Analisi Frequenziale. Esempi
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- Luciana Porta
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1 Phi AR Analisi Frequenziale Comandi Matlab: logspace, bode, nyquist, subplot, loglog, semilogx, margin Sintassi comandi più usati bode(g), nyquist(g) diagrammi di Bode e Nyquist (default) w=logspace(w,wf,np) definizione intervallo di frequenza bode(g,w), nyquist(g,w) diagrammi di Bode e Nyquist per le frequenze scelte [AR,Fi,w]=bode(g,w) vettori AR(w), Fi(w) di g(w) AR=squeeze(AR); Fi=squeeze(Fi) aggiusta dimensioni dei vettori loglog(w,ar) grafico AR(w) semilogx(w,fi) grafico Fi(w) subplot(2,,),loglog(w,ar) grafico AR(w) in finestra superiore subplot(2,,2),semilogx(w,fi) grafico Fi(w) in finestra inferiore [Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(g) calcola margini di guadagno e di fase di un sistema Esempi ES.: diagrammi di Bode per un sistema del primo ordine al variare dei parametri Vedi il file AF.m; (analogamente per Nyquist) 2 P(s)=k/(ts+)) K=;T= K=;T= -2 K=;T= K=;T= K=,;T= frequency Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6 -
2 FI AR ES.2: Diagrammi di Bode per il sistema Vedi il file AF-abc.m; s as bs cs P al variare dei parametri a,b,c 4 2 P(s)=(as+)/(bs+)*(cs+);a=;b=;c=.; (3) (4) -2 () (2) -2-2 omega (3) 5 (4) () -5 (2) omega ES.3: Studio di stabilità in un diagramma di Bode; P Vedi il file STABAF.m; s Ts T 2s T3s Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-2
3 AF.M diagrammi di bode di un sistema del primo ordine al variare dei parametri clf;e=-2;,ef=2;npw=4; w=logspace(e,ef,npw); tau=;k=; n=k;d=[tau ];g=tf(n,d) [ar,fi,w]=bode(g,w); ar= squeeze(ar); subplot(2,,),loglog(w,ar);pause subplot(2,,),grid subplot(2,,),hold on subplot(2,,2),semilogx(w,fi);pause subplot(2,,2),grid subplot(2,,2),hold on ripetizione per valori diversi di tau tau=;k=; n=k;d=[tau ];g=tf(n,d) [ar,fi,w]=bode(g,w); ar= squeeze(ar); subplot(2,,),loglog(w,ar,'-.');pause subplot(2,,2),semilogx(w,fi,'-.');pause ripetizione per valori diversi di K tau=;k=; n=k;d=[tau ];g=tf(n,d) [ar,fi,w]=bode(g,w); ar= squeeze(ar); subplot(2,,),loglog(w,ar,':');pause subplot(2,,2),semilogx(w,fi,':'); subplot(2,,),title('p(s)=k/(ts+))'),ylabel('ar') subplot(2,,2),xlabel('frequency'),ylabel('phi') gtext('k=;t='),gtext('k=;t='),gtext('k=;t=') gtext('k=,;t=') gtext('k=;t=') Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-3
4 AF-abc.M: diagrammi di bode del sistema (a*s+)/(b*s+)(c*s+) al variare dei valori relativi dei parametri a,b,c (,,.) clf w=logspace(-2,2,4); a=;b=;c=.; diagrammi dei 3 sistemi componenti (): /(c+s+) n3=;d3=[c ];fi()=; [ar,fi,w]=bode(n3,d3,w); ar=squeeze(ar); subplot(2,,),loglog(w,ar) subplot(2,,),grid subplot(2,,),hold on subplot(2,,),xlabel('omega'); subplot(2,,),ylabel('ar') subplot(2,,2),semilogx(w,fi) subplot(2,,2),grid subplot(2,,2),hold on subplot(2,,2),ylabel('fi') subplot(2,,2),xlabel('omega');pause (2): /(b*s+) n2=;d2=[b ];fi()=; [ar,fi,w]=bode(n2,d2,w); ar= squeeze(ar); subplot(2,,),loglog(w,ar,':') subplot(2,,2),semilogx(w,fi,':');pause (3): (a*s+) n=[a ];d=[ ];fi()=; [ar,fi,w]=bode(n,d,w); ar= squeeze(ar); fi=fi+36.; subplot(2,,),loglog(w,ar,'--') subplot(2,,2),semilogx(w,fi,'--');pause diagramma di bode del sistema globale (4): (a*s+)/(b*s+)*(c*s+) n=[a ];d=[b*c b+c ];fi()=; [ar,fi,w]=bode(n,d,w); ar= squeeze(ar); subplot(2,,),loglog(w,ar,'-.') subplot(2,,2),semilogx(w,fi,'-.') subplot(2,,),title('p(s)=(as+)/(bs+)*(cs+);a=;b=;c=.;') gtext('()'),gtext('(2)'),gtext('(3)'),gtext('(4)') gtext('()'),gtext('(2)'),gtext('(3)'),gtext('(4)') Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-4
