Laboratorio di Statistica 1 con R Esercizi per la Relazione. I testi e/o i dati degli esercizi contassegnati da sono tratti dai libri consigliati

Transcript

1 Laboratorio di Statistica 1 con R Esercizi per la Relazione I testi e/o i dati degli esercizi contassegnati da sono tratti dai libri consigliati nel corso. Esercizio Facendo uso dei comandi <, c(), seq(), rep(), si costruisca il vettore x = (11, 11.5, 12, 12.5,..., 14.5, 15, 17, 8, 8, 8, 20, 4, 15, 22) delle durate (in minuti) delle conversazioni telefoniche avvenute con un certo operatore di un centro di servizio in un determinato giorno. 2. Quante telefonate ha ricevuto quell operatore nel giorno in esame? 3. Quanto tempo è stato impegnato in conversazioni telefoniche? 4. Quante volte è stato impegnato per almeno 15 minuti? 5. Qual è stata la telefonata più breve (ordine con cui è stata ricevuta)? E quanto è durata? E la più lunga? 6. Costruire il diagramma stem and leaf e un istogramma. Il campione può ritenersi approssimativamente normale? 7. Evidenziare un riassunto delle statistiche di base (minimo, massimo, quartili, media campionaria x) e rappresentarlo graficamente con un boxplot. 8. Calcolare la deviazione standard campionaria corretta s x. 9. Determinare la percentuale dei dati che cadono nell intervallo x ± ks x, con k = 1.5, e confrontarla con la stima fornita dalla disuguaglianza di Chebyshev. Commentare la bontà della stima di Chebyshev. E usando la deviazione standard non corretta σ x, cosa potete dire? 10. Ripetere il punto precedente per gli intervalli x ± s x, x ± 2s x, x ± 3s x. Confrontare i risultati ottenuti con le stime fornite dalla Regola Empirica vista a lezione. Esercizio 2. In uno studio riportato in un lavoro di D. G. Hoel un gruppo di topi di cinque settimane fu sottoposto ad una dose di radiazione di 300 rad. I topi furono quindi divisi in due gruppi, il primo dei quali venne tenuto in ambiente sterile, mentre il secondo in normali condizioni di laboratorio. I seguenti dati riportano i giorni di vita dei topi che in seguito morirono di linfoma del timo. durata ambiente 158 sterile 159 normale 189 normale 1

2 191 normale 192 sterile 193 sterile 194 sterile 195 sterile 198 normale 202 sterile 212 sterile 215 sterile 229 sterile 230 sterile 235 normale 237 sterile 240 sterile 244 sterile 245 normale 247 sterile 250 normale 256 normale 259 sterile 261 normale 265 normale 266 normale 280 normale 301 sterile 301 sterile 321 sterile 337 sterile 343 normale 356 normale 383 normale 403 normale 414 normale 415 sterile 428 normale 432 normale 434 sterile 444 sterile 485 sterile 496 sterile 529 sterile 537 sterile 624 sterile 707 sterile 800 sterile 2

3 1. Salvare i dati in un file di testo e leggerli in R. 2. Estrarre dal data frame i dati che si riferiscono ai topi in ambiente sterile. 3. Estrarre dal data frame i dati che si riferiscono ai topi in condizioni normali. 4. Per ciascuno dei due gruppi, costruire il diagramma stem and leaf, un riassunto delle statistiche di base, il boxplot (costruire i due boxplot appaiati). 5. Per ciascuno dei due gruppi, calcolare il coefficiente di asimmetria (usare la definizione). Commentare i risultati ottenuti, anche alla luce del punto precedente. 6. Calcolare il decimo e il novantesimo percentile, usando il comando quantile(). 7. La media del primo campione è sensibilmente maggiore di quella del secondo, mentre le mediane campionarie sono vicine. Perché? Si può concludere che l ambiente sterile ha allungato la vita dei topi che vissero più a lungo? E sul tempo di vita degli altri topi, si può dire qualcosa? 8. Quanti topi in ambiente sterile vissero di più del più longevo topo in ambiente normale? Esercizio 3. Consideriamo i dati brainbod (in rete) sul peso del corpo (Kg) e peso del cervello (g) di 15 mammiferi terrestri. 1. Importare il data frame in R. 2. Costruire il diagramma di dispersione dei dati x=bodywt e y=brainwt. Risulta leggibile? Perché? 3. Effettuare un cambiamento di scala logaritmico sui dati e costruire il relativo diagramma di dispersione. Ora cosa osservate? 4. In quale diagramma di dispersione si intuisce la presenza di una relazione lineare? 5. Calcolare il coefficiente di correlazione per i dati originari e per quelli trasformati. Confrontarli. 6. Costruire la retta di regressione per i dati trasformati, con lx=log(bodywt) e ly=log(brainwt), e sovrapporla al corrispondente diagramma di dispersione. 7. Costruire il grafico dei residui e commentarlo. 8. Verificare che la somma dei residui è zero. 3

