CAPITOLO 1 CONCETTI FONDAMENTALI

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1 P - Cotoll automatc I CAPITOLO CONCETTI FONDAMENTALI Rduzoe degl chem a blocch Speo tem comple vegoo appeetat co chem a blocch, cu elemet hao cacuo u olo geo e ua ola ucta; dve elemet ultao qu collegat fa loo medate put d damazoe e guzo ommat. Le egole d emplfcazoe d eguto llutate co femeto a tem lea puamete algebc ovveo co legame d emplce popozoaltà ta geo e ucta oo mmedatamete etebl a blocch elatv a tem damc ottuedo le fuzo d tafemeto alle cotat d popozoaltà. Teedo peete le otto egole fodametal, pooo due chem a blocch comuque comple fo a gugee ad ua foma mma data da u umeo d blocch pa al podotto degl ge e delle ucte, cacuo de qual appeeta l flueza d u patcolae geo u ua patcolae ucta. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo, Cocett fodametal Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

2 P - Cotoll automatc I Cotollo ad azoe detta e etoazoe I tem ad u olo geo ed ua ola ucta è poble dvduae la peeza d: ua vaable d femeto o vaable d geo l obettvo pù dffuo è geee fatt l egumeto, oa la popozoaltà attmo d geo e ucta c; u REOLATORE, che pemeo al SISTEMA CONTROLLATO foce a quet ultmo u adeguato geo; ua vaable mapolable m, calbata dal REOLATORE fuzoe del femeto, del uo adameto paato, d evetual dtub e d fomazo ull adameto dell ucta; u SISTEMA CONTROLLATO, dal quale vuole otteee ua ceta ucta; ua vaable cotollata c o vaable d ucta, ul cu adameto vuole flue; ua CATENA DI RETROAZIONE, che pemette all adameto dell ucta d fluezae quello della vaable mapolable m; evetual dtub d, che agcoo tamte pope fuzo d tafemeto e guzo ommat ulle alte gadezze goco; ua o pù IUNZIONI SOMMANTI, come ad eempo quella atta a ottae l fomazoe etoazoata dell ucta dal femeto pma che queto guga geo al REOLATORE. Uo chema d cotollo etoazoe egatva come potato fgua pevede fatt d ottae al egale d femeto l fomazoe etoazoata, geeado coì u egale d eoe e geo al REOLATORE. Robutezza tatca I egme tazoao, la etoazoe è tato pù effcace quato pù elevato è l guadago d aello, coè la cotate che caattezza l tafemeto del egale lugo l aello, uppoto apeto u qualuque uo puto. Robutezza a dtub: I codzo tazoae, dcata co la cotate d popozoaltà data dal podotto ta quelle d REOLATORE e SISTEMA CONTROLLATO, ulta... Z c t e t Z d t...e... c t t d t...dove, e >>, ulta poble appomae: c t t Zd t co Z << Z Robutezza alle cetezze: U agoameto aalogo pemette d vefcae come u elevato guadago pemette d eutalzzae l flueza d oleatà e cetezze; e >>, fatt: c t t ± c t t Compotameto damco oddfacete U elevato guadago d aello coglable, come vto, pe due l flueza d dtub, oleatà e cetezze può tuttava podue u compotameto damco o oddfacete, fo a potae l tema all tabltà. Quet ultma è fatt tpcamete geeata dall eza e da tad pop del tema cotollato, pe qual l azoe coettce ulla vaable mapolable m tede a mafeta pe u tempo eccevo petto a quello tettamete eceao; poducedo tal cao ua ovacoezoe e duque u eoe eo oppoto peo upeoe, cao d elevato guadago, all eoe ogale: eca coì, ad eempo, u egme d ocllazo d ampezza cecete. La pobltà d mgloae la pota d u tema e/o d tablzzalo eza due l guadago d aello vee alloa offeta dall emeto el dpotvo d cotollo d oppotu tem d coezoe del compotameto damco: le et coettc. Se ache tal et fallcoo, coe fe a chem mt, coè ad u azoe detta goolao volta a due la ebltà a dtub pù mpotat eguta da ua etoazoe pù affata e che o cheda u eccevo guadago d aello, eedo gà eutalzzate le maggo caue d eoe. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo, Cocett fodametal Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

3 P - Cotoll automatc I CAPITOLO EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI E TRASFORMAZIONE DI LAPLACE Equazo dffeezal lea a coeffcet cotat Pe lo tudo de tem d cotollo mpegao modell matematc damc e, fché l appomazoe è accettable, lea. S ottegoo coì ovete, patcolae, equazo dffeezal odae a coeffcet cotat del tpo... a m m d d d y t a y t a y t b m x t b m x t b x t d dt dt m dt m dt...ovveo, co ovva e pù compatta otazoe: a D y t m b D x t co m come codzoe d caualtà e qud d ealzzabltà fca del modello Pe la oluzoe o tegazoe d tale equazoe dffeezale, occoe ovvamete coocee: le codzo zal, oa l valoe dell ucta yt e delle ue ucceve - devate all tate t - ; l teme fozate, oa l adameto dell geo xt, uppoto lmtato e cotuo a tatt, pe temp t. I cotbut d tal elemet pooo olte eee codeat epaatamete, otteedo la oluzoe come omma d due fuzo cavate epaatamete: l evoluzoe lbea, oa l effetto d egal d geo applcat ed eaut temp pecedet l tate t -, de qual magoo pecò oltato le codzo zal come effetto vble; uppoedo ullo l egale d geo detema la fuzoe y l t oluzoe dell equazoe dffeezale omogeea aocata a quella data. l evoluzoe fozata, oa la fuzoe y f t che, uppota ulla eme alle ue ucceve - devate all tate t -, oddfa l equazoe dffeezale data. Tafomazo d Laplace Pe la oluzoe delle equazo dffeezal oo d otevole utltà le tafomazo fuzoal, coè le tafomazo che aocao fuzo a fuzo, ed patcola modo la tafomazoe d Laplace. Le tafomazo fuzoal tablcoo fatt ua copodeza buvoca ta fuzo oggetto, omalmete fuzo del tempo, e fuzo mmage d dvea atua, cocché ad opeazo eegute ulle fuzo oggetto, come la devazoe, copodao opeazo pù emplc ulle fuzo mmage: al poblema oggetto vee coì aocato u uovo poblema mmage d pù facle oluzoe. La tafomata e l attafomata d Laplace oo date dalle elazo... F t : f t e dt f t j π σ j σ j F e...che, ebbee bala, o veao dettamete utlzzate el eguto, dove faà vece femeto olo ad alcue tafomate patcola, eza pealto potae gl vlupp matematc della loo deduzoe. * Eedo la fuzoe complea d vaable complea F defta oltato u domo d covegeza delmtato a ta da ua etta paallela all ae mmagao e d aca σc, l tegale d deta tede eeguto lugo ua quala etta paallela all ae mmagao e d aca σ<σc. Ipotzzato che la fuzoe ft a detcamete ulla pe valo egatv del tempo ** e che e e cech la tafomata co femeto ad tat d tempo o egatv, la qua totaltà delle tafomate d Laplace d uo comue ell aal de tem lea può dedue dalla elazoe fodametale: [ ]! e at L t a t d * ** Tale codzoe o è ealtà tettamete eceaa pe la tafomabltà della fuzoe ft, ma pe la buvoctà dell attafomazoe, che pogeebbe comuque ua L - [F] ulla pe t<. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo, Cocett fodametal Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

4 P - Cotoll automatc I Pcpal tafomazo ecodo Laplace Vegoo d eguto elecat pù mpotat egal tpc e le loo tafomazo, utamete a teoem d comue utlzzo ella tafomazoe ecodo Laplace. [ ] [] t [ ] 3 Suode Couode at [ ] a [ t ] [ t ] ado utao L ut Epoezale L e Rampa utaa Paabola utaa L t Teoema della talazoe el tempo: L L t [ f t t ] e F Teoema della tafomata dell tegale: L t f τ dτ F Teoema della tafomata della devata: df [ ] F f L dt L L co Pocededo teatvamete, deduce alloa l epeoe della tafomata della geeca devata -ema come: L [ ] D f t F j j D j f t t Devate geealzzate Pe la oluzoe dell equazoe dffeezale zalmete popota occoe peò teee coto ache delle dcotutà delle fuzo t, quato le codzo zal vegoo pecfcate pe t -, coè pecedetemete al peeta d tal dcotutà. Codeado le fuzo f t e ftdf /dt fgua, mmag d fa tedee a zeo l valoe del paameto τ; mete f t tede al gado utao ut, la ua deva ft tede ad avee ampezza fta e duata ulla: l lmte d tale fuzoe è ua dtbuzoe detta mpulo d Dac δt, oa u ettà detta che geealzza l cocetto d fuzoe. S può fe otae che cacuo de pm due egal tpc pecedetemete peetat è la devata del uccevo l gado lo è della ampa, queta lo è della paabola e che le loo tafomate d Laplace ottegoo moltplcado pe quelle de egal uccev: pe eteoe, la tafomazoe dell mpulo d Dac, devata geealzzata del gado utao, è l utà: [ t ] L δ Fuzo d tafemeto Facedo femeto, come peo avvee, a u tema zalmete quete coè co tutte le codzo zal ulle, la tafomata d Laplace dell equazoe dffeezale popota all zo ulta della foma... a Y m b X...ovveo... Y a X S defce alloa la fuzoe d tafemeto del tema come: m Y b X a Nella appeetazoe a blocch, og blocco aà caattezzato da ua popa fuzoe d tafemeto; applcado le egole d duzoe è facle vefcae che e ogua d ee è azoale fatta coè data, come opa, dal appoto d due polom, tale aà ache la fuzoe d tafemeto del tema complevo. No tutt tem damc, ache e lea e tazoa, oo pealto caattezzat da fuzo d tafemeto azoal fatte u eempo tpco è l tado fto d duata t, la cu f.d.t. è data da e -t. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo, Cocett fodametal Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t m b