5 STABAF.M per studio di stabilità in frequenza Definizione del processo g(s)=/((t*s+)(t2*s+)(t2*s+)) in modo più rapido: s=tf( s ) definisce s come variabile di Laplace; g= /((t*s+)*(t2*s+)*(t2*s+)) n=;t=;t2=/2;t3=/3; d=[t ];d2=[t2 ];d3=[t3 ]; g=tf(n,d);g2=tf(n,d2);g3=tf(n,d3); g=g*g2*g3 clf;e=-2;,ef=2;npw=5; definizione intervallo di frequenza w=logspace(e,ef,npw); [mag,fi,w]=bode(g,w); mag=squeeze(mag); subplot(2,,),loglog(w,mag);pause subplot(2,,),grid subplot(2,,2),semilogx(w,fi);pause subplot(2,,2),grid individuazione di Kmax ris=[w,fi,mag] tabulato di Fi e AR in funzione della frequenza ris = W Fi AR wco=wu=3.3 rad/sec Kmax=Ku=/AR(wcu)= Il comando margin permette di ottenere direttamente wco,kmax [Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(mag,fi,w) Gm =.348 Gm = Gain margin = Kmax (per Kc=) Pm = Inf Pm = Phase margin = 8+Phi(w*) = Inf (? ND wcp) wcg = wcg= wco= wu= frequenza critica wcp = NaN wcp= w: AR(w)=: non definita in questo caso Più in generale margin serve per calcolare Gm, Pm di un regolatore assegnato Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-5
6 Margine di guadagno e di fase Per un sistema controllato in retroazione con una funzione di trasferimento in open loop G(i )=P C(i ), si definiscono Margine di Guadagno (G M ) e di Fase (P M ), rispettivamente: G M ; *: ( i *) G( i *) P M ( i ); : G( i ). I margini hanno il significato di distanze dalle condizioni di stabilità marginale alle due frequenze caratteristiche, rispettivamente * (frequenza critica, alla quale lo sfasamento risulta pari a 8 ) e (frequenza alla quale il rapporto di ampiezza risulta pari a ). Il comando Matlab margin, fornisce i valori di G M, P M e delle frequenze caratteristiche (wcp,wcg): [Gm, Pm,wcg,wcp]=margin(g); g: è la fdt del sistema; il range di frequenza è definito automaticamente [Gm, Pm,wcg,wcp]=margin(ar,fi,w) in questo caso, il range di frequenza può essere specificato; ar, fi sono il risultato dell appplicazione del comando bode alla fdt del sistema. Il comando margin, oltre che per valutare G M, P M e può essere usato per studi di stabilità; in questo caso (Kc= g=p) e quindi G M = K M e wcg= *. In alcuni casi, l uso del comando margin può dare luogo ad ambiguità: indicare instabilità oppure alcuni parametri possono non essere definiti (vedi esempi). Esempi Es): P = /((s+)*(.5*s+)*(.33*s+)) K M =; *= 3.3rad/s margin: > [Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(p) Gm =.3; Pm = -8; wcg = 3.38; wcp =. I valori di Gm e Pm sono corretti; il sistema vale = Kp=P() a frequenza wcp=; Pm dovrebbe essere +8. Es2): P 2 = *p È evidente, dal confronto con il caso precedente, che in questo caso si deve avere K M =.; L applicazione del comando margin indica che il sistema è instabile: margin: > [Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(p2) Warning: The closed-loop system is unstable. Si ha questa indicazione perché alla frequenza *= 3.3rad/s si ha AR>; In ogni caso il valore di Km e di w* sono corretti: Gm =.; Pm = ; wcg = 3.38; wcp = 8.62 Es3): P 3 =/((s+)*(.5*s+)) Questo sistema è sempre stabile: ( )> -, < Quindi si ha che Gm=K M =, *=, wcp=. margin: > [Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(p3) Gm = Inf; Pm = -8; wcg = Inf; wcp =. Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-6
