Richiami sullo studio di funzione

Transcript

1 Richiami sullo studio di funzione Per studiare una funzione y = f() e disegnarne un grafico approssimativo, possiamo procedere in ordine secondo i seguenti passi:. determinare il campo di esistenza (o dominio) della funzione: per quali R la f() esiste. 2. identificare eventuali simmetrie, ad esempio se la funzione è pari (cioè se f() = f( ) allora il grafico è simmetrico rispetto all asse delle y se la funzione è dispari (cioè se f() = f( ) allora il grafico è simmetrico rispetto all origine 3. studiare il segno della funzione, ovvero in quali sottoinsiemi del dominio f() è positiva, nulla o negativa 4. identificare eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani: intersezione con asse : dal precedente studio del segno si ricavano i valori per cui f() = 0, quindi l intersezione è in P (, 0). Possono essere nessuno o più di uno. intersezione con asse y: bisogna calcolare f(0), se è possibile (cioè se il dominio contiene = 0) e il punto di intersezione è Q(0, f(0)). Se esiste, l intersezione è unica, altrimenti la funzione non sarebbe ben definita. 5. Determinare il comportamento agli estremi del dominio: studiando i limiti a +, e nei punti (finiti) non contenuti nel dominio. 6. Identificare eventuali asintoti: verticali alla retta = 0 per esempio se lim f() = 0 orizzontali alla retta y = c per esempio se lim f() = c + obliqui alla retta y = m + q per esempio se lim f() = + + f() lim + = m lim f() m = q + 7. Identificare i punti di massimo e minimo relativo e assoluto, gli intervalli di monotonia e la concavità.

2 ESERCIZI. Studiare le seguenti funzioni f() indicando in particolare: il campo di esistenza il segno i punti di intersezione con gli assi i limiti interessanti gli eventuali asintoti verticali, orizzontali, obliqui il grafico approssimativo. f() = f() = 2 ( ) 2 3. f() = 2 4. f() = f() = ( + ) f() = ( )2 ( + ) ( 2)( 5) 7. f() = ( + 2 ) f() = f() = f() =

3 DEFINIZIONI FONDAMENTALI Rapporto incrementale di una funzione f() in un punto 0 : f( 0 + h) f( 0 ) h Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della secante al grafico di f, passante per i punti P ( 0, f( 0 )) e P ( 0 + h, f( 0 + h)). Se il limite f( 0 + h) f( 0 ) lim esiste ed è finito h 0 h allora il valore del limite si chiama derivata di f in 0 e si indica con f ( 0 ). Se f possiede una derivata in ogni punto del proprio dominio, allora f è derivabile e la sua derivata è la funzione f (). La derivata di f in 0 - ossia il numero f ( 0 ) - è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f in 0. L equazione della retta tangente al grafico di f in 0 è quindi: y = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) Se f() e g() sono derivabili, allora anche la loro somma è derivabile e la derivata della somma è la somma delle derivate: (f + g) = f + g Se f è derivabile e a è una costante reale, allora la funzione a f() è derivabile e la sua derivata è (a f()) = a f () La derivata di una funzione costante è zero Ogni funzione del tipo f() = k derivata è con k R è derivabile sul suo dominio e la sua f () = k k 3

4 ESEMPI. Se f() = , per calcolare la sua derivata dobbiamo calcolare separatamente le derivate di ogni addendo, usando le formule di derivazione scritte sopra: ) la derivata di 5 3 è = 5 2 2) la derivata di 7 è 7 = 7 0 = 7 3) la derivata di 2 è 0 Quindi la derivata di f() è la somma delle derivate appena trovate: f () = Se f() = allora usiamo la notazione con le potenze intere negative e scriviamo: 3 f() = 3 quindi f () = ( 3) 3 = 3 4 = 3 4 Se f() = 8 allora usiamo la notazione con le potenze intere negative e scriviamo: 2 f() = 8 2 quindi, ricordando che il coefficiente 8 si mantiene nella derivata, otteniamo: f () = 8 ( 2) 2 = 6 3 = 6 3 Se f() = allora usiamo la notazione con le potenze razionali e scriviamo: f() = = 2 Infatti, le radici n-esime si possono scrivere come potenze: n = n. In particolare: = 2 e = 2 quindi possiamo usare anche per le radici la regola di derivazione per le potenze: se f() = allora f () = 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2 Se f() = 4 allora f () = 4 2 = 2 4

