Dimostrazioni del capitolo 8

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1 Dimostrazioni del capitolo 8 Dimostrazione del Teorema 8. (derivabilità e retta tanente), paina 74 Sia I un intervallo, f : I R e x 0 I. Dobbiamo verificare ce f è derivabile in x 0 se e solo se esiste la retta tanente non verticale al rafico di f in (x 0, f(x 0 )), ovvero ce le seuenti due affermazioni sono equivalenti: (i) esiste finito f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 ; (ii) esiste m R tale ce f(x) = f(x 0 ) + m(x x 0 ) + o(x x 0 ) per x x 0. (i) (ii). Si a f(x) f(x0) x x 0 f (x 0 ) = o() per x x 0, ovvero f(x) f(x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ) = o() (x x 0 ) per x x 0 e (ii) seue da o() (x x 0 ) = o(x x 0 ) per x x 0 (si vedano le proprietà alebrice deli o-piccolo a paina 43) sceliendo m = f (x 0 ). (ii) (i). Ancora utilizzando o() (x x 0 ) = o(x x 0 ), si a f(x) f(x 0 ) x x 0 m = o() per x x 0, per cui il limite in (i) esiste finito e f (x 0 ) = m. Dimostrazione del Teorema 8.3 ( alebra delle derivate ), paina 80 Siano I un intervallo, x 0 I, f, : I R derivabili in x 0 e α R. Dobbiamo dimostrare ce: (i) la funzione αf è derivabile in x 0 e (αf) (x 0 ) = αf (x 0 ); (ii) la funzione f + è derivabile in x 0 e (f + ) (x 0 ) = f (x 0 ) + (x 0 ); (iii) la funzione f è derivabile in x 0 e (f) (x 0 ) = f(x 0 ) (x 0 ) + f(x 0 ) (x 0 ); (iv) se (x 0 ) 0, la funzione f/ è derivabile in x 0 e (f/) (x 0 ) = (f (x 0 )(x 0 ) f(x 0 ) (x 0 ))/((x 0 )) 2. (i), (ii). Seuono immediatamente dalla definizione di derivata e dalle proprietà dei limiti. (iii). Utilizziamo l equivalenza tra la (8.6) e la (8.8): per x x 0, f(x)(x) = (f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 )) ((x 0 ) + (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 )) = f(x 0 )(x 0 ) + (f (x 0 )(x 0 ) + f(x 0 ) (x 0 ))(x x 0 ) + o(x x 0 ).

2 Perciò m = f (x 0 )(x 0 )+f(x 0 ) (x 0 ) è il coefficiente anolare della retta tanente ad f in x 0, ce sappiamo (per il Teorema 8.) coincidere con la derivata. (iv). Per provare la (iv), invece, utilizziamo direttamente la definizione (8.6) di derivata e la (iii) (ce abbiamo appena dimostrato). Si noti innanzitutto ce, se (x 0 ) 0, (x) è definitivamente non nulla per x x 0 e ( ) (x 0 ) = lim x x 0 x x 0 ( (x) (x 0 ) ) = (x) + (x 0 ) = lim x x 0 x x 0 (x)(x 0 ) = (x 0 ) ((x 0 )) 2. Quindi applicando la (iii) alle funzioni derivabili f e /, la f/ è derivabile in x 0 e vale ( ) ( ) ( ) f (x 0 ) = f (x 0 ) (x 0 ) + f(x 0 ) (x 0 ) = f (x 0 )(x 0 ) f(x 0 ) (x 0 ) ((x 0 )) 2. Dimostrazione del Teorema 8.4 (reola della catena), paina 80 Siano I, J intervalli, x 0 I, : I J derivabile in x 0 ed f : J R derivabile in (x 0 ). Dobbiamo dimostrare ce la funzione composta f è derivabile in x 0 e (f ) (x 0 ) = f ( (x 0 ) ) (x 0 ); si vuole cioè dimostrare ce f((x)) = f((x 0 )) + f ((x 0 )) (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ) per x x 0. Per ipotesi, (x) = (x 0 ) + (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ) per x x 0, (D.6) f(y) = f((x 0 )) + f ((x 0 ))(y (x 0 )) + o(y (x 0 )) per y (x 0 ). (D.7) Se (x) (x 0 ) definitivamente per x x 0, possiamo sostituire y con (x) nella (D.7): f((x)) = f((x 0 )) + f ((x 0 ))((x) (x 0 )) + o((x) (x 0 )) per x x 0. (D.8) Quindi, utilizzando la (D.6), si ottiene f((x)) = f((x 0 )) + f ((x 0 )) (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ) per x x 0 ce prova l asserto. Nel caso enerale, in cui può accadere ce (x) = (x 0 ), utilizzando la definizione di o piccolo riscriviamo la (D.7) come f(y) = f((x 0 )) + f ((x 0 ))(y (x 0 )) + (y (x 0 ))(y), (D.9) con lim (y) = 0, y (x 0) ed estendiamo (se necessario) con continuità in y = (x 0 ) ponendo ((x 0 )) = 0. In tal modo: 2

