Lezioni di Fisica Generale Per il corso di laurea in Ingegneria Edile A.A. 2002/2003

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1 Giogio Pieo Maggi Lezioni di Fisica Geneale Pe il coso di lauea in Ingegneia Edile A.A. 00/003 Poliecnico di Bai

2 Pemessa. Le Lezioni di Fisica Geneale qui popose non vogliono in alcun modo sosiuie il libo di eso, esse vanno invece consideae complemenai ad esso. Il libo di eso 1. di noma aa i vai agomeni in maniea più ampia, in moli casi ossevando il poblema da più puni di visa e meendolo in elazione con ali agomeni collegai, in qualche caso anche con ichiami soici.. è coedao da numeose figue, che sevono a endee più chiai i fenomeni di cui si discue e le agomenazioni uilizzae. 3. ipoa numeose abelle con i valoi di cosani fisiche elaive a diffeeni sosanze e/o siuazioni. 4. pe ogni agomeno vengono ipoai numeosi esempi e poblemi svoli. 5. alla fine di ogni agomeno, ipoa una accola di quesii e di esecizi, alcuni dei quali con il isulao, che foniscono un gande aiuo nella compensione dei fenomeni fisici discussi. Le Lezioni dal cano loo appesenano comunque un impoane lavoo di sinesi dei vai agomeni aai e quindi, in queso senso, possono faciliae il aggiungimeno dell obieivo finale, cioè quello di compleae la pepaazione dell esame di Fisica Geneale nel più beve empo possibile senza dispedesi su agomeni meno impoani. Ma popio peché cosiuiscono una sinesi, ischiano pesenae una visione dei fenomeni fisici aai molo paziale. Quindi, quese lezioni vanno usae in connessione con il libo di eso. Quello a cui si è fao ifeimeno nel pepaale è il classico: David Halliday- Robe Resnick, Jeal Walke - FONDAMENTI di FISICA Casa Ediice Ambosiana G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003

3 Inoduzione La Fisica: pesenazione. Nella via quoidiana si inconano fequenemene fenomeni che sono oggeo di sudio della Fisica. Consideiamo ad esempio l auomobile: pu in uno spazio così iseo si veificano ua una seie di fenomeni fisici: innanziuo il moo: sia come moo di insieme di ua l auomobile, ma anche dei singoli paicolai, come il moo di oazione delle uoe o il moo alenaivo dei pisoni nei cilindi. Cosa deemina il moo dell auomobile? Quali sono le condizioni che deeminano un moo di oazione (come quello delle uoe), oppue alenaivo (come quello dei pisoni) o di semplice aslazione (moo di insieme dell'auomobile)? Dove e come si può inevenie pe miglioae la sicuezza nell auomobile, pe es. peché il sisema ABS miglioa le pesazioni dell'auomobile nella fenaa? asfomazione dell enegia inena conenua nel cabuane (la benzina) in movimeno meccanico. In quali condizioni quesa asfomazione si ealizza con la massima efficienza? fenomeni eleomagneici: mooino di avviameno, alenaoe, baeia, coene eleica, lampadine, emissione di luce dai fai, assobimeno di onde eleomagneiche pe ascolae la adio, pe icevee una elefonaa col cellulae. Se anziché l auomobile consideo un abiazione, anche qui possiamo idenificae divesi fenomeni fisici: come mai l abiazione non colla, come è possibile fala esisee a vaie solleciazioni: veno, eemoi, scoppi, ui. come si può iscaldae l abiazione nei mesi invenali e affeddala in quelli esivi, consevae il cibo nella maniea più efficiene, ossia spendendo il meno possibile? in una abiazione si veificano anche fenomeni eleomagneici a cominciae dal passaggio di coene nella esisenza del fono o della giglia eleica, l emissione di luce dalle lampadine dell impiano di illuminazione, fino alla capazione delle onde eleomagneiche pe il funzionameno della adio e del elevisoe. Chi usa l auomobile ha anche familiaià con divese gandezze fisiche: Velocià (apidià con cui cambia la posizione dell auomobile = lo spazio pecoso diviso pe il empo impiegao a pecoelo, misuaa dal achimeo) Acceleazione (apidià con cui cambia la velocià dell auomobile = la vaiazione di velocià diviso pe il empo impiegao) Pecoso effeuao (misuao dal conachilomei). Sposameno (lo sposameno diffeisce dal pecoso effeuao. È il segmeno oienao che ha come pimo puno la posizione di paenza e come secondo puno quella di aivo. Supponiamo che con l auomobile si sia andai dall abiazione al supemecao e poi si sia onai a casa, lo sposameno è zeo (la posizione di aivo coincide con quella di paenza) mene il pecoso effeuao è sicuamene maggioe di zeo). Lo sposameno è caaeizzao da un modulo, la disanza a il puno di aivo e quello di paenza, da una diezione, quella della ea passane dal puno di aivo e da quello di paenza (pe due puni passa una sola ea), ed un veso quello dal puno di paenza al puno di aivo. Volume (del sebaoio misuao aaveso l indicaoe di livello della benzina) Cilindaa (volume complessivo dei cilindi del mooe) Pessione (dei pneumaici, misuaa con il manomeo) Tempeaua (dell acqua nel adiaoe, misuaa dal emomeo) G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003 3

