Appunti di STATISTICA

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1 Apputi di STATISTICA!

2 Distribuzioe espoeziale X v.a. cotiua, R X = (0,+ ) Si dice che X ha distribuzioe espoeziale a parametro f X = >0 E (X) = 1/ Var (X) = 1/ e - x x>0 0 altrove (umero reale) se la p.d.f. è così defiita: Distribuzioe Gamma X v.a. cotiua, R X = (0,+ ) Si dice che X ha distribuzioe Gamma a parametro r, R se la p.d.f. è così defiita: x r-1 e - x x>0 (r) f X = r, >0 0 altrove E (X) = r/ Var (X) = r/ r = 1 = ½ Distribuzioe chi-quadro X è ua variabile aleatoria cotiua co supporto R X = (0,+ ) Si dice che X ha distribuzioe chi-quadro co gradi di libertà se la desità di probabilità della X è: f X (x) = 1 x / 1 e -x/ x>0 / (/) 0 altrove E (X) = Var (X) =

3 Distribuzioe ormale o Gaussiaa X è ua variabile aleatoria cotiua co supporto R X = (-,+ ) Si dice che X ha distribuzioe ormale o Gaussiaa a parametri R costituita: >0, se la p.d.f. è così f X (x) = 1 exp (x- ) x R X ~ N (, ) E (X) = Var (X) = = Var (X) deviazioe stadard Distribuzioe t di Studet Sia: Z ~ N (0,1) Y ~ () 1 Z, Y soo due v.a. idipedeti cioè i valori assuti da ciascuo di essi o ifluezao l altra. T = Z Y/ T è cotiua e il suo supporto coicide co tutto R e si dice che ua variabile così defiita ha distribuzioe t di Studet co gradi di libertà e per brevità si scrive: T ~ t() 1

4 Distribuzioe di Fisher U ~ ( 1 ) V ~ ( ) 1, 1 U, V v.a. idipedeti ; F = U : V è ua v.a. cotiua co supporto R X = (0,+ ). 1 Si dice che F ha distribuzioe di Fisher co 1, gradi di libertà rispettivamete: F ~ F ( 1, ) 1 ~ F (, 1 ) F p Percetile di ordie di ua F ~ F ( 1, ), F ( 1, ) Se p 1- Percetile di ordie 1- di F ~ F ( 1, ), F 1- ( 1, ) F ( 1, ) 1- F 1- ( 1, ) = 1 F ( 1, ) F 1- ( 1, )

5 Stima per itervallo Suppoiamo di avere solo ua popolazioe e di voler cooscere l itervallo di fiducia: X ~ B (1,p), p (0,1) H 0 : p=p 0 cotro H 1 : p p 0 Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 se: Z = X p 0 z / p 0 (1-p 0 ) = P (rigettare H 0 ) = P ( Z calc z /) 1- = P (accettare H 0 ) 1- / / -z / z / P (-z / Z calc z / ) P -z / X p 0 z / p 0 (1-p 0 ) P X-z / p 0 (1-p 0 ) p 0 X+z / p 0 (1-p 0 ) Itervallo di fiducia a livello (1- ) per p=x X-z / p 0 (1-p 0 ), X+z / p 0 (1-p 0 ) X-z / x(1-x), X+z! / x(1-x) Se p 0 " si accetta H 0 Se p 0 # si rigetta H 0

6 Suppoiamo di avere due popolazioi idipedeti e di voler cooscere l itervallo di fiducia: X ~ B (1,p 1 ) Y ~ B (1,p ) H 0 : p 1 =p cotro H 1 : p 1 p Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 se: X Y z / x(1-x) + y(1-y) m = P (rigettare H 0 ) 1- = P (accettare H 0 ) P (-z / Z calc z / ) P -z / X Y (p 1 p ) z / x(1-x) + y(1-y) m P x y -z / x(1-x) + y(1-y) p 1 - p x y +z / x(1-x) + y(1-y) m m Itervallo di fiducia a livello (1- ) per p 1 p x y -z / x(1-x) + y(1-y), x y +z / x(1-x) + y(1-y) m m

