Esame di Ricerca Operativa del 03/09/2015

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1 Esame di Ricerca Operativa del 0/09/201 (Cognome) (Nome) (Matricola) Esercizio 1. Una raffineria di petrolio miscela tipi di greggio per ottenere tipi di carburante: senza piombo, diesel e blu diesel. La tabella seguente mostra la quantità disponibile ed il costo di ogni tipo di greggio: Tipo di greggio Barili disponibili Costo (e/barile) Il prezzo di vendita ed i requisiti tecnici di ogni carburante, in termini di minima e massima percentuale di ogni tipo di greggio, sono i seguenti: Tipo di carburante Greggio richiesto Prezzo (e/barile) senza piombo almeno 20% di tipo 2 al più 0% di tipo diesel almeno 0% di tipo 8 blu diesel al più 0% di tipo 1 2 La raffineria vuole trovare la composizione dei carburanti in modo da massimizzare il profitto. variabili decisionali: modello: Esercizio 2. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max 8 x 1 9 x 2 x 2 0 x 1 0 x 1 + x 2 2 x 1 x 2 x 2 x 1 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio 2. 1 iterazione {1,2} 2 iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante

2 Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min 12 x 1 +x 2 8 x 1 +x 2 2 x 1 +8x 2 1 x 1 0 x 2 0 x 1,x 2 Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I (P )= b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S (P )= c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio: Esercizio. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P )= b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo 2. ciclo: v S (P )= c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x 1, x 2, x.

3 Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). 2 (,) 1 (,) (,9) (8,8) (9,12) (,11) (,11) 9 (,12) (,12) (,) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (1,2) (1,) (,) (,) (,) (,) (2,) x = (1,) (1,) (2,) (,2) (,) (,) (,) π =(0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio. (,) 1 iterazione 2 iterazione Archi di T (1,2) (1,) (,) (,) (,) (,) Archi di U (2,) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente

4 Esercizio 8. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice 1 sulla seguente rete nodo visitato iter 1 iter 2 iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo 2 nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson (con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo 1 ed il nodo sulla seguente rete cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =

5 SOLUZIONI Esercizio 1. Variabili decisionali: x ij = barili di greggio di tipo i usati per produrre il carburante j Modello: max (x 11 + x 21 + x 1 + x 1 )+8(x 12 + x 22 + x 2 + x 2 )+2(x 1 + x 2 + x + x ) (x 11 + x 12 + x 1 ) (x 21 + x 22 + x 2 ) 0 (x 1 + x 2 + x ) 0 (x 1 + x 2 + x ) x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 1 + x 2 + x 000 x 1 + x 2 + x 100 x (x 11 + x 21 + x 1 + x 1 ) x 1 0.(x 11 + x 21 + x 1 + x 1 ) x 2 0.(x 12 + x 22 + x 2 + x 2 ) x 1 0.(x 1 + x 2 + x + x ) x ij 0 Esercizio 2. Esercizio. Base Soluzione di base Ammissibile Degenere {, } x =(, ) NO SI {, } y =(0, 0, 8, 0, 1, 0) SI NO Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante 1 iterazione {1, 2} (0, 0) ( 9, 8, 0, 0, 0, 0) 1, 2 iterazione {2, } (0, ) (0, 8, 0, 0, 9, 0) 2, 2, Esercizio. a) sol. ottima del rilassamento = ( 0, 2 b) sol. ammissibile = (0, 8) v S (P )= c) r =2 x 1 +x 2 r = x 1 +x 2 ) v I (P )=2 Esercizio. a) albero: ( 1, ) ( 1, ) ( 2, ) (, ) (, ) v I (P )= b)ciclo:2 1 v S (P )=1 c),1 P x 1 =0 x 1 =1,1 P 1,1,1 P 1,2 x 2 =0 x 2 =1,1 P 2, 9,1 P 2, x =0 x =1,1 P, 8,1 P,

6 Esercizio. Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (1,2) (1,) (,) (,) (,) (,) (2,) x =(0, 0,,, 0, 0, 10,, 0,, ) NO SI (1,) (1,) (2,) (,2) (,) (,) (,) π =(0, 11,,, 1, 19, 2) NO NO Esercizio. Esercizio 8. a) b) 1 iterazione 2 iterazione Archi di T (1,2) (1,) (,) (,) (,) (,) (1,) (2,) (,) (,) (,) (,) ArchidiU (2,) x (0, 0,,, 0,, 0, 0,, 9, 0) (0, 0,,, 0,, 0, 0,, 9, 0) π (0,,,,, 8, 1) (0, 0,,,, 8, 1) Arco entrante (2,) (,) ϑ +, ϑ 1,0 11, Arco uscente (1,2) (,) iter 1 iter 2 iter iter iter iter iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato 1 2 nodo nodo nodo nodo nodo nodo insieme Q 2,, 2,, 2,,, 2,,, cammino aumentante δ x v (0,8,0,0,8,0,0,0,8,0,0) (0,8,,0,8,0,,0,8,0,) (, 8,,, 8, 0, 10, 0, 8, 0, 10) (, 8,,, 8, 0, 12, 0, 10, 2, 10) 20 Taglio di capacità minima: N s = {1, 2,, } N t = {,, }

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