4 Poenza (del mooe, indicao sul libeo di cicolazione: è la base pe il calcolo della assa di cicolazione) Coppia (massima. È una caaeisica del mooe che soliamene i cosuoi ipoano sui deplian della veua, una coppia massima più elevaa indica la capacià della veua di vaiae più apidamene la popia velocià (ipesa)) Tensione (della baeia soliamene 1 Vol) Coene eleica (la caica eleica che aavesa una sezione del cicuio eleico in un secondo) Resisenza eleica (la capacià di un cicuio eleico ad opposi al passaggio di coene eleica) Fequenza (gii al minuo del mooe misuaa dal conagii, pe esempio 3000 gii al minuo, fequenza dell onda adio sinonizzaa dall auoadio, pe esempio 10 MHz, megahez) Pe conollae i fenomeni fisici, pe fali cioè avvenie quando a noi fa più comodo, nella maniea in cui desideiamo è necessaio conosceli, sapee cos è che influisce su di essi, quali sono le cause che li deeminano: conoscee cioè le leggi della Fisica. Quese non sono alo che delle elazioni a le gandezze fisiche. Esempi di leggi fisiche. F = ma II legge di Newon V = RI Legge di Ohm η= 1 T T 1 Rendimeno massimo di una macchina emica opeane a le empeaue T 1 e T con T 1 >T È chiao che pe poe confonae i due membi di una elazione occoe misuae le gandezze coinvole nella elazione. Gandezze fisiche. Cosa sono le gandezze fisiche? I fisici hanno adoao un aeggiameno pagmaico. Una gandezza ha significao in fisica se pe essa è sao definio un meodo di misua ed è saa assegnaa una unià di misua o campione. Quesa definizione è quella che va soo il nome di definizione opeaiva delle gandezze fisiche (*). Daa una gandezza fisica, si può scegliee un campione e si possono sabilie dei ciei pe confonae il campione con la gandezza che si vuole misuae. Pe eseguie misue di lunghezza, pe esempio quella di un segmeno AB, bisogna scegliee il campione: possiamo pendee il segmeno C. Poi bisogna specificae il meodo di misua: si ipoa (*) Si noi che la fisica non peende di dae una spiegazione di uo: non peende cioè di spiegae cos'è la "lunghezza", cos'è il "empo", cos'è la "massa", cos'è la "caica eleica", ec. Tuo quello che fa è cecae di deeminae come quese popieà dei copi inevengono nell'evoluzione di un fenomeno nauale, lasciando al fuuo il compio di ispondee a quese domande fondamenali. L'espeienza ci mosa che con il pogedie della conoscenza si iesce a ispondee ad alcune di esse: è sao ovao, pe esempio, che il caloe alo non è che una foma di enegia, i fenomeni magneici sono povocai dal moo di caiche eleiche, le onde luminose sono delle paicolai onde eleomagneiche, ec. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003 4

5 il campione C a paie dal puno iniziale A e si deemina quane vole il campione, ed i suoi soomulipli, sono conenui nel segmeno AB. A B Campione C Soomulipli del campione Il isulao delle misua saà un numeo (3.6 nel noso caso) vole il campione. Si sciveà: d = 3.6 Campioni Non è necessaio definie un campione pe ogni gandezza fisica. Le gandezze fisiche, infai, sono legae da elazioni: definizioni o leggi fisiche. Tali elazioni possono essee usae pe definie i campioni delle gandezze deivae. Pe esempio la velocià è legaa allo spazio pecoso d e all'inevallo di empo impiegao dalla elazione v = d pe cui, se abbiamo definio un campione pe la misua delle lunghezze ed uno pe la misua del empo, abbiamo immediaamene anche definio il campione di velocià: è popio la velocià di quell oggeo che pecoe il campione di lunghezza in un campione di empo. Supponiamo che le gandezze usae in fisica siano solo e, la disanza d, il empo, e la velocià v. Essendoci una elazione a quese gandezze (la definizione della velocià), è sufficiene specificae i campioni e la meodologia di misua pe due sole di esse pe specificae compleamene il campione e la meodologia di ue e e le gandezze. Nell'esempio pecedene due è il numeo minimo di gandezze pe le quali è necessaio specificae il campione e la meodologia di misua pe definie compleamene il sisema di unià di misua, cioè pe definie compleamene le unià di misua pe ue e e le gandezze. Le due gandezze pe le quali viene fissao il campione si dianno fondamenali, la eza saà dea deivaa. Ciascuna delle e gandezze che siamo consideando può essee scela come fondamenale: si poebbeo scegliee pe esempio come gandezze fondamenali la disanza e gli inevalli di empo, oppue il empo e la velocià. Una vola faa la scela delle gandezze fondamenali si dice che è sao fissao il sisema di unià di misua; una scela divesa delle gandezze fondamenali coisponde ad un sisema di unià di misua diveso. Gandezze che sono fondamenali in un sisema di unià di misua possono essee deivae in un alo e vicevesa. Infine, una vola scele le gandezze fondamenali c'è ancoa una abiaieà nella definizione dei loo campioni, pe cui si possono avee sisemi di unià di misua che diffeiscono pe il campione usao pe una o più gandezze fondamenali. Il numeo di gandezze usae in fisica ovviamene è molo più gande di e. A iolo di esempio nella abella 1 sono elencae alcune della gandezze usae in meccanica. Il numeo di gandezze fondamenali non è peò molo gande: pe lo sudio del moo dei copi, in meccanica, il numeo di gandezze fondamenali ichieso è e (lunghezza, empo, massa). G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003 5

