elettriche, il 4% dei pezzi costruiti risulta difettoso. Sottoporre a verifica l ipotesi che l affermazione sia esatta (contro l alternativa che sia p>0,04) per un campione di 18 pezzi con α=0,05. Supponendo di aver osservato 3 pezzi difettosi, a favore di quale ipotesi si conclude? Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi Esercizio 1 Su 500 visitatori di un museo 300 sono uomini e 200 sono donne. Delle donne 125 sono laureate, 25 sono diplomate, le restanti hanno "altro" titolo di studio.. Tra i 500 visitatori il numero complessivo di laureati e' pari a 275. Mentre quelli con "altro titolo di studio" sono 90. Sulla base di queste informazioni riempire la seguente tabella di frequenze: Dipl. Laurea Altro M F Valutare, mediante un indice opportuno, se vi sia dipendenza tra il sesso ed il titolo di studio. Esercizio 2 Una variabile casuale discreta X ha la seguente funzione di ripartizione: F(0) = 0; F(1) = 0,1; F(2)= 0,25 F(3) = 0,6; F(4) = 0,9; F(5) =1. Calcolarne il valore atteso e la varianza. : Esercizio 3. Per stabilire se in una moneta e' Pr(T) = 1/2 oppure Pr(T) = 1/4 si adotta la seguente regola di decisione. Si lancia la moneta 4 volte. Se Testa esce non piu' di 1 volta si rifiuta l'ipotesi nulla p= 0,5. a) Calcolare la probabilità dell'errore di prima specie (α). b) Calcolare la potenza Prova d'esame di Statistica I Esercizio 1 Supponendo di voler verificare al livello α= 0,10 l'ipotesi nulla che il voto medio all esame di Statistica I sia pari a 27,2 contro l'ipotesi alternativa che sia pari a 25, quale dovrà essere la numerosità campionaria affinché la potenza del test risulti almeno pari a 0,95? Ai fini della soluzione si assume che la distribuzione dei voti d esame sia Normale con varianza pari a 9. Esercizio 2 Data la seguente tabella a doppia entrata:

3 Y\X tot Tot Calcolare r x,y. Esercizio 3 Una variabile casuale discreta (X) ha la seguente funzione di ripartizione: F(0) = 0; F(1) = 0,2; F(2) = 0,4; F(3) = 0,4; F(4) = 0,8; F(5) = 1. Calcolarne il valore atteso e la varianza. Esercizio 4 Viene fatto il seguente gioco. Si lancia un dado a facce equiprobabili. Se esce un numero non superiore a 2 si lancia, una sola volta, una moneta. Viceversa, se lanciando il dado esce un numero maggiore di 2 si lanciano 2 monete. Qual'e' la probabilità di ottenere almeno una volta l'evento "Testa"? Prova d'esame di Statistica I Corso Prof.ssa S. Terzi Esercizio 1. La seguente tabella riporta i voti (per classi) (Y) conseguiti all esame di statistica da un gruppo di studenti distinti per livello di conoscenza della matematica (X). Classi di voto X Y tot. Ins Suff Buono Ottimo Tot a) Calcolare la varianza di Y (voto di statistica); b) Calcolare la varianza del voto di statistica per il gruppo di studenti che hanno una conoscenza della matematica Buona. c) Calcolare il chi quadrato relativo. Esercizio 2 Un urna contiene 4 palline bianche e 6 palline nere. Dall urna vengono estratte (senza ripetizione) 2 palline. Sia X la variabile casuale numero di palline bianche su due estratte. Ricavare la funzione di probabilità di X, e calcolarne il valore atteso e la varianza. Esercizio 3 Per una popolazione Normale di varianza σ 2 = 9 si vuole fare un test d ipotesi per verificare: H 0 : µ = 18 contro l ipotesi alternativa H 1 : µ = 15.

4 Dato un campione di numerosità n= 16 si decide di applicare la seguente regola di decisione: se X < 16 si rifiuta H 0. (Dove X indica la media campionaria). a) Calcolare α ; b) Calcolare β; c) Volendo 1-β 0,95, quale dovrà essere la numerosità campionaria? Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi Esercizio 1 Un test a risposta multipla e' costituito da 3 domande, ciascuna con 3 possibili risposte. Delle tre risposte una e' giusta, una e' imprecisa, un'altra e' decisamente sbagliata. Nella correzione del test i punteggi vengono assegnati nel seguente modo: 2 punti per ogni risposta esatta 0 punti per ogni risposta imprecisa -1 punto per ogni risposta sbagliata Immaginando che uno studente risponda a caso alle diverse domande, qual e' la probabilità che riporti un punteggio positivo? Esercizio 2 Per due variabili statistiche X e Y si hanno le seguenti coppie di osservazioni: X Y Stimare i parametri della retta di regressione: Y = a+bx e valutarne la bontà di adattamento tramite l'indice R 2. Posto poi che si osservi X=12, sulla base della retta stimata, qual'e' il presumibile valore della Y? Esercizio 3 Per una popolazione Normale(µ; 1), si vuole sottoporre a test l'ipotesi H o :µ=0, contro l'ipotesi alternativa H 1 :µ<0 attraverso un campione casuale di 50 osservazioni. Individuare la regione critica del test per α= 0,025. Calcolare la potenza del test per µ= -0,5