3 l uualianza (D.9) a senso ed è vera ance se y = (x 0 ); perciò si può sostituire y = (x), da cui f((x)) = f((x 0 )) + f ((x 0 ))((x) (x 0 )) + ((x) (x 0 ))((x)); si può applicare il Teorema 7.2 (continuità di funzione composta); perciò ((x)) 0 per x x 0, ovvero ((x)) = o() per x x 0, ovvero ((x) (x 0 ))((x)) = o((x) (x 0 )) per x x 0. Abbiamo così ritrovato la (D.8), e a questo punto la dimostrazione si conclude come sopra. Dimostrazione del Teorema 8.0 (monotonia e derivata), paina 9 Non è restrittivo supporre ce f (x) 0 (altrimenti basta scambiare f con f). Dobbiamo quindi dimostrare ce se f : (a, b) R è derivabile in (a, b), allora (i) f (x) 0 x (a, b) f è crescente in (a, b); (ii) f (x) > 0 x (a, b) = f è strettamente crescente in (a, b). (i). Se f (x) 0 per oni x (a, b) allora, per il teorema del valor medio, per oni a x x 2 b esiste c (x, x 2 ) tale ce f(x 2 ) f(x ) = f (c)(x 2 x ) 0, quindi f(x 2 ) f(x ) per oni x 2 > x. Se viceversa f è crescente in (a, b), allora il rapporto incrementale è non neativo: f(y) f(x) 0 x, y (a, b), x y. y x Perciò f f(y) f(x) (x) = lim 0 x I. y x y x (ii). Si procede esattamente come nella parte (i), osservando ce in questo caso f (c) > 0 e quindi f(x 2 ) > f(x ). Dimostrazione del Lemma 8.2, paina 200 Sia f : (a, b) R e sia P (x, y) = f(x) f(y) x y. Dimostriamo ce le seuenti due affermazioni sono equivalenti: (i) f è convessa in (a, b); (ii) P (x 2, x ) P (x 3, x ) P (x 3, x 2 ) per oni a x x 2 x 3 b 3

4 (nel caso di disuualianze strette la dimostrazione è identica). (8.34): Ricordiamo la (i) f(z) f(x) + P (y, x)(z x) per oni x z y. (i) (ii). Sceliendo x = x, z = x 2 e y = x 3 si ottiene f(x 2 ) f(x ) + P (x 3, x )(x 2 x ) (D.20) da cui seue immediatamente la prima disuualianza. Per la seconda basta osservare ce la retta di equazione y = f(x ) + P (x 3, x )(x 2 x ) coincide con quella di equazione y = f(x 3 ) + P (x 3, x )(x 2 x 3 ). Perciò (D.20) è equivalente a f(x 2 ) f(x 3 ) + P (x 3, x )(x 2 x 3 ) da cui seue immediatamente la seconda disuualianza. (ii) (i). È sufficiente scrivere la prima disuualianza con x = x, x 2 = z e x 3 = y: P (z, x) P (y, x) f(z) f(x) + P (y, x)(z x). Dimostrazione del Teorema 8.3, paina 200 Dobbiamo dimostrare ce se f : (a, b) R è (strettamente) convessa in (a, b), allora (i) per oni x (a, b) esistono finiti f +(x) ed f (x); (ii) f +(x) f (x) per oni x (a, b); (iii) le funzioni f + ed f sono (strettamente) crescenti in (a, b); (iv) f è continua in (a, b). (i). Sia 0 tale ce x + 0 b; dal Lemma 8.2 seue ce il rapporto incrementale P (x +, x) è crescente rispetto ad ; inoltre è limitato dal basso, poicé fissato un qualunque y (a, x) si a P (x +, x) P (x +, y) P (x, y) per oni (0, 0 ). Perciò il limite 0 + esiste ed è finito, ovvero esiste finita f +. Per f si procede allo stesso modo. (ii). Per il Lemma 8.2, per oni > 0 (tale ce a x x + b) si a f(x ) f(x) f(x) f(x ) = = P (x, x ) f(x + ) f(x) P (x +, x) =, 4