7 ESEMPI 1) Co umerose ricerche è stato dimostrato che u tossico diluito i acqua alla cocetrazioe stadard determia la morte del 30% degli idividui di ua specie A. Determiare u itervallo di fiducia al 95% per la proporzioe di decessi su u campioe di 80 idividui. =80 p 0 =30%=0.3= x i / p = proporzioe di idividui morti della specie A X v.a. che rappreseta il risultato della sigola prova X ~ B (1-p) = 0.05 / = 0.05 Z = 0.05 = 1.96% (0.7) ; (0.7) ; = 0. ; 0.4 ) U ricercatore deve verificare la differeza delle qualità delle falde idriche di due aree distite. Aalisi prelimiari hao dimostrato che ell area 1 il 45% di =130 prelievi supera i limiti di attezioe per almeo u parametro; metre ell area tali limiti soo superati solo del 5% di m=130 prelievi. Testare a livello = 0.05 H 0 = p 1 = p cotro H 1 = p 1 p X ~ B (1-p) =130 Y ~ B (1-p) m=130 x i = 45% (130) = 0.45 x = 1 x i = 0.45 = p 1 y j = 5% (130) = 0.5 m y = 1 y j = 0.5 = p m se H 0 è vera : Z = X Y = 3.33 x(1-x) + y(1-y) 0.35 (0.65) 1 m 60 Si rigetta H 0 se Z calc z / z / = 1.96 quidi si rigetta H 0 Costruiamo u itervallo di fiducia per p 1 p x y -z / x(1-x) + y(1-y), x y +z / x(1-x) + y(1-y) = 0.08 ; 0.3 m m Itervallo di fiducia al 95%

8 & 4 Test per la media i modelli ormali X è ua v.a. ~ N(, ) 1 caso) è icogita R 0 R H 0 : = 0 cotro H 1 : > 0 < 0 0 X = 1 X i ~ N, Z = X ~ N (0,1) / Se H 0 è vera Z = X 0 / Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : > 0 se Z calc z 1- z! H 1 : " < # 0 se Z calc $ -z% -z( 1- ' H 1 : ) * + 0 se Z calc, z- /. / / / -z0 / z1 / 3 5 = P (rigettare H 0 ) 1- = P (accettare H 0 )

9 %. ' P (-z / < Z calc < z / ) P -z / < X < z / / P X - z / < < X + z / Itervallo di fiducia a livello (1- ) per ( X - z / ; X + z / ota): Se 0 si accetta H 0 Se 0 si rigetta H 0 caso) o è ota, <30 Z = X ~ N (0,1) /! S = 1 " (X i X) -1 Se (X 1...X ), X i ~ N(#, $ W = (-1) S ~ & W, Z v.a. idipedeti ) (-1) T = Z ( W/-1 ~ t di Studet co -1 g.l. ) *, X T= /+ = X ~ t (-1) (-1) S S/- (-1)

10 % - 5 Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : > 0 se T calc t (-1) 1- t (-1) H 1 : < 0 se T calc -t (-1) 1- -t (-1) H 1 : 0 se T calc t / (-1) 1- / / -t / (-1) t / (-1) = P (rigettare H 0 ) 1- = P (accettare H 0 ) P (-t / (-1) < T < t / (-1) P -t! / (-1) < X " < t# / (-1) S/$ P X - t& / (-1) S ' ( ) X + t* / (-1) S +, Itervallo di fiducia a livello (1-. ) per / (0 icogita <30): X - t1 / (-1) S, X + t / (-1) S 3 4 Itervallo di fiducia a livello (1-6 ) per 7 : Se si accetta H 0 Se : 0 ; si rigetta H 0

11 3 caso) icogita, 30 T = X ~ t (-1) N (0,1) S/ Z = X ~ N (0,1) S/ Possiamo otare come si ritora al 1 caso. Se o è sufficietemete grade applichiamo il 3 caso se X i ~ N (, ) qualuque sia la distribuzioe possiamo applicare u test per la media della distribuzioe.