6 Tabella 1 Esempi di gandezze usae in Fisica Gandezze fisiche Lunghezza Tempo Massa Velocià Acceleazione Foza Lavoo Enegia Poenza Quanià di moo Momeno della foza Momeno della quanià di moo Simboli L,R,,T m,m v, v a, a F, F L,W K,U,E P p,q τ, M l, L Quali sono i ciei che guidano nella scela delle gandezze fondamenali? Ovviamene ci sono dei moivi di caaee soico, legai agli usi e alle adizioni. Ma ci si lascia anche guidae dalla semplicià con cui si iesce a definie ed ad accedee al campione, e quindi alla semplicià con cui si iescono a aae gli sumeni di misua paendo dieamene dal campione sesso. Pe i fenomeni eleomagneici, inizialmene ea saa scela come gandezza fondamenale la caica eleica, successivamene è sao adoaa come unià fondamenale la coene eleica, popio peché il campione della coene eleica, l ampee, è più facile da ipodue in laboaoio ispeo a quello della caica eleica, il coulomb. Un buon campione di misua deve essee accessibile, ipoducibile, ma deve essee anche invaiabile. Ques'ulima esigenza non sempe è conciliabile con le ale due. In passao pe la misua di lunghezza sono sai usai dei campioni deivani da pai del copo umano: pollice, piede, baccia, yada. La yada ea definia come la disanza a la puna del naso e la puna delle dia del baccio eso. Queso è un campione molo accessibile, aspoabile, ma quano è invaiabile? E' ovvio che pesone di saua divesa hanno una disanza naso-puna_delle_dia divesa. Si poebbe pensae di fa ifeimeno, pe definie il campione, ad una paicolae pesona, pe esempio al e: ma, in queso caso, il campione non saebbe più ano accessibile e subiebbe comunque delle vaiazioni sia nel coso dell'esisenza del e e sopauo all'ao della sua successione. Naualmene bisogna anche ene cono della difficolà di ipoae la mano e la esa sempe nella sessa posizione. E' facile immaginae che l'uso di campioni di queso ipo poeva andae molo bene pe gli avvocai, peché ovviamene dovevano succedee mole diaibe quando si vendevano o acquisavano eeni, ma ea sicuamene inadeguao pe lo sviluppo scienifico, il quale ichiede che icecaoi che si ovano anche molo disani a loo, sia nello spazio che empoalmene, devono poe confonae i isulai di espeimeni, cioè, i isulai di misue. Oggi esise un ene inenazionale, l'ufficio Inenazionale dei Pesi e Misue con sede a Seves vicino Paigi, a cui è affidao il compio di sudiae poblemi elaivi alla scela delle gandezze fondamenali e alla definizione dei campioni di misua. Tale ene oganizza peiodicamene una G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003 6

7 Confeenza Inenazionale di Pesi e Misue in cui vengono fomulae delle accomandazioni e suggeie delle soluzioni e delle meodologie di misua. I vai Sai che paecipano alla confeenza possono poi adoae le popose della confeenza emanando delle leggi (pe esempio gli Sai Unii coninuano a misuae le lunghezze in miglia e non in km in quano non hanno ancoa adoao le accomandazioni della Confeenza Inenazionale di Pesi e Misue). La XIV Confeenza Geneale dei Pesi e Misue del 1971 ha suggeio di adoae il Sisema Inenazionale (SI) basao sulle segueni gandezze fondamenali e i ispeivi campioni: Unià fondamenali (7) campione simbolo Lunghezza Meo m Massa kilogammo kg Tempo Coene eleica Tempeaua Temodinamica Inensià luminosa Quanià di Maeia Secondo Ampee Kelvin Candela Mole s A K cd mol Unià supplemenai () Angolo piano Angolo solido adiane seadiane ad s La sessa confeenza inenazionale ha adoao dei pefissi pe indicae i mulipli e i soomulipli dell'unià di misua (campione), cosa molo uile quando l'inevallo di valoi che le divese gandezze possono assumee è piuoso ampio. Come appae dalla abella i mulipli e soomulipli diffeiscono di faoi 10, il Sisema Inenazionale è quindi un sisema meico decimale. Mulipli Soomulipli deca eo kilo Mega Giga Tea Pea Esa da h k M G T P E deci ceni milli mico nano pico femo ao d c m µ n p f a 7 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003

8 lunghezza (meo,m) massa (kilogammo,kg) empo (secondo,s) coene eleica (ampee,a) empeaua emodinamica (kelvin,k inensià luminosa (candela,cd) quanià di sosanza (mole,mol) n L'inceezza elaiva è espessa come 1/10. Nel 4 gafico è appesenao 5 l'esponene 6 n. 7 inceezze elaive del campione delle unià fondamenali pecisioni ichiese dalle applicazioni indusiali 8 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003