5 Se f() = allora possiamo scrivere f() = ( ) 2 ( quindi f () = ( ) ) 2 = = 2 3 Se f() = 3(2 ) 4 allora: ) la derivata di 3(2 ) = 6 3 è 6 2) la derivata di 4 ( ec ( 4) ) = 2 3 quindi f () = Esercizio. Scrivi la definizione di rapporto incrementale della funzione f() in un punto 0 : Scrivi la definizione di derivata di f() nel punto 0 : f ( 0 ) = Scrivi l equazione della retta tangente al grafico di f() nel punto 0 : y = f( 0 )+ Esercizio 2. Usando la definizione calcolare il valore della derivata delle seguenti funzioni nei punti indicati.. Se f() =, calcolare f ( 2 ) e f ( ) 2. Se f() = 2 2 +, calcolare f (2) 3. Se f() = 2, calcolare f (0) Esercizio 3.. Se f() = 3 4 2, scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f in 0 = 0 2. Se f() = 2 + 2, scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f in 0 = 5

6 Esercizio 4. Sfruttando le regole di derivazione che conosci, scrivi la derivata delle seguenti funzioni in un punto generico e poi calcolala nei punti indicati.. Se f() = 5 2, determinare f () e calcolare f ( ) 2. Se f() = , determinare f () e calcolare f (0) 3. Se f() = , determinare f () e calcolare f ( 2) 4. Se f() = 2, determinare f () e calcolare f () 5. Se f() =, determinare f () e calcolare f ( ). Esiste f (0)? 6. Se f() = 3( ) , determinare f () e calcolare f (2). Esercizio 5. La derivata di una funzione f() in un punto 0 rappresenta: A la retta tangente al grafico di f() nel punto 0 B C l intersezione della retta tangente al grafico di f() con l asse delle ordinate il coefficiente angolare di una qualunque retta secante al grafico di f() D il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f() nel punto 0 Esercizio 6. La derivata di f() = ( ) + 5 è: A f () = + 5 B f () = C f () = D f () =

7 Esercizio 7. L asintoto di equazione y = m + q, per la funzione f(), rappresenta: A una retta inclinata cui la funzione si avvicina quando + B una retta inclinata che non può mai essere attraversata dal grafico di f() C una retta inclinata con m = f ( 0 ) per qualche punto 0 f() D una retta inclinata con q = lim + Esercizio 8. (a) Disegnare il grafico della funzione f() = (b) Costruire una tabella dei segni della derivata f (). Esercizio 9. (a) Disegnare il grafico della funzione f() = (b) Costruire una tabella dei segni della derivata f (). Esercizio 0. (a) Disegnare il grafico della funzione f() = ( )( + 5) 3( 2 9) (b) Costruire una tabella dei segni della derivata f (). Esercizio. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica corretta. Se f() è derivabile, allora A la derivata di f() + 5 è f () + 5. B la derivata di 5f() è f () + 5. C D la derivata di 5f() è f (). la derivata di f() + 5 è f (). 7

8 Esercizio 2. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica errata. Se f() è derivabile, allora A la derivata di f() è f (). B la derivata di 2f() è 2f (). C la derivata di 2 f() è 2f (). D la derivata di f() 2 è f () 2. Esercizio 3. Scrivi le definizioni di asintoto orizzontale e verticale per una funzione f() e determina la loro eventuale presenza per la funzione Esercizio 4. f() = 3 + ( )( 2) Scrivi la definizione di asintoto obliquo per una funzione f() e determina la sua eventuale presenza per la funzione f() = Esercizio 5. Scrivi l equazione della retta tangente al grafico di una funzione f() nel punto 0 e scrivila esplicitamente per la funzione f() = nel punto = 2. Esercizio 6. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica corretta. La derivata di una funzione f() in un punto 0, se esiste, è A B una funzione un angolo C il rapporto tra l ordinata e l ascissa del punto P ( 0, f( 0 )) D un numero 8

9 Esercizio 7. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica corretta. La derivata f () di una funzione f() A è sempre positiva B può anche valere 0 C D è una costante vale 2 Esercizio 8. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica corretta. Se f() =, quanto vale lim h 0 + f( 0 + h) f( 0 ) h A 2 quando 0 =? B non esiste C + D 0 Esercizio 9. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica errata. La derivata f () di una funzione f() A può non esistere in qualche punto B può anche valere 0 C se f è una costante, allora f () = 3 D se f() = 2 allora f = 2 2 Esercizio 20. Se f() = 2 2, trova i punti in cui la derivata f () vale 0. 9

10 Esercizio 2. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica corretta. La funzione f() = 2 interseca l asse delle ascisse nel punto: A A(, 0) B B(0, 5 ) C C( 2, 0) D D(0, 2 ) Esercizio 22. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica corretta. 2 2 Il lim A vale - B vale 0 C D non esiste vale Esercizio 23. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica corretta. La retta tangente alla curva di equazione y = nel punto di ascissa è A y = B y = 0 C y = + D y = Esercizio 24. Scrivere la regola di derivazione per una funzione del tipo f() = k (k R) e spiegare come si calcola la derivata di f() =