5 P - Cotoll automatc I Attafomazoe delle fuzo azoal Ache la detemazoe dell evoluzoe lbea e, molt ca, d quella fozata d u tema leae tazoao pota all attafomazoe d ua fuzoe azoale fatta della foma: m m P bm bm b b z z zm F Q K a p p p a a co K b m La dffeeza -m fa gad d deomatoe e umeatoe pede l ome d gado elatvo d F; ella foma fattozzatta, le cotat complee z,...,z m pedoo l ome d ze della fuzoe F, le p,...,p quello d pol. Quado F è tettamete popa coè pe -m >, ea può eee compota ua omma d tem faclmete attafomabl, detta omma d fatt emplc; el cao d u gado elatvo ullo, vece, c pota alla omma d ua cotate e d ua fazoe tettamete popa da attafomae dpedetemete. Occoe, comuque, dtguee eguet ca: pol emplc p p j,j co j: E poble potae F ella foma... K P P p F p co K p Q p p p p p p p p p dove le cotat K elatve a va pol vegoo dette edu e oo eal copodeza d pol eal, complee cougate copodeza d pol comple cougat. L attafomata d F cava alloa bae alla leatà e alle fomule d attafomazoe dell epoezale: K pt f t L [ F ] L p Ke Va fe ottoleato, beché evdete, che el cao d pol comple cougat ottegoo epoezal complee moltplcate pe coeffcet comple, da codue a podott d epoezal eal pe fuzo tgoometche applcado le fomule d Euleo: j ag{ K } σ j t j ag{ K } σ j t σt σt π K e e K e e K e co t ag{ K} K e t ag{ K} E fe poble eegue l attafomazoe de fatt emplc evedo d oppotue tabelle; pe fae cò è tuttava eceao epaae cotbut dovut a u evetuale polo ell oge, ad evetual h pol eal tem del pmo ode e k pol comple cougat tem del ecodo ode, potado F ella uova foma... h k ' ' " K K K T F τ δ...dove... ' K p σ j K u jv K σ τ σ σ " u σ δ σ v K σ σ T u uσ v Il paameto τ è detto cotate d tempo e caattezza la pota al gado utao del tema elemetae del pmo ode; paamet δ e oo pettvamete dett coeffcete d mozameto e pulazoe atuale e caattezzao la pota al gado utao del tema elemetae del ecodo ode l valoe d δ è compeo ta e ; e fatt foe δ le adc del deomatoe aebbeo eal e cadebbe petato el cao della omma d due tem del pmo ode. pol multpl,j tal che p p j co j: Suppota la peeza d h pol dve p, cacuo co molteplctà, è poble potae F ella foma... h P P K l l d F Q l p p p h p K l h l l! d l...co... p P Q p...da cu l attafomazoe ella foma: f t h Kl l! l t l e pt ova Mao - Cotoll automatc - Captolo, Cocett fodametal 3 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

6 P - Cotoll automatc I Sulla tabltà pm ce S è motato che l attafomata d ua fuzoe azoale è cottuta, el cao d pol emplc, da ua omma d tem de tp: t σ t K e K e t ϕ K σ Nel cao d pol multpl hao vece tem del tpo: K t h K t h e σ t h σ t K t e t ϕ Nel pmo cao, tem tedoo a zeo pe t tedete all fto e la pate eale σ del elatvo polo è egatva, etao lmtat e ea è ulla, dvegoo e ea è potva; el ecodo cao, vece, tem tedoo a zeo e la pate eale σ del elatvo polo è egatva, dvegoo e ea è ulla o potva. S può duque affemae che l attafomata d ua fuzoe azoale fatta mae lmtata e e olo e la fuzoe da attafomae o peeta alcu polo a pate eale potva e gl evetual pol a pate eale ulla oo emplc, dvege cao cotao. Itegal d covoluzoe o tegal d Duhamel Dette F ed F le tafomate d Laplace delle fuzo f t ed f t, valgoo le elazo... Teoema della tafomata del podotto tegale: τ f t τ dτ F F...e duque... f τ f t τ dτ f τ f t τ L f Potedo alloa cvee, pe u tema zalmete quete,... Y X..., poto gt L - [], e e tae l mpotatma coegueza: τ g t τ dτ g τ x t τ y t x dτ τ Ife, eedo etambe le fuzo xt e gt ulle pe t < la pma pe pote, la ecoda pe attafomazoe ecodo Laplace, l etemo upeoe dell tevallo d tegazoe può lmtae a t, otteedo: t t τ g t τ dτ g τ x t τ y t x dτ d ova Mao - Cotoll automatc - Captolo, Cocett fodametal 4 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

7 P - Cotoll automatc I Rpote caoche - pecfche el domo del tempo Le pote caoche pù fequetemete utlzzate ella patca oo la pota al gado, o pota dcale, g ut e la pota all mpulo d Dac, o pota mpulva, gt. Rpota mpulva: Poché la tafomata d Laplace dell mpulo d Dac δt è emplcemete l utà la pota mpulva del tema ottee emplcemete attafomado la ua fuzoe d tafemeto e cocde duque co L - [], quato: [ g t ] L[ δ t ] L l tegal d Duhamel epmoo duque la pota fozata del tema ad u qualuque geo xt fuzoe della ua pota gt all mpulo, che appeeta petato ua pece d fuzoe podeatce: l valoe d gτ tablce fatt l flueza che l egale d geo applcato τ ecod pma poede ul valoe dell ucta all tate t. La pota mpulva appeeta duque ua mua della memoa del tema. Eempo: ua fuzoe podeatce gt ut mplca ua memoa pefetta, quato tutt gl mpul cu ulta compoto l egale d geo vegoo peat modo detco e l ucta è uguale all tegale dell geo; ua fuzoe podeatce gt δt mplca pe coto la completa aeza d memoa, coè la poduzoe pefetta dell geo ucta. Rpota al gado utao: - Stem del pmo ode: eedo caattezzat, a meo d u fattoe cotate, da ua f.d.t. della foma... τ...la loo pota al gado utao è data dalla elazoe: y t τ [ U ] L [ ] e t L τ L adameto d tale pota è potato a lato, co cala de temp omalzzata appoto alla cotate d tempo τ, che cottuce l paameto caattezzate l compotameto damco del tema. S defce olte:.tempo d aetameto T a: tempo occoete peché l ucta maga eto l 5% del valoe fale T a 3τ. - Stem del ecodo ode: oo patcolamete teeat quato tem etoazoe, ache d ode elevato, focoo peo pote dcal aaloghe alla loo, pe la peeza d ua coppa d pol domat coè pù vc all ae Im, l cu cotbuto è l pù mpotate duate l tatoo comple cougat. La f.d.t. d u tema del ecodo ode, a meo d u fattoe cotate, è... δ...da cu la pota al gado utao: y t L δ A co: δt [ U ] L [ ] Ae t ϕ δ S defcoo:.mama ovaelogazoe S: dffeeza omalmete epea % fa l valoe mamo auto dall ucta e l uo valoe fale;.tate d mama ovaelogazoe T m: tate cu peeta la mama ovaelogazoe;.tempo d aetameto T : tempo occoete peché l ucta maga eto l 5% del valoe fale. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo, Cocett fodametal 5 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t δ ϕ ata a δ aco δδ δ La elazoe ta coeffcete d mozameto δ e mama ovaelogazoe S può eee cavata tovado gl tat de mam e mm dell adameto dell ucta: dy δt δt dt Ae co t ϕ Aδe t ϕ dy co t ϕ δ t ϕ δ co t ϕ δ t ϕ dt ta δ δ t ϕ kπ Sottuedo tal tat ella fuzoe yt cavao valo mam e mm aut; co bev paagg cava la dpedeza d S da δ otteedo che S % e δ : π δ δ S ymax e Facedo uo delle due cuve epoezal che delmtao l adameto d yt, la dpedeza d T a da δ può eee cavata vece da: e δ T a,5 δ T a 3 3 δ Ta t t, k N k π δ afcamete... u lmte u S copode a u vcolo d appateeza de pol del tema al ettoe delmtato dalle ette b e b, d clazoe ϕ dpedete da δ: ϕ acoδ u lmte u Ta copode a u vcolo d appateeza de pol del tema al empao a ta della etta a, d aca ψ dpedete da δ: ψ - δ

8 P - Cotoll automatc I CAPITOLO 3 ANALISI ARMONICA Fuzoe d pota amoca Se a u tema leae tazoao atotcamete table applca l egale d geo... x t X t...eauto l tatoo l ucta vaeà co legge uodale caattezzata dalla tea pulazoe dell geo ed ampezza ach ea dpedete da tale pulazoe, pogedo duque: ϕ y t Y t S defce fuzoe d pota amoca F la fuzoe complea d vaable eale [, [ avete come modulo l appoto ta le ampezze d ucta ed geo e come agometo l tado d fae ϕ peetato dall ucta: Y jϕ e F X I vtù della leatà potzzata pe l tema codeato, tale fuzoe è dpedete da X e decve completamete l compotameto del tema codzo d egme peodco. Teoema: u tema leae tazoao atotcamete table ete ua copodeza buvoca ta la fuzoe d tafemeto e la fuzoe d pota amoca F epea dalla elazoe: j F Il legame ta la fuzoe d pota amoca F j e la pota all mpulo d Dac gt è alloa dato dalle tafomazo e attafomazo ecodo Foue: j g t e j t dt e j g t j e t d π Rlevazoe della fuzoe d pota amoca Potedo dpoe d u ocllatoe a fequeza vaable co cu geeae l geo del tema cotollato, la detemazoe fequeza pe fequeza patca pe put della fuzoe d pota amoca può eee ealzzata... tamte cuve d Lajou, oa vado a due a d u ocllocopo pettvamete l egale d geo e quello d ucta:.le ampezze X e Y cotoo emplcemete e mam toccat u due a;.l tado d fae ϕ dell ucta petto all geo può eee letto all coco ta la cuva e l ae mmagao, quato copodeza dell aulla dell geo X t coè pe t, l tado d fae dell ucta poteà queta a valee Y tϕ Y ϕ, pemettedo duque u agle lettua d ϕ. tamte coelato e flt, oa futtado le popetà tgoometche evdezate dalla dpozoe potata:.epmedo l ucta come... Y tϕ Y [tcoϕcotϕ]...all ucta de moltplcato col egale d geo pettvamete fae e quadatua avao egal... XY [ tcoϕ tcotϕ] XY [cottcoϕ co tϕ]...da cu, attaveo flt, valo med... XY / coϕ XY / ϕ...che moltplcat pe / X focoo dettamete la pate eale R e la pate mmagaa I della fuzoe d pota amoca F j. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 3, Aal amoca Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

