ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2017/2018. Esercizi: lezione 30/11/2017

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2017/2018 Esercizi: lezione 30/11/2017 Analisi di titoli BTP Italia Esercizio 1. Un BTP Italia, emesso il primo marzo 2012, durata due anni, cedola semestrale a tasso cedolare i = 2%, con valore nominale pari a N = 1000e, collegato all indice FOI (é un indice dei prezzi di beni e servizi per le famiglie di operai ed impiegati) per tenere conto dell inflazione semestre per semestre, con premio fedeltá del 4 per mille, viene acquistato all emissione alla pari e tenuto fino alla scadenza. La tabella degli indici FOI, che indicheremo con I j, j = 0, 1, 2, 3, 4, ove I j denota l indice FOI relativo al j-esimo semestre, è la seguente: Epoche Indice FOI 01/03/ /09/ /03/ /09/ ,8 01/03/ a) Ricavare il cash-flow del titolo b) Ricavare il rendimento del titolo, con una approssimazione pari alla prima cifra decimale rispetto al rendimento espresso giá in forma percentuale. Soluzione. a) Si noti, dalla sequenza degli indici, pari a I 0 = 104, I 1 = 105, I 2 = 106, I 3 = 106, 8, I 4 = 105, che é presente inflazione in tuti i semestri tranne l ultimo, perché I j > I j 1, per j = 1, 2, 3, ma I 4 < I 3. Secondo il regolamento del BTP ITALIA, il detentore del titolo ha diritto ogni semestre ad una remunerazione (in simboli, RS j ) che è data dalla somma di una cedola calcolata su un nominale rivalutato (in simboli c j ) e da un termine detto capitale rivalutato (in simboli, CR j ), il tutto per j che va da 1 a 4 (in generale, j = 1,..., n). Entrambi i termini che compongono la 1

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA remunerazione del j-esimo semestre dipendono fortemente da un parametro non negativo denominato α j. Si noti che il termine 1+α j, relativo al j-esimo semestre, viene chiamato coefficiente di indicizzazione. Ora passiamo a dare le formule generali riguardanti la cedola c j, il capitale rivalutato CR j e la remunerazione semestrale RS j per tutti i semestri, ossia per j che va da 1 a n (nel nostro caso particolare, n = 4). Tenete conto che tutte queste formule mantengono la loro validitá sia in caso di inflazione che di deflazione e con qualunque sequenza di indici FOI: c j = 1 2 in(1 + α j), j = 1, 2, 3, 4; CR j = α j N, j = 1, 2, 3, 4; (1) RS j = c j + CR j, j = 1, 2, 3; RS 4 = c 4 + CR 4 + 1, 004 N. In particolare, si noti che RS 4 tiene conto del premio fedeltá, sotto l ipotesi che il titolo sia portato a scadenza. Il punto chiave é determinare i corretti coefficienti di indicizzazione. Se nella sequenza degli indici FOI non compare deflazione oppure si verificano periodi di deflazione seguiti da periodi di inflazione con indici FOI che superano sempre i massimi valori toccati in precedenza, allora gli indici α j si possono calcolare secondo la formula (effetto floor): α j = max { 0, I j I j 1 1 }, j = 1,..., n. (2) Se invece, siete in presenza di periodi di deflazione seguiti da periodi di inflazione con indici FOI che non superano i massimi valori toccati in precedenza, allora vi conviene calcolare anche gli indici M j, secondo la seguente formula ricorsiva: { M j = max{m j 1, I j }, j = 1,..., n; (3) M 0 = I 0. Successivamente, il calcolo degli α j, qualunque sia l andamento degli indici FOI, è dato da α j = M j 1, j = 1,..., n. (4) M j 1 Nel nostro caso, poiché l unico periodo di deflazione é l ultimo, possiamo usare la formula data dall Eq. (2). Una volta esposto il calcolo esplicito per α 1, lasceremo all attento lettore la ripetizione nei casi j = 2, 3, mentre espliciteremo nuovamente il calcolo per α 4, perché nell ultimo semestre vi é deflazione.

