Laboratorio di Python

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1 , Esercizi su alberi Università di Bologna 16 maggio 2013

2 Sommario 1 2

3 Consegna non avvenuta Meno di 10 studenti hanno inviato l esercizio svolto.

4 Definizione ricorsiva alberi binari Un albero binario è un insieme finito di nodi. Un albero binario è: un insieme vuoto di nodi un nodo radice con due alberi binari disgiunti detti sotto-albero sinistro e sotto-albero destro

5 Definizioni radice è il nodo dell albero che non ha nessun arco entrante padre è il nodo che ha almeno un arco uscente figlio è un nodo che ha un arco entrante foglia è il nodo senza archi uscenti altezza di un nodo : distanza del nodo dalla radice dell albero (la radice ha livello 0)

6 Rappresentiamo un albero Per rappresentare un albero: usiamo una struttura dati ricorsiva (sequenze mutabili) [1, [], []]: ad esempio usiamo una lista annidata, dove ogni sotto-lista rappresenta un sotto-albero.

7 Albero binario Un albero si dice binario se ha al più due figli per ogni nodo. Nella nostra rappresentazione avrà la seguente forma: [x, [y, [], []], [z, [k, [], []], []]]

8 Alcune funzioni Data la nostra rappresentazione di albero binario, implementiamo le seguenti funzioni, per creare la nostra struttura di dato astratto. Una funzione che restituisca l albero vuoto (empty) Una funzione che dato un albero restituisca vero se e soltanto se l albero vuoto (is_empty) Una funzione che dato un albero che restituisca il figlio sinistro. (fist_child) Una funzione che dato un albero che restituisca il figlio destro. (second_child) Una funzione che dato un albero restituisca l etichetta della radice (label) Una funzione che dati tre parametri a, f, s restituisca l albero che abbia a come l etichetta della radice, f come figlio sinistro e s come figlio destro (bin)

9 Funzioni def empty(): a=[] return(a) def is_empty(a): return (a == []) def first_child(a): if not (is_empty(a)): f=a[1] return(f) else: return None

10 Funzioni def second_child(a): if not is_empty(a): s=a[2] return(s) else: return None def label(a): if not is_empty(a): return a[0] else: return None def bin(a,f,s): x=[] x.append(a) x.append(f) x.append(s) return (x)

11 Esercizio 1 Utilizzando solo le funzioni definite precedentemente, (empty, is_empty, fist_child, second_child, label, bin) si scriva una funzione Python sost(alb,et,c) che restituisce l albero che si ottiene da alb sostituendo ogni foglia etichettata et l albero c. Si ricordi che una foglia è un nodo con entrambi i figli vuoti; si può assumere che il primo e il terzo argomento siano alberi ben formati.

12 Soluzione def isleaf(a): if not is_empty(a): return(is_empty (first_child(a)) and is_empty (second_child(a))) else: return is_empty(a) def sost(a, et, c): if is_empty(a): return (a) if isleaf(a) and label(a)==et: return(c) return (bin(label (a), sost(first_child(a),et, c), sost(second_child(a),et, c)))

13 Testiamo la funzione x=[0,[3,[6,[],[]],[6,[],[6,[],[]]]],[5,[],[]]] c=[99,[1,[],[]],[78,[],[]]] r=sost(x,6,c) print(r)

14 Esercizio 2 Utilizzando solo le funzioni definite precedentemente, (empty, is_empty, fist_child, second_child, label, bin) si scriva una funzione Python sost2(alb,et,et1) che restituisce l albero che si ottiene da alb sostituendo ogni foglia etichettata et l etichetta et1. Si ricordi che una foglia è un nodo con entrambi i figli vuoti; si può assumere che il primo sia un albero ben formato.

15 Soluzione def isleaf(a): if not is_empty(a): return(is_empty (first_child(a)) and is_empty (second_child(a))) else: return is_empty(a) def sost2(a, et, et1): if is_empty(a): return (a) if isleaf(a) and label(a)==et: a=bin(et1,empty(),empty()) return(a) return (bin(label (a), sost(first_child(a),et, et1), sost(second_child(a),et, et1)))

16 Testiamo la funzione x=[0,[3,[6,[],[]],[6,[],[6,[],[]]]],[5,[],[]]] r=sost(x,6,4) print(r)

17 Esercizio 3 Utilizzando solo le funzioni definite precedentemente, (empty, is_empty, fist_child, second_child, label, bin) In un albero, l?altezza di un nodo è la lunghezza dell?unico cammino che congiunge u alla radice. Per esempio, bin(2,bin(3,empty(),empty()),bin(4,empty(),empty())) ha zero nodi di altezza 2, due nodi di altezza 1 e un solo nodo di altezza 0 (la radice). Manipolando alberi solo con le funzioni assegnate, si scriva una funzione Python maxalt(a) che dato un albero a restituisca la coppia (v,h), dove v è il valore con cui è etichettato uno dei nodi a massima altezza e h è tale altezza. Se l?albero è vuoto, maxalt restituisce ( 1, 1).

18 Soluzione def maxalt(a): if is_empty(a): return (-1,-1) mh_s=maxalt(first_child(a)) mh_d=maxalt(second_child(a)) if mh_s[1]==mh_d[1]==-1: #entrambi figli vuoti return (label(a),0) if mh_s[1]>mh_d[1]: return (mh_s[0],mh_s[1]+1) else: return (mh_d[0],mh_d[1]+1)

19 Testiamo la funzione x=[0,[3,[6,[],[]],[6,[],[6,[],[]]]],[5,[],[]]] r=maxalt(x) print(r)

20 Cosa abbiamo fatto? 1 2