FORMULARIO DI RETI DI TELECOMUNICAZIONI (versione 1.1, )

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1 FORMULARIO DI RETI DI TELECOMUNICAZIONI (versione., ) definizioni di carattere generale - valide salvo avviso contrario N numero di server e/o di posti nel sistema M numero di potenziali utenti del sistema λ tasso di arrivi al sistema µ tasso di servizio γ tasso di attraversamento del sistema (throughput) ρ tasso di utilizzazione di uno dei server del sistema T tempo medio di permanenza nel sistema W tempo medio di attesa in coda X tempo medio di servizio R tempo medio di servizio residuo N numero medio di utenti nel sistema N q numero medio di utenti nella sezione di attesa N s numero medio di utenti nella sezione di servizio p n probabilità che ci siano n utenti nel sistema P(z) trasformata z di p n p busy probabilità che il server sia attivo p B probabilità che il sistema sia bloccato (time congestion) p L probabilità che un utente trovi il sistema bloccato (call congestion) A traffico offerto al sistema (in Erlang) A c traffico servito dal sistema (in Erlang) a n probabilità che ci siano n utenti nel sistema all arrivo di un utente probabilità che ci siano n utenti nel sistema dopo la partenza di un utente d n relazioni di carattere generale - valide salvo avviso contrario N = γt A = λ/µ ρ = λ/nµ N s = ρ a n = p n a n = d n teorema di Little (se λ = γ allora N = λt) traffico complessivo offerto al sistema tasso di utilizzazione di uno degli N server del sistema valido per code G/G/ stabili valido per processo di arrivi Poisson valido per processi nascita-morte notazioni - valide salvo avviso contrario X lo stile normale indica variabili semplici X il grassetto indica una variabile aleatoria X il soprasegnato indica media

2 coda M/M/ p n = ( ρ)ρ n, n 0 ρ N = ρ = λ µ λ coda M/M//N ( ρ)ρn p n =, n = 0,,...,N ρn+ = p 0 ρ p busy p B = p N N ρ = ρ (N + ) ρ N+ ρ N+ γ = λ( p B ) coda M/M/2 p 0 = p n = N = ( ρ) + ρ 2 + ρ ( ρ)ρn, n 2 ρ + ρ ρ coda M/M/ con scoraggiamento λ n = λ/(n + ) ρ = λ/µ N.B. non è il tasso di occupazione del server p n = e ρ ρ n /n!, n 0 N = ρ γ = µ( e ρ ) coda M/M/ p n = e A A n /n!, n 0 N = A 2

3 coda M/M/N p 0 = p n p n [ N A n n! + A N ] ρ N! = p 0 A n n!, n N = p N (A/N) n N = p 0 A N p N N! (A/N)n N, n N Pr(W > 0) = = C(N, A) ρ formula C di Erlang (vedi) W (W > 0) Exp(Nµ λ) W = C(N, A)/(Nµ λ) coda M/M/N/N [ N p n = An n! / A n ] n! p B = p N = B(N, A) formula B di Erlang (vedi) A c γ = λ( p N ) = λ[ B(N, A)] = A[ B(N, A)] F(N, A) = A[B(N, A) B(N +, A)] improvement function (vedi) coda M/M/N/N/M λ β a A qui è il tasso con cui un generico utente libero genera arrivi è il rapporto λ/µ pari a β/( + β) è la probabilità che un utente sia attivo traffico offerto, è pari a Ma ( ) [ N ( ] M p n = β n M / )β n n n p B = p N time congestion p L = p N M M call congestion (teorema degli arrivi) A A c = M N A M p N traffic congestion ( ) N p n = a n ( a) N n, quando M = N n 3

4 coda M/G/ R = 2 λx2 = ρ X 2 2 X R W = ρ = λx2 2( ρ) teorema di Pollaczek-Kinchine coda M/G/ con priorità non-preemptive K classi di utenti, la i-esima classe ha statistiche medie λ i, X i, X 2 i, ρ i = λ i X i e tempi di attesa in coda e permanenza nel sistema W i e T i R = R = W k = K k Xi 2 ρ i = ρ X 2 2 X i 2 X Xi 2 ρ i + ( 2 X i R ( k ρ i )( k ρ i) se K ρ i < k ρ i ) Xk+ 2 se k 2 X ρ i < < k+ ρ i k+ la M/G/ vacation è un caso particolare di M/G/-NP con 2 classi e λ 2 = coda M/G/ con priorità preemptive-resume R k = T k = k Xi 2 ρ i 2 X i R k + X k ( k ρ i ) ( k ρ i )( k ρ i) coda M/Er/ q n è la distribuzione di probabilità degli stadi esponenziali di servizio presenti nel sistema p 0 = q 0 p n = Q(z) = nr i=nr r+ q n z n = q i, n ρ (ρ/r)( r z i ) 4