9 P - Cotoll automatc I Dagamm d Bode La appeetazoe gafca della fuzoe d pota amoca vee effettuata co pecal dagamm che cottucoo la bae de pocedmet gafc pe la te delle et coettc el domo delle fequeze. I dagamm d Bode oo cottut da u dagamma delle ampezze o α e u dagamma delle fa o β qual potao, pettvamete gl adamet d j db e ag{j} fuzoe d log. A pate dall epeoe foma fattozzata della pota amoca... j K ' ' j τ j τ ' δ h j j j j τ j τ δ δ j ' ' δ...l uo d ua cala logatmca pe le ampezze, utamete alle atual popetà degl agomet, pemette d emplfcae otevolmete l taccameto de dagamm te: decbel, l podotto delle ampezze de gol fatto coduce fatt ad ua omma, coì come gà avvee pe gl agomet quato e jϕ e jψ e jϕψ. ' j ' K: Il dagamma delle ampezze è cotate; colloca al d opa d db el cao d K >, al d otto d eo e K <. Il dagamma delle fa è detcamete ullo el cao d K >, detcamete uguale a -π el cao K <. / j h : Il dagamma delle ampezze è dato da ua etta paate pe l oge e d clazoe - h, oa - h db/dec. Il dagamma delle fa è detcamete uguale a - h π /. / jτ: E utle appeetae tale cotbuto mpegado coddett dagamm atotc, oa appomat a foma d pezzata e cottut da due atot cu tede l dagamma eale pe e. Il dagamma delle ampezze vee coì ad eee cottuto dalle due emette... l pe l l τ l pe l l τ...e l mamo eoe ell appomazoe, pa a l 3 db, ha pe / τ. Ache l dagamma delle fa può eee appomato co ua pezzata, collegado l a e l b gl atot ozzotal to e deto - π / co la tagete l al dagamma effettvo che tale puto aume valoe - π / 4; pe le pulazo a e b vale la elazoe: π b e 4,8 a I dagamm copodet ad alt valo d τ ottegoo pe emplce talazoe ozzotale, oevado che pe τ < l dagamma delle fa ulta baltato petto all ae delle ace. I dagamm d jτ ottegoo baltado attoo all ae delle ace quell d / jτ. / jδ/ - / : Il dagamma atotco delle ampezze è cottuto dalle due emette... l l pe pe τ << >>...ma dcota eblmete da ee copodeza della zoa dove / :.pe δ lo cotameto è fto;.pe δ / la cuva peeta u mamo;.pe δ ½ la cuva teeca l ae delle ace a deta d ;.pe ½ δ / la uddetta teezoe avvee a ta d ;.pe / δ la cuva o teeca ma l ae delle ace e mae petato tutta al d otto della ua appomazoe atotca; Il mamo o ampezza d oaza M R copode alla pulazoe d oaza R... R δ...e vale... M R R j δ δ L appomazoe atotca dell agometo ottee cogugedo l a e l b gl atot ozzotal to e deto - π co la tagete al dagamma effettvo l. Rulta... dβ d l δ...e... a b π δ e 4,8 δ ' La fomula d Bode L adameto del dagamma delle fa ulta u ceto qual modo legato a quello del dagamma delle ampezze: e ua ceta bada d fequeze l ampezza è cotate, la fae tede ad eee ulla, mete ua clazoe egatva del dagamma delle ampezze è aocata ad u tado d fae, ua potva ad ua atcpo d fae. Se la fuzoe d tafemeto è table oa o peeta pol el empao deto... e a fae mma...é ze, detta c la pulazoe copodeza della quale vuole calcolae la fae β c oto l adameto della ampezza α, vale la fomula d Bode: d α u β c l cota du π du...dove... α l j u l C ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 3, Aal amoca Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

10 P - Cotoll automatc I Dagamm d Nyqut o dagamm pola Tal dagamm, d gade mpotaza pe lo tudo della tabltà de tem etoazoe u d e baeà l fodametale cteo d tabltà d Nyqut, pevedoo l taccameto el pao compleo della cuva appeetatva del vaae del umeo compleo j, gaduata valo della pulazoe. Detto h l umeo d pol ell oge, co femeto alla fuzoe d pota amoca elle fome... ' ' ' j ' j j τ j τ δ ' δ ' ' ' m m bm b b j K K h h h h j j j j j τ a ah ah τ δ δ... oevao compotamet dectt d eguto. Compotameto pe : Il compotameto del dagamma pe pccole può eee tudato tacuado le poteze upeo d quet ultma. Se h l dagamma pate da u puto dell ae eale, eedo: b j K K lm a Rultado, pe poma a zeo,... b b j j K a a j...cofodedo la tagete co l agolo può cvee... ag b a { j } b a...da cu la deduzoe che l dagamma polae laca l ae eale uotado eo oao o atoao a ecoda, pettvamete, del ego egatvo o potvo della quattà eto paete toda. Se vece h >, l dagamma pate da u puto all fto co: lm lm j ag { π } ϕ j h Nel cao h dagamm pola peetao u atoto paallelo all ae mmagao e d aca: ab ab [ j ] K lm Re a Quado è h >, l dagamma polae za u puto all fto ella dezoe - h π /, ma, azché ad ua etta, tede ad ua paabola avete tale dezoe pe ae e h, ad ua paabola cubca e h 3, e coì va. Compotameto pe : Se m l dagamma tema u puto dell ae eale, eedo: ' ' τ τ ' ' j K K τ τ lm Se m < l dagamma tema vece ell oge, tagete ad uo degl a coodat: lm lm π π j ag{ j } m g K Rotazo compleve too all oge pe [, [: Detta ag{j} la vaazoe dell agometo d j pe vaable da a, µ e ν l umeo degl ze e de pol mmaga, z ed p quell degl ze e de pol a pate eale potva, deduce: π π ag{ j } m µ ν z p π Nota: ϕ vale a o a -π a ecoda, pettvamete, che a potvo o egatvo l valoe d K o, equvalete, quello d Kb/a Og zeo el empao to cotbuce fatt a ag{j} pe π/, og polo pe - π/, mete l cotbuto degl ze e de pol el empao deto è l oppoto del pecedete e quello degl ze e de pol mmaga è ullo codeado olo le vaazo al fto, oa pe [ε,m ]. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 3, Aal amoca 3 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

11 P - Cotoll automatc I Dagamm d Nchol Tal dagamm potao aca l agometo e odata, cala logatmca, l modulo della fuzoe d pota amoca; oo duque cottut da ua ola cuva, gaduata valo della pulazoe. Vegoo mpegat ella oluzoe d poblem d te, quato coetoo d cotollae apdamete l effetto d vaazo de paamet delle et coettc. E facle compoe dagamm d Nchol d pù tem cacata o, aalogamete, del podotto ta va fatto d ua tea fuzoe d tafemeto ommado le coodate de put copodet a ugual valo della pulazoe. K: Il dagamma duce a u puto d odata K db e aca copodete alla fae o - π a ecoda del ego d K. / jh: Il dagamma è cottuto da ua etta d aca cotate, copodete alla fae paallelamete all ae delle odate l modulo vaa fatt fuzoe d. - h π/, che duque coe / jτ co τ > : Il dagamma ha l adameto appeetato fgua. Pe valo d τ < l dagamma ottee baltado l pecedete too all oge. Lo teo avvee pe taccae l dagamma d jτ. / jδ/ - /: Pe valo δ, l dagamma peeta gl adamet potat fgua. Pe valo d δ < l dagamma ottee baltado l pecedete too all ae delle odate. I dagamm d jδ/ - / ottegoo baltado too all oge quell d / jδ/ - /. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 3, Aal amoca Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t 4