9 Il campione della lunghezza. La misua di una lunghezza in Fisica coisponde alla sessa opeazione che si fa in geomeia pe misuae la disanza a i due esemi di un segmeno eilineo, opeazione che abbiamo descio in un esempio pecedene. Pe compleae la definizione della lunghezza come gandezza fisica occoe fissae l'unià di misua o il campione. Nel Sisema Inenazionale il campione di lunghezza è il meo. Vediamo bevemene l evoluzione che quesa unià di misua ha subio negli anni. Sebbene l uomo effeua misue di lunghezza da anissimi anni, il campione della lunghezza che noi aualmene uilizziamo è elaivamene giovane, isale alla ivoluzione fancese. Nel 1790 la cosiuene fancese decise di poe fine al poblema dei sisemi di unià di misua, affidando ad una commissione di espei il compio di sosiuie i sisemi adizionali con uno che fosse semplice ed avesse i campioni ben definii. Della commissione facevano pae illusi scienziai come Lagange e Laplace. Quesa commissione si convinse che la gandezza, meno soggea a vaiazioni empoali ed accessibile ai mezzi dell'epoca, a cui ancoae, mediane una definizione, il campione di lunghezza, fosse la dimensione della Tea. Pecisamene si convenne di misuae la lunghezza del meidiano eese (acciao sull'ellissoide geodeico di ifeimeno) passane pe Paigi e di pendee come campione una fazione di esso, che coispondesse ad una lunghezza comoda, cioè non molo divesa da quelle in uso, omai selezionae dalla paica e dal empo. Al emine delle misuazioni del meidiano eese, duae 7 anni, fu cosuia e deposiaa a Paigi una sbaa di plaino puo che, alla empeaua del ghiaccio fondene, pesenava fa i suoi esemi una disanza pai alla 40 milionesima pae del meidiano eese 1. A quesa lunghezza fu dao il nome di meo, nome che fu poi aibuio anche alla sbaa. Esso diffeiva di poco dalla Yada biannica (1 m = 1.1 Y). Ci si accose in seguio che il meidiano eese ea più lungo, di 34 m, di quano ea isulao dalle pime misue. Pe eviae di coeggee il campione e quindi ue le copie in cicolazione, si pefeì abbandonae ogni ifeimeno al meidiano eese e consideae come meo la lunghezza della sbaa. Con il pefezionasi delle ecniche di misua, ci si ese cono che c'eano delle vaiazioni di lunghezza nel meo dovue a vaiazioni di empeaua, che peso divenneo inolleabili. Venne cosuio un nuovo campione di lunghezza uguale al pecedene, che venne deposiao a Seves, pesso Paigi nel 1889, insieme ad appaecchi pecisi all'uno su un milione pe la cosuzione delle copie. Queso campione uoa in uso è cosiuio da una sbaa di plainoiidio, che pesena elevae caaeisiche di inaleabilià chimica e meccanica, e scasa sensibilià alle vaiazioni di empeaua. Su queso campione sono sai cosuii dei campioni secondai, disibuii agli uffici nazionali di meologia di uo il mondo. Quesi ulimi vengono usai pe aae ali campioni più accessibili. Tuavia anche queso meo campione pesena degli inconvenieni. La sbaa campione poebbe andae disua pe qualche calamià o il meallo che la compone poebbe aleasi con il passae del empo in maniea impevedibile. Inole copie oenue mediane un compaaoe doao di micoscopio con un foe ingandimeno, hanno una pecisione di -5 pai su 10 7, limie imposo dalla gossolanià dei ai che definiscono gli esemi del campione. Tale pecisione è infeioe a quella aggiuna in alcune applicazioni indusiali o in alcuni espeimeni di Fisica. Ole alla pecisione inadeguaa, che è l'obiezione più impoane, è anche scomodo confonae le lunghezze con la sbaa campione, peché il confono va fao alla empeaua a cui è consevaa la sbaa, pe eviae vaiazioni di lunghezza della sbaa dovua a vaiazioni di empeaua. Ale cause di impecisione sono dovue alle defomazioni del campione (eazione elasica) conseguene alle ineazioni con il copo che si vuole misuae. 1 Se la lunghezza del meidiano eese è m, alloa il aggio eese saà: lunghezza meidiano R T = = m = 40000km = 6369km π 6,8 6,8 9 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003

10 Quese difficolà fuono supeae con la definizione, adoaa pe accodo inenazionale nel 1961, di una unià nauale di lunghezza basaa su una adiazione aomica. Poiché gli aomi di una daa specie sono idenici anche le adiazioni da loo emesse sono ideniche. Peciò il campione della lunghezza definio sulla base delle popieà degli aomi è ipoducibile dappeuo. La sbaa meica campione è saa confonaa accuaamene con la lunghezza d'onda della luce aancione emessa dal cipo 86 (queso isoopo è sao scelo peché può essee oenuo con gande puezza in modo elaivamene facile e a buon mecao). Si è deciso che ,73 lunghezze d'onda del 86K cosiuiscono un meo. Quesa definizione è quindi compaibile con la definizione basaa sulla disanza a i ai incisi sulla sbaa di Seves ma ha il vanaggio di essee cica 100 vole più pecisa. Inole il campione può essee ipodoo in moli laboaoi di uo il mondo, viso che gli aomi sono univesalmene disponibili e ui gli aomi di una daa specie sono idenici ed emeono luce della sessa lunghezza d'onda. Nella XVII Confeenza Geneale dei Pesi e Misue, enua nell'oobe del 1983, la definizione del meo campione è saa uleiomene modificaa. Oggi il meo campione viene definio come la disanza pecosa dalla luce nel vuoo in un empo pai a 1/ s. Quesa definizione si basa sul fao che la velocià della luce nel vuoo è una cosane univesale. La misua di una lunghezza viene così icondoa ad una misua di empo, che è la gandezza che sappiamo misuae con la miglioe pecisione. Queso cambiameno ha eso ancoa più accessibile il campione della lunghezza e ha consenio un uleioe miglioameno di due odini di gandezza della pecisione nelle misue di lunghezza. Il campione del empo. Il empo si concepisce come qualcosa che scoe, indipendenemene dalla nosa volonà, e, in queso suo fluie, viene messo in elazione con gli avvenimeni in maniea da oenee una sequenza conologicamene odinaa di eveni. Nella maggio pae dei poblemi fisici non siamo ineessai a queso aspeo del empo (empo assoluo), bensì alla misua dell'inevallo di empo a due eveni successivi. La iceca del campione di empo pesena delle maggioi difficolà ispeo a quello della lunghezza e della massa, peché non può essee maeializzao come invece è sao fao pe le quese due gandezze. Nel cecae il campione del empo, l'aenzione dell'uomo è saa aaa da quei fenomeni che si ipeono nel empo sempe nello sesso odine e con le sesse modalià. Quesi fenomeni sono dei peiodici ed il susseguisi delle vaie fasi a paie da una scela abiaiamene come iniziale, fino a ionae in essa è deo ciclo. L'inevallo di empo necessaio pe pecoe un ciclo è deo peiodo. Pe definie opeaivamene il empo, bisogna fissae il peiodo campione (o unià di misua). La misua di un inevallo di empo a due eveni successivi (duaa di un fenomeno) si effeua conando quane vole il ciclo campione, nella ipoesi che la sua duaa non vai, si ipee a i due eveni successivi. Il poblema divena quindi quello di scegliee il fenomeno peiodico campione. L'aenzione è saa ivola ai fenomeni asonomici. Il più familiae è la oazione della ea inono al popio asse che deemina la lunghezza del giono. Esso fu usao fin dall'anichià come campione di empo ed è ancoa oggi alla base del campione del empo civile. Il campione di empo, il secondo, inizialmene è sao definio come 1/86400 pae del giono solae medio. Pe giono solae si inende l'inevallo di empo che inecoe a due passaggi successivi del sole sopa lo sesso meidiano eese. Peché si pala di giono solae medio? L'obia descia dalla ea inono al sole è elliica e la velocià di ivoluzione non è cosane, di conseguenza anche la duaa del giono solae vaia G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003 10

