Argomenti delle lezioni.

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1 Argomenti delle lezioni. 1 settimana Lunedì 1 ottobre Presentazione del corso. Martedì 2 ottobre Il campo ordinato dei numeri reali. Utilizzo degli assiomi nelle dimostrazione di alcune proprietà. Equazioni di primo grado. Proprietà dello 0. Equazioni di secondo grado. Rappresentazione dei numeri reali sulla retta. Numeri positivi e negativi. Mercoledì 3 ottobre Ancora dimostrazioni di proprietà elementari. Rappresentazione decimale. Approssimazioni. I numeri naturali e gli interi: successivo; divisione con resto, divisibilità, numeri pari, numeri primi. Polinomi, divisione tra polinomi, algoritmo e teorema di Ruffini. Giovedì 4 ottobre Intervalli, aperti, chiusi, né aperti né chiusi; punti interni. Lunghezza e punto medio. Il valore assoluto. Equazioni e disequazioni con il valore assoluto. Massimo, maggiorante, estremo superiore. Assioma dell'estremo superiore. I numeri razionali e i numeri reali. Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. (= Bramanti M., Pagani C.D., Salsa S.: Analisi Matematica I) Cap. 1, paragrafi 1,3,4,5. Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1.1 (= Marcellini P., Sbordone C. : Esercizi di Matematica, vol.i, Parte 1) Cap.1 paragrafi 1A, 1C, 1D, 1E e Cap.3, paragrafo 3A. 2 settimana Lunedì 8 ottobre Esercizi su estremo superiore. Misura di grandezze "incommensurabili". Lunghezza, area e volume. Potenze e radicali. Martedì 9 ottobre Logaritmi. Funzioni, dominio, codominio, immagine. Funzioni iniettive, surriettive, biettive. Funzione inversa. Retta e piano cartesiani. Funzioni reali di variabile reale e loro grafico. Funzioni monotone. Grafici delle funzioni potenza a esponente intero e loro confronto. Mercoledì 10 ottobre + esercizi Giovedì 11 ottobre Simmetrie rispetto a punti e rette. Funzioni simmetriche. Grafico della funzione inversa. Grafico delle funzioni potenza a esponente razionale e reale. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Misura degli angoli in gradi e in radianti. Funzioni trigonometriche e loro "inverse". Funzioni composte. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche. Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. Cap. 2. Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1.1 Cap. 2 e Cap. 3.

2 3 settimana Lunedì 15 ottobre Composizione di funzioni. Operazioni sui grafici. Esercizi su composizioni e funzioni inverse. Martedì 16 ottobre Successioni reali. Limiti. Teoremi sul legami tra limitatezza e convergenza con dimostrazioni e controesempi. Esercizi su verifica di limiti. Mercoledì 1 ottobre Successioni monotone. Caratterizzazione delle successioni monotone. Teorema sulla regolarità delle successioni monotone con dimostrazione e controesempi. La successione geometrica. Il numero e. Esercizi su successioni monotone. Giovedì 18 ottobre Verifica di limiti per successioni esponenziali e logaritmiche. Teorema della permanenza del segno con dimostrazione. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. Cap. 3. Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1.1 Cap settimana 4 settimana Lunedì 22 ottobre Confronti e stime asintotiche. La gerarchia degli infiniti. Esercizi su forme indeterminate. Martedì 23 ottobre Teoremi del confronto con dimostrazione. Successioni infinitesime. Teorema sul prodotto di una successione infinitesima per una limitata con dimostrazione. Il criterio del rapporto. Mercoledì 24 ottobre 2 ore Serie, definizione di convergenze e divergenza, regolarità delle serie a termini positivi. Limiti di funzioni: definizioni topologica e sequenziali. Teoremi sull'algebra dei limiti. Teorema della permanenza del segno, Teoremi del confronto. Esempi ed esercizi. Giovedì 25 ottobre Limite destro e limite sinistro. Continuità delle funzioni elementari. Qualche verifica. Teorema sul limite della funzione composta con cenno di dimostrazione. Limite di f(x) g(x). Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. Cap.3. Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1.1 Cap.7 e 8. 5 settimana Lunedì 29 ottobre Continuità di y= x ; Tipi di discontinuità. La funzione segno. Confronto di infiniti. Gerarchia degli infiniti. Asintoticità. Martedì 30 ottobre Confronto di infinitesimi. Asintoticità e o piccolo. Limiti notevoli. Mercoledì 31 ottobre 2 ore Esercizi su calcolo di limiti. Teorema di esistenza degli zeri con dimostrazioni, controesempi, generalizzazioni, esercizi. Equazioni di grado dispari. Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. Cap.3 paragrafi 1, 2, 3 e 4.1. Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1