12 P - Cotoll automatc I CAPITOLO 4 STABILITA E SISTEMI IN RETROAZIONE Pe todue l cocetto d tabltà fa femeto ad u tema a ua ola vaable che uppoe zalmete ua codzoe d quete o d equlbo. Stabltà eguto a petubazo Petubado l tema, uppoto zalmete quete, la ua ucta può peetae te dve tp d compotameto: ua pota dvegete, copodete duque ad u compotameto table; ua pota lmtata, copodete ad u compotameto table; ua pota covegete atotcamete a zeo, copodete ad u compotameto detto atotcamete o tettamete table. Mete pe u tema o leae l compotameto può eee dveo al vaae a del puto d equlbo codeato che dell ettà della petubazoe applcata, el cao de tem lea, gaze alla popetà d ovappozoe degl effett, eo o dpede é dal patcolae puto d equlbo d pateza, é dall ettà della petubazoe. Nel cao de tem lea tazoa a cotat cocetate coè co fuzo d tafemeto azoal fatte la tabltà è legata alla pozoe de pol della fuzoe d tafemeto el pao compleo. S è gà oevato, fatt, che l attafomata d ua fuzoe azoale come la pota d u tale tema... y t L [ Y X ]...è cottuta, el cao d pol emplc, da ua omma d tem, tal cao dett mod della pota tea, de tp... K t K e σ σ t K e t ϕ...el cao d pol multpl, vece, da tem del tpo... K t h K t h e σ t h σ t K t e t ϕ...e che u polo eale o ua coppa d pol comple cougat d molteplctà dà luogo a dve mod. Teoema: pe la tabltà d u tema leae tazoao a cotat cocetate è eceao e uffcete che la fuzoe d tafemeto o peet alcu polo a pate eale potva e che gl evetual pol a pate eale ulla ao emplc; pe la tabltà atotca è eceao e uffcete che tutt pol abbao pate eale egatva. Stabltà geo lmtato - ucta lmtata.l.u.l. U tema feto ad uo tato d equlbo cu geo e ucta oo detcamete ull dce table geo lmtato - ucta lmtata tale tato d equlbo e ad og egale d geo che o upe modulo u detemato lmte M x peeta ua pota lmtata. Nel cao de tem o lea ache la tabltà.l.u.l. dpede geeale dal puto d equlbo codeato e dall ettà della petubazoe, coè dal valoe d M x ; el cao de tem lea vece, può dmotae che tale tabltà o dpede é dal puto d equlbo codeato é dal valoe d M x. Teoema: el cao d tem lea tazoa dectt da f.d.t. azoal fatte la tabltà.l.u.l mplca ed è mplcata dalla tabltà atotca. Teoema ul legame ta tabltà.l.u.l. e pota all mpulo: u tema leae tazoao è table e e olo e: g τ dτ M < ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 4, Stabltà e tem etoazoe Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

13 P - Cotoll automatc I Il cteo d Routh Lo tudo della tabltà d u tema leae tazoao a cotat cocetate chede la cooceza de eg delle pat eal de pol della fuzoe d tafemeto, oa delle adc del uo deomatoe; poché la detemazoe eatta d tal adc paa attaveo la oluzoe, o empe agevole, dell equazoe caattetca oa, baalmete, l calcolo de valo d che aullao l deomatoe... a a a a...ulta utle pote vece d dpoe d u cteo che coeta d detemae l olo ego delle pat eal delle adc tee attaveo u eame de coeffcet dell equazoe. Il cteo d Routh pevede d mpoe potvo l pmo coeffcete a dell equazoe caattetca, evetualmete moltplcado pe - etamb memb, e d pocedee come egue. Teoema pelmae: codzoe eceaa ma o uffcete peché pol abbao tutt pate eale egatva è che tutt coeffcet dell equazoe caattetca ao potv. Tabella d Routh: è cotuta, evedo de coeffcet dell equazoe caattetca, come potato a lato e pegato d eguto:.le pme due ghe oo fomate da coeffcet del polomo caattetco, dpot come dcato, a a a - a pate da quello copodete alla poteza pù elevata d ;.gl elemet della teza ga oo deft dalle : - a - a -3 a a a a a a a a a - b - b b 3 a 4 5 b 4 a pe l calcolo d og uovo coeffcete fa coè femeto a a tem della pma coloa e della coloa ucceva alla ua e appateet alle due ghe mmedatamete pecedet, calcolado co e ua ota d moe, come motato elle fomule d cu opa..le ghe ucceve della tabella oo cotute modo aalogo alla teza, empe fuzoe de tem delle due ghe mmedatamete pecedet;.le ghe della tabella oo cotaddtte co ume, -,... e ultao, pe cotuzoe, d lughezza va va dececete; l ultma ga, cotaddtta co l umeo, compede u olo elemeto. Teoema d Routh: Ad og vaazoe d ego che peetao tem della pma coloa della tabella, codeat uccevamete, copode ua adce co pate eale potva, ad og pemaeza ua adce co pate eale egatva. Sgolatà: Il cteo o applca quato l equazoe caattetca peeta adc puamete mmagae, coè co pate eale ulla; Duate la cotuzoe della tabella, tem d ua tea ga pooo eee moltplcat tutt pe uo teo coeffcete potvo, eza che cò compometta l ultato cecato; queta popetà pemette d evtae la peeza d ume fazoa, a pate da coeffcet te, modfcado le fomule pe l calcolo de uccev elemet come egue: a a 4 aa 5 a a aa 3 b g a b g a etc... 4 Pe potae a teme la cotuzoe della tabella, og ga zate co u ceto umeo h d ze deve eee ommata co la ga da ea otteuta moltplcado pe - h e talado veo ta d h pozo; Può captae che tutt tem d ua ga cotaddtta da u umeo dpa, ad eempo la m-, ulto ull; tal cao, a pate da tem b m, b m-,.., b della ga ad ea mmedatamete pecedete cotuce l equazoe aulaa... b m m m bm b * u poble metodo olutvo dell equazoe aulaa può eee poe z; tal cao, ad og adce tovata z copodoo adc come egue: Re< Im; Re> Re oppote; c.c. coppe c.c. mmetche petto all oge. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 4, Stabltà e tem etoazoe Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t...le cu adc cocdoo co le m adc dell equazoe caattetca u cu la tabella d Routh o ha foto fomazo; cao d dffcoltà ella oluzoe d quet ultma *, e e deva l pmo membo e poegue la tabella d Routh dpoedo coeffcet del polomo coì otteuto copodeza della ga d tutt ze: l umeo d vaazo d ego che vefcao oa ella pma coloa a pate dalla ga -m copode al umeo delle adc dell equazoe aulaa a pate eale potva.

14 P - Cotoll automatc I Popetà geeal de tem etoazoe Lo chema a blocch tpco cu può omalmete codue u tema damco etoazoe egatva cota degl elemet gà eamat el cao tatco; l utlzzo delle tafomate d Laplace de egal goco e la coeguete toduzoe delle fuzo d tafemeto copodet a va blocch peet ede oa agevole l eteoe del modello al cao damco. Lo chema potato a lato cota duque de eguet elemet: R: tafomata d Laplace del egale d femeto; E: t. d. L. del egale eoe; C: t. d. L. della vaable cotollata; : fuzoe d tafemeto del pecoo d egale detto; : f.d.t. del pecoo d egale d etoazoe; : guadago d aello. La foma mma copodete vee mmedatamete dedotta dalla egola 8 d duzoe e pevede duque ua fuzoe d tafemeto data dal appoto ta la f.d.t. del pecoo d egale detto e la omma dell utà pù l guadago d aello: Ife, el cao abbao ge pù put dell aello come, ad eempo, el fequete cao de dtub......la egola d duzoe è aaloga e pevede d cavae le vae f.d.t. appeetat l effetto d og golo geo ulla vaable cotollata come appoto ta la f.d.t. che avebbe aeza d etoazoe e la omma dell utà pù l guadago d aello. Ad eempo, el cao opa potato: Ad eempo... I vede olva el cao del egale d femeto R. Sempe uguale a: I vede acqua el cao del dtubo D. Il taduttoe d mua pe la etoazoe è omalmete etemamete poto, tato che la fuzoe d tafemeto del pecoo d etoazoe può aumee data da ua emplce cotate h. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 4, Stabltà e tem etoazoe 3 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

15 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t P - Cotoll automatc I ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 4, Stabltà e tem etoazoe 4 Rpota amoca ad aello apeto E coì defta la fuzoe: j j j F Sebltà L oevazoe, gà effettuata el cao tatco, che u elevato guadago d aello cotbuce a dmue la ebltà ad evetual dtub, oleatà, ecc... peet ul pecoo detto può eee faclmete etea al cao damco toducedo la coddetta fuzoe d ebltà... j j j S...che appeeta, come veà llutato a beve, l fattoe moltplcatvo che la peeza della etoazoe poduce alle vae pulazo pe gl eo dovut a vaazo paametche e dtub. Sebltà alla vaazoe d paamet: Sa α u paameto ad eempo ua cotate d tempo che tevee a detemae la fuzoe d tafemeto del pecoo d egale detto, o meglo,α d u tema; detta om,α om la f.d.t. attea copodeza del valoe omale α om del paameto, ua vaazoe α d quet ultmo poduce, pma appomazoe, ua vaazoe della tea f.d.t. epmble come... α α α α om...da cu..., om om α α La fuzoe d tafemeto compleva,α,α /,α vee vece modfcata della quattà: ] [ opa ved om α α α α S può duque cotatae che... ] [...e petato, dove l guadago d aello ulta elevato, l eoe elatvo dovuto alla vaazoe d u paameto d ulta molto moe el tema etoazoe che o quello ad aello apeto, quato... <<...e... >> Nota: lo teo o avvee e la vaazoe d u paameto β tevee ulla f.d.t. del pecoo d etoazoe : ] [ ] [ om β β β β Sebltà a dtub: Co femeto alla fgua d paga 3 del peete auto, dett....c la vaable cotollata;.: la f.d.t. del pecoo detto d R;.R l egale d geo evdezato vede olva ;. / la f.d.t. compleva elatva a R;.D : B D l dtubo, evdezato vede acqua ;. / la f.d.t. compleva elatva a D; L flueza del femeto pedce ulla vaable cotollata è epmble come... R C... aeza apce e peeza apce d etoazoe, le flueze del dtubo pedce d u C valgoo vece: ' D C d...e... " D C d...da cu u appoto egale / umoe S / N dato e due ca da: ' ' D R C C N S d...e... Dove l guadago d aello ulta elevato, la etoazoe duce duque ache la ebltà a dtub petto alle codzo d aello apeto, quato mgloa l appoto egale / umoe: ' ' " N S N S N S >>...e... >> Bada paate a -3dB: Suppota eale la f.d.t. del pecoo d etoazoe coa poble gaze alla uuale potezza del copodete taduttoe d mua, dove l guadago d aello è elevato e qud, omalmete, pe pulazo bae petto a quella dove tale guadago è utao, oa dove vale, la f.d.t. compleva matee cotate al vaae d dpedetemete dall adameto d : j j j...dove... >> j La bada paate f etoazoe ulta duque maggoe d quella f della pota amoca ad aello apeto; f è olte cca pa alla pulazoe cu l guadago d aello è utao. " " D R D R C C N S d Il dagamma d j, qud d j, decece all aumetae d caua l umeo pevalete d pol. Ved fgua, comuque.