11 duane l'anno. Occoeebbe quindi misuae la duaa del giono pe uo un anno e poi deivane il valoe medio. Il empo così oenuo è deo empo univesale T.U. E' chiao che pe poe auae quesa pocedua occoe dispoe di un buon oologio secondaio, aao sulle ossevazioni asonomiche, come pe esempio un pendolo, un oologio al quazo, ec.). Tuavia il empo deeminao sulla base della oazione eese non è adeguao pe misue di ala pecisione, a causa di una lena diminuzione della velocià di oazione della ea. Quese vaiazioni di velocià sono di una pae su 10 8 in un anno. Pe queso moivo l'aenzione è saa ivola all'alo moo peiodico della ea, la sua ivoluzione inono al sole. Il secondo è sao alloa definio come una fazione dell'anno opicale, che è il empo che inecoe a due equinozi di pimavea. In paicolae, al fine di eviae poblemi deivani da una vaiabilià nella duaa dell'anno opicale, il secondo è sao definio come la 1/ ,97474 ( ) dell'anno opicale L'ave fissao l'anno, il 1900, ende il campione invaiabile ma non accessibile. Più ecenemene, pe miglioae le misue di empo e pe dispoe di un campione facilmene ipoducibile, l'aenzione è saa ivola alle popieà degli aomi. Sono così sai cosuii degli oologi aomici, che sfuano le vibazioni peiodiche di alcuni ipi di aomi o molecole. Pe spiegae il pincipio di funzionameno di un oologio aomico, consideiamo la molecola di ammoniaca NH 3. Quesa molecola ha una suua a piamide, con gli aomi di idogeno ai e veici della base e l'aomo di azoo poso al veice della piamide come è mosao in figua. L'aomo di azoo può ovasi da un lao o dall'alo ispeo al piano individuao dai 3 aomi di idogeno. In ealà l'aomo di azoo oscilla a quese due posizioni con una fequenza di cica 4 miliadi di oscillazioni al secondo. Con le modene ecniche si è in gado di usae il moo dell'aomo di azoo all ineno della molecola, pe conollae le oscillazioni di un cicuio eleonico che quindi si sinconizza con le oscillazioni della molecola di ammoniaca ( naualmene bisogna cosingee mole le molecole ad oscillae insieme, solo così si iesce ad oenee un segnale uilizzabile in un cicuio eleonico). Anche ale sosanze hanno popieà analoghe a quelle dell'ammoniaca. Nel 1967 la XIII confeenza Geneale dei Pesi e Misue ha scelo come campione inenazionale di empo il secondo definio con un oologio aomico basao su una paicolae vibazione dell'aomo di Cesio 133. In paicolae il secondo è definio come il empo necessaio peché vengano compiui cicli della paicolae vibazione degli aomi di cesio. Tale definizione del secondo è divenaa opeaiva il 1 gennaio 197. Il empo misuao con queso oologio ha una pecisione di una pae su 10 1, che miglioa di cica un faoe 1000 la pecisione oenibile con il campione asonomico. Il Campione della massa La massa è una popieà dei copi, che può essee compesa coeamene solo con lo sudio della dinamica che affoneemo nelle possime lezioni. Il campione inenazionale di massa è un cilindo di plaino-iidio consevao nel Laboaoio di Pesi e Misue di Seves. La massa del campione è pe definizione 1 Kg. Come si è deo pe le lunghezze, ogni nazione possiede almeno un oimo campione di massa, in base al quale si cosuiscono quelli via via meno pecisi, che si usano nella via di ui i gioni. Sul modo con cui si devono confonae le masse pe deeminae la loo misua in emini dell'unià di misua paleemo a qualche lezione e faemo vedee che è necessaio icoee a meodi dinamici. D'alo lao si ova che massa ineziale e massa gaviazionale di un copo coincidono, così che pe confonae le masse di due copi si può icoee alla bilancia (si possono cioè confonae i loo pesi). Da quesa definizione icaviamo che ci sono ,97474 secondi in un anno (cioè all incica π10 7 secondi in un anno che peò è più semplice da icodae). G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003 11

12 La pecisione che si iesce a aggiungee nella calibazione di copie è di due pai su 100 milioni (10-8 ). Anche pe le masse, dao il vaso campo di vaiabilià (la massa dell'eleone è dell'odine di Kg, quella dell'univeso di Kg), si useanno meodi divesi e non sempe diei pe la deeminazione delle masse nei vai inevalli consideai. Unià di massa aomica Su scala aomica disponiamo di un secondo campione di massa, che peò non è una unià del Sisema Inenazionale. E' la massa dell'aomo di 1 C, al quale, pe accodo inenazionale, è saa assegnaa la massa aomica di esaamene 1 unià aomiche di massa. La massa di ali aomi può essee misuaa con elevaa pecisione usando uno speomeo di massa. E' sao necessaio icoe ad un secondo campione di massa peché le auali ecniche di laboaoio ci pemeono di deeminae le masse degli aomi in emini di unià di massa aomica con una pecisione maggioe di quella oenibile in emini del Kg campione. La elazione a i due campioni è : 1 u = Kg Il campione di massa, non essendo legao ad una popieà fondamenale, pesena gli sessi inconvenieni pesenai dal campione del meo e che avevano poao alla definizione del meo in emini di popieà aomiche pima e della velocià della luce poi. Saebbe sicuamene auspicabile poe dispoe anche pe la massa, così come pe la lunghezza e il empo, di un campione aomico. Il campione di unià aomiche basao sul cabonio 1 non è peò usabile pe una definizione del Kg campione. La elazione a le due unià è pecisa solano al livello di una pae su A u'oggi la pecisione delle copie che si oengono pe paagone con il Kg campione è molo miglioe di quelle oenibili uilizzando il campione aomico. Ali sisemi di unià di misua. "cgs": Queso sisema pe quel che iguada la meccanica uilizza le sesse gandezze fondamenali del SI, cambiano invece le unià di misua (i campioni): il cenimeo pe la lunghezza e il gammo pe la massa. L'unià di empo è la sessa nei due sisemi di ifeimeno. "biannico": Le gandezze fondamenali della meccanica sono la lunghezza, misuaa in piedi, la foza misuaa in libbe, e il empo misuao in secondi. Il sisema biannico non è un sisema decimale (pe esempio un piede è uguale a 1 pollici). Aualmene i campioni di libba e di piede vengono definii sulla base del kilogammo e del meo del sisema SI. Pe esempio un pollice è uguale.54 cm. "Sisema paico degli ingegnei": uilizza come gandezze fondamenali la lunghezza (meo), il empo (secondo) e la foza, la cui unià di misua è il kilogammopeso che coisponde al peso del campione di massa del SI, quando si ova al livello del mae e a 45 di laiudine. Dimensione di una gandezza La dimensione di una gandezza è legaa all'esponene, o agli esponeni, a cui vanno elevae le gandezze fondamenali pe oenee la gandezza in esame. Indicheemo la dimensione della gandezza A con il simbolo A acchiuso a le paenesi quade [A]: G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003 1