5 Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi - 16 luglio 2001 Esercizio 1 Si sospetta che una moneta possa essere sbilanciata in maniera tale che l'uscita di testa risulti più probabile dell'uscita di Croce. In particolare si pensa che la probabilità che esca "Testa" possa essere = 0,8. Si decide quindi di sottoporre a verifica l'ipotesi nulla che la moneta abbia due facce equi- probabili contro l'alternativa che la probabilità che esca Testa sia 0,8. Si decide di procedere nel seguente modo: si lancia la moneta 5 volte, se si ottiene Testa almeno 4 volte si rifiuta l'ipotesi nulla. Calcolare la probabilità dell'errore di prima specie. Calcolare la potenza di questo test. Esercizio 2 Un'urna contiene 5 palline bianche e 5 palline nere. Dall'urna vengono estratte (senza ripetizione) 2 palline. Sia X la variabile casuale "numero di palline bianche su due estratte". Calcolare E(X) e var(x). Esercizio 3 I pesi degli alunni di una scuola si distribuiscono normalmente con varianza pari a 36 (kg. 2 ). a) Per α= 0,07, n=14 determinare la regione critica del test : H 0 : µ = 50; H 1 µ 50. b) Sia X= 46. A favore di quale ipotesi si conclude? c) Calcolare la potenza del test per µ = 45. Prova d'esame di Statistica I Esercizio 1. Data la seguente tabella a doppia entrata: X Y tot Tot Calcolare χ 2 relativo. Esercizio 2 Un urna contiene 4 palline bianche e 4 palline nere. Dall urna vengono estratte (senza ripetizione) 2 palline. Sia X la variabile casuale numero di palline bianche su due estratte. Ricavare la funzione di probabilità di X, e calcolarne il valore atteso e la varianza. Esercizio 3 Per una popolazione Normale di varianza σ 2 = 9 si vuole fare un test d ipotesi per verificare: H 0 : µ = 15 contro l ipotesi alternativa H 1 : µ = 18. Dato un campione di numerosità n= 16 si decide di applicare la seguente regola di decisione: se X > 17 si rifiuta H 0. (Dove X indica la media campionaria). d) Calcolare α ; e) Calcolare β; f) Volendo 1-β 0,95, quale dovrà essere la numerosità campionaria?

6 Prova d'esame di Statistica I - Corso Prof.ssa S. Terzi - 20-giugno Esercizio 1 Si consideri il valore dei depositi in miliardi nelle aziende di credito e presso le amministrazioni postali in Italia nel 1987: Aziende di credito Amministrazione postale Totale I due tipi di deposito sono cosi' distribuiti (percentualmente) nelle due ripartizioni del Centro-Nord e Mezzogiorno: Aziende di credito Amministrazione postale Centro Nord 79.9% 65.9% Mezzogiorno 20.1% 34.1% Totale 100% 100% a) Sulla base di queste informazioni si costruisca la tabella che classifica congiuntamente i valori dei depositi per ripartizione territoriale e tipo di deposito. b) Quale tipo di indipendenza si può valutare su una tabella come quella del punto a)? c) Calcolare un indice adeguato per misurare la dipendenza tra i due caratteri. Esercizio 2 Per tre persone, A, B, C, la probabilità di guardare la televisione la sera è rispettivamente pari a: 0.1, 0.6, 0.4. Si constata che una persona sta guardando la televisione. Qual'é la probabilità che si tratti di C? Chi e' più probabile che sia, A, B o C? Esercizio 3 Supponendo di voler verificare al livello α= 0,05 l'ipotesi nulla che il voto medio riportato dagli studenti di Economia nell'esame di Statistica I sia pari a 26 contro l'ipotesi alternativa che sia pari a 24,5, individuare la regione critica, nell'ipotesi che si abbia un campione casuale di numerosità n= 30. (Ai fini della soluzione si assume che la popolazione studentesca abbia una distribuzione Normale con varianza pari a 9). Supponendo di aver osservato un voto medio pari a 25, cosa si conclude? Prova d'esame di Statistica I Esercizio 1. Data la seguente tabella a doppia entrata: X Y tot Tot a) Calcolare χ 2 Esercizio 2 Una variabile casuale X che assume valori : X = , ha la seguente funzione di ripartizione: F(0) = 0,1; F(1) = 0,3; F(2) = 0,6; F(3) = 1. Ricavare la funzione di probabilità e calcolare E(X) e var(x). Esercizio 3 Per una popolazione Normale di varianza σ 2 = 9 si vuole fare un test d ipotesi per verificare: H 0 : µ = 15 contro l ipotesi alternativa H 1 : µ = 18.

7 Dato un campione di numerosità n= 36 si decide di applicare la seguente regola di decisione: se X > 17 si rifiuta H 0. (Dove X indica la media campionaria). g) Calcolare α ; h) Calcolare 1 - β