16 P - Cotoll automatc I Eo a egme Pe l calcolo degl eo a egme ella pota a pù mpotat egal tpc gado, ampa, paabola faà oa femeto a u tema co etoazoe utaa, la cu vaable a valle della guzoe ommate E R - C appeeta duque effettvamete lo cotameto della vaable cotollata dal femeto ed l compotameto voluto cote duque ell egumeto d quet ultmo. Poché la molteplctà h d u evetuale polo ell oge peo volutamete todotto ella f.d.t. detta da u oppotuo egolatoe caattezza fotemete l adameto atotco dell eoe et L - [E] pe t tedete all fto, covee d palae d tem d tpo h a ecoda del valoe d queta. Teoema del valoe fale: l adameto pe t d ua ft tafomable ecodo Laplace è dato dalla elazoe: lm lm f t F t Pcpo del modello teo: affché a eutalzzato co eoe a egme ullo u modo copodete ad u polo ell oge d ode h occoe geeae lo teo modo el egolatoe, che petato deve avee u polo ell oge pue d ode h o upeoe, coè coteee u modello del tema elemetae / h che geea quel modo. La vefca d queto pcpo ottee mmedatamete applcado l teoema del valoe fale all epeoe dell eoe et del tema codeato: [ ] R [ ] R R E R C R R Da cu l eoe a egme e... e lm t lm lm e t E R...che mota come le tafomate de egal tpc gado: R /; ampa: R / ; paabola: R / 3 toducoo al deomatoe d tale lmte de fatto che, e o eutalzzat ved put uccev, lo edeebbeo dvegete pe. Eoe d pozoameto: E coì chamato l eoe a egme pota a u gado d ampezza R ; pe la ua epeoe toduce la coddetta cotate d guadago o d pozoe K p : R lm lm R R...co... K... quato... e lm e K p p A cofema del pcpo del modello teo, mete u tema d tpo la cotate d pozoe cocde co l guadago tatco K, tem d tp upeo ulta K p e duque e : tal tem eutalzzao fatt l eoe d pozoe quato poducoo al loo teo lo teo modo ad eo copodete; l eoe d pozoe matee comuque fto ache tem d tpo. Eoe d veloctà: E coì chamato l eoe a egme pota a ua ampa d pedeza R ; pe la ua epeoe toduce la cotate d veloctà K v : R lm lm R R e...co... K... quato... e lm K v v A ecoda de pol ell oge peet, u tema d tpo peeta K v e duque eoe d veloctà fto, u tema d tpo peeta eoe d veloctà fto e cotate d veloctà pa al guadago tatco K, u tema d tpo upeoe eutalzza l eoe d veloctà gaze alla ua K v. Eoe d acceleazoe: E coì detto l eoe a egme pota a ua paabola, calcolato tamte la cotate d acceleazoe K a : R lm lm e...co... K... quato... R e K a A ecoda de pol ell oge peet valgoo codeazo aaloghe alle pecedet, potate eme a quete, ella tabella autva a lato. a R 3 lm ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 4, Stabltà e tem etoazoe 5 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

17 P - Cotoll automatc I Il cteo d Nyqut Pemette d valutae pe va gafca la tabltà de tem damc etoazoe oto quello degl te tem ad aello apeto e foce olte, a dffeeza del cteo d Routh, u utle tumeto pe gudcae dell effcaca d pobl tevet. La ua applcazoe vee lmtata, pe emplctà veo puto d foza, quet ultma, del cteo, a tem che o peeto é pol é ze mmaga, alvo u polo emplce o doppo ell oge. Eo fa olte femeto al taccameto completo pe ]-, [ de dagamm pola o, apputo, d Nyqut della fuzoe d pota amoca ad aello apeto Fj, pealto mmedatamete otteble, gaze alla mmeta hemtaa della tea Fj, da quello taccato pe pulazo potve tamte addzoe del uo baltameto too all ae delle ace. Dal mometo, fe, che l cteo fa femeto a ua cuva chua, covee d completae tale dagamma, el cao d u tema d tpo o, pettvamete co ua emccofeeza e co ua ccofeeza all fto pecoa eo oao. Cteo d Nyqut pe tem atotcamete tabl ad aello apeto, a meo d u evetuale polo emplce o doppo ell oge: Codzoe eceaa e uffcete peché l tema etoazoe a atotcamete table è che l dagamma polae completo d Fj o ccod é tocch l puto ctco -j. Cteo d Nyqut pe tem tabl ad aello apeto, co u evetuale polo emplce o doppo ell oge: Codzoe eceaa e uffcete peché l tema etoazoe a atotcamete table è che l dagamma polae completo d Fj ccod l puto ctco -j tate volte eo atoao quat oo pol d F co pate eale potva; og go meo eo atoao e og go pù eo oao copodoo alla peeza, el tema etoazoe, d u polo co pate eale potva. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 4, Stabltà e tem etoazoe 6 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

18 P - Cotoll automatc I Mag d tabltà I dagamm pola coetoo d tudae l flueza, ulla tabltà del tema, della cotate K della fuzoe d guadago d aello ovveo, d Fj jj : al vaae d K vaeao fatt dello teo fattoe tutte le lughezze de egmet che cogugoo cacu puto del dagamma co l oge. Valutado l avvca o l allotaa del dagamma al puto ctco -j, l cteo d Nyqut pemette duque, d tudae la tabltà del tema etoazoe e d detemae mag d guadago e d tado d fae che pooo eo todue. Quado l dagamma d Nyqut della pota amoca ad aello apeto d u tema etoazoe table ad aello apeto peeta u adameto co ampezza fuzoe mootoa dececete della pulazoe, pooo effettuae le eguet codeazo ulla ua tabltà: quato pù l dagamma volge lotao dal puto ctco -j, tato pù lotao dall tabltà è l tema, mete la vcaza del dagamma al puto ctco è omalmete aocata ad u compotameto damco o oddfacete. Pe meglo decvee queta tuazoe, dette.... π pulazoe d fae p geco, alla quale ag{fj} vale -π;. c pulazoe d coco, alla quale Fj db vale db coè ;... toducoo eguet paamet, att a muae la coddetta tabltà elatva de tem etoazoe:.m A mage d ampezza veo del modulo del guadago d aello copodeza del valoe -π della ue fae;.m F mage d fae agolo da ottae, pe otteee -π, alla fae del guadago d aello copodeza d u valoe utao del uo modulo. M M ag{ F j } A F j π F c π Eempo: mage d ampezza e guadago Co femeto a u tema d tpo o v. fgue, l avvcameto del dagamma d Fj al puto ctco otteuto aumetado l guadago tatco K p el pmo cao o la cotate d veloctà K v el ecodo è aocato all avvcameto all ae mmagao d ua coppa d pol comple della j che paeao el empao deto quado veà toccato e oltepaato l puto ctco. Affché l cemeto K o gee duque tabltà, quet ultmo deve matee feoe al mage d ampezza: K < M A Eempo: mage d fae e tad ft I tem cu l ucta e le ue devate podoo dopo u tempo t dall applcazoe dell geo, tale tado ha u flueza otevolma ulla tabltà. Dett Fj la fuzoe d pota amoca ad aello apeto e M A, M F copodet mag d tabltà, l toduzoe d u tado t pota, come oto, alla uova pota amoca: jt Ftadata j F j e La peeza del tado modfca duque l dagamma d Nyqut della Fj compotado lo faameto tado ovveoa eo atoao, el pao compleo d tutt uo put d t adat. Tale faameto, ode o geeae tabltà, deve ovvamete ultae moe del mage d fae M F; cao cotao, fatt, l puto Fj c d teezoe ta la cuva e la ccofeeza utaa, qud d modulo utao, veebbe uotato fo a toccae ed oltepaae l puto ctco -j: t < M F Eempo: mage d ampezza e cotollo d tpo tegale S code u tema d tpo l cu dagamma pate dall ae eale veo l bao decvedo ua emccofeeza, pe po duque attaveae lo teo ae u puto d aca compea ta - e ; a la codzoe omalmete mpota ul guadago pe la tabltà che quella coeguete alla peeza d u evetuale tado pevedoo pe le bae u guadago accettable, quato peo feoe all utà. Covee quet ca todue atfcalmete, tamte u appoto egolatoe eto ell aello, u polo ell oge e affotae l poblema ecodo le modaltà vte ell eempo pecedete. Appomat d Padé Ua fuzoe azoale P/Q cu P e Q è u appomate d Padé della fuzoe vluppable ee d poteze e - e, poto... p p q q P b b b Q a a a p p q q... coeffcet d tal polom ultao dat dalle elazo: p q k! p! p q k! q! bk p q! k! p k! k,, p ak!!! p q k q k, k, q Le appomat d Padé d e -t ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 4, Stabltà e tem etoazoe 7 ottegoo, ovvamete, ottuedo t ad e pecedet polom. Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