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 Facendo il calcolo per j = 1 e ricordandosi di approssimare il coefficiente α 1 alla quinta cifra decimale (secondo regolamento), si ha che I 0 = 104, I 1 = 105 e α 1 = 0, A questo punto, approssimando alla seconda cifra decimale (secondo regolamento) sia il capitale rivalutato che la cedola, si ha che c 1 = 10, 10 e CR 1 = 9, 62, quindi RS 1 = 19, 72. Di seguito, trovate la tabella con tutti i valori calcolati per j = 1, 2, 3, in corrispondenza agli indici I 2 = 106 e I 3 = 106, 8: Epoche α j CR j c j RS j 1 0, ,62 10,10 19,72 2 0, ,52 10,10 19,62 3 0, ,55 10,08 17,63 Nell ultimo semestre, invece, fate attenzione al fatto che I 4 < I 3, ossia I 4 /I 3 1 < 0, quindi, secondo l Eq. (2), si ha che α 4 = 0. Conseguentemente, si ha che CR 4 = 0, c 4 = 10 e RS 4 = 10, ossia quando non c è effetto inflattivo, la remunerazione semestrale coincide con la vecchia, classica cedola. Pertanto, il cash-flow dell investimento, che denoteremo A, é dato da a 0 = 1000, a 1 = 19, 72, a 2 = 19, 62, a 3 = 17, 63, a 4 = 1014, ove si noti che a 4 comprende la restituzione del nominale piú il 4 per mille del nominale stesso, ossia in questo caso 4 euro, come premio fedeltá. b) Il discounted cash-flow del titolo é dato da a 1 G(x) = a 0 + (1 + x) a 2 (1 + x) + a 3 (1 + x) a 4 (1 + x) 2. Il rendimento di tale titolo é il TIR di G(x), ossia l unica soluzione x ] 1, + [ dell equazione G(x) = 0. Tenete conto che non siete in grado di trovare una soluzione esatta di tale equazione, perché algebricamente troppo complicata (anche passando attraverso una opportuna sostituzione di variabile, avreste una equazione algebrica di quarto grado). Allora, ricordando che G(x) è una funzione strettamente decrescente, tale che G(x) > 0 per x < x e G(x) < 0 per x > x, dobbiamo cominciare a testare il segno di G(x) buttandovi dentro valori ragionevoli di x. Considerate il fatto che a causa del meccanismo di rivalutazione che tiene conto dell inflazione, il rendimento é sicuramente superiore al tasso cedolare, quindi non ha senso considerare valori inferiori a i. Se ad esempio inserite x = 2, 5%, risulterá G(2, 5%) = 20, 74 (qui, come sempre dopo, il valore di G é approssimato alla seconda cifra decimale), ossia un valore piuttosto alto: se 2, 5% fosse vicino alla soluzione x, G(2.5%) avrebbe un valore molto piú basso (sia positivo

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA che negativo, a seconda che 2, 5% approssimi la soluzione per difetto o per eccesso). Saltate allora piú avanti e provate con x = 3.5% e vi risulterá G(3, 5%) = 1, 66: ci dovremmo essere. Allora, adesso inserite x = 3, 6%, ossia il rendimento giá espresso in forma percentuale con la sola prima cifra decimale mutata rispetto a 3, 5%, e troverete G(3, 6%) = 0, 21. Dunque, il rendimento stará tra il 3, 5% e il 3, 6%, con l approssimazione richiesta. Esercizio 2. Un BTP Italia, emesso il primo settembre 2016, durata due anni, cedola semestrale a tasso cedolare i = 4%, valore nominale N = 1000 e, collegato all indice FOI per tenere conto dell inflazione semestre per semestre, premio fedeltá del 4 per mille, viene acquistato all emissione alla pari e tenuto fino alla scadenza. La sequenza degli indici FOI giá usciti, che indicheremo con I j, j = 0, 1, 2, ove I j denota l indice FOI relativo al j-esimo semestre, è la seguente: I 0 = 103, I 1 = 102, 5, I 2 = 103. Oggi, in data 30 novembre 2017, in attesa dell uscita di I 3 e I 4, si chiede di: a) determinare il minimo rendimento possibile del titolo in percentuale, senza specificare i futuri valori di I 3 e I 4, con una approssimazione pari alla prima cifra decimale; b) dare un esempio numerico di indici I 3 e I 4 tali da configurare il minimo rendimento, ma senza avere deflazione in almeno uno degli ultimi due semestri; c) determinare l indice I 3, con approssimazione alla seconda cifra decimale, tale da rendere il rendimento dell investimento al 4, 5%, supponendo che I 2 < I 4 < I 3 ; d) calcolare il GVAN di tale investimento, nel caso a), a costi opportunitá i 1 = 4% per il primo anno e mezzo e i 2 = 4, 8% per l ultimo semestre; e) Facoltativo: fornire un tetto massimo per I 3 e uno per I 4 tali che, nel caso in cui i reali futuri indici FOI I 3 e I 4 non siano superiori alle stime da voi fornite, il rendimento del titolo sia compreso tra gli stessi valori trovati al punto a). AIUTO: vi conviene lavorare prima in termini di α 3 ed α 4, poi introdurre il termine α M = max{α 3, α 4 }, infine passare ai valori massimi cercati di I 3 e I 4. Soluzione. a) Si noti, dalla sequenza degli indici, che é presente deflazione nel primo semestre ed una leggera inflazione nel secondo, ma non abbastanza da superare l indice iniziale, quindi non sufficiente a far scattare il meccanismo di rivalutazione.