4 9. Calcolare il coefficiente di determinazione e verificare che è il rapporto tra la varianza di interpolazione e la varianza totale. 10. Nel modello di regressione considerato per i dati trasformati, qual è la relazione ipotizzata tra y e x? 11. Qual è il peso del cervello suggerito dalla regressione in corrispondenza di un peso del corpo pari a 7.5 Kg? Esercizio 4. Usare gli opportuni comandi R sulle distribuzioni per risolvere gli esercizi 5, 6 del Foglio 2; 3 punto (a) e 13 del Foglio 3. Esercizio 5. Generare 50 valori dalla distribuzione binomiale di parametri n = 15 e p = 0.2 e confrontare le frequenze relative dei valori simulati con le probabilità della distribuzione teorica. Ripetere il procedimento con 1000 e 5000 valori e commentare. Esercizio 6. (Verifica sperimentale del Teorema del Limite Centrale) In questo esercizio procediamo in questo modo: 1) generiamo un campione casuale (x 1,..., x n ) da una certa distribuzione di media µ e varianza σ 2 ; 2) calcoliamo per quel campione il rapporto xn µ e salviamolo in s; 3) ripetiamo σ 2 /n 1) e 2) tante volte, diciamo 5000 volte, e salviamo tutti i rapporti nel vettore (che ora si sta formando) s. La seguente funzione realizza i tre punti precedenti per una densità uniforme su [0, 1], per cui µ = 0.5 e σ 2 =1/12: s<-(mean(runif(1:1000))-0.5)/sqrt(1/12*1000) for (k in 1:5000){ s<- c(s, (mean(runif(1:1000))-0.5)/sqrt(1/12*1000)) } (a) Costruire l istogramma delle frequenze relative dei dati salvati in s e commentare. (b) Ripetere tutto prendendo una uniforme con altri parametri a < b (a scelta). Cosa succede? Si ricorda che, in tal caso, la media vale (a+b)/2 e la varianza (b a) 2 /12. Inoltre, ricordare di usare runif(1:1000,a,b). (c) E se prendiamo una densità esponenziale di parametro λ = 1? Si ricorda che, in tal caso, la media e la varianza valgono 1. (d) E se prendiamo una densità di Poisson di parametro λ = 5? Si ricorda che, in tal caso, la media e la varianza valgono 5. Esercizio 7. I dati pesoaltezza (in rete) si riferiscono al peso (in kg) e all altezza (in cm) degli studenti del Politecnico iscritti al corso di Statistica 1 (01EMB), a.a. 2003/2004, che erano presenti alla lezione di Laboratorio R in una certa data del mese di maggio. La rilevazione dei dati tiene conto anche della variabile sesso. 1. Leggere i dati in R. 2. Riassumere per le variabili peso e altezza le principali informazioni che si possono ricavare dal campione, costruire un istogramma e il boxplot. 4

5 3. Costruire il diagramma di dispersione evidenziando la relazione fra peso e altezza anche in funzione del sesso (cioè, usare nello stesso plot una grafica differente per i maschi e per le femmine). 4. Calcolare il coefficiente di correlazione e commentarne il segno alla luce del grafico del punto precedente. Esiste una forte correlazione lineare? 5. Sovrapporre al diagramma di dispersione la retta di regressione. 6. Estrarre dal data frame i dati che si riferiscono alle femmine (togliere il dato anomalo) e ai maschi e ripetere quanto richiesto nei punti precedenti. Infine, verificare la normalità dei dati peso e altezza (distinti per sesso) e approssimare gli istogrammi con opportune curve normali. 5