19 P - Cotoll automatc I Luogh ad M cotate e a N cotate Peo u geeco puto xjy del pao compleo, è poble detemae l valoe d z /j eeguedo l appoto ta vetto ed j; voledo po evdezae luogh d put z cu compete lo teo modulo o la tea fae, cò che ottee è etamb ca u eme d cuve, ogua copodete a u dveo valoe: luogh a M cotate: detto... M z x jy x jy x y x y... cotata, dopo bev paagg come l eme de put z avet lo teo modulo M è appeetato dall equazoe d ua ccofeeza... x y x MM MM...d ceto e aggo, pettvamete: x M M, y...e... MM Pe M la ccofeeza degeea ell oge, pe M ella etta vetcale x - ½, mete pe M el puto ctco -j. luogh a N cotate: poto... N ta ag{z} y x x y... vefca ache qu come l luogo de put z avet la tea N qud la tea fae a appeetato dall equazoe d ua ccofeeza... x y x y N...d ceto e aggo, pettvamete: x, y N...e... N N Pe N la ccofeeza degeea ell ae delle ace y, mete pe N aume aggo ½ e ceto -½j. Co femeto ad u tema d cotollo co etoazoe utaa j, è oto che la pota amoca ad aello chuo j è legata alla pota amoca ad aello apeto Fj jj j dalla elazoe: j j j Fata ua geeca pulazoe, la detemazoe de j ulta otevolmete facltata e al dagamma d Nyqut d j vee ovappota la cata potate luogh a M e a N cotat, oa e, pe og puto j, vegoo dcat l ampezza e la fae della elatva j z. Nel cao la etoazoe o a utaa, cvedo... j j j j j j j j j z j z...l utlzzo della cata polae co luogh a M e a N cotat ulta acoa poble, puché l ultato che ottee vega dvo pe la copodete j. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 4, Stabltà e tem etoazoe Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t 8

20 P - Cotoll automatc I Specfche el domo della fequeza Soo pecfche elatve a paamet caattetc della pota amoca ad aello chuo j, peo eucat come ella fgua che egue co femeto all adameto tpco elatvo a u tema del ecodo ode cu molto peo può amlae la pota amoca etoazoe, pe la peeza, ea, d due pol comple cougat domat, coè pù vc all ae mmagao e petato tal da pecedee l teveto degl alt. I pù gfcatv paamet peo oggetto d pecfche d pogetto oo:.pulazoe d oaza R : pulazoe copodeza della quale j è mamo;.pcco d oaza M R : appoto ta l mamo valoe d j e l valoe tatco ;.Bada paate o laghezza d bada f : pulazoe alla quale j è feoe d 3 db copodete a u appoto d a / al valoe tatco ; Olte alla loo elazoe co le pecfche el tempo, la vefca d tal paamet può eee ache aglmete codotta facedo uo de luogh a M e a N cotat applcat al dagamma d Nyqut della pota amoca ad aello apeto Fj, quato....m è l valoe copodete alla ccofeeza ad M cotate che teeca l puto F e l dagamma pate dall fto pe vale, ovvamete, M ;.Fj R è l puto cu la cuva d Fj è tagete alla ccofeeza cu compete l pù alto valoe d M, pa ad M max, ta quelle da ea toccate;.m R calcola come M R M max /M ;.M f M / è l valoe copodete alla ccofeeza ad M cotate da dvduae pe detemae f ;.F f è l puto cu la cuva d Fj attavea la ccofeeza a M cotate pa a M f ; ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 4, Stabltà e tem etoazoe 9 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

21 P - Cotoll automatc I CAPITOLO 5 IL METODO DEL LUOO DELLE RADICI Mete l cteo d Nyqut e metod baat u mag d tabltà pemettoo ua valutazoe opeatvamete emplce, ma appomatva, delle caattetche damche de tem etoazoe, la cooceza peca de pol d tale tema e dell flueza u e eectata da va paamet peet pemettoo d pge olte l lvello d u emplce pogetto d mama. Il metodo del luogo delle adc, patcolae, pemette d oevae gafcamete l pecoo dectto el pao compleo dalle adc dell equazoe caattetca al vaae d tal paamet omalmete, del guadago d aello. Luogo delle adc Suppoedo ua fuzoe azoale fatte della foma... K ' ' ' ' τ τ δ ' ' δ ' ' h τ τ δ δ...e che la cotate d guadago K a potva ovveo, che l tema a etoazoe egatva, al vaae d K da a le adc dell equazoe caattetca......decvoo, el pao compleo, ua cuva cu dà l ome d luogo delle adc. Epmedo oa... z z zm K p K p p K K... pooo dedue, a ecoda del ego d K le due elazo......e... ag{ } k π K oppue K...e... { } π m k p p p k...co... zz zm...co... K, k Z ag k...co... K, k Z...la ecoda delle qual è d pe é uffcete alla cotuzoe del luogo, mete la pma vee utlzzata pe la gaduazoe d quet ultmo fuzoe d K. Nel cao d u guadago potvo, ad eempo, peo u geeco puto del pao compleo e dett ϑ e ϕ gl agol fomat, pettvamete, da egmet coguget va ze z e va pol p j al puto teo, quet ultmo appatee al luogo delle adc e e olo è oddfatta la elazoe: m ϑ ϕ k π j j Se queto avvee, dett pettvamete e ρ j le lughezze de pecedet egmet, l valoe d K cu tale puto del luogo copode è dato dalla elazoe: K m ρ Codeado tutt e ol pol p dve da zeo > < ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 5, Il metodo del luogo delle adc Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

22 P - Cotoll automatc I Popetà del luogo delle adc Il luogo delle adc dell equazoe caattetetca... K...peeta alcue popetà che, utamete a u po d epeeza patca, e vcolao l adameto e e agevolao la cotuzoe. Popetà : l luogo delle adc ha tat am quat oo pol della fuzoe d tafemeto ad aello apeto K, che teecao ulle adc multple; og amo pate da u polo d e tema uo zeo d o u puto all fto. Popetà : l luogo delle adc è mmetco petto all ae eale. Popetà 3: e la cotate K è potva, u puto dell ae eale fa pate del luogo delle adc e laca alla ua deta u umeo totale dpa d ze e d pol; e la cotate K è egatva, u puto dell ae eale fa pate del luogo delle adc e laca alla ua deta u umeo totale pa d ze e d pol. Popetà 4: e la cotate K è potva, l agolo ecodo l quale l luogo delle adc laca u polo p è... m j k π ag{ p z j} ag{ p p j} j j [, ]...e l agolo ecodo l quale l luogo tede a uo zeo z è: j k π ag{ z z j} ag{ z p j} j [, m] j Nel cao d ua cotate K ottuce k a k. Popetà 5: am del luogo delle adc pooo avee put comue, copodet a valo d K pe qual l equazoe K ammette adc multple; ua adce multpla d ode h copode ad u puto comue ad h am del luogo e el quale, olte alla pecedete equazoe, è oddfatto l aulla delle devate del guadago d aello fo alla h--ema. Popetà 6: copodeza d ua adce d ode h l luogo peeta h am etat e h am ucet alteat ta loo e le cu taget dvdoo lo pazo ccotate etto ugual d π/h adat....detto puto d emegeza otteble olvedo l equazoe che ottee Popetà 7: gl atot del luogo fomao ua tella devado d agg quella co caattetca ceto el e catado puto dell ae le oluzo eale o appateet d aca... al luogo... m σ a p z m...e fomao co l ae eale gl agol... k π ϑa, v m ν,,...,-m-...e... K > k π ϑ, ν,,...,-m-...e... K < a v m Tale popetà pega olte peché, all aumetae del guadago, pol domat coè quell che pe pm tedoo a paae el empao deto oo d egola comple cougat: gl atot d u tema etoazoe egatva co f.d.t. d aello table e a fae mma coè co tutt gl ze e pol el empao to teecao fatt l ae mmagao put dve dall oge, qud comple cougat. Il valoe d K elatvo a put d teezoe del luogo co l ae mmagao copodoo pecò al lmte d tabltà del tema etoazoe; pe la loo detemazoe può, ad eempo, mpegae l cteo d Routh, che foce l valoe d K che copode a tale lmte. Lo teo pocedmeto può eee olte utlzzato, ottuedo -λ a pe tovae valo d K pe qual l luogo delle adc teeca la etta vetcale d aca λ. Alta popetà: tutt ca cu vega eto uo zeo, l luogo modfca peetado, petto all adameto peetete, ua dtooe veo ta, dato che l uovo zeo e attae am veo l empao to del pao compleo. I geeale, l emeto d uo zeo poduce duque u effetto tablzzate ul tema queta popetà veà eguto utlzzata pe la tablzzazoe de tem d cotollo medate le coddette et ad atcpo, caattezzate apputo dalla peeza d uo o pù ze domat. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 5, Il metodo del luogo delle adc Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

23 P - Cotoll automatc I Cotoo delle adc Il pocedmeto pe la cotuzoe del luogo delle adc può applcae ache quado, vece d vaae la cotate d guadago, vaa qualche alto paameto della fuzoe d tafemeto del tema, come ad eempo la cotate d tempo elatva ad u polo eale o ad uo zeo eale o, comuque, quala alto paameto da cu dpedao leamete coeffcet dell equazoe caattetca. Se copodeza del valoe omale del paameto vaa la cotate d guadago, le adc dell equazoe caattetca occupao uccevamete, come è vto, u eme d put ul pao compleo che pede l ome d luogo delle adc ; degado tale luogo copodeza d alt valo del paameto ottee ua famgla d cuve che cotoa l pmo luogo degato, appoggado ad eo. I coegueza d queto, fata la cotate d guadago qud le copodet adc del luogo, dcamo, omale, vegoo pecò dett coto delle adc le cuve cotue dectte dalle adc tee al vaae del paameto. Metodo pe la detemazoe del cotoo delle adc detemato da ua cotate d tempo Detto, ad eempo, τ l paameto quetoe; ucedo a potae l equazoe caattetca ua foma del tpo... τ...duque aaloga alla... K...ache la gafcazoe del cotoo delle adc può avvale delle 7 egole pecedetemete epote. Il pmo pao pe coegue tale obettvo cote el epaae, all teo della foma fattozzata d, l cotbuto dpedete da tale paameto dal eto; poe, alloa: e τ è cotate d tempo d uo zeo Segue, qud, l equazoe caattetca: Γ Τ...co Τ τ Γ Τ...el cao d u polo: τ Γ [ Γ ] τ Γ co... τ Γ τ τ Γ τ e τ è cotate d tempo d u polo Τ τ...el cao d uo zeo: Γ τ [ Γ ] Γ Γ τ τ Γ Γ co... Γ Γ Γ τ Γ τ Γ Γ τ Eempo: Soo potat a faco coto delle adc del tema... K K τ τ Γ τ...duque avete... Γ K...ed equazoe caattetca, fato K K... τ τ K K I te deg fecoo a valo d K copodet a adc omal eal el pmo cao e complee cougate egl etat. E da otae come, el cao d u cotoo elatvo alla vaazoe d u polo, a empe peete u amo poveete dall fto: fatt, pe τ ha u polo meo e l ode del tema dmuce d u utà che veà po ptato pe τ > medate u amo del luogo poveete dall fto. ova Mao - Cotoll automatc - Captolo 5, Il metodo del luogo delle adc 3 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