7 Imaginary Axis Es4): P 4 = (s-)/((s+)*(2*s+)) Il sistema ha guadagno negativo; Kp=P()= -. Il regolatore deve avere segno negativo per mantenere la concordanza dei segni KcKp>. Il comando margin(-p 4 ) da il valore corretto del guadagno massimo e della frequenza critica. Attenzione: margin (P 4 ) dà valori diversi (e sbagliati). margin: > [Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(-p4) Gm = 3.; Pm = -8; wcg =.442; wcp = sistema p w*=.4; Ar(w*)= Diagramma di Nyquist del sistema - P4 Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-7
8 Amplitude Specifiche e Progetto nel dominio della frequenza Dato il processo: P=/(*s+) 3 ; Regolatore C:C PI = Kc(+ I s)/ I s; con tuning secondo Z&N La risposta Yr = PC/(+PC) r = r può essere caratterizzata: - nel dominio tempo Yr(t) dai parametri: tempi di risalita ( r )e Sovraelongazione (S e ) - nel dominio frequenza dalla funzione complementare di sensibilità ( ), con i parametri larghezza di banda ( B ) e picco ( ). La corrispondenza tr i parametri al variare del guadagno K C è riportata nelle figure che seguono e sintetizzata nella tabella X:.893 Y: Andamento in frequenza della funzione ( ) al variare del guadagno K C.6 Step Response.4.2 System: eta Time (sec): 42.2 System: Amplitude: eta.2 Time (sec): 3.9 Amplitude: Time (sec) Andamento nel tempo della risposta Yr(t) al variare del guadagno K C N / param K C S e r B Z&N Tabella riassuntiva della corrispondenza tra i parametri Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-8
9 Lista comandi MATLAB per lo studio Yr(t) -- ( ) riportato sopra definizione processo e studio di stabilità g=/(*s+)^3 definizione del processo definizione range di tempo e di frequenza t=linspace(,4,4); w=logspace(-2,,4); studio di stabilità (calcolo di Gm e wcg) per tuning Z&N [Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(g) prima simulazione: con i valori di Z&V (Kc=3.63, taui=3.25) kc=gm/2.2; taui=2*pi/(wcg*.2); cpi=kc*(+/(taui*s)) calcolo eta; eta=g*cpi/(+g*cpi) Figure in t e in w figure(),step(eta,t) grid; hold [ar,fi]=bode(eta,w); ar=squeeze(ar); figure(2), loglog(w,ar) grid; hold costruzione della linea sottile per calcolare wb for i=:4, y(i)=.77; end figure(2), loglog(w,y,'red') seconda simulazione per Kc=2 kc=2; cpi=kc*(+/(taui*s)); eta=g*cpi/(+g*cpi); Figure in t e in w figure(),step(eta,t, g ) [ar,fi]=bode(eta,w); ar=squeeze(ar); figure(2), loglog(w,ar, g ) terza simulazione per Kc=.5 kc=.5; cpi=kc*(+/(taui*s)); eta=g*cpi/(+g*cpi) Figure in t e in w figure(),step(eta,t,'c') [ar,fi]=bode(eta,w); ar=squeeze(ar); figure(2),loglog(w,ar,'c') I valori di tempo di risalita ( r ) e Sovraelongazione (S e ), di larghezza di banda ( B ) e picco ( ) possono essere valutati con il cursore cliccando sui punti corrispondenti. Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-9