3 Cap.8 e Cap. 9 paragrafi A e B. La parte sull argomento o piccolo è trattata nel Cap. 4, paragrafo 7.1 e nel M.S.1.1, cap. 8 paragrafo F. 6 settimana Lunedì 5 novembre Martedì 6 novembre Mercoledì 7 novembre Primo Teorema di esistenza dei valori intermadi con dimostrazione e controesempi. Teorema di Weierstrass. Secondo teorema di esestenza dei valori intermedi con dimostrazione e controesempi. Esercizi di preparazione all esonero. Derivata, retta tangente. Derivata della funzioni elementari. Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili con dimostrazione e controesempi. Giovedì 8 novembre Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta e dalla funzione inversa. Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. Cap. 4. Paragrafi 1, 2 e 3. Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1.1 Cap. 8 e 9. 7 settimana Lunedì 12 novembre Martedì 13 novembre Giovedì 15 novembre Esercizi di preparazioe all esonero Primo esonero. Massimi e minimi assoluti e locali. Teorema di Fermat con dimostrazione e controesempi. Teorema di Lagrange con dimostrazione. Test di monotonia e caratterizzazione delle funzioni costanti con dimostrazione. Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. Cap. 4. Paragrafo 4. Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1.1 Cap. 10 e M.S.1.2 (= Marcellini P., Sbordone C. : Esercizi di Matematica, vol. I, Parte 1) Cap settimana Lunedì 19 novembre Martedì 20 novembre Mercoledì 21 novembre Teoremi di de l Hospital. Applicazioni alla gerarchia degli infiniti. Limite della derivata e derivabilità. Esempi e controesempi. La derivata di y= x. Asintoti. Primitiva, integrale indefinito. Teorema sulla struttura dell integrale indefinito di una funzione continua in un intervallo: Se f(x) è continua in un intervallo I e F(x) è una sua primitiva, allora l integrale indefinito di f(x) è { F(x)+k: k in R}. Primi esempi di equazioni differenziali. Derivate successive. Definizioni di curvatura, convessità, concavità e flessi.