5 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 In tal caso, come osservato durante la risoluzione del precedente esercizio, per calcolare gli indici α j conviene usare l Eq. (4), applicabile per qualunque andamento degli indici FOI, ove gli indici M j sono calcolati ricorsivamente secondo l Eq. (3). Nel nostro caso, si ha dunque che M 0 = M 1 = M 2 = 103, pertanto, adoperando la formula data in Eq. (4), è chiaro che α 1 = α 2 = 0. Applicando ora l Eq. (1), è evidente che si trovi c j = 1 2iN (ossia la cedola classica, qui pari a 20 e), CR j = 0 e RS j = c j = 20, per j = 1, 2. Il minimo rendimento possibile si avrá ovviamente nel caso in cui anche negli ultimi due semestri non scatti il meccanismo di rivalutazione, il che equivale a dire che, grazie al meccanismo del floor che è inglobato nella formula data in Eq. (3), sia α 3 che α 4 devono essere nulli e conseguentemente la remunerazione semestrale si riduce alla cedola classica. Pertanto, il discounted cash-flow del titolo nella peggiore prospettiva, denominato G Min (x), sarebbe 20 G Min (x) = (1 + x) (1 + x) + 20 (1 + x) (1 + x) 2, ove nell importo finale si è tenuto conto del premio fedeltá. Considerate il fatto che non siete in grado di trovare una soluzione esatta, denotata x, dell equazione G Min (x) = 0, che vi fornirebbe la risposta cercata, perché algebricamente troppo complicata (anche passando attraverso una opportuna sostituzione di variabile, avreste una equazione algebrica di quarto grado). Allora, ricordando che G Min (x) è una funzione strettamente decrescente, tale che G Min (x) > 0 per x < x e G Min (x) < 0 per x > x, dobbiamo testare il segno di G Min (x) buttandovi dentro valori ragionevoli di x, rammentando che il rendimento é sicuramente superiore al tasso cedolare, quantomeno per il premio finale, ma non di molto, visto che non scatta mai il meccanismo di rivalutazione semestrale, quindi ha senso considerare valori di poco superiori a i. Se ad esempio inserite r 1 = 4, 2%, risulterá G Min (r 1 ) 0, 70 > 0, mentre con r 2 = 4, 3% risulterá G Min (r 2 ) 1, 16 < 0, pertanto il rendimento minimo possibile stará tra il 4, 2% e il 4, 3%, con l approssimazione richiesta. b) Grazie alla formula data in Eq. (3), è sufficiente che I 3 sia minore di I 2 (in questo caso, avrei deflazione nel terzo semestre) e I 3 < I 4 I 2 (in tal caso, avrei una leggera inflazione nell ultimo semestre, ma non sufficiente a far scattare il meccanismo di rivalutazione). Ad esempio, se I 3 = 102, 8 e I 4 = 102, 9, allora avrei deflazione nel terzo semestre, inflazione nel quarto, ma, in base alla formula data in Eq. (3), avrei M 3 = M 4 = 103, perció α 3 = α 4 = 0, come prospettato nel punto precedente. c) Si noti come l ipotesi I 2 < I 4 < I 3 implichi sia che l inflazione del terzo semestre sia tale da far scattare il meccanismo di rivalutazione, ossia α 3 > 0, sia il ritorno della deflazione nell ultimo semestre e conseguentemente α 4 = 0.