5 coda M/M/ con arrivi a gruppi λ è il tasso di arrivo dei gruppi g i = Pr(G = i), i è la distribuzione di probabilità della dimensione di un gruppo ρ = P(z) = λe[g] µ p n z n = ( ρ)µ(z ) µ(z ) λz[g(z) ] coda M/D/ g i è la probabilità che siano arrivati i clienti in un intervallo pari a /µ g i = e ρ ρ i /i!, i 0 n+ p n = p 0 g n + p i g n+ i, n 0 coda G/G/ σ 2 x e σ 2 τ sono le varianze dei tempi di servizio e dei tempi interarrivo W λ(σ2 x + σ 2 τ) 2( ρ) reti Jacksoniane aperte di code p(n) = Pr(N = n,...,n M = n M ) indica lo stato della rete, q si, q ij, q jd sono le probabilità che un cliente si trasferisca, rispettivamente, da ingresso a coda i, da coda i a coda j, e da coda j a destinazione. M p(n) = p(n,...,n M ) = ( ρ i )ρ n i i M λ i = λq si + λ j q ji j= M λ = λ j q jd j= T = M λ i λ µ i λ i 5

6 reti Jacksoniane chiuse di code F(N) = {n : n + n n M = N} è l insieme degli stati ammissibili p(n) = g(n, M) = M ρ n i i /g(n, M), M ρ n i i n F(N) n F(N) g(n, M) = g(n, M ) + ρ M g(n, M), Pr(N i k) = ρ k g(n k, M) i g(n, M) N i = ρ k i g(n k, M) g(n, M) k= γ = µ i ρ i g(n, M) g(n, M) algoritmo di Buzen T i (N) = µ i [ + N i (N )], mean value analysis ALOHA (reti locali a contesa) si assume per semplicità µ = ρ = λ; nel caso di m stazioni senza buffer m n stazioni sono libere, n occupate, e q t e q r sono le loro rispettive probabilità di trasmissione per slot γ out = λe 2λ ALOHA puro, stazioni, X costante γ out = λe λ /( + λ) ALOHA puro, stazioni, X Exp γ out = λe λ ALOHA slotted γ in = (m n)q t ALOHA slotted, m stazioni senza buffer λ = (m n)q t + nq r ALOHA slotted, m stazioni senza buffer reti locali a prenotazione m stazioni; V e V 2 sono le statistiche delle prenotazioni e Y è tempo d attesa medio che inducono. W = (R + Y )/( ρ) unlimited service W = (R + Y )/( ρ λv ) limited service (solo partially gated) R = ρx 2 /(2X) + ( ρ)v 2 /(2V ) (m )V /2 exhaustive Y = (m + 2ρ)V /2 partially gated (m + )V /2 gated 6

7 [ N formula B di Erlang B(N, A) = AN N! / A n ] n! Curve Erlang B per N= B(N,A) = prob. di blocco A = traffico offerto [ formula C di Erlang C(N, A) = AN /N! N ρ / A n ] n! + AN /N! ρ Curve Erlang C per N= C(N,A) A = traffico offerto 7

8 improvement function F(N, A) = A[B(N, A) B(N +, A)] Improvement Function per N= F(N,A) = utilizzo linea N A = traffico offerto 8

9 v.a. Esponenziali X Exp(λ) f X (x) = λe λx u(x) E[X] = /λ E[X 2 ] = 2/λ 2 Exp(λ) Erlang(N, λ) min[exp(λ ),...,Exp(λ N )] Exp( λ i ) λ Pr(X < X 2 ) = λ + λ 2 processi di Poisson N(t) Poisson(λ) Pr(N(t) = k) = e λt(λt)k k! τ k v.a.i.i.d. Exp(λ) T k Erlang(k, λ) Poisson(λ i ) Poisson( λ i ) dove τ k è il k-esimo interarrivo e T k il k-esimo tempo di arrivo inoltre un processo ottenuto prendendo a caso arrivi da un Poisson(λ) con probabilità p è a sua volta Poisson(pλ) variabili aleatorie campionate al buio f X buio (x) = xf X(x)/E[X] E[X buio] = E[X 2 ]/E[X] trasformata z della distribuzione di una v.a. X definita su N + P(z) = p n z n P(0) = p 0 P() = p n = P () = np n = E[X] ( a)a n ( a)/( az) 9