12 ESEMPI 1) X ~ N (, 0.36) di cui siao ote le segueti osservazioi: Testare a livello = 0.05 H 0 : =1.5 cotro H 1 : <1.5 Se H 0 è vera Z = X 0 ~ x 1.5 ~ N(0,1) / 0.6/ 11 Si rigetta H 0 se Z calc -z = -z 0.05 = 1.65 Se vogliamo calcolare la P (Z z) dove z=0.04 secodo la tabella il percetile è z 0.95 = P (Z z 0.05 ) = 1.65 x = 1 x i = Z = = < la statistica cade ella coda di siistra per questo 0.6/ 11 si rigetta H 0 ) Dall esperieza passata si sa che il peso dei salmoi cresciuti i u allevameto commerciale ha distribuzioe ormale co media che varia da stagioe a stagioe e co deviazioe stadard sempre uguale a = 0.03 libbre. Quado grade occorre predere il campioe se vogliamo essere sicuri al 95 % che la ostra stima del peso medio dei salmoi di quest ao sia precisa etro più o meo 0.1 libbra? X : peso dei campioi i u ao X ~ N (, (0.3) ) X 1...X Itervallo di fiducia per : X - z / ; X + z / " 95% = = 0.95 ± z / ± 0.1 Z 0.05 =1.96 dobbiamo cercare tale che: ! basta predere u >35 (salmoi) per poter essere sicuro al 95% che il peso medio o superi di 0.1 libbra dal valore cetrale.

13 Test di verifica ipotesi per la variaza i modelli ormali X ~ N(, ), X 1...X H 0 : = 0 cotro H 1 : > 0 < 0 0 X = 1 x i stimatore di S = 1 x i stimatore di -1 X i ~ N(, ) W = (-1) S ~ (-1) Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : > 0 se W calc (-1) 1- (-1) Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : <! 0 se W calc " #$ (-1) % 1- & -'( (-1) Fissato ) si rigetta H 0 e si accetta H 1 : * +, 0 se W calc -. 1-/ / (-1) oppure se W calc 0 1 / (-1) / (-1) 89 / (-1)

14 ! $ / = P (rigettare H 0 ) 1- = P (accettare H 0 ) P P 1- / (-1) < W < 1- / (-1) (-1) S / (-1) / (-1) P 1- / (-1) 1 / (-1) (-1) S (-1) S P (-1) S / (-1) (-1) S 1- / (-1) Itervallo di fiducia a livello (1- " ) per # & ' (-1) S, (-1) S % / (-1) 1- / (-1) : Se ( 0 ) si accetta H 0 Se * 0 + si rigetta H 0, Itervallo di fiducia a livello (1- - ) per. : 1 (-1) S, (-1) S 0 / (-1) 1- / (-1)

15 Test di verifica ipotesi per il cofroto di variaze di due distribuzioi ormali Cosideriamo due popolazioi idipedeti X ~ N(, 1 ) Y ~ N(, ) H 0 : 1 = cotro H 1 : 1 > 1 < 1 H 0 : 1 =1 cotro H 1 : 1 >1 1 < X 1 = 1 x i stimatore di 1 W = (-1) S X ~ S X = 1 (x i x) stimatore di 1 1-1! " # $ % Y 1 = 1 x j stimatore di V = (m-1) S Y ~ S Y = 1 (x j x) stimatore di -1 (-1) (m-1) v.a. idipedeti F = W -1 ~ F(-1, m-1) V m-1 (-1) S X F = & 1 ' (-1) = S X (m-1) S Y S Y ) (m-1) se H 0 è vera : F = S X S Y ( 1

16 ! & - 4 Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : 1 > se F calc F (-1,m-1) 1- F (-1,m-1) Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : 1 < se F calc F 1- (-1,m-1) 1- F 1- (-1,m-1) Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : 1 se F calc F 1- / (-1,m-1) oppure se F calc F / (-1,m-1) / 1- / F 1- / (-1,m-1) F / (-1,m-1) = P (rigettare H 0 ) 1- = P (accettare H 0 ) P F 1-" / (-1,m-1) # F $ F% / (-1,m-1) P F 1-' / (-1,m-1) ( S X ) S Y, 1 * F+ / (-1,m-1) P S Y F 1-. / (-1,m-1) / 0 1 S Y F / (-1,m-1) S X 3 1 S X Itervallo di fiducia a livello (1-5 ) per 6 : 7 1 S Y F 1-8 / (-1,m-1), S Y F9 / (-1,m-1) : F 1-; / (-1,m-1) = 1 S X F< / (-1,m-1) S X

