MODELLI DI PROGETTO DELLA RETE DI TRASPORTO COLLETTIVO

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1 DIPARIMENO INGEGNERIA CIVILE UNIVERSIÀ DI ROMA OR VERGAA corso di RASPORI URBANI E MEROPOLIANI MODELLI DI PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO 1

2 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO SOMMARIO Introduzione Le variabii di esercizio La formuazione de modeo compessivo I progetto degi itinerari a definizione de probema I progetto dee frequenze a definizione de probema i caso dea singoa inea i caso di una rete di inee agoritmo di seezione dee frequenze su una rete 2

3 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO INRODUZIONE APPROCCI ALLA PROGEAZIONE DELL OFFERA DI RASPORO Obiettivi e vincoi Obiettivi e vincoi Scenario de sistema di attività Ipotesi di intervento Scenario de sistema di attività Parametri de modeo di offerta (rete) Parametri de modeo di offerta (rete) Modeo di progettazione de offerta Modeo di simuazione de sistema domanda/offerta Modeo di simuazione de sistema domanda/offerta Prestazioni ed impatti Prestazioni ed impatti Vautazione Vautazione approccio WHA O approccio WHA IF modeo di progetto de offerta modeo di simuazione 3

4 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO LE VARIABILI DI ESERCIZIO i vettore it de itinerario (sequenza degi archi che definiscono itinerario dea inea) a capacità dea generica vettura Cv i numero di vetture per convogio n (pari ad 1 per i bus) a frequenza di esercizio (numero medio di passaggi ne unità di tempo) i tempo di giro g (tempo necessario affinché un convogio, dopo e corse di andata e ritorno, si trovi ao stesso punto) Materiae rotabie (numero di convogi, numero di vetture) Capacità di passeggeri per convogio Cc Capacità di passeggeri per inea Ca 4

5 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO LE VARIABILI DI ESERCIZIO (base) Variabii di esercizio di una generica inea : i vettore it de itinerario (sequenza degi archi che definiscono itinerario dea inea) a capacità dea generica vettura Cv i numero di vetture per convogio n (pari ad 1 per i bus) a frequenza di esercizio (numero medio di passaggi ne unità di tempo) oppure i numero di convogi per inea NC 5

6 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO LE VARIABILI DI ESERCIZIO (derivate) Variabii di esercizio di una generica inea : i tempo di giro g (tempo necessario affinché un convogio, dopo e corse di andata e ritorno, si trovi ao stesso punto) g (a + r ) + 2i dove a e r sono i tempi di percorrenza da capoinea a capoinea degi itinerari di andata e di ritorno i è i tempo di inversione (tempo di disattivazione e riattivazione dee cabine di guida, operazioni di controo, recupero irregoarità di marcia, riposo personae, instradamento) Se a inea è circoare si ha che g a + i Noto i tempo di giro g si ha che: per un convogio 1/g per n convogi NC/g da cui: NC g 6

7 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO LE VARIABILI DI ESERCIZIO (derivate) Variabii di esercizio di una generica inea : Materiae rotabie NV NC n μ (numero di vetture) dove μ (coefficiente di ampificazione per necessità di manutenzione) Capacità di passeggeri per convogio Cc Cc n Cv Capacità di passeggeri per inea Ca (max carico possibie in una sezione) Ca Cc n Cv 7

8 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO LE VARIABILI DI ESERCIZIO (base) Vettori dee variabii di esercizio di base reative ad una rete di L inee: {it} insieme degi itinerari g vettore dei tempi di giro vettore dee frequenze degi itinerari oppure NC g NC vettore de numero di convogi per inea 8

9 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO FORMULAZIONE DEL MODELLO COMPLESSIVO PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO progetto itinerari progetto frequenze {it} IPOESI domanda (modae) rigida capacità dea singoa vettura Cv nota composizione de convogio Cc nota utenti de servizio azienda di trasporto OIMIZZAZIONE RISPEO A 9

10 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO FORMULAZIONE DEL MODELLO COMPLESSIVO FUNZIONE OBIEIVO min disutiità degi utenti U ({it}, ) min costo di esercizio aziendae A ({it}, ) ({ it }, ) * arg { it } min, con: G i ({ it }, ) > gi G i ({ it }, ) < gi G i ({ it }, ) gi. [ U( { it }, ) + δa( { it }, ) ] dove: G i ({it}, ) generico vincoo sue variabii δ coeff. omogeneizzazione e peso reciproco tra e componenti dea funzione obiettivo. VINCOLI Vincoi di coerenza Vincoi tecnici Vincoi esterni 10

11 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO FORMULAZIONE DEL MODELLO COMPLESSIVO VINCOLO DI COERENZA esprime a congruenza tra domanda, fussi, variabii di progetto e prestazioni de sistema f A P[{ it }, ] d dove: f vettore di fussi di arco A matrice di incidenza archi-percorsi P matrice dee probabiità di sceta dei percorsi d vettore di domanda 11

12 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO FORMULAZIONE DEL MODELLO COMPLESSIVO VINCOLI ECNICI vincoi sua struttura dea rete (ubicazione capoinea, poi attrattori, ecc.) {it} I {it} con I {it} insieme di possibii itinerari vincoi sue caratteristiche dee inee tempi di giro ammissibii min e/o max g,min g g L,max 12

13 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO FORMULAZIONE DEL MODELLO COMPLESSIVO VINCOLI ECNICI vincoi sue caratteristiche dee inee frequenze ammissibii min e/o max L,min,max E bene notare che i imite su vaore dee frequenze più che riferirsi a vaore per singoa inea si riferisce aa frequenza cumuata dee inee che utiizzano infrastruttura o che impegnano a fermata/stazione. 13

14 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO FORMULAZIONE DEL MODELLO COMPLESSIVO VINCOLI ECNICI vincoo sua capacità di passeggeri per inea (max carico possibie in una sezione) f max, Cc L dove: f max, massimo fusso a bordo sua inea Cc capacità de singoo convogio dea inea frequenza dea inea 14

15 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO FORMULAZIONE DEL MODELLO COMPLESSIVO VINCOLI ESERNI vincoo di budget NC L NC tot che equivae a g NC tot Ne caso in cui si vogiono utiizzare tutti gi NC tot autobus a disposizione ({ it }, ) * L NC arg { it } min, NC tot [ U( { it }, ) ] 15

16 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO PROGEO DELLE VARIABILI DI ESERCIZIO CON PREFISSAO NUMERO DI AUOBUS ({it},nc) * arg min { it },NC U[{it}] arg min { it },NC f ' c f A P[{ it }] d g,min g g L,max {it} I {it} NC L NC max,min,max L con NC / g f,max Cc L con NC / g 16

17 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO PROGEO DELLE VARIABILI DI ESERCIZIO CON PREFISSAO NUMERO DI AUOBUS APPROCCIO DI SOLUZIONE approccio per passi: passo 1: ottimizzazione dea f.o. rispetto agi itinerari {it} passo 2: ottimizzazione dea f.o. rispetto ae frequenze, o in modo equivaente, rispetto a numero di autobus NC PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO modeo di progetto progetto itinerari domanda progetto frequenze VINCOLI variabii esercizio 17

18 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO PROGEO DELLE VARIABILI DI ESERCIZIO CON PREFISSAO NUMERO DI AUOBUS APPROCCIO DI SOLUZIONE passo 1: ottimizzazione rispetto agi itinerari {it} {it} * arg min { it } U[{it}] arg min { it } f ' c f A P[{ it }] d g,min g g L,max {it} I {it} 18

19 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO PROGEO DELLE VARIABILI DI ESERCIZIO CON PREFISSAO NUMERO DI AUOBUS APPROCCIO DI SOLUZIONE passo 2: ottimizzazione rispetto a numero di autobus NC NC * arg min NC U[ NC] arg min NC f ' c f A P[ NC] d NC L NC max,min,max L con NC / g f,max Cc L con NC / g 19

20 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO PROGEO DEGLI IINERARI SOMMARIO a specificazione de probema a procedura compessiva agoritmo di ricerca degi archi fattibii agoritmo di ricerca degi itinerari 20

21 PROGEO DEGLI IINERARI DEFINIZIONE DEL PROBLEMA Si assumono note e frequenze dee inee, pari a fmax, L Cc g NC tot Disutiità gobae degi utenti ( F, { it }) F k U i k ki C dove F ki fusso orario su percorso k sua i-esima reazione o/d C k costo totae di viaggio su percorso k ( { it }) F C( { it }) U F, OBIEIVO [ F, { it }] * arg min [ R( F, F, { it } { it }) F C { it } ( )] 21

22 PROGEO DELLA REE DI RASPORO COLLEIVO PROGEO DELLE FREQUENZE SOMMARIO a definizione de probema i caso dea singoa inea i caso di una rete di inee agoritmo di seezione dee frequenze su una rete 22

23 PROGEO DELLE FREQUENZE DEFINIZIONE DEL PROBLEMA IPOESI gi itinerari e e fermate dee inee sono fissati, da cui segue che anche i tempo di giro g di ogni inea è fissato; a capacità dea vettura Cv, i numero di vetture per convogio su ogni inea e quindi a capacità de convogio Cc sono fissate. * ( F,, ) arg min [ R( F, ) δu( F, ) + A( ) ] F, vincoato a: G i ( F, ) gi.. dove: U (F, {it}, ) funzione di quaità (costo utenti) A ({it}, ) funzione di costo aziendae (costo produzione servizio) G i (F, {it}, ) generico vincoo sue variabii δ coeff. omogeneizzazione 23

24 PROGEO DELLE FREQUENZE DEFINIZIONE DEL PROBLEMA COSO SOPPORAO DAGLI UENI DEL SERVIZIO tempo speso dagi utenti ne sistema U( F, ) F ki C k F C( ) i k dove: F ki fusso su percorso k afferente a i-esima coppia O/D C k costo de percorso k COSO DI PRODUZIONE DEL SERVIZIO somma dei costi operativi dei singoi mezzi A( ) K c NC tot K c g dove: K c costo orario per convogio in inea NC tot numero totae di mezzi in inea 24

25 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DELLA SINGOLA LINEA IPOESI domanda (modae) rigida domanda sua tratta più carica pari a D (pass/h) frequenza dea inea tae che min max Frequenza minima min min max[ c ; st ] dove: st minimo vaore dea frequenza compatibie con eventuai standard preassegnati (es. 4 corse/h) c minimo vaore dea frequenza necessario per assicurare i vincoo di capacità D Ca D c Cc Frequenza massima max max min[ in ; con ] dove: in frequenza massima derivante daa capacità di bus sua inea o ae stazioni; con frequenza massima derivante da max numero di convogi NC disponibii per a inea: 25

26 con NC /g 26

27 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DELLA SINGOLA LINEA * ( F,, ) arg min [ R( F, ) δu( F, ) + A( ) ] F, min max Ne caso di una singoa inea: U( ki k i k (soo aiquota variabie reativa a tempo di attesa) ) F C F C( ) D (1/ ) D / A( ) K c NC K c * ( F,, ) arg min [ R( F, ) δ( D / ) + K g ] F, min max g c 27

28 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DELLA SINGOLA LINEA * ( F,, ) arg min [ R( F, ) δ( D / ) + K g ] F, min max c R( ) 1 2 δd + K c g 0 * δd K c g R() K c g δd / 28

29 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DI UNA REE DI LINEE domanda (modae) rigida IPOESI gi itinerari e e fermate dee inee sono fissati, da cui segue che anche i tempo di giro g di ogni inea è fissato; * ( ) [ ] F,, arg min R( F, ) δ F C( ) + K g F, min max g NC max D Cc c 29

30 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DI UNA REE DI LINEE IPOESI assegnazione agi ipercammini ridotti (tempi di percorso direttamente funzione dee frequenze) rete non congestionata F P(C())d C () A c () [ ] R( ) δ d P( ) A c( ) + K g * arg min c min max g NC max introducendo a matrice di assegnazione H P () A c() t() K c K c /δ [ ] R( ) d H( ) t ( ) + K g * arg min c min max g NC max 30

31 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DI UNA REE DI LINEE rete non congestionata IPOESI (Gi archi con tempo di percorrenza funzione dea frequenza sono soo quei di attesa) Posto H a e t a a sottomatrice di assegnazione ed i vettore corrispondente ai rami inerenti soo attesa H d e t d e rimanenti parti [ ] R( ) d H ( ) t ( ) + d H t + K g * arg min a a d d c min max g NC max 31

32 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DI UNA REE DI LINEE IPOESI numero di convogi è fissato e pari ad NC max (i costo di produzione de servizio diventa costante poiché dipende da numero di convogi) arg min [ ] R( ) d H ( ) t ( ) * a a min max g NC max 32

33 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DI UNA REE DI LINEE SOLUZIONE DEL PROBLEMA NEL CASO DI MARICE H RIGIDA E VINCOLI NON AIVI In questo caso: H a () H a t a ( ) 1/ IPOESI un soo percorso diretto per coppia O/D * 1 arg [ R( ) d ih i + d ih i td,r + Kc g ] min i m,i dove: m,i è a frequenza dea inea m utiizzata nea reazione i espressa in 1/tempo; h i è sempre pari a 1 esistendo un soo percorso per ogni O/D; I i è insieme dei rami a bordo, di discesa e pedonai che formano i percorso che coega a reazione i; L è i numero compessivo di inee nea rete. i r I i L 33

34 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DI UNA REE DI LINEE SOLUZIONE DEL PROBLEMA NEL CASO DI MARICE H RIGIDA E VINCOLI NON AIVI Posto R( ) 1 I ( ) i d i con I i ()insieme di tutte e reazioni che utiizzano a inea trascurando i secondo termine (perché i termine risuta costante rispetto a e quindi non modifica a posizione de ottimo) * arg min R ( ) R( ) + Kc g L L 34

35 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DI UNA REE DI LINEE SOLUZIONE DEL PROBLEMA NEL CASO DI MARICE H RIGIDA E VINCOLI NON AIVI * arg min R ( ) R( ) + Kc g L L R 1 2 d + I ( ) i i K c g L 2 R 2 2 R 2 4 m 0 I ( ) i d i L m L x Hess[ R( )] x x R n L R n + L 0 funzione R() è convessa. 35

36 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DI UNA REE DI LINEE SOLUZIONE DEL PROBLEMA NEL CASO DI MARICE H RIGIDA E VINCOLI NON AIVI 1 2 d + K g k( ) k c 0 * I i K ( ) c d g i L 36

37 PROGEO DELLE FREQUENZE CASO DI UNA REE DI LINEE SOLUZIONE DEL PROBLEMA se i vincoo di budget non dovesse essere rispettato metodo di direzione ammissibie (Frank&Wofe) metodo di gradiente proiettato * arg min R ( ) R( ) + Kc g L L con componenti de gradiente R() cacoati come: R 1 2 d + I ( ) i i K c g 37

38 PROGEO DELLE FREQUENZE ALGORIMO DI SELEZIONE DELLE FREQUENZE agoritmo di tipo «greedy» ad ogni iterazione si considera come souzione di partenza a migiore souzione ottenuta a iterazione precedente. variabii di progetto intere NC (numero di convogi sua inea ) da cui NC / g 38

39 PROGEO DELLE FREQUENZE ALGORIMO DI SELEZIONE DELLE FREQUENZE DESCRIZIONE L agoritmo opera ne campo degi interi utiizzando come variabie di progetto i vettore NC. Ad ogni iterazione si procede ad un assegnazione aa rete passando daa configurazione j a quea j+1 con a modifica dea frequenza in due soe inee, quea (s) aa quae viene sottratto un bus e quea (p) aa quae viene aggiunto. A partire da una configurazione fattibie iniziae ini, aa iterazione j viene presa in esame una inea (s) aa quae si sottrae un bus e pertanto a sua frequenza passa da s, j-1 NCs, j-1 gs a ; s, j (NCs, j-1-1) gs (continua) 39

40 PROGEO DELLE FREQUENZE ALGORIMO DI SELEZIONE DELLE FREQUENZE DESCRIZIONE (continua) Ad ogni passo interno de'iterazione, partendo daa inea successiva aa (s) e per tutte e inee (p) diverse da (s), si aggiunge un bus, si effettua una nuova assegnazione e si cacoa i vaore dea f.o. R(). In questo modo si può determinare per quae inea (p) si ha i vaore minimo dea funzione obiettivo R() e quindi a quae inea trasferire i bus, ne rispetto dei vincoi, prima di effettuare una nuova assegnazione ed anaizzare una nuova inea (s). La procedura termina quando, anaizzate ricorsivamente tutte e inee (s) e e reative inee (p), non si riesce a trovare un vaore minore dea funzione obiettivo R(). 40

41 PROGEO DELLE FREQUENZE ALGORIMO DI SELEZIONE DELLE FREQUENZE LA CONFIGURAZIONE FAIBILE INIZIALE ini frequenze iniziai δ i K I ( ) c g d i L verifica de vincoo sue frequenze min max NC * st, g L* dove: L*insieme dee inee che non verificano i vincoi NC*numero di convogi necessari a soddisfare L* NC res NC max -NC* 41

42 PROGEO DELLE FREQUENZE ALGORIMO DI SELEZIONE DELLE FREQUENZE LA CONFIGURAZIONE FAIBILE INIZIALE ini aggiornamento dee frequenze NC max NC res NC* γ L δ K c i() d g i g + L st, g γ L NCres δ di K c i() g γ * L assegnazione aa nuova configurazione di rete in accordo con e nuove frequenze cacoo de nuovo γ congruentemente ai nuovi carichi. cacoo dea funzione obiettivo R() a procedura termina quando in iterazioni successive a variazione dea funzione obiettivo è inferiore ad una sogia fissata a priori 42

43 PROGEO DELLE FREQUENZE ALGORIMO DI SELEZIONE DELLE FREQUENZE LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA SEP 1 [Determinazione dea souzione fattibie iniziae] Repeat R( ) prec R( ) γ L NCmax δ di K i() g For L Repeat Next γ δ di i() K g NC int( g + 0.5) NC g L For For L if < im, min then end if NC int( im, min g + 0.5) NC g * L * L + {} 43

44 PROGEO DELLE FREQUENZE ALGORIMO DI SELEZIONE DELLE FREQUENZE LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA SEP 1 [Determinazione dea souzione fattibie iniziae] (continua) For if then > im, NC end if Next max int( im, max g + 0.5) NC g L * L * + {} if L* Ø then Repeat γ NC max L-L g L δ di g K i() Unti For L - L* Next end if γ δ di i() K g Assegnazione : f { f, f, f } [R( ) - R( ) prec ] a b p NC int( g R( ) f ' a ( ) t a + f ' b t b + f ' p t p < ε + 0.5) NC g 44

45 PROGEO DELLE FREQUENZE ALGORIMO DI SELEZIONE DELLE FREQUENZE LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA SEP 2 [Agoritmo principae] R( ) prec R( ) k0 stops 0 stopp0 Repeat ss+1 s L s,k gs - 1 s,k [eiminazione bus inea s] gs if s, k < im, min [vincoo sua frequenza standard minima] s, k s,k -1 Goto atraineas end if Repeat For p L- {s} if (sstops) and (pstopp) then FINE [test di arresto] kk+1 g + 1 p,k p p,k [inserimento bus inea p] gp For p if p, k > im, max [vincoo sua frequenza standard massima] p, k p,k -1 kk-1 Goto atraineap end if 45

46 PROGEO DELLE FREQUENZE ALGORIMO DI SELEZIONE DELLE FREQUENZE LA SOLUZIONE DEL PROBLEMA SEP 2 [Agoritmo principae] (continua) For p For L - {s,p} Next, k,k 1 Assegnazione f { f, f, f } a b p R( ) f ' a ( ) t a + f ' b t b + f ' p t p if R( ) < R( ) prec then R( ) prec R( ) k stops s stopp p Repeat ese if k1 then stops s stopp p end if end if atraineap: Next atraineas: Unti L Ø 46

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