4 Teoremi sulla caratterizzazione delle convessità per le funzioni derivabili. Teoremi sulla caratterizzazione delle convessità per le funzioni dotate di derivata seconda. Teorema sul legame tra punti di flesso e punti in cui la derivata seconda si annulla, con dimostrazione e controesempi. Giovedì 22 novembre Esercizi su studio di funzioni. Formula di Taylor con il resto di Peano e con il resto di Lagrange. Esercizi Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. cap. 4 paragrafi 5,6,7 e, per le definizioni di primitiva, di integrale indefinito e per la struttura di questo cap. 6, le introduzioni dei paragrafi 4 e 5.1. Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1.1 cap. 11 e M.S.1.2 cap. 1, 2, 3 paragrafi 1 e 2. 9 settimana Lunedì 26 novembre Martedì 27 novembre Mercoledì 28 novembre Giovedì 29 novembre Estremi locali, punti di flesso e formula di Taylor. Formula di Mac Laurin di alcune funzioni elementari. Esercizi di applicazione della formula di Taylor. Le funzioni iperboliche. Integrale indefinito. Metodo di integrazione per scomposizione. Metodo di integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Esercizi su integrazione delle funzioni razionali. Metodo di integrazione per parti. Integrale indefinito delle funzioni P(x)sen x, P(x)cos x, P(x)e x, log x P(x), arctan x P(x). Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. cap 6, paragrafi 5.1, 5.2, 5.3. Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1.2 cap settimana Lunedì 3 dicembre Mercoledì 5 dicembre Giovedì 6 dicembre Integrale indefinito delle funzioni e x sen x, e x cos x, sen 2 x, cos 2 x. Integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni irrazionali: alcune sostituzioni tipiche. Integrale definito. Teorema sulla integrabilità delle funzioni continue. Esempi e controesempi. Proprietà dell integrale definito. Teorema della media integrale con dimostrazione. La funzione integrale. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale con dimostrazione. Corollari: 1) Teorema sull esistenza delle primitive per le funzioni continue. 2)Primo teorema fondamentale del calcolo integrale Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. cap 6, paragrafi 1, 2, 3,5.4, 5.5, 9. Si può tralasciare Il paragrafo 4 e la dimostrazione del primo teorema fondamentale del calcolo integrale, che diventa un corollario del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale.

5 Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1.2 cap.4 e settimana Lunedì 10 dicembre Martedì 11 dicembre Mercoledì 12 dicembre Giovedì 13 dicembre Esercizi sull applicazione del metodo di integrazione per sostituzione. Esercizi sulla funzione integrale. Integrale generalizzato. Integrale di funzioni continue e nonnegative in intervalli illimitati. Il criterio del confronto. Il criterio del confronto asintotico. Il criterio dell ordine d infinitesimo. Integrale di funzioni continue nonnegative non limitate in un intervallo limitato. Criteri. Serie numeriche. Serie numeriche e integrali generalizzati. Il criterio dell integrale e la serie armonica generalizzata. Esercizi di preparazione al secondo esonero. Serie: definizioni ed esempi. La serie geometrica. Regolarità delle serie a termini positivi. Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. cap 6, paragrafo 8 e cap. 5 paragrafi 1 e 2. Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1.2 cap. 4, 5 e settimana Lunedì 17 dicembre Martedì 18 dicembre Mercoledì 19 dicembre Giovedì 20 dicembre Condizione necessaria per la convergenza di una serie, con dimostrazione, esempi e controesempi. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto e criterio del confronto asintotico, con dimostrazione. Criterio della radice con dimostrazione. Criterio del rapporto. Criteri di convergenza per serie a termini di segno variabile: criterio di convergenza assoluta. Esercizi di preparazione al secondo esonero. Criterio di Leibnitz con dimostrazione. Esercizi di preparazione al secondo esonero. Serie di potenze: struttura dell insieme di convergenza, raggio di convergenza. Serie di Taylor e di Mac Laurin. Sviluppabilità in serie di potenze delle funzioni elementari: condizioni, esempi e controesempi. Gli argomenti trattati questa settimana sono contenuti nel libro di teoria B.P.S. cap. 5 paragrafi 1, e 2.1, Gli esercizi su questa parte si trovano nel libro di esercizi M.S.1.2 cap settimana Lunedì 7 gennaio Martedì 8 gennaio Esercizi di preparazione al secondo esonero Secondo esonero.

6 Mercoledì 9 gennaio Giovedì 10 gennaio 14 settimana Martedì 15 gennaio Mercoledì 16 gennaio Giovedì 20 dicembre Esercizi sulle serie. Dimostrazione della sviluppabilità in serie della funzione esponenziale. Cenno sulla regolarità della funzioni somma di una serie di potenze e sulle applicazioni alle equazioni differenziali. Serie di potenze di punto iniziale diverso da 0. Insieme di convergenza. Serie di Taylor e sviluppabilità in serie di Taylor. Esercizi Terzo esonero.