13 dimensione di A=[A] Esempi: la disanza a due puni ha le dimensioni di una lunghezza, [L]: [d AB ]=[L]; la duaa di un inevallo di empo ha le dimensioni di un empo, [T]: []=[T]; un numeo non ha dimensioni: [π]=[l 0 ] [M 0 ] [T 0 ], gli esponeni a cui bisogna elevae le gandezze fondamenali sono ui nulli. Gandezze deivae dalla lunghezza. Le gandezze deivae dalla lunghezza sono le supefici, i volumi e gli angoli. Le supefici si possono espimee pe mezzo di funzioni omogenee di secondo gado delle lunghezze da cui dipendono : iangolo 1/ base alezza paallelogamma base alezza cechio π aggio al quadao ec. Le dimensioni della supeficie, esaminando il caso del iangolo e enendo cono che ½ è un numeo senza dimensioni e che ano la base quano l alezza hanno le dimensioni di una lunghezza, sono dae da: 1 1 [ S ] = bh = [ b][ h] = [ L][ L] = [ L ] Si dice che la supeficie ha le dimensioni di una lunghezza al quadao. Ciò si espime simbolicamene mediane una equazione di queso ipo: [S] = [L ] Pe oenee l unià di misua della supeficie, si può sosiuie, nell equazione dimensionale, al poso della gandezza fondamenale, la sua unià di misua. Tenendo cono che nel Sisema Inenazionale SI l unià di misua della lunghezza è il meo, si oiene che l'unià di misua delle supefici è il m. Queso equivale ad ave assuno come campione di supeficie un quadao di lao uniaio. Pe quano iguada il volume, possiamo uilizzae una qualsiasi delle espessioni che danno il volume in emini delle lunghezze caaeisiche del solido consideao. In queso esempio paiamo dalla elazione che lega il volume della sfea al suo aggio: 4 V = π R 3 3 Le dimensioni del volume saanno quindi: [ V ] = π R = [ R ] = [ L ] 3 π 3 Anche in queso caso si è fao uso del fao che il numeo 4/3π non ha dimensioni e che il aggio della sfea ha le dimensioni di una lunghezza. Si dià quindi che il volume ha le dimensioni di una lunghezza al cubo, ossia: G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003 13

14 O [V] = [L 3 ] e la sua unià di misua nel SI è il m 3. L angolo piano. L angolo individua la fazione di piano delimiao da due semiee che di dipaono dalla sessa oigine O. Pe misuae l angolo si cosuisce una ciconfeenza con ceno in O e aggio abiaio. Si misua quindi la pozione di ciconfeenza, l aco, delimiaa dall angolo da misuae. La misua dell angolo è daa, pe definizione, dal appoo a la lunghezza α dell aco e il aggio della ciconfeenza Le dimensioni dell angolo: α= l α= l l 1 0 [ α ] = = [ L][ L ] = [ L ] Il appoo di due lunghezze è ovviamene un l numeo puo; quindi gli angoli sono gandezze α adimensionali. Tuavia quando si pala di angoli, si pefeisce aggiungee l'unià, il ad[iane], accano al numeo, pe chiaezza. L'angolo gio è uguale a π adiani, l'angolo eo a π/ adiani. L'angolo di un adiane è quello che soende un aco di lunghezza l pai al aggio. Comunemene gli angoli si misuano in gadi, l'angolo gio coisponde a 360 gadi. Il faoe di convesione si oiene aaveso la seguene popozione: Da cui si oiene: 360 : π = θ (in gadi) : θ (in ad) 1ad 360 π ad ( in gadi) = 1ad = Analogamene, l'angolo solido individua la pae di spazio delimiaa da un cono con veice in O. Anche in queso caso, pe misuae l angolo solido è necessaio cosuie la supeficie sfeica di aggio abiaio e cono in O. Si misua quindi la pozione di supeficie sfeica S delimiaa dal cono. La misua dell angolo solido è daa dal appoo a la supeficie S ed il aggio al quadao: Ω Ω= S Le sue dimensioni sono: [angolo solido] = [L ][L - ] = [L 0 ] Ο Anche l'angolo solido è una gandezza adimensionale, ma si usa indicalo con una unià di misua che è lo seadiane (s). L'angolo solido oale è uguale a 4π s. 14 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003

