Calcolo di una trave a C

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1 Calcolo di una trave a C Analisi matematica e FEM con Abaqus Giacomo Barile 26/01/2015 Calcolo analitico e simulato di una trave a C di differenti materiali (ERGAL e Graphite/Epoxy) sottoposta ad uno sforzo di taglio parallelo all anima applicato nel centro di taglio.

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3 1. CALCOLO CON IL METODO ESATTO Lo studio consiste nel calcolo degli sforzi, della deformata e del centro di taglio di una trave a C avente le seguenti dimensioni (Fig. 1): H = 350 mm B = 180 mm b = 179,3 mm h = 346 mm H-h = 2t 1 = 4 mm B-b = t 2 = 0,7 mm y L = 4000 mm F = 2 KN t 1 t 2 O x y Fig. 1: Sezione della trave nel piano xy z L F Fig. 2: Sezione della trave nel piano yz

4 Per quanto riguarda il materiale, si è scelto una lega di alluminio, ERGAL 7075-T6, con le seguenti caratteristiche: E = 72 Gpa = 0.33 = 2.81 g/cm 3 Viene applicata una forza F = 20 KN parallela alla direzione positiva dell asse y nel centro di taglio, la cui posizione sarà calcolata successivamente. Calcolo coordinate del baricentro: Essendo la sezione simmetrica, la coordinata Y CG è posta sull asse di simmetria; X CG viene calcolata come segue: X CG = S y A = Y CG = 175 mm 2 ( t 1 B 2 2 ) = 2 t 1 B + h t 2 Calcolo momento d inerzia: t 1 B 2 2 t 1 B + h t 2 = 67,15 mm Viene calcolato solo I x, essendo il taglio parallelo all asse y: I x = 2 [ 1 12 B t B t 1 H2 4 ] t 2 H 3 = mm 4 Calcolo flussi di taglio: s 3 CT F d x s 2 s 1 Fig. 3: Ascissa curvilinea e centro di taglio Siano F=T y, s i le direzioni arbitrarie dei flussi di taglio, CT il centro di taglio posto ad una distanza d x. Siano inoltre q u (s i ) e q e (s i ) rispettivamente i flussi di taglio uscenti ed entranti. Dalla teoria è noto che:

5 Nella tratta 0 s 1 B, si ha: q u (s i ) q e (s i ) = T y I x S x (s i ) T x I y S y (s i ) q 1 (s 1 ) = T y I x S x (s 1 ) = T y I x t 1 s 1 H 2 Il valore massimo si ha per s 1 =B, cioè: q 1max (s 1 = B) = T y t I 1 B H x 2 = 51,321 N mm Nella tratta 0 s 3 B, per simmetria, si ottiene lo stesso risultato, cambiato di segno, cioè: q 3 (s 3 ) = T y I x S x (s 3 ) = T y I x t 1 s 3 H 2 Il valore massimo si ha per s 3 =B, cioè: q 3max (s 3 = B) = T y t I 1 B H x 2 = q 1max = 51,321 N mm Nella tratta 0 s 2 H, si ha: q 2 (s 2 ) q 1max = T y I x S x (s 2 ) = T y I x t 2 s 2 ( H 2 + s 2 2 ) q 2 (s 2 ) = q 1max T y I x t 2 s 2 ( H 2 + s 2 2 ) = T y I x t 1 B H 2 T y I x t 2 s 2 ( H 2 + s 2 2 ) = T y 2 I x ( t 2 s t 2 H s 2 + t 1 B H) Per trovare il massimo valore del flusso, essendo l equazione una parabola, calcolo la derivata del flusso rispetto alla coordinata s 2 : dq 2 = T y ( 2 t ds 2 2 I 2 s 2 + t 2 H) = 0 yields s 2 = H x 2 Il valore massimo del flusso di taglio quindi sarà:

6 q 2max (s 2 = H 2 ) = T y ( t 2 I 2 ( H 2 x 2 ) + t 2 H H 2 + t 1 B H) = 60,053 N mm Calcolo sforzi di taglio: τ 1max = q 1max = 25,6605 t N 1 mm 2 = τ 3max τ 2max = q 2max = 85,79 t N 2 mm 2 Andamento del taglio: q 3 q 2 q 1 Fig. 4: Andamento degli sforzi di taglio nella sezione della trave Calcolo del centro di taglio: Detti R 1, R 2 e R 3 le forze risultanti dovute ai flussi di taglio, e scelto il punto A come polo rispetto al quale calcolare i momenti, si impone la condizione di equivalenza tra momenti esterni ed interni: A R 3 CT R 2 T y d x Fig. 4: Forze R 1 M (A) = T y d x = R 1 H La risultante R 1 si ricava dalla seguente relazione:

7 B R 1 = q(s 1 ) ds 1 = T y t 0 I 1 HB2 x 4 Sostituendo e ricavando l incognita d x, risulta: d x = T y H B2 t I 1 H = 80,831 mm x 4 T y Calcolo spostamento U y : Lo spostamento U y si calcola con la seguente relazione: U y = 1 3 F L3 E I x = 24,137 mm 2. CALCOLO CON ABAQUS La trave è stata implementata attraverso tre tipi differenti di elemento: - Elemento Beam - Elemento Shell - Elemento 3D Inoltre per lo stesso elemento sono state effettuate diverse simulazioni variando la mesh, ovvero per lo stesso tipo di elemento, aumentando progressivamente il numero di elementi/nodi per verificare la convergenza ad un unico valore dello spostamento. In particolare i tipi di elemento utilizzato per la Shell sono: S4 (Shell a 4 nodi), S4R (Shell a 4 nodi con integrazione ridotta), S8R (Shell a 8 nodi con integrazione ridotta), per il 3D sono: C3D8 (Continuum 3D a 8 nodi), C3D8R (Continuum 3D a 8 nodi con integrazione ridotta) e C3D20R (Continuum 3D a 20 nodi con integrazione ridotta), per l elemento Beam: B31 (Beam nello spazio con analisi lineare), B32 (Beam nello spazio con analisi quadratica) e B33 (Beam nello spazio con analisi cubica). I dati iniziali sono gli stessi della fig. 1. Per quanto riguarda il materiale si è utilizzato inizialmente lo stesso materiale del calcolo esatto, cioè l ERGAL 7075-T6, per poter effettuare un confronto dei risultati. Le varie figure che seguono mostrano l evoluzione della simulazione.

8 Fig. 6: Trave a C Fig. 7: Vincoli e forza agente nel centro di taglio

9 Fig. 8: Mesh con 280 elementi Fig. 9: Mesh con 4480 elementi

10 Fig. 10: Mesh con elementi Fig. 11: Deformata dell elemento Beam B33

11 Fig. 12: Deformata nel piano yz dell elemento Shell S8R Fig. 13: Deformata nel piano yz dell elemento Continuum 3D C3D8R

12 Elemento Beam Elemento 3D Elemento Shell Nr di elementi Tipo di elemento S4 25,72 25,74 25,75 25,75 25,76 S4R 26,05 25,81 25,77 25,76 25,76 S8R 25,73 25,74 25,75 25,75 25,75 Tipo di elemento Nr di elementi C3D8 25,40 25,63 25,70 25,74 25,75 C3D8R 25,97 25,77 25,76 25,75 25,75 C3D20R 25,73 25,74 25,75 25,75 25,76 Tipo di elemento Nr di elementi B31 24,77 24,78 24,78 24,78 24,78 B32 24,78 24,78 24,78 24,78 24,78 B33 24,47 24,47 24,47 24,47 24,47 Tab. 1: Valori dello spostamento U y (U2) in mm in funzione del tipo e del numero di elementi Dal confronto con il valore esatto (U y = 24,137 mm) si perviene ad un errore sullo spostamento che varia tra +1,4% e +6,7%, errore del tutto accettabile.

13 3. ANALISI FEM DELLA TRAVE A C CON MATERIALE COMPOSITO Si passa ora all analisi della trave con un materiale composito. La prova viene effettuata nelle stesse condizioni di carico e condizioni al contorno della prova precedente, variando l orientamento della lamine del laminato che costituisce la trave. Il materiale composito è un graphite/epoxy con le seguenti caratteristiche: E 1 155,0 GPa 12 0,248 G 12 4,40 GPa 1 0,018x10-6 / C E 2 12,10 GPa 13 0,248 G 13 4,40 GPa 2 x10-6 / C E 3 12,10 GPa 23 0,458 G 23 3,20 GPa 3 x10-6 / C Per mantenere lo spessore, le lamine sono costruite nel seguente modo: Flange: 10 lamine dello spessore di 0,2 mm = 2 mm Anima: 7 lamine dello spessore di 0,1 mm = 0,7 mm Le altre dimensioni sono identiche a quelle della fig. 1 del Cap. 1, che vengono riportate di seguito: - H = 350 mm - L = 4000 mm - B = 180 mm - F = 2 KN - b = 179,3 mm - H-h = 2t 1 = 4 mm - h = 346 mm - B-b = t 2 = 0,7 mm y A t 2 t 1 O x Fig. 14: Sezione della trave nel piano xy

14 y z L F Fig. 15: Sezione nel piano yz della trave I differenti laminati utilizzati sono (l asse di riferimento delle fibre è l asse z): 1. Unidirezionale Flange: [0 10 ] Anima: [0 7 ] 2. Simmetrico e bilanciato con lamine a 45 Flange: [0 2 /±45 /0 ] s Anima: [0 /±45 /0 / 45 /0 ] 3. Simmetrico e bilanciato con lamine a 60 Flange: [0 2 /±60 /0 ] s Anima: [0 /±60 /0 / 60 /0 ] 4. Simmetrico e non bilanciato a ±45 Flange: [(±45 ) 5 ] Anima: [45 /-45 /45 /-45 /45 /-45 /45 ] La forza è applicata sempre nel centro di taglio calcolato precedentemente. L elemento utilizzato per le prove è di tipo Shell, in particolare ogni prova è stata effettuata con tre tipi diversi di Shell (S4R, S4, S8R) e con diverse mesh (1200, 4480 e elementi), il che comporta per gli elementi a 4 nodi 4800, e nodi rispettivamente; i nodi chiaramente si raddoppiano per l elemento S8R a 8 nodi. Seguono alcune figure esplicative delle prove per il calcolo dello spostamento U y e della rotazione attorno all asse z, UR3 (Tab. 2). Successivamente sono state effettuate altre prove per valutare la rotazione della trave sempre rispetto all asse z, applicando la forza sulla trave (punto B della fig. 21) anziché nel centro di taglio, e variando in modo opportuno l orientamento delle lamine del laminato. In questo caso si è utilizzato l elemento Shell S4 e una mesh composta da 1200 elementi come parametri costanti della prova. I risultati sono raccolti nella

15 Tab. 3. Infine nella Tab. 4 sono raccolti i risultati di alcuni campioni di laminati con la forza F applicata nel baricentro (punto C fig. 21). Fig. 16: Trave a C in composito Fig. 17: Mesh con 1200 elementi Shell

16 Fig. 18: Mesh con 4480 elementi Shell Fig. 19: Mesh con elementi Shell

17 Fig. 20: Deformata nel piano yz dell elemento S4 con 1200 elementi A C B Fig. 21: Deformata nel piano xy dell elemento S4 con 1200 elementi

18 Laminato 4 (±45 ) Laminato 3 (0 /±60 ) Laminato 2 (0 /±45 ) Laminato 1 (0 ) Fig. 22: Deformata nel piano yz dell elemento S8R con elementi Nr di elementi Tipo di elemento Output U y mm U y mm U y mm S4R 19, , ,5551 S4 19, , ,5538 S8R 19, , ,5410 S4R 19, , ,2985 S4 19, , ,2959 S8R 19, , ,2962 S4R 20, , ,3958 S4 20, , ,3941 S8R 20, , ,3937 S4R 109, , ,092 S4 108, , ,893 S8R 108, , ,018 Tab. 2: Valori dello spostamento U y (U2) in mm in funzione del tipo di laminato, del tipo di elemento e del numero di elementi, del punto A della fig. 21.

19 Carico applicato sulla trave (punto B fig. 21) Orientamento lamine nell'anima del laminato Orientamento lamine nelle flange del laminato UR3 Radianti UR3 Gradi [60 /-60 /60 /-60 /60 /-60 /60 ] [(±60 ) 5 ] 0, ,80 [90 7 ] [90 10 ] 0, ,49 [90 3 /60 /90 3 ] [90 4 /±60 /90 4 ] 0, ,09 [90 3 /45 /90 3 ] [90 4 /±45 /90 4 ] 0, ,42 [45 /-45 /45 /-45 /45 /-45 /45 ] [±45 ] s 0, ,22 [45 /-45 /45 /-45 /45 /-45 /45 ] [(±45 ) 5 ] 0, ,14 Laminato 4 [90 3 /0 /90 3 ] [90 4 /0 ] s 0, ,74 [30 /-30 /30 /-30 /30 /-30 /30 ] [(±30 ) 5 ] 0, ,33 [90 2 /0 /90 /0 /90 2 ] [90 2 /0 /90 /0 ] s 0,176 10,08 [90 2 /0 3 /90 2 ] [90 3 /0 2 ] s 0,1605 9,20 [0 /90 /0 /90 /0 /90 /0 ] [(0 /90 ) 5 ] 0,1419 8,13 [90 /0 /90 /0 /90 /0 /90 ] [(90 /0 ) 5 ] 0,1417 8,12 [0 2 /90 3 /0 2 ] [(0 /90 ) 5 ] 0,132 7,56 [0 /60 /-60 /0 /-60 /60 /0 ] [0 2 /±60 /0 ] s 0,1259 7,21 Laminato 3 [0 /45 /-45 /0 /-45 /45 /0 ] [0 2 /±45 /0 ] s 0,1205 6,90 Laminato 2 [0 2 /90 3 /0 2 ] [0 3 /90 2 ] s 0,1194 6,84 [0 3 /90 /0 3 ] [0 4 /90 ] s 0, ,20 [0 7 ] [0 10 ] 0, ,38 Laminato 1 Tab. 3: Valori della rotazione U z (UR3) in funzione dell orientamento delle lamine nel laminato. Carico applicato nel CG (punto C fig. 21) Orientamento lamine nell'anima del laminato Orientamento lamine nelle flange del laminato UR3 Radianti UR3 Gradi [30 /65 /30 /25 /60 /75 /45 ] [30 /60 /75 /45 /60 /30 /25 /45 /60 /30 ] 0, ,34 Sbil-Asimm [60 /30 /45 /0 /45 /30 /60 ] [0 /30 /45 /60 /90 ] s 0, ,39 Sbil-Simm [30 /75 /-45 /0 /-75 /-30 /45 ] [30 /15 /-45 /75 /-60 /-30 /-75 /-15 /45 /60 ] 0, ,65 Bil-Asimm [45 /-45 /0 /0 /0 /-45 /45 ] [0 /30 /45 /-45 /-30 ] s 0, ,89 Bil-Simm [0 3 /90 /0 3 ] [0 4 /90 ] s 0, ,56 [0 7 ] [0 10 ] 0,1435 8,22 Tab. 4: Valori della rotazione U z (UR3) in funzione del tipo di laminato di fianco denominato.

20 CONCLUSIONI: La trave a C in materiale composito, come atteso, si comporta in modo simile alla trave a C in ERGAL. Dalla tabella 2 si può solo notare che i valori sono molto vicini a quelli della tabella 1, tranne per il laminato 4 che non ha fibre orientate lungo la direzione z della trave. Lo scostamento medio rispetto al valore esatto della trave in alluminio, senza considerare il laminato 4, è di circa il 15% in meno, confermando che i materiali compositi sono più rigidi rispetto alle leghe metalliche. Il comportamento del laminato 4 era comunque prevedibile, visto che le fibre, orientate a ±45, hanno maggiori possibilità di allungamento nella direzione dello sforzo. Per quanto riguarda le rotazioni della tabella 3 con il carico applicato sulla trave (punto B fig. 21), la combinazione migliore è risultata quella con le fibre a 0. Spostando il carico nel baricentro (punto C fig. 21), e confrontando le rotazioni attorno all asse z in funzione del tipo di laminato, quello che resiste meglio alle rotazioni rimane l unidirezionale, seguito da un cross-ply. Provando a variare l angolo di orientamento delle fibre, la rotazione minore è invece data da un bilanciato simmetrico, seguito dal bilanciato asimmetrico e dai due sbilanciati.