17 ! Test parametrici di itervalli di fiducia per la differeza di media i modelli ormali 1) Campioi idipedeti: Abbiamo due popolazioi distite: Per la prima popolazioe avremo: X ~ N ( x, Per la secoda popolazioe avremo: Y ~ N ( y, Etrambe le popolazioi soo idipedeti x ) y ) H 0 : x = y cotro H 1 : x > y x < y x y a) x e y soo ote X = 1 X i stimatore di x Y = 1 Y j stimatore di y m x ) X ~ N ( x, soo idipedeti Y ~ N ( y, y ) m x + y ) X Y ~ N ( x y ; m Z = x y ( x y) Z ~ N (0,1) x + " y m # $ se H 0 è vera : Z = x y x + y m

18 # ) 3? 1 Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : x > y se Z calc Z / 1- Z / Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : x < y se Z calc -Z / 1- -Z / Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : x y se Z calc Z / / 1- / -Z / Z /! " & ' = P (rigettare H 0 ) 1- = P (accettare H 0 ) = x y P$ (-Z% / Z Z( /) P* -Z+ /, x y (- x. y) / Z0 / x + y m : ; = A B P4 x y Z5 / x + y (9 x y) x y + Z< / x + y m m Itervallo di fiducia a livello (1- ) per x y : x y ZC / D E G H x + y ; x y + ZF / x + y m m

19 " b) x e y soo icogite quidi,m<30 x = y X ~ N ( Y ~ N ( x, y, x ) soo v.a. idipedeti y ) m S X = 1 (x i x) stimatore di -1 S Y = 1 (y j y) stimatore di m-1 x y W = (-1) S X ~ x V = (m-1) S Y ~ y (-1) (m-1) v.a. idipedeti x + y ) X Y ~ N ( x y ; m Z = x y ( x y) Z ~ N (0,1) x + y m U = (-1) S X + (m-1) S Y ~ x y (+m-) x y ( x! y) T = m = x y (# x $ y) (-1) S X + (m-1) S Y S p (+m-) m S p = (-1) S X + (m-1) S Y +m- variaza campioaria associata T = x y (% x & y) S p m T ~ t (+m )

20 % + 3 se H 0 è vera : T = x y ( x y) S p m Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : x > y se T calc t (+m-) 1- t (+m-) Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : x < y se T calc t (+m-) 1- -t (+m-) Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 : x y se T calc t / (+m-) / 1- / -t / t / = P (rigettare H 0 ) 1- = P! (accettare H 0 ) " = # x $ y P& (-t' / (+m-) ( T ) t* / (+m-)) P, -t- / (+m-). x y (/ x 0 y) 1 t / (+m-) S p m P4 (x y) -t5 / (+m-) S p x 8 y 9 (x y) + t: / (+m-) S p m m

21 # ) 1 ; Itervallo di fiducia a livello (1- ) per x y : (x y) -t / (+m-) S p ; (x y) + t / (+m-) S m m c) x e y soo icogite quidi,m<30 x y T' = x y ( x y) t ([ ]) S x + S y m S x + S y = m S x + S y m (-1) (m-1) Se H 0 e vera : T' = x y S x + S y m! " $ & ' ( Fissato si rigetta H 0 e si accetta H 1 se: x > y se T calc t ( ) x < y se T calc t ( ) x y se T calc t / ( ) = P (rigettare H 0 ) 1- = P% (accettare H 0 ) = x y P* (-t+ / (, )- T'. t/ / (0 )) P -t3 / (4 )5 x y (6 x 7 y) 8 t9 / (: ) S x + S y m P< (x y) -t= / (> ) S x + S x A y B (x y) + tc / (D ) S x + S y m m

22 Itervallo di fiducia a livello (1- ) per x y : (x y) -t / ( ) S x + S y ; (x y) + t / ( ) S x + S y m m d) x e y soo icogite,m 30 X ~ N ( Y ~ N ( x, y, x ) y ) Z = x y ( x y) S x + S y m Per il T.L.C. Z N (0,1) Questo ci riporta al caso a Itervallo di fiducia a livello (1- ) per x y : (x y) -z / ( ) S x + S y ; (x y) + z / ( ) S x + S y m m

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