10 Imaginary Axis Imaginary Axis Imaginary Axis Imaginary Axis Sistemi instabili in anello aperto Es#: P=/(s-p); Teorema di Nyquist e Luogo Radici; effetto del segno del guadagno >>s=tf('s') >> p=2;p=/(s-p) P= s 2 A) Segno positivo di Kc >> subplot(,2,), nyquist(p) >> subplot(,2,2), rlocus(p) Nyquist Diagram Root Locus Kmin=/.5=2.4 Kmin=/.5= Guadagno positivo: stabile per Kc>K min = /P() =2 ********************** B) Segno negativo di Kc >> Kc=-;subplot(,2,), nyquist(kc*p) >> Kc=-;subplot(,2,2), rlocus(kc*p) Nyquist Diagram Root Locus Rotazione Oraria: Instabile ogni Kc.6.4 Ramo in RHP: Instabile ogni Kc B) Guadagno negativo: instabile per ogni Kc Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6 -
11 Imaginary Axis Imaginary Axis Sistema di ordine n=3, instabile in anello aperto >> s=tf('s'); >> p2=-2;p3=-3;p=6;p=/((s-p)*(s-p2)*(s-p3)) Transfer function: s^3 - s^2-24 s - 36 >> subplot(,2,), rlocus(p) >> subplot(,2,2), nyquist(p) >> p2=-2;p3=-3;p=4;p=/((s-p)*(s-p2)*(s-p3)); >> subplot(,2,), rlocus(p) >> subplot(,2,2), nyquist(p) >> p2=-2;p3=-3;p=;p=/((s-p)*(s-p2)*(s-p3)); >> subplot(,2,), rlocus(p) >> subplot(,2,2), nyquist(p) >> nyquist(p) >> pk6=p*6; >> nyquist(p) >> hold; nyquist(pk6) Current plot held >> pk=p*;nyquist(pk) >> pk8=p*8;nyquist(pk8) >> gtext('blu: K=') >> gtext('rosso: K=') >> gtext('verde: K=6') >> gtext('ciano: K=8') 5 Root Locus.3 Nyquist Diagram Caso P=6: instabile per ogni K Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6 -
12 Imaginary Axis Imaginary Axis Imaginary Axis 6 Root Locus Nyquist Diagram Caso P=:stabilizzabile per Kmin< K < Kmax; Kmin=/P()=6; Kmax= Nyquist Diagram blu: K= rosso: K= verde: K=6 ciano: K= Andamenti per valori diversi di K Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-2
13 Amplitude Risposta nel tempo con regolatore Kc=8: è stabile, ma può comparire instabilità numerica, a causa di problemi di riduzione di ordine mancata; ci sono poli e zeri che non vengono cancellati (vedi minrel). Y( )= eta()=g()/(+g())= 3.85; g()= Step Response Time (sec) Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-3
14 Imaginary Axis FOPTD instabile Es # p=; θ=.; A) Regolatore P: [d /d ] = /p- θ > stabilizzabile per Kc> Kmin= esempi su Nyquist per Kc=, Kc=.5 >> s=tf('s') >> p=;d=.;[n,d]=pade(d,3);d=tf(n,d);p=/(s-p)*d >> nyquist(p); >> hold; Kc=.5;P=Kc*P;nyquist(P) Nyquist Diagram Oss: : rotazione AO intorno a -, per Kc> la risposta nel tempo ha un offset.. B) Regolatore PI: [d /dt] > non è più sufficiente per la stabilizzazione esempi su Nyquist Kc=,Ti=: >> p=;d=.;[n,d]=pade(d,3);d=tf(n,d);p=/(s-p)*d; Kc=;Ti=;C=Kc*(+/(Ti*s));G=P*C;nyquist(G) Prove Kc=, Ti=, Ti=.. Oss: Non stabilizza; G() parte da + Im, non circonda il punto Q(-,): zoommare per vedere.. Prove: Kc=2.. stabilizza; Kmin=.2 (x tentativi) Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-4
15 Imaginary Axis Amplitude Caso di sistema stabilizzato: Kc=2, Ti= >> Kc=2;Ti=;C=Kc*(+/(Ti*s));G=P*C; nyquist(g) >> time=linspace(,2,4); step(eta,time) 3 Nyquist Diagram 2 Step Response Time (sec) Oss: Risposta Y(r) stabile, ma può instabilizzarsi (per problemi numerici) minreal per minima realizzazione zpk(eta): ci sono poli non cancellati, alcuni instabili. Zero/pole/gain: -2 s (s+46.44) (s-46.44) (s+) (s-) (s^ s ) (s^ s ) s (s+46.44) (s+26.46) (s-) (s^ s ) (s^ s ) >> etamin=minreal(eta) (s^ s ) Transfer function: -2 s^ s^3 -.76e4 s^ e5 s + 2.4e s^5 + 7 s^ s^3 +.22e5 s^2 +.8e5 s + 2.4e5 >> zpk(etamin): il sistema è ridotto all ordine minimo.. Zero/pole/gain: -2 (s-46.44) (s+) (s^ s ) (s+26.46) (s^ s ) (s^ s ) Prof. Claudio Scali Università di Pisa Es#6-5
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