Pag. 151 Dimostrazioni dei criteri per lo studio della convergenza di serie numeriche

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1 C.7 Serie Pag. 151 Dimostrazioni dei criteri per lo studio della convergenza di serie numeriche Teorema 5.29 (Criterio del confronto) Siano e due serie numeriche a termini positivi e si abbia 0, per ogni k 0. i) Se la serie converge, allora converge anche la serie e vale ; ii) se la serie diverge, allora diverge anche la serie. Dimostrazione. i) Indichiamo rispettivamente con {s n } e con {t n } le successioni delle ridotte delle serie e. Poiché per ogni k, si ha Per ipotesi, la serie s n t n, n 0. converge e quindi lim n t n = t R. Inoltre, grazie alla Proposizione 5.28, esiste (finito o infinito) il lim n s n = s. Applicando ora il primo teorema del confronto (Teorema 4. di pag. 142) alle successioni {s n } e {t n }, si ha s = lim s n lim t n = t R. n n Dunque s R e la serie converge. Inoltre s t.

2 2 C.7 Serie ii) Osserviamo che se la serie la serie convergerebbe. convergesse, per quanto visto al punto i), anche Teorema 5.31 (Criterio del confronto asintotico) Date due serie e a termini positivi, se le successioni { } k 0 e { } k 0 sono equigrandi per k, allora il comportamento delle due serie coincide. Dimostrazione. Dire che le successioni { } k 0 e { } k 0 sono equigrandi per k equivale a dire che Pertanto le successioni { ak lim = l R \ {0}. k } { } bk e sono entrambe convergenti e dunque k 0 limitate (Teorema 2. di pag. 142). Quindi esistono due costanti M 1, M 2 > 0 tali che, per ogni k > 0, si ha M 1 e M 2, k 0 ossia M 1 e M 2. È sufficiente allora applicare il Teorema 5.29 per ottenere il risultato. Teorema 5.33 (Criterio del rapporto) Sia data la serie k 0. Si supponga che esista, finito o infinito, il limite con > 0, +1 lim = l. k Allora se l < 1, la serie converge; se l > 1, la serie diverge. Dimostrazione. Sia l finito. Per definizione di limite si ha che per ogni ε > 0, esiste un intero k ε 0 tale che k > k ε +1 l < ε ossia l ε < +1 < l + ε. Supponiamo dapprima l < 1. Scelto ε = 1 l 1+l 2, poniamo q = 2 e osserviamo che

3 C.7 Serie 3 0 < +1 < l + ε = q, k > k ε. Pertanto, reiterando, e quindi +1 < q < q 2 1 <... < q k kε ε+1 +1 < ε+1 q kε q k, k > k ε. Concludiamo usando il Teorema 5.29 e il fatto che la serie geometrica di ragione q < 1 converge (Esempio 5.27). Se invece l > 1, scelto ε = l 1, osserviamo che 1 = l ε < +1, k > k ε. Pertanto +1 > >... > ε+1 > 0 e non è verificata la condizione necessaria di convergenza in quanto lim 0. k Se infine l = +, posto A = 1 nella condizione di limite, esiste k A 0 tale che > 1 per ogni k > k A. Dunque ancora non è verificata la condizione necessaria di convergenza. Teorema 5.34 (Criterio della radice) Sia data la serie k 0. Si supponga che esista, finito o infinito, il limite con 0, lim k ak = l. k Allora se l < 1, la serie converge; se l > 1, la serie diverge. Dimostrazione. La dimostrazione è sostanzialmente identica a quella del teorema precedente ed è lasciata al lettore. Teorema 5.36 (Criterio di Leibniz) Data una serie a termini di segno alterno ( 1) k, se valgono le due condizioni i) lim k = 0 ; ii) la successione { } k 0 è monotona decrescente, allora la serie è convergente. Detta s la sua somma, per ogni n 0 si ha r n = s s n b n+1 e s 2n+1 s s 2n. Dimostrazione. Osserviamo che, poiché la successione { } k 0 è decrescente,

4 4 C.7 Serie e s 2n = s 2n 2 b 2n 1 + b 2n = s 2n 2 (b 2n 1 b 2n ) s 2n 2 s 2n+1 = s 2n 1 + b 2n b 2n+1 s 2n 1. Dunque la sottosuccessione delle ridotte di indice pari è decrescente mentre quella delle ridotte di indice dispari è crescente. Inoltre, per ogni n 0, s 2n = s 2n 1 + b 2n s 2n 1... s 1 e s 2n+1 = s 2n b 2n+1 s 2n... s 0 Così {s 2n } n 0 è limitata inferiormente e {s 2n+1 } n 0 è limitata superiormente. Per il Teorema 3.9, entrambe le successioni convergono; poniamo lim s 2n = inf s 2n = s e lim s 2n+1 = sup s 2n+1 = s. n n 0 n Poiché s ( ) s = lim s2n s 2n+1 = lim b 2n+1 = 0, n n concludiamo che la serie ( 1) k converge a s = s = s. Inoltre, per quanto detto, si ha s 2n+1 s s 2n, n 0, ossia la successione {s 2n } n 0 approssima s per eccesso, mentre {s 2n+1 } n 0 approssima s per difetto. Infine, per ogni n 0, risulta 0 s s 2n+1 s 2n+2 s 2n+1 = b 2n+2 e 0 s 2n s s 2n s 2n+1 = b 2n+1 n 0 ovvero r n = s s n b n+1. Teorema 5.40 (Criterio di convergenza assoluta) Se la serie assolutamente, allora essa converge e si ha a k. converge Dimostrazione. La dimostrazione è simile a quella del Teorema 10.7 (criterio di convergenza assoluta per gli integrali impropri). Definiamo le successioni Osserviamo che a + k, a k a + k = { ak se 0 0 se < 0 0 per ogni k 0, e risulta e a k = { 0 se ak 0 se < 0.

5 C.7 Serie 5 = a + k a k e = a + k + a k. Poiché 0 a + k, a k, per ogni k 0, possiamo applicare il Criterio del confronto (Teorema 5.29) e ottenere che le serie a + k e convergono. Osservando che, per ogni n 0, deduciamo che anche la serie ( = a + k ) a k = a + k a k, = a + k Infine, passando al limite per n nella relazione n n a k, a k converge. a k si ottiene la disuguaglianza richiesta.