15 Gandezze deivae dalla massa e dalla lunghezza. La densià di un copo, ρ, espime la massa conenua nell'unià di volume. Pe un copo omogeneo essa è daa da: ρ= m V L'equazione dimensionale si scive: [ ρ]= [ M] [ L 3 ] e si misua in kilogammi pe meo cubo (kg/m 3 ). Qualche vola si usa il emine peso specifico pe ifeisi alla densià. È facile icodae la densià dell'acqua che è cica 1000 kg/m 3. La densià dell'aia invece è cica 1000 vole più piccola (I valoi della densià di ali maeiali sono ipoai in una abella sul libo di eso, oppue poee cecae in queso sio). Quando una delle dimensioni del copo che siamo ossevando é molo più piccola ispeo alle ale due ed è unifome, come nel caso di una lasa o di un foglio, alloa si può definie una densià supeficiale, σ, che è uguale alla massa conenua nell'unià di supeficie. Pe un copo omogeneo essa è daa da: σ= m S L'equazione dimensionale si scive: [ σ] = [ M] [ L ] e si misua in kilogammi pe meo quado (Kg/m ). Quando poi due delle dimensioni del copo sono ascuabili ispeo alla eza ed unifomi, come nel caso di un filo o di una sbaa, alloa si può definie una densià lineae, λ, che è uguale alla massa conenua nell'unià di lunghezza. Pe un copo omogeneo essa è daa da: λ= m l L'equazione dimensionale si scive: [ λ]= [ M] [ L 1 ] e si misua in kilogammi pe meo (Kg/m). 15 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003

16 Gandezze deivae dal empo. Come gandezza deivaa dal empo, consideeemo la fequenza. Essa si ifeisce ad un fenomeno peiodico ed espime il numeo di cicli compiui nell'unià di empo. Se n è il numeo di cicli compiui nell'inevallo, alloa la fequenza f è daa da: f n = Se è popio uguale al peiodo T del fenomeno peiodico alloa n è uguale a 1, pe cui si può anche scivee: f = 1 T L'equazione dimensionale della fequenza, enuo cono che n è un numeo, e quindi senza dimensioni, si scive: 1 [ f ] = [ T ] Nel SI l'unià di misua della fequenza è chiamaa hez (Hz, 1Hz = 1s -1 ). Gandezze deivae dalla lunghezza e dal empo. Abbiamo già inconao una di quese gandezze: la velocià. Abbiamo definio la velocià media di un copo in moo come lo spazio pecoso diviso il empo impiegao: v d = L'equazione dimensionale della velocià si scive come: [ V]= [ L] [ T 1 ] Nel SI la velocià si misua in mei al secondo (m/s). Un'ala gandezza deivaa dalla lunghezza e dal empo è l'acceleazione. Pe dae un'idea delle pesazioni di una auomobile, una delle caaeisiche che viene elencaa è il empo necessaio pe fa passae la velocià della veua da 0 a 100 Km/h, pe veue spoive queso empo è al di soo dei 10 s. L'acceleazione è una misua della apidià con cui cambia la velocià. Essa è definia come: a v = dove v è la vaiazione di velocià subia nell'inevallo di empo. L'equazione dimensionale è: G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003 16

17 []= a [ v] [ T 1 ]= [ L] [ T ] Nel SI l'acceleazione si misua in mei al secondo al quadao ( m s ). Nel caso di una veua che passa da 0 a 100 Km/h in 10 s, l'acceleazione media è: a = v = 100km 1h 10s = m 3600s 10s =.78 m s 17 G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003

18 Risulao di una misua. Supponiamo di vole misuae la disanza a due puni A e B. Basa dispoe lo sumeno di misua, in queso caso un meo gaduao, sul segmeno AB, facendo coincidee un esemo del segmeno con l'inizio del meo gaduao e poi leggee la posizione di B sul meo gaduao. Pe disanze di qualche meo, il meo gaduao è suddiviso in decimei, cenimei e poi in millimei. Pe cui se a A e B ci sono mei, più 1 decimeo, più 5 cenimei, più millimei, diemo che la disanza a A e B è.15 m e sciveemo: d AB =.15 m Cioè indicheemo la disanza a A e B con un numeo seguio dall'unià di misua. L'unià di misua è essenziale pe specificae compleamene il isulao di una misua ed è eoe gave omeela. Il fao di appesenae il isulao della misua con il numeo.15 ha un suo peciso significao. Ogni misua, infai, è affea da eoe. Scivee quindi che la disanza a A e B è.15 m significa aibuie alla misua un eoe dell'odine del millimeo, così come scivee.15 m significa aibuie alla misua un eoe dell'odine di 1 cenimeo, mene scivee.154 significa aibuie un eoe dell'odine del decimo di millimeo. Il numeo delle cife specificae viene deo numeo di cife significaive (N.B. anche lo zeo può essee una cifa significaiva). Un millimeo, un cenimeo, un decimo di millimeo appesenano l'eoe assoluo, ε A, in ciascuno dei e casi. Si definisce eoe elaivo, ε, il appoo a l'eoe assoluo e la misua. ε εa = misua Nei e casi avemo: Misua Eoe assoluo, ε A Eoe elaivo, ε.15 m m = 0.05%.15 m 0.01 m = 0.5%.154 m m = 0.005% Popagazione dell eoe Bisogna fae aenzione quando si usano delle elazioni pe calcolae gandezze deivae: la misua di una gandezza deivaa non può avee un numeo di cife significaive maggioe di quello delle gandezze fondamenali da cui dipende. Bisogna disinguee due casi: - La gandezza deivaa è uguale alla somma o alla diffeenza di ale gandezze. In queso caso va consideao l'eoe assoluo: l'eoe assoluo della gandezza deivaa non può essee più piccolo del più gande degli eoi assolui delle singole gandezze da cui dipende. Esempio: sul eo di una abiazione ala 5.34 m, è disposa un'asa, che funziona da paafulmine, lunga m. Deeminae l'alezza dal suolo dell'esemià supeioe del paafulmine m + Alezza dell'edificio: l'eoe in queso caso è di 0.01 m m = Alezza della sbaa: l'eoe è di m 6.09 m _ Alezza complessiva: l'eoe è di 0.01 m, non può essee più piccolo del più gande degli eoi. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003 18