24 P - Cotoll automatc I MARRO - CAPITOLO 6 BOLZERN - CAPITOLO 4 IL PROETTO DEI REOLATORI Dat d pecfca L aal amoca e metodo del luogo delle adc tovao la loo pù fequete applcazoe ella pogettazoe de dpotv d coezoe della pota: le et coettc. I dat d pecfca che co tal et tedoo peegue e u qual baa pecò l pogetto d u tema d cotollo, guadao: la pecoe, oa:.eo a egme pota a egal tpc;.compotameto a egme peeza d detemat dtub;.compotameto a egme peeza d detemate vaazo de paamet; la tabltà o, meglo quato queta è empe otttea, l compotameto damco, caattezzato da:.mama ovaelogazoe ella pota al gado;.pcco d oaza;.mag d ampezza e fae;.coeffcete d mozameto de pol domat; la veloctà d pota:.tempo d aetameto;.bada paate. Come è evdete, alcu d e oo elatv a pote el tempo a egal tpc, alt alla fuzoe d pota amoca, e molt oo goo modo equvalet; poché l pogetto effettua omalmete codeado la pota amoca del tema cotollato, occoe alloa potae paamet el domo del tempo a paamet el domo della fequeza. Tale opeazoe, pealto, o è geeale poble modo gooo, e o appomado l compotameto del tema etoazoe co quello d u tema del ecodo ode a pol comple o che, comuque, abba u umeo lmtato d pol domat. Co femeto a tem a fae mma, elle pme fa è patcolae d otevole utltà la fomula d Bode che, collegado l adameto del dagamma delle fa a quello delle ampezze, pemette d tae la eguete cocluoe: Tucchetto d Bode: ucedo a mateee ua pedeza d cca - elle decad mmedatamete pecedete e ucceva alla pulazoe d coco c levable ul dagamma delle ampezze, aà acuato ache u buo mage d fae M F leggble ul dagamma delle fa. Ua volta defto l pogetto d mama cecado d oddfae dat d pecfca ul dagamma d pota amoca, opea po ua ua mea a puto mpegado l luogo e l cotoo delle adc. Mao - Captolo 6 / Bolze - Captolo 4, Il pogetto de egolato Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

25 P - Cotoll automatc I Vegoo el eguto peetate umeoe poblematche e tecche d oluzoe; dcazoe ulla celta d u patcolae tema d compeazoe e ul uo dmeoameto vegoo olte fote dal luogo e dal cotoo delle adc, che coetoo, olte, u accuata vefca della pota el domo del tempo. Detemazoe della cotate d guadago Il pmo paameto che detema fae d pogetto, utlzzado dat d pecfca fet alla pecoe, è la cotate d guadago cotate d guadago tatco e tem d tpo, d veloctà e tem d tpo. Ua volta detemato l valoe mmo d tale cotate tamte gl eo a egme volut aalzza e l tema etoazoe oddfa le pecfche che guadao tabltà ad eempo applcado l cteo d Routh e veloctà d pota; e tal pecfche o oo oddfatte occoeà pogettae u oppotuo dpotvo che, eto ell aello et coettc o collegato ad eo compeazoe ad azoe detta, modfch le caattetche damche del tema. Co femeto al tucchetto uggeto dalla fomula d Bode evdezato vede ella paga pecedete, è evdete come e tem d tpo e la tabltà poa empe eee otteuta medate ua dmuzoe della cotate d guadago che e abbaa dagamm d Bode delle ampezze fo a codue la pulazoe d coco el tatto a pedeza -. Tuttava, ache e ca cu queta opeazoe o compota eo a egme accettabl coè ece ad abbaae K pu maedo al d opa del uo valoe mmo, ea avvee comuque a capto del guadago d aello, qud della potezza pota e della ebltà a dtub. Compeazoe ad azoe detta S applca el cao dat guadat la pecoe mpogao u valoe della cotate d guadago talmete elevato da o pote otteee u compotameto damco oddfacete co eua delle et coettc e delle metodologe d pogetto peetate el eguto. La ua mplemetazoe pecde dalla peeza della etoazoe v. ad eempo due ca tpc otto llutat, ma va ottoleato che, ebbee u oppotua celta de paamet coetebbe teocamete la completa elmazoe degl eo a egme, pe la peeza d evtabl peco ed cetezze ella cooceza del modello quet ultm vegoo olo dott dell 8 9%. Queto ultato può peò eee uffcete pe upeae evetual dffcoltà el pogetto del tema etoazoe dovute, ad eempo, alla cheta d ua cotate d guadago toppo elevata e cottue duque u buo puto d pateza pe l pogetto della ete coettce da ee po, omalmete, ell aello. Retoazoe tachmetca S applca, patcolae, quado u egale d coezoe devatvo può geeae co u oppotuo taduttoe eble alla devata della vaable cotollata, oppue muado ua gadezza dvea da ea, ma della quale la devata quetoe è fuzoe. Tale compeazoe o vee duque effettuata ul pecoo d egale detto, ma u quello d etoazoe e compota otaza la modfca della fuzoe d tafemeto del pecoo d etoazoe, fluedo coì ulla cotate d veloctà. A patà d cotate d veloctà, tale etoazoe pota ad u aumeto della pulazoe atuale e, ello teo appoto, del coeffcete d mozameto e coeguetemete, ad ua maggoe potezza d pota e ad u maggo mage d tabltà. Mao - Captolo 6 / Bolze - Captolo 4, Il pogetto de egolato Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

26 P - Cotoll automatc I Ret coettc I paagaf che eguoo tedoo decvee, bevemete, le pcpal tpologe d et coettc, loo cop e loo pobl camp d utlzzo; ootate evetual femeto a appeetazo gafche delle loo fuzo d tafemeto, ee o vegoo potate fa pealto femeto alle llutazo, davveo eauet e complete, peet el 6 captolo del Mao, ma ommaamete dectte elle loo caattetche eezal. Rete tegatce: La ua fuzoe d tafemeto è del tpo... τ...e o peeta pecò alcuo zeo, ma olamete u polo, eale, pozoe - / τ. Il uo dagamma d Bode delle ampezze atotco è duque utao pe bae pulazo e aume pedeza - dopo / τ, compotado duque come u flto paa-bao; quello delle fa offe vece u tado d fae pe tutte le pulazo fte, tedete a - π / al cecee della pulazoe tea. Il uo dagamma d pota amoca ua emccofeeza pecoa eo oao da j a j, appoma quello d u tegatoe deale ua emetta da -j a j pe pulazo elevate: j...pe >> / τ τ τ j j Uo de uo pobl utlzz è l agguta d u polo molto vco all oge pe otteee u eoe a egme molto bao pota al gado, ma vee caamete utlzzata pe la tablzzazoe, quato peeta Rete devatce: La ua fuzoe d tafemeto è del tpo... τ τ...e peeta pecò uo zeo ell oge e u polo, eale, pozoe - / τ. Il uo dagamma d Bode delle ampezze ha pedeza pe bae pulazo e dveta utao dopo / τ, compotado duque come u flto paa-alto; quello delle fa toduce u atcpo d fae dececete da π / a al cecee della pulazoe. Il uo dagamma d pota amoca ua emccofeeza pecoa eo oao da j a j, appoma quello d u tegatoe deale ua emetta da j a j pe bae pulazo: jτ j jτ jτ...pe << / τ No può eee utlzzata cacata ell aello d u tema etoazoe quato blocca la compoete cotua del egale popo dove, vece, tem d cotollo devoo peetae u elevato guadago d aello. Mao - Captolo 6 / Bolze - Captolo 4, Il pogetto de egolato 3 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

27 P - Cotoll automatc I Rete tadatce phae-lag: La ua fuzoe d tafemeto è del tpo... α τ τ co α <...e peeta pecò uo zeo eale pozoe - / ατ a deta d u polo, eale, pozoe - / τ. Il uo dagamma d Bode delle ampezze è utao pe bae pulazo, aume pedeza - ta p / τ e z / ατ, dopodché toa ozzotale e vale α; quello delle fa toduce u tado d fae, levate pece copodeza delle pulazo pe le qual l dagamma delle ampezze è dececete. La ete tada la fae pe tutte le pulazo fte; copodeza della pulazoe ulla o faa é atteua; copodeza della pulazoe fta o faa e atteua d α. Il mamo tado d fae todotto vale ϕ m e copode alla pulazoe m cavable poedo a zeo la devata d ϕ ed temeda ta a e b cala logatmca: - ϕ m a α α m τ α L effetto tablzzate delle et tadatc è legato all atteuazoe da ee todotta alle alte fequeze, o al loo tado d fae che da olo, az, cottuebbe u effetto ocvo. Ifatt... Dagamm d Bode: feedo al tucchetto d Bode, poché ua ete tadatce dmuce l guadago ad alte fequeze eza flue u quello a bae fequeze, ea cottuce u valdo tumeto pe potae la pulazoe d coco u tatto a pedeza -, eza coee egl coveet dat da ua dmuzoe della cotate d guadago. Tuttava, e la cotate d tempo τ elatva al polo è toppo elevata può vefca u ecceva dmuzoe della bada paate e, d coegueza, della potezza d pota del tema; covee alloa ceglee u valoe d α feoe qud mpoe ua maggoe atteuazoe pe pote decemetae ache τ. A caua d queto coveete, comuque, tal et lmtao pecò olo pazalmete gl coveet dovut a ua emplce duzoe d guadago. Dagamm d Nchol: l dmeoameto de paamet α e τ d può eee effettuato ache, e modo pù veatle, utlzzado dagamm d Nchol: I bae alla pecfca del mage d fae voluto detema el pao d Nchol l puto A, appateete all ae delle ace, attaveo cu fa paae l dagamma coetto pe otteee l valoe d M F voluto; S cegle, el dagamma d j l puto B d pulazoe B futua pulazoe d coco tuato opa e a deta d A, che vuole pa pe A dopo l emeto della ete tadatce; S leggoo ugl a del dagamma l tado d fae ϕ ta A e B e l atteuazoe db copodet al paaggo da B ad A, oa l odata M / j B ; v S calcolao valo de paamet α e τ d attaveo le fomule d veoe... M [ co ϕ M ] M co ϕ α M co ϕ τ M ϕ B Luogo delle adc: la ete tadatce o fluce eblmete ull adameto de am copodet a pol domat, ma ulla loo gaduazoe fuzoe d K ; a patà d guadago tatco ulta fatt che: a I pol domat vegoo potat modo da aumetae l coeffcete d mozameto aocato, equvalete al coeo cecete dell agolo calate fomato col emae eale egatvo dal egmeto che l coguge all oge; b Dmuce pe coto la loo pulazoe atuale, popozoale al uddetto egmeto, coa che compota ua mo potezza pota....eza ete tadatce:...co ete tadatce: Mao - Captolo 6 / Bolze - Captolo 4, Il pogetto de egolato 4 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

28 P - Cotoll automatc I Rete atcpatce phae-lead: Idubbamete la pù mpegata pe la tablzzazoe de tem etoazoe, la ua f.d.t. è del tpo... τ α α τ co α <...e peeta pecò uo zeo eale pozoe - / τ a ta d u polo, eale, pozoe - / ατ. Il uo dagamma d Bode delle ampezze vale α pe bae pulazo, aume pedeza ta z / τ e p / ατ, dopodché mae ozzotale e utao; quello delle fa toduce u atcpo d fae, levate pece copodeza delle pulazo pe le qual l dagamma delle ampezze è cecete. La ete atcpa la fae pe tutte le pulazo fte; copodeza della pulazoe ulla o faa e atteua d α; copodeza della pulazoe fta o faa é atteua. Il mamo atcpo d fae todotto vale ϕ m e copode alla pulazoe m cavable poedo a zeo la devata d ϕ ed temeda ta a e b cala logatmca: - ϕ m a α α m τ α Il meccamo d teveto d ua ete atcpatce può pegae co l toduzoe d u teme popozoale alla devata dell eoe che, ommado al egale eoe applcato all geo della ete, evta ovacoezo deboledo l azoe coettce quado l eoe teo tede a dmue. Pe fae queto occoeebbe tuttava ealzzae la fuzoe d tafemeto..., d τ...che eedo o cauale può olamete vee appomata dalla opa eucata; l appomazoe è tato maggoe quato moe è l valoe d α. I tem d pota amoca, vece, detta C la pulazoe d coco del tema da cotollae, l effetto tablzzate è legato alla pobltà d aumetae, tamte l atcpo d fae, l mage M F π-ag{j c }; aumetado olte l guadago alle alte fequeze aumeta la bada paate effetto pealto empe aullable, queto eza qud ledee la potezza del tema. Dagamm d Bode: occoe ceglee u valoe d α tale che l atcpo d fae mamo della ete a uffcete a ettue l mage d fae voluto pe l tema cotollato, e detemae po τ pocededo pe tetatv, modo che alla pulazoe d teezoe abba acoa l mage d fae voluto, evetualmete coeggedo l valoe d α e è l cao. Dagamm d Nchol: l dmeoameto de paamet α e τ d può eee effettuato ache utlzzado dagamm d Nchol: I bae alla pecfca del mage d fae voluto detema el pao d Nchol l puto A, appateete all ae delle ace, attaveo cu fa paae l dagamma coetto pe otteee l valoe d M F voluto; S cegle, el dagamma d j l puto B d pulazoe B futua pulazoe d coco tuato otto e a ta d A, che vuole pa pe A dopo l emeto della ete tadatce; S leggoo ugl a del dagamma l tado d fae ϕ ta A e B e l amplfcazoe db copodet al paaggo da B ad A, oa l odata -M -/ j B ; v S calcolao valo de paamet α e τ d attaveo le fomule d veoe... M co ϕ M co ϕ α M [ M co ϕ ] τ M ϕ Mao - Captolo 6 / Bolze - Captolo 4, Il pogetto de egolato 5 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t B Mappa de pol e degl ze: la compeazoe può ache avvee pe cacellazoe polo-zeo, a capto della flebltà, cegledo lo zeo della ete atcpatce modo che cacell u polo del tema tuato ull ae eale; poché l polo della ete è pù lotao dall ae mmagao dello zeo, l toduzoe della ete equvale ad allotaae u polo del tema dall ae mmagao el appoto d ad / α omalmete l polo pù vco all ae Im. No potedo, tuttava, la cacellazoe eee pefetta, l luogo delle adc peeta empe u polo ella vcaza della coppa polo-zeo todotta: e tale polo è pù vco dello zeo all ae Im o v aao poblem, eedo molto pccolo l eduo aocato alle adc v peet; cao cotao, u evetuale polo ell oge poduebbe u amo veo lo zeo alle cu adc oo aocat edu o tacuabl. Pe queto motvo la cacellazoe d pol tabl o pemette ua tablzzazoe, ma duce olo edu d tal pol....eza ete atcpatce:...co ete atcpatce: Luogo delle adc: ua ete atcpatce tede a potae pol domat modo da aumetae, olte al coeffcete d mozameto, ache la pulazoe atuale; am ad e copodet vegoo duque otevolmete dtot veo ta e cò pota ad u otevole aumeto de lmt d tabltà. Nota: l fattoe α è geee goato, quato u atteuazoe alle bae fequeze è faclmete compeable co u aumeto del guadago tatco del egolatoe.

29 P - Cotoll automatc I Rete a tado e atcpo lead-lag: La ua fuzoe d tafemeto è del tpo... τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ a τ b τ co ατ τ τ τ τ a b α α < τ a τ τ τ b...e peeta pecò, da ta a deta: l polo eale - / ατ, due ze eal - / τ e - / τ, l polo eale - α / τ. Il uo dagamma d Bode delle ampezze è utao pe pulazo bae fo a p α / τ e alte olte p / ατ, atteua d α ta z / τ e z / τ, accodado le te ego co due tatt a pedeza - ta p e z, ta z e p. Detta / ττ, quello delle fa toduce u tado d fae ta e levate pece copodeza della pedeza -, u atcpo ta e pece copodeza della pedeza. La ete tada la fae pe tutte le pulazo mo d, l atcpa pe le eguet; copodeza d atteua d α, ma o faa; copodeza delle pulazo ulla e fta o v è e faameto é atteuazoe. La ete a tado e atcpo peeta l vataggo d ue equt delle et atcpatce e tadatce; l macato faameto copodeza della pulazoe faclta eomemete l pogetto. Dagamm d Bode: può pocede patcamete pe pa: Detto M F l mage d fae voluto, dvdua la pulazoe F alla quale l dagamma j del tema da cotollae peeta la fae -πm F ; Il valoe d α aà dato dall veo d j F, copodedo all atteuazoe da todue pe fa dvee F la uova pulazoe d coco; gaze al macato faameto della ete /a può oa poe: τ τ F α jf Reta oa da detemae l eatto appoto ta le cotat d tempo τ e τ della ete /a; cteo pe tale celta può eee l equto che l mage d fae matega abbataza elevato ache pe otevol vaazo del guadago oppue pecfche guadat la bada paate o le popetà fltat del tema. Quet cte potao, cocluoe, ad uo uo della ete a tado e atcpo aalogo a quello della ete tadatce, coè futtadoe pcpalmete l atteuazoe, co l vataggo, peò, d u moe taglo delle fequeze elevate. E ache poble u uo aalogo a quello della ete atcpatce, gaze all atcpo d fae peete pe >, col vataggo d o chedee amplfcazoe aulaa come vece chedeebbe l fattoe α della f.d.t. d ua ete atcpatce avedo guadago tatco utao. Mao - Captolo 6 / Bolze - Captolo 4, Il pogetto de egolato 6 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

30 P - Cotoll automatc I Regolato tadad P. I. D. Soo dpotv d coezoe co paamet egolabl eto amp lmt, coì da pote eee adattat al patcolae tema d egolazoe cu vegoo et; le ago del loo ucceo oo vae, pme fa tutte la loo ealzzabltà medate le tecologe pù vae meccache, peumatche, daulche, elettoche,... e l eteza d emplc egole pe la loo taatua automatca, applcabl co buo ultat ache aeza d u modello matematco peco del tema da cotollae. La loo tuttua baa ulla codeazoe empca che la vaable d cotollo a geeata come omma d te cotbut:.l pmo, tutvo, popozoale all eoe;.l ecodo, cheto pe l aullameto dell eoe atotco, popozoale all tegale dell eoe coè al uo valo medo;.l tezo, cheto pe mgloae la veloctà, popozoale alla devata dell eoe el tetatvo d atcpae l adameto. Combado quet cotbut fodametal pooo alloa detfcae eguet tp d egolato tadad: Regolatoe popozoale P.:...co K p ebltà popozoale K p S mpega quado l poceo coete u elevata cotate d guadago eza pegudzo pe la tabltà come e tem avet l