11 Esercizio 25. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica errata. La funzione f() = + 2 A è definita solo per 2 B il minimo valore che assume è C è derivabile in = 2 D non interseca mai l asse delle ascisse Esercizio 26. Scrivi la definizione di asintoto orizzontale per una funzione f() e determina la loro eventuale presenza per la funzione f() = e Esercizio 27. Scrivi la definizione di asintoto obliquo per una funzione f() e determina la sua eventuale presenza per la funzione f() = ( + 2)( + ) 2 Esercizio 28. Scrivi l equazione della retta tangente al grafico di una funzione f() nel punto 0 e scrivila esplicitamente per la funzione f() = nel punto =. Esercizio 29. Scrivi la definizione di asintoto verticale per una funzione f() e determina la loro eventuale presenza per la funzione f() = ( + 3 )(5 + 2) 2 Esercizio 30. Scrivi come si trovano i punti di intersezione con gli assi per il grafico di una funzione f() e determina la loro eventuale presenza per la funzione f() = e + 9

12 Esercizio 3. Spiegare quando una funzione f() è derivabile e dire se la funzione f() = 3 se se < 0 è derivabile in tutti i punti del suo dominio e perché. Esercizio 32. Spiegare quando una funzione f() è continua e dire se la funzione f() = + e se se < 0 è continua in tutti i punti del suo dominio e perché. Esercizio 33. Spiegare quando una funzione f() è derivabile e dire se la funzione f() = se se < 0 è derivabile in tutti i punti del suo dominio e perché. Esercizio 34. La retta y = 5 3 è asintoto orizzontale a per la funzione: A y = e B C D

13 Esercizio 35. La funzione f() = A (0, 2) è positiva nell insieme: B (2, + ) C (, 2] D (4, + ) Esercizio 36. Scrivi l equazione della retta tangente al grafico di una funzione f() nel punto 0 e scrivila esplicitamente per la funzione f() = + 3 nel punto =. 2 Esercizio 37. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica errata. Se f() è derivabile, allora A la derivata di f() è f () 2. B la derivata di 2 2f() è 2 2 2f (). C la derivata di 2 3 f() è 2 3 f (). D la derivata di f() 5 3 è f () 5 2. Esercizio 38. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica errata. A la derivata di e + 2 è e + 2. B la derivata di 2e è 2e. C la derivata di e è e. D la derivata di 5e 5 è 5e. 3

14 DERIVATE FONDAMENTALI f() f () c n n n e e a ln() ln(a) a 4

15 DERIVATA DEL PRODOTTO DI DUE FUNZIONI Esempio: (fg) = f g + f g Calcolare la derivata della funzione h() = ( ) (2 ) 2 La scrivo come prodotto di due funzioni: f() = ( ) e g() = (2 ). Calcolo la derivata di f() e la derivata di g(): f () = 4 4 e g () = 2 ( 2 quindi h () = = ) ( ) ESERCIZI. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni, usando le regole di derivazione della somma e del prodotto di funzioni: ( ) 2 ) f() = + 2) f() = ( ) ( ) ) f() = ( 2 ( ) 2 ) ( ) 3 ( 4) f() = ) 5) f() = 6) f() = ( ) ( ) ( ) ( 5) 5

16 DERIVATA DEL QUOZIENTE DI DUE FUNZIONI Esempio : ( ) f() = f ()g() f()g () g() g 2 () Calcolare la derivata della funzione h() = La scrivo come quoziente di due funzioni: f() = e g() =. Calcolo la derivata di f() e la derivata di g(): f () = 0 e g () = quindi h () = (0 ) (52 + 4) = Esempio 2: Calcolare la derivata della funzione h() = 3 La scrivo come quoziente di due funzioni: f() = 3 e g() =. Calcolo la derivata di f() e la derivata di g(): f () = 0 e g () = quindi h () = = 3 2 ESERCIZI. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni, usando le regole di derivazione della somma, del prodotto e del quoziente di funzioni: ) f() = ) f() = ( )(2 + 2) ) f() = ) f() = 3 3 5) f() =

17 Esercizio 39. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica errata. Sia f() = 2, allora A f () = 2 B f() non è definita in = 0 e in = 2 C f( ) = 3 D f () = 0 Esercizio 40. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica errata. Sia f() = (2 + 3)( 2 + ), allora A f () = B f() è definita in R C f( 3 2 ) = 0 D f () = 4 Esercizio 4. Dire quale, tra le affermazioni seguenti, è l unica errata. Sia f() = 2 +, allora A f(0) = B f () è sempre positiva C f (0) = D f () = Esercizio 42. (2 + ) 2 Sia f() = Studiare il segno della funzione derivata f (). Esercizio 43. Sia f() = Studiare il segno della funzione derivata f (). 7