19 Se la lunghezza dell'asa fosse saa misuaa in maniea molo più appossimaa, diciamo con un eoe dell'odine di 0.1 m, alloa anche l'alezza complessiva avà lo sesso eoe m + Alezza dell'edificio: l'eoe in queso caso è di 0.01 m 0.7 m = Alezza della sbaa: l'eoe è di 0. 1 m 6.0 m Alezza complessiva: l'eoe è di 0.1 m, non può essee più piccolo del più gande degli eoi. - La gandezza deivaa si oiene mediane opeazioni di moliplicazione o divisione da ale gandezze. In queso caso va consideao l'eoe elaivo: l'eoe elaivo della gandezza deivaa non deve essee più piccolo dell'eoe elaivo delle singole gandezze da cui dipende.[l'eoe elaivo deve essee dello sesso odine del più gande degli eoi elaivi]. Supponiamo di vole calcolae la velocià di una auomobile che ha pecoso 100 m in 9.0 s. Il isulao della divisione è con un numeo infinio di 1. Ma noi sappiamo dalla maniea con cui sono sae specificae sia la disanza che l'inevallo di empo, che l'eoe sulle due misue è dell'odine dell'1% (1 m su 100 m, 0.1 s su 9.0 s), pe cui anche il isulao del appoo non può avee una pecisione maggioe dell' 1 % (*). Si sciveà peano che la velocià è v=11.1 m/s (0.1 m/s su 11.1 m/s 1 %). Una sima dell eoe da aibuie alla gandezza deivaa può essee oenuo combinando gli eoi sulle gandezze di paenza in maniea da oenee il valoe massimo ed il valoe minimo della gandezza deivaa: Pe esempio se: v = d v v ma min d + ε d = ε d ε d = + ε m = = s m = = s L eoe sulla velocià è quindi dell odine di 0. m/s, la meà della diffeenza a il valoe massimo ed il valoe minimo. Mene il valoe più pobabile saà la media a i due: 11.1 m/s. Eoi nelle misue. Abbiamo affemao che ogni misua è affea da eoe. Gli eoi che si possono commeee nell'eseguie una misua si disinguono in due caegoie: eoi sisemaici ed eoi casuali. Gli eoi sisemaici dipendono dallo sumeno di misua e dal meodo di misua, essi si ipesenano sempe alla sessa maniea eseguendo più vole la sessa misua. Una vola scopea la causa dell'eoe sisemaico, esso può essee coeo. Facciamo un esempio. Vogliamo usae il conachilomei di una auomobile pe misuae la disanza a due puni. Il conachilomei essenzialmene cona i gii delle uoe: moliplicando il numeo di gii pe la ciconfeenza delle uoe si oiene la disanza pecosa. Queso podoo viene fao all'ineno dello sumeno assumendo un ceo valoe pe la ciconfeenza della uoa, fissao al momeno della aaua da pae del cosuoe. Supponiamo oa che pe endee più sabile la veua quesa venga abbassaa monando delle uoe di diameo più (*) Nel caso consideao le due gandezze eano sae misuae all'incica con la sessa pecisione. Nei casi in cui le due gandezze sono misuae con pecisioni molo divese, occoe icodasi che il isulao del appoo non può avee una pecisione miglioe di ciascuna delle due deeminazioni. G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003 19

20 piccolo: essendosi idoa la ciconfeenza della uoa, il conachilomei misueà, pe un ceo pecoso, un valoe più elevao di quello effeivo. Fino a che sulla veua ci saanno uoe più piccole, le misue dei pecosi saanno sempe più ali dei valoi effeivi. Pe valuae l'enià dell'eoe sisemaico occoe ipeee la misua con uno sumeno diffeene o impiegando un meodo diveso. Disibuzione delle fequenze, media = 1.5 Gli eoi casuali, a diffeenza di quelli sisemaici, si pesenano con un diveso. valoe ogni vola che si esegue una misua, e dipendono da ui quei faoi che influenzano la misua in maniea casuale. Popio a causa del fao che l'eoe casuale si manifesa oa in un senso ed oa in senso opposo, si può.1 oenee una sima più pecisa della misua di una cea gandezza ipeendo più vole la misua e assumendo come isulao il valoe medio delle n misue. L'eoe in al caso è idoo di un faoe n ispeo all'eoe della singola misua. Se si ipoa in un isogamma la disibuzione delle fequenze, il numeo di vole la misua capia in un deeminao inevallo, si oiene, nell'ipoesi che gli eoi siano veamene casuali, una ipica disibuzione a campana. (Nell'isogamma vengono ipoai i valoi delle fequenze diviso pe l'ampiezza dell'inevallo, in modo che l'aea al di soo dell'isogamma sia uguale a 1). Ovviamene la laghezza di ale disibuzione dà una indicazione della pecisione delle misue. La laghezza della disibuzione è legaa alla deviazione sandad, che si indica con il simbolo σ, della disibuzione. La deviazione sandad, infai, è all incica uguale alla meà della laghezza a meà alezza della disibuzione. Il significao della deviazione sandad σ è il seguene: la pobabilià che eseguendo una nuova misua il isulao diffeisca dal valoe medio della disibuzione meno di σ, è del 68,3%.Tale pobabilià sale al 95.5 % se si ichiede che il isulao diffeisca dal valoe medio meno di σ, ad addiiua al 99.7% se si ichiede che uno scao più piccolo di 3σ. Funzione gaussiana. valoe medio.1 aea =.68 σ +σ G.P. Maggi - Lezioni di Fisica Geneale pe Ingegneia Edile AA 00/003

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