Sistemi di coordinate

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1 Sistemi di coordinate Servono a descrivere la posizione di una punto nello spazio. Un sistema di coordinate consiste in Un punto fisso di riferimento chiamato origine Degli assi specifici con scale ed etichette Istruzioni su come individuare un punto rispetto all origine e agli assi

2 Sistema di coordinate cartesiane Chiamato anche sistema di cordinate rettangolari. Per il caso a due dimensioni (l esempio qui accanto): Gli assi x e y si incrociano nell origine I punti sono individuati da (x, y) In tre dimensioni, 3 coordinate (x, y, z) sono sufficienti per definire la posizione di una particella nello spazio

3 Sistema di coordinate polari Esempio bidimensionale (qui accanto): prendiamo un origine e una linea di riferimento Il punto è a distanza r dall origine nella direzione dell angolo θ, definito in senso antiorario dalla linea di riferimento I punti sono definiti come (r, θ) Si estende a tre dimensioni introducendo due angoli θ e φ.

4 Trasformazioni di coordinate Da coordinate polari a cartesiane: Formiamo un triangolo retto con r e θ : x = r cos θ y = r sin θ Da coordinate cartesiane a polari: r è l ipotenusa e θ un angolo tan θ = y x r = x 2 + y 2

5 Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari: sono completamente specificate da un numero in unità appropriate. Volume, massa, intervalli di tempo, etc., sono scalari. Grandezze vettoriali: sono specificate da modulo (o intensità), direzione, verso. Spostamento, velocità, forze, etc., sono vettori. Esempio: vettore spostamento di un punto materiale da A a B. Il modulo è la distanza fra A e B (differisce dalla distanza percorsa!)

6 Vettori Notazione: A o anche A o A Modulo: A o semplicemente A (sempre positivo!) I vettori possono essere applicati ad un punto Tutti i vettori sovrapponibili con una traslazione sono equivalenti allo stesso vettore libero Nota: i vettori hanno le stesse unità di misura della grandezza che rappresentano: un vettore spostamento è in metri, un vettore velocità in metri al secondo etc.

7 Somma di Vettori Regola del parallelogramma per la somma di vettori Attenzione: somma vettoriale somma dei moduli! Vale la proprietà associativa A + ( B + C) = ( A + B) + C:

8 Somma di Vettori 2 Vettori con segno negativo: Somma di 4 vettori: In generale, se a è un numero, a A = a A.

9 Vettori in coordinate cartesiane A = A x + A y (A x, A y ), Notare che A x = A cos θ, A y = A sin θ A 2 = A 2 x + A 2 y

10 Somma di vettori in coordinate cartesiane A + B (A x + B x, A y + B y )

11 Versori (vettori di modulo unitario) Fra i versori, cioè vettori di modulo unitario, sono particolarmente importanti e utili i versori î, ĵ, ˆk lungo i tre assi cartesiani: A = (A x, A y, A z ) A x î + A y ĵ + A zˆk

12 Prodotto Scalare Il prodotto scalare di due vettori A e B si indica come A B ed è dato da A B = AB cos θ, dove θ è l angolo fra i due vettori A e B. E il prodotto del modulo del primo vettore (A) per la proiezione del secondo vettore sul primo (B cos θ), o viceversa. Proprietà: A B = B A; (a A) (b B) = (ab)( B A); A ( B + C) = A B + A C Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è uguale al modulo del vettore al quadrato: A A = A 2 Sfruttiamo A = A x î + A y ĵ + A zˆk e B = Bx î + B y ĵ + B zˆk: troviamo A B = A x B x + A y B y + A z B z perché î î = ĵ ĵ = ˆk ˆk = 1; î ĵ = î ˆk = ĵ ˆk = 0

13 Prodotto Vettore Come possiamo formare un vettore da altri due vettori? Il prodotto vettore: C = A B è definito come segue: C = AB sin θ, dove θ è l angolo compreso fra i due vettori; C è un vettore perpendicolare al piano formato da A e B; il verso di C è determinato dalla regola della mano destra Da notare che B A = A B, e che A A = 0. In generale, il prodotto vettore di due vettori paralleli è nullo. Il modulo del prodotto vettore è uguale alla superficie del parallelogramma formato da A e B.