6 6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Dunque, il cash-flow dell investimento, che denoteremo A, é dato da a 0 = 1000, a 1 = 20, a 2 = 20, a 3 = 20 + z, a 4 = Siccome dalle formule date in Eq. (1), si ricava abbastanza facilmente che RS 3 = α 3, essendo RS 3 = a 3, è immediato vedere come z = 1020 α 3. Il discounted cash-flow del titolo é dato da 20 G(x) = (1 + x) 1 2 (1 + x) z (1 + x) (1 + x) 2. Se desideriamo che il rendimento di tale titolo sia r = 4, 5% bisogna che r sia il TIR del titolo, ossia l unica soluzione appartenente a ] 1, + [ dell equazione G(x) = 0. Inseriamo allora r = 0, 045 al posto di x ed eguagliamo a zero: in tal modo, con approssimazione alla quinta cifra decimale come per l indice α 3, si trova: z = 1000(1, 045) 3/2 20(1, 045) 20 1, = 5, , 045 Invertendo allora la precedente relazione tra z e α 3, si arriva a 5, α 3 = = 0, 00510, 1020 pertanto I 3 = (1 + α 3 ) M 2 = 103, 53, con approssimazione alla seconda cifra decimale. d) Il GVAN richiesto non é altro che 20 GVAN(i 1, i 2 ) = (1 + i 1 ) 1 2 (1 + i 1 ) (1 + i 1 ) 3 2 (1 + i 1 ) 3/ i 2 Inserendo i dati, approssimando alla seconda cifra decimale, risulta GV AN = 0, 82 e, ossia, rispetto a quei tassi, tale investimento, pur nella sua forma meno redditizia, é conveniente, perché porta ad un plusvalore di circa 0, 82 e. e) Dalle formule date in Eq. (1), per j = 3 si vede facilmente che mentre per j = 4 si ha che RS 3 = α 3, RS 4 = α 4. Pertanto, adoperando la simbologia introdotta al punto a), non è difficile vedere che il discounted cash-flow del titolo, qualunque siano le uscite future di I 3 e I 4, é dato da G(x) = G Min (x) + A(x),

7 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 7 ove A(x) = 1020α α 4 (1 + x) 3 2 (1 + x) 2. Sempre adoperando i simboli usati al punto a), dobbiamo far vedere che, per certi valori massimi di α 3 e α 4, il rendimento di G(x) sia compreso tra r 1 e r 2, ossia, al solito, che G(r 1 ) > 0 e G(r 2 ) < 0. La prima disequazione è banale, osservando che A(x) > 0 per ogni x ] 1, [. Infatti, tenendo conto di quest ultima osservazione e dei risultati ottenuti al punto a), si ha che G(r 1 ) = G Min (r 1 ) + A(r 1 ) > G Min (r 1 ) = 0, 70 > 0. Invece, la seconda disequazione da dimostrare, ossia G(r 2 ) < 0, è verificata se e solo se A(r 2 ) < G Min (r 2 ). (5) Se ora introduciamo il termine α M = max{α 3, α 4 }, non è difficile mostrare che A(r 2 ) 1020 α M r 2 (1 + r 2 ) 2. Pertanto, una condizione sufficiente a garantire la validitá della eq. (5) è che o, equivalentemente, che 1020 α M r 2 (1 + r 2 ) 2 < G Min (r 2 ), α M < G Min(r 2 ) (1 + r 2 ) ( r 2 ) = 0, A questo punto, usando la stima appena ottenuta, è chiaro che I 3 (1 + α M )M 2 < 1, = 103, 06. Similmente, usando la stima su α M e quella appena trovata su I 3, si ha che I 4 (1 + α M )I 3 < 1, , 06 = 103, 12. In conclusione, se I 3 non supererá il valore di 103, 06 e I 4 il valore di 103, 12, anche in caso di inflazione (e automatica rivalutazione delle cedole) negli ultimi due semestri, il rendimento sará sempre compreso tra il 4, 2% e il 4, 3%.