5 quindi la (ii) seue passando al limite 0 +. (iii). Sia x y. Utilizzando il Lemma 8.2 si ottiene f(x + ) f(x) f(y + ) f(x) y + x f(y + ) f(y). Passando al limite 0 + si ottiene la monotonia di f +; quella di f si prova allo stesso modo. Se inoltre f è strettamente convessa, allora osserviamo ce per x z y e sufficientemente piccolo f(x + ) f(x) f(z) f(x) z x Passando al limite 0 + si ottiene f +(x) f(z) f(x) z x f(y) f(z) y z f(y) f(z) y z f(y + ) f(y). f +(y) ce prova la stretta monotonia di f +. Quella di f si dimostra allo stesso modo. (iv). Seue da (i) ce f è continua da destra e da sinistra per oni x (a, b), quindi è continua in (a, b). Dimostrazione del Teorema 8.4, paina 200 Sia f derivabile in (a, b). Dobbiamo dimostrare ce le seuenti tre affermazioni sono equivalenti: (a) f è (strettamente) convessa in (a, b); (b) f è (strettamente) crescente in (a, b); (c) f(x) (>) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) per oni x, x 0 (a, b), x x 0. (a) (b). Poicé f è derivabile, f = f + = f in (a, b); quindi (b) seue immediatamente dal Teorema 8.3 (iii). (b) (c). Poicé f è derivabile in (a, b), si può applicare il teorema di Larane nell intervallo di estremi x 0 e x. Se per esempio x 0 x, allora esiste c (x 0, x) tale ce f(x) = f(x 0 ) + f (c)(x x 0 ) e (c) seue dal fatto ce f (c) (>) f (x 0 ). Se viceversa x x 0 allora esiste c (x, x 0 ) tale ce f(x 0 ) = f(x) + f (c)(x 0 x) e la tesi seue dal fatto ce f (x 0 ) (>) f (c). 5

6 (c) (a). Siano x x 0. Applicando due volte la disuualianza in (c), per oni a x x 0 x 2 b si ottiene f(x ) (>) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), f(x 2 ) (>) f(x 0 ) + f (x 0 )(x 2 x 0 ). Moltiplicando la prima per (x 2 x 0 ), la seconda per (x 0 x ) e sommando, si ottiene f(x 0 )(x 2 x ) () f(x )(x 2 x 0 ) + f(x 2 )(x 0 x ) = f(x ) + (f(x 2 ) f(x ))(x 0 x ) ce, dividendo per x 2 x, coincide (con x 0 = x) con la (8.34) e prova la (stretta) convessità di f. Teorema 8.5, paina 20 Sia f due volte derivabile in (a, b); dobbiamo dimostrare ce (i) f è convessa in (a, b) se e solo se f (x) 0 per oni x (a, b); (ii) se f (x) > 0 per oni x (a, b), allora f è strettamente convessa in (a, b). (i). Per il Teorema 8.4, f è convessa in (a, b) se e solo se f è crescente in (a, b); per il Teorema 8.0 (applicato ad f ) ciò accade se e solo se d dx f (x) = f (x) 0 per oni x (a, b). (ii). se f (x) > 0 per oni x (a, b), allora (per il Teorema 8.0 applicato ad f ) f è strettamente crescente in (a, b); per il Teorema 8.4 ciò accade se e solo se f è strettamente convessa. Dimostrazione del Teorema 8.9 (formula del resto di Larane), paina 29 Sia f C n ([a, b]), n + volte in [a, b] \ {x 0 } e sia x (x 0, b] (il caso x [a, x 0 ) si tratta in modo analoo). Dobbiamo dimostrare ce esiste y (x 0, x) tale ce, posto := f(x) T n (x), si a = f (n+) (y) (n + )! (x x 0) n+. Seue dal Teorema 8.7 (e dal fatto ce T n (n+) (x) è identicamente nulla) ce u(x 0 ) = u (x 0 ) = = u (n) (x 0 ) = 0 e u (n+) (x) = f (n+) (x). (D.2) Posto v(x) := (x x 0 ) n+ 6

7 vale v(x 0 ) = v (x 0 ) = = v (n) (x 0 ) = 0 e v (n+) (x) = (n + )! ; (D.22) quindi, per il teorema di Caucy, esiste y (x 0, x) tale ce (x x 0 ) n+ = u(x 0) v(x) v(x 0 ) = u (y ) v (y ). Applicando una seconda volta il teorema di Caucy otteniamo ce esiste y 2 (x 0, y ) tale ce (x x 0 ) n+ = u (y ) v (y ) = u (y ) u (x 0 ) v (y ) v (x 0 ) = u (y 2 ) v (y 2 ). Per la (D.2) e (D.22), si può ripetere questo procedimento (n + ) volte, perciò esistono x 0 y n+ y n y n y 2 y x tali ce (x x 0 ) n+ = u(k) (y k ) v (k) (y k ) In particolare, posto y = y n+, si trova ce conclude la dimostrazione. k =, 2,..., n +. (x x 0 ) n+ = u(n+) (y) v (n+) (y) = f (n+) (y) (n + )! Dimostrazioni del Capitolo 9 Dimostrazione del Lemma 9. (confronto tra somme superiori e inferiori), paina 227 Siano f : [a, b] R limitata e D, D 2 due suddivisioni di [a, b]. Dobbiamo dimostrare ce: (i) Se D è più fine di D 2, allora (ii) s(d, f) S(D 2, f). s(d 2, f) s(d, f) S(D, f) S(D 2, f); (i). Svoliamo la dimostrazione nel caso in cui D possiede un solo punto in più rispetto a D 2 (ripetendo il raionamento aiunendo un punto per volta si perviene al risultato enerale in un numero finito di passi). Sia dunque D = 7