14 Prodotto Vettore in coordinate cartesiane Sfruttiamo la decomposizione dei vettori come somma sui versori: A = A x î + A y ĵ + A zˆk, B = Bx î + B y ĵ + B zˆk Troviamo A B = ( ) A x î + A y ĵ + A zˆk ( ) B x î + B y ĵ + B zˆk = î(a yb z A z B y ) + ĵ(a zb x A x B z ) + ˆk(A x B y A y B x ) perché î î = 0, ĵ ĵ = 0, ˆk ˆk = 0 î ĵ = ˆk, ĵ ˆk = î, ˆk î = ĵ Nota curiosa: mentre il prodotto scalare è ben definito in qualunque spazio vettoriale, il prodotto vettore è definito solo in 3 o 7 dimensioni

15 Prodotto Vettore come determinante Un modo semplice per ricordarsi l espressione del prodotto vettore è usare le regole per il calcolo del determinante di una matrice: A B î ĵ ˆk = A x A y A z B x B y B z = î(a yb z A z B y ) ĵ(a xb z A z B x ) + ˆk(A x B y A y B x ) E utile introdurre il tensore di Ricci-Levi Civita ɛ ijk che vale +1 se ijk = xyz e permutazioni cicliche; 1 se ijk = yxz e permutazioni cicliche; 0 altrimenti. Usando la convenzione di Einstein: indici ripetuti sono sommati, si può scrivere ( A B) i = ɛ ijk A j B k. Notare la seguente formula utile: ɛ ijk ɛ ilm = δ jl δ km δ jm δ kl, dove δ ij è la delta di Kronecker, che vale 1 se i = j, 0 altrimenti.

16 Vettore in sistema di coordinate ruotato Le coordinate di un vettore dipendono dal sistema di coordinate: se ruotiamo o trasliamo il sistema di riferimento, le coordinate di tutti i vettori cambiano seguendo una stessa legge di trasformazione. Relazione fra le componenti (A x, A y ) e (A x, A y) nel sistema originario e ruotato di α: A x = A x cos α + A y sin α A y = A x sin α + A y cos α in forma matriciale: ( A x A y ) = ( cos α sin α sin α cos α ) ( Ax A y ) U(α) ( Ax A y ) Notare che la matrice di trasformazione è unitaria: U( α) = U T (α) = U 1 (α)

17 Scalari, Vettori, leggi fisiche, sistemi di coordinate Le leggi fisiche non possono dipendere dal sistema di coordinate! Il prodotto scalare di due vettori non dipende dal sistema di coordinate: è invariante rispetto a rotazioni del sistema di coordinate. Una legge fisica espressa come relazione tra quantità vettoriali è covariante: per esempio, nella legge di Newton F = m a, entrambe i membri si trasformano allo stesso modo Spesso avremo a che fare con funzioni vettoriali: ad esempio, r(t), posizioni di un punto al tempo t, equivalente a una terna di funzioni: r(t) = (x(t), y(t), z(t))

18 Esercizi 1. Consideriamo due vettori spostamento A = (1.0m)ĵ (4.0m)ˆk e B = (3.0m)ĵ + (2.0m)ˆk. Calcolare: il vettore spostamento totale; il vettore differenza; il prodotto scalare e il prodotto vettoriale dei due vettori. 2. Trovare l area della superficie del triangolo di vertici A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3). 3. Determinare l angolo tra i due vettori ( 2, 2 3, 0) e (2, 2 3, 0). 4. Individuare il versore della direzione nello spazio che forma angoli uguali con gli assi coordinati.

19 Soluzioni 1. Vettore spostamento totale: A+ B = (2.0m) ĵ (2.0m)ˆk. Vettore differenza: A B = (4.0m)ĵ (6.0m)ˆk. Prodotto scalare: A B = (3.0m 2 ) (8.0m 2 ) = 11m 2. Questo è anche uguale a A B cos θ. Dato che A = 1.0m m 2 = 17m e B = 9.0m m 2 = 13m, ne consegue che cos θ = 11/ 13/ 17, ovvero θ = Prodotto vettore: A B = (2.0m 2 )ĵ ˆk + (12.0m 2 )ˆk ĵ = 10m 2 î. A B = 10m 2 è anche uguale a A B sin θ. Dato che sin θ = = 10/ 13/ 17, il valore di θ è consistente con il caso precedente. 2. Si sfrutta una proprietà del prodotto vettore: il suo modulo è uguale all area del parallelogramma formato dai due vettori, ovvero il doppio dell area del triangolo formato dai due vettori. Considerate i vettori X = B A e Y = C A: l area della superficie del triangolo ABC è data da X Y /2. Dato che X = ( 1, 2, 0), Y = ( 1, 0, 3), abbiamo X Y = (6, 3, 2) il cui modulo vale = 7, da cui il risultato: area del triangolo = I due vettori hanno prodotto scalare ( 2, 2 3, 0) (2, 2 3, 0) = = 8. Quest ultimo è anche uguale a ( 2, 2 3, 0) (2, 2 3, 0) cos θ. Il modulo dei

