Metodi Matematici per l Ingegneria Politecnico di Milano A.A. 2011/2012. Prof. M. Bramanti Esempi di domande teoriche da esame

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1 Metodi Matematici per l Ingegneria Politecnico di Milano A.A. 2011/2012. Prof. M. Bramanti Esempi di domande teoriche da esame Le seguenti domande teoriche sono domande-tipo da esame. L elenco di domande non è esaustivo ma indicativo. Dovrebbe servire soprattutto per indicare allo studente il tipo di studio e preparazione che ci si aspetta da lui. Dovrete rispondere per iscritto a un piccolo numero di domande di questo tipo, in modo preciso e dettagliato. Esercizi tipo, invece, sono disponibili a parte, scaricabili dalla stessa pagina da cui avete scaricato questo. Parte Dare la de nizione di spazio vettoriale, spazio vettoriale normato, spazio metrico. Fare un esempio di spazio vettoriale normato, un esempio di spazio vettoriale non normato, un esempio di spazio metrico non vettoriale. Tutti gli esempi devono essere spazi di funzioni. 2. In uno spazio metrico, dare la de nizione di successione di Cauchy, ricordare le principali proprietà che riguardano questo concetto, quindi dare la de nizione di spazio metrico completo e di spazio di Banach. Fare esempi di spazi vettoriali normati che sono o non sono completi, privilegiando gli esempi di spazi di funzioni. 3. Enunciare il teorema di Bolzano-Weierstrass in R n, e dimostrarlo in R. Discutere della validità o meno di questo teorema in altri spazi vettoriali normati. 4. Dimostrare la completezza di R n, dopo aver richiamato tutte le nozioni necessarie e i risultati coinvolti. 5. Per una successione di funzioni f n! R, con R n, de nire le nozioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme. Fare esempi che mostrano come le proprietà di f n possano non trasferirsi al limite f se la convergenza non è uniforme. 6. Dopo aver richiamato la de nizione di convergenza puntuale e uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Quindi dimostrare che lo spazio C 0 (K) è di Banach, sotto opportune ipotesi su K. 7. Enunciare e dimostrare il teorema sulla derivabilità di una successione di funzioni. Dedurne che lo spazio C 1 (K) è di Banach, sotto opportune ipotesi su K 1

2 . Dopo aver richiamato le de nizioni di successione di Cauchy in uno spazio metrico e spazio metrico completo, enunciare e dimostrare il teorema delle contrazioni in spazi metrici. 9. Il teorema di esistenza e unicità in piccolo per il problema di Cauchy per equazioni di erenziali ordinarie enunciarlo e dimostrarlo, sfruttando opportunamente il teorema delle contrazioni in spazi metrici (che non si chiede di dimostrare). Parte Teoria della misura dopo aver dato la de nizione di -algebra e di spazio di misura astratto, illustrare come si de nisce la misura di Lebesgue in R n de nizione di misura esterna, proprietà di Carathéodory, -algebra degli insiemi Lebesgue misurabili, principali proprietà della misura di Lebesgue. Non sono richieste dimostrazioni. 11. Teoria dell integrazione astratta dare la de nizione funzione misurabile su uno spazio di misura astratto e ricordare le principali proprietà delle funzioni misurabili. Illustrare quindi come si de nisce l integrale di una funzione misurabile positiva mediante approssimazione con funzioni semplici. Quindi de nire il concetto di integrabilità e l integrale per una funzione misurabile di segno qualunque. 12. I teoremi di convergenza per l integrale di Lebesgue enunciare il teorema della convergenza monotona, il teorema di Fatou, il teorema della convergenza dominata e dimostrare Dimostrare la completezza dello spazio L 1 (). 14. Dare la de nizione di misura di Hausdor s-dimensionale di un sottoinsieme di R n e ricordare le principali proprietà di questa funzione d insieme. Dare quindi la de nizione di dimensione di Hausdor di un sottoinsieme di R n. 15. De nire gli spazi L p () su uno spazio di misura astratto, per p 2 [1; 1). Dimostrare che sono spazi vettoriali normati. 16. De nire gli spazi L p () su uno spazio di misura astratto, per p 2 [1; 1]. Quindi illustrare le relazioni di inclusione che valgono tra spazi L p () quando ha misura nita. Parte Dare la de nizione di funzionale lineare continuo su uno spazio vettoriale normato e duale di uno spazio vettoriale normato. Fare esempi di funzionali lineari continui su spazi di funzioni. Enunciare quindi il teorema che caratterizza 2

3 il duale degli spazi L p () e il teorema che caratterizza il duale di uno spazio di Hilbert. 1. Dare la de nizione di spazio vettoriale con prodotto interno e spazio di Hilbert. Fare esempi di spazi di Hilbert nito e in nito dimensionale, esempi di spazi con prodotto interno che non sono di Hilbert, esempi di spazi di Banach che non sono di Hilbert. 19. Dopo aver ricordato la de nizione di spazio di Hilbert e di ortogonalità in uno spazio di Hilbert, enunciare e dimostrare il teorema della proiezione su un sottospazio chiuso. Descrivere quindi il tipo di applicazione di questo risultato astratto a problemi di approssimazione di funzioni. 20. Funzionali lineari continui su uno spazio di Hilbert dopo aver provato che il prodotto scalare con un elemento ssato è un particolare funzionale lineare continuo, enunciare e dimostrare il teorema di Riesz di rappresentazione dei funzionali lineari continui su spazi di Hilbert. 21. Forme bilineari su uno spazio di Hilbert dare la de nizione di forma bilineare, forma simmetrica, forma continua, forma coerciva, facendo esempi di questi concetti in dimensione nita e in nita. Quindi enunciare e dimostrare il teorema di Lax-Milgram. 22. Enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora in spazi di Hilbert, per un numero nito o per una successione di vettori ortogonali. 23. Dopo aver ricordato la de nizione di sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert, enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Bessel. Dare quindi la de nizione di sistema ortonormale completo. 24. Dopo aver ricordato la de nizione di sistema ortonormale completo in uno spazio di Hilbert, enunciare e dimostrare il teorema che descrive le proprietà della trasformata di Fourier e della serie di Fourier in spazi di Hilbert. Parte Mostrare come si applicano i risultati astratti sulla serie e trasformata di Fourier in spazi di Hilbert al contesto concreto del sistema trigonometrico in una o due variabili. Si chiede di scrivere formule e risultati precisi che valgono, ed eventualmente dimostrare la completezza del sistema trigonometrico. 26. Illustrare con precisione i vari sistemi ortonormali completi in opportuni spazi L 2 () che si sono incontrati nel corso. 3

4 27. (Anche come esercizio). Risolvere col metodo di separazione delle variabili il problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione del calore omogenea sul segmento < u t = cu xx per 0 < x < L; t > 0 u (0; t) = u (L; t) = 0 per t > 0 u (x; 0) = u 0 (x) per 0 < x < L 2. (Anche come esercizio). Risolvere col metodo di separazione delle variabili il problema di Cauchy-Dirichlet per l equazione della corda vibrante >< > u tt = c 2 u xx per 0 < x < L; t > 0 u (0; t) = u (L; t) = 0 per t > 0 u (x; 0) = u 0 (x) per 0 < x < L u t (x; 0) = 0 per 0 < x < L 29. (Anche come esercizio). Risolvere col metodo di separazione delle variabili il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace sul cerchio u 2 = 0 per 2 [0; R); # 2 [0; 2 u (R; #) = f (#) per # 2 [0; 2] 30. (Anche come esercizio). Risolvere col metodo di separazione delle variabili il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace sulla corona >< u 2 = 0 per 2 (1; 2) ; # 2 [0; 2 u (1; #) = f 1 (#) per # 2 [0; 2] > u (2; #) = f 2 (#) per # 2 [0; 2] 31. (Anche come esercizio). Risolvere col metodo di separazione delle variabili il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace sul rettangolo < u xx + u yy = 0 per x 2 (0; A) ; y 2 (0; B) u (x; 0) = u (x; B) = u (A; y) = 0 u (0; y) = f (y) 32. Dare la de nizione di problema di Sturm-Liouville regolare ed enunciare il risultato che riguarda i suoi autovalori e autofunzioni. Dimostrare l ortogonalità delle autofunzioni relative ad autovalori distinti. 33. Si consideri l equazione di Legendre 1 x 2 y 00 2xy 0 + y = 0 per x 2 ( 1; 1) Impostare la sua risoluzione mediante serie di potenze, ricavando la relazione di ricorrenza sui coe cienti, e mostrando come si determinano gli autovalori 4

5 che danno autofunzioni polinomiali. Enunciare con precisione il risultato che descrive le proprietà di autovalori e autofunzioni. 34. Si consideri l equazione di Laguerre xy 00 + (1 x) y 0 + y = 0 per x 2 (0; +1) Impostare la sua risoluzione mediante serie di potenze, ricavando la relazione di ricorrenza sui coe cienti, e mostrando come si determinano gli autovalori che danno autofunzioni polinomiali. Enunciare con precisione il risultato che descrive le proprietà di autovalori e autofunzioni. 35. Si consideri l equazione di Hermite y 00 2xy 0 + y = 0 per x 2 R Impostare la sua risoluzione mediante serie di potenze, ricavando la relazione di ricorrenza sui coe cienti, e mostrando come si determinano gli autovalori che danno autofunzioni polinomiali. Enunciare con precisione il risultato che descrive le proprietà di autovalori e autofunzioni. 36. (Anche come esercizio). Risolvere col metodo di separazione delle variabili il problema di Dirichlet per l equazione di Laplace sulla sfera, per dato al bordo e soluzioni indipendenti dalla >< sin 2 per 0 < < r; u + 2 sin 2 = 0 0 < # < ; 0 < ' < 2 per 0 < # < ; > u (r; #; ') = f (#; ') 0 < ' < Impostare col metodo di separazione delle variabili il problema di Cauchy per l equazione di Schrödinger per l oscillatore armonico quantistico unidimensionale, mostrando come si determinano i livelli energetici, ossia gli autovalori del corrispondente problema stazionario ~2 (x; t) = 2 (x; t) m!2 x 2 (x; t) per x 2 R; t 2 R (x; 0) = 0 (x) per x 2 R 3. Discutere le proprietà generali del problema agli autovalori per l equazione di Laplace su un dominio limitato R n, con condizioni al contorno di Dirichlet omogenee. Spiegare poi per quali problemi è utile saper risolvere questo problema agli autovalori. 5

6 39. (Anche come esercizio). Impostare col metodo di separazione delle variabili il problema agli autovalori per il Laplaciano sul rettangolo < u xx + u yy + u = 0 0 x a; 0 y b u (0; y) = u (a; y) = 0 0 y b u (x; 0) = u (x; b) = 0 0 x a arrivando in particolare alla determinazione degli autovalori. 40. (Anche come esercizio). Impostare col metodo di separazione delle variabili il problema agli autovalori per il Laplaciano sul cerchio u + u = 0 0 < < 1; 0 # 2 u (1; #) = 0 0 # 2 arrivando in particolare alla determinazione degli autovalori. Parte Dare la de nizione di derivata debole, prima nel caso unidimensionale e poi nel caso multidimensionale. Calcolare in base alla de nizione la derivata debole di jxj in ( 1; 1) e la derivata debole di sgn(x) in ( 1; 1). 42. Dopo aver richiamato la de nizione di derivata debole nel caso multidimensionale, dare la de nizione di spazio di Sobolev H 1 () e H k (), e dimostrare che H 1 () è uno spazio di Hilbert. 43. Enunciare e dimostrare (nel caso del semispazio) il teorema di traccia delle funzioni H 1 () sul bordo di. 44. Scrivere le varie formule che esprimono nel contesto degli spazi di Sobolev la formula di integrazione per parti (multidimensionale) e le formule di Green, facendo uso anche, quando serve, del concetto di traccia. Enunciare con precisione le ipotesi sulle varie funzioni coinvolte. 45. Dopo aver ricordato la de nizione dello spazio H 1 0 (), enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Poincaré per funzioni H 1 0 () su un dominio limitato di R n. 46. Scrivere il generico operatore uniformemente ellittico completo (ricordando la de nizione di ellitticità). Mostrare come si arriva alla de nizione di soluzione debole del problema di Dirichlet omogeneo per un equazione di questo tipo, enunciando quindi con precisione le ipotesi sotto cui vale un risultato di esistenza. 47. Scrivere il generico operatore uniformemente ellittico completo (ricordando la de nizione di ellitticità). Mostrare come si arriva alla de nizione di 6

7 soluzione debole del problema di Neumann omogeneo per un equazione di questo tipo, enunciando quindi con precisione le ipotesi sotto cui vale un risultato di esistenza. 4. Scrivere il generico operatore uniformemente ellittico completo (ricordando la de nizione di ellitticità). Mostrare come si arriva alla de nizione di soluzione debole del problema misto omogeneo per un equazione di questo tipo, enunciando quindi con precisione le ipotesi sotto cui vale un risultato di esistenza. 49. Enunciare con precisione e dimostrare un risultato di esistenza e unicità della soluzione debole di un problema di Dirichlet omogeneo per un equazione uniformemente ellittica. 50. Enunciare con precisione e dimostrare un risultato di esistenza e unicità della soluzione debole di un problema di Neumann omogeneo per un equazione uniformemente ellittica. 51. Enunciare con precisione e dimostrare un risultato di esistenza e unicità della soluzione debole di un problema misto omogeneo per un equazione uniformemente ellittica. 7