20 due vettori è lo stesso: (±2, 2 3, 0) = (±2) = 4 da cui cos θ = 1/2 e θ = Scriviamo il generico versore come ˆn = (n x, n y, n z ), con n 2 x + n 2 y + n 2 z = 1. Il prodotto scalare con i versori degli assi dà î ˆn = n x = cos α, ĵ ˆn = n y = cos β, ˆk ˆn = n z = cos γ, dove α, β, γ sono i tre angoli formati con i tre assi (secondo la notazione tradizionale). Dato che si richiede cos α = cos β = cos γ, si ha n x = n y = n z = 1/ 3, corrispondente ad angoli α = β = γ =

21 Cinematica in due o più dimensioni Le grandezze cinematiche fondamentali: posizione, velocità, accelerazione, sono dei vettori nello spazio a due o tre dimensioni, dotati di modulo, direzione, verso. In realtà anche nel moto rettilineo tali grandezze sono dei vettori, ma... in una dimensione! Hanno un segno e un modulo ma la direzione è fissata. Il corpo percorre una traiettoria nello spazio

22 Posizione e spostamento Vettore posizione: r(t) = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)ˆk Spostamento: r = r 2 r 1 = (x 2 x 1 )î + (y 2 y 1 )ĵ + (z 2 z 1 )ˆk

23 Velocità Velocità media: v = r t Velocità istantanea: v(t) = lim t 0 r t = d r dt La velocità istantanea: v(t) = v x (t)î + v y(t)ĵ + v z(t)ˆk = dx dt î + dy dt ĵ + dz dt ˆk è sempre tangente alla traiettoria

24 Accelerazione Accelerazione media: a = v t Accelerazione istantanea: a(t) = lim t 0 v t = d v dt = d2 r dt 2 In componenti cartesiane: a(t) = a x (t)î + a y(t)ĵ + a z(t)ˆk = dv x dt î + dv y dt ĵ + dv z dt ˆk = d2 x dt 2 î + d2 y dt 2 ĵ + d2 z dt 2 ˆk

25 Accelerazione (2) In generale, in un moto curvilineo, la velocità cambia sia in modulo che in direzione: l accelerazione può essere non nulla anche se il modulo della velocità non cambia. L accelerazione è un vettore nella direzione della variazione della velocità. Poiché la velocità cambia nella direzione in cui la traiettoria s incurva, l accelerazione è sempre diretta verso la concavità della traiettoria

26 Accelerazione (3) Scomponiamo velocità e accelerazione in parte tangenziale (lungo la tangente) e parte radiale (lungo la normale alla curva): Introducendo i versori û T e a N û N, v = v T û T, a = a T û T + a N û N (la velocità è solo tangenziale) da cui a = d v dt = dv T dû T dt ût + v T dt (û T dipende dal tempo, ma d dt (û T û T ) = 0 da cui dû T dt û T = 0). Da qui si vede che a T è legata alla variazione del modulo, v T, di v; a N alla variazione della direzione di v.

27 Accelerazione in moto curvilineo L accelerazione tangenziale causa il cambiamento nella velocità scalare della particella; L accelerazione radiale causa il cambiamento della direzione del vettore velocità.

28 Moto circolare e circolare uniforme Moto caratterizzato da v R, con R costante. Introduciamo la distanza percorsa lungo la circonferenza, s = Rθ: v = ds dt = Rdθ dt La grandezza ω = dθ è detta velocità dt angolare, si misura in radianti/s o in s 1. Moto circolare uniforme: caratterizzato da velocità angolare ω costante. Periodo: T = 2π, tempo necessario per fare un giro completo. ω Frequenza: ν = 1 T = ω, numero di giri per unità di tempo. 2π

29 Velocità angolare come vettore La velocità angolare può essere definita come un vettore di modulo ω, direzione perpendicolare al piano del moto, verso secondo la regola della mano destra. Con queste convenzioni: v = ω r

30 Velocità e accelerazione nel moto circolare uniforme Dal disegno sopra si vede che v = v f v i tende ad un vettore di modulo v θ = vω t = (v 2 /r) t, diretto verso il centro l accelerazione è quindi centripeta e di modulo a C = v2 r = ω2 r.

31 Esempio Determinare la velocità angolare della terra attorno al proprio asse. Attenzione: non è semplicemente ω = 2π/T, dove T = s è la lunghezza del giorno solare medio! Il periodo T di rotazione della terra, o giorno sidereo, vale T = s, perché la terra deve ancora ruotare di un angolo γ 1 affinchè il sole torni nella stessa posizione. Da qui: ω = 2π T = rad s 1. La differenza t = T T = 240 s può essere stimata come t = γ/ω. Usando γ 2π/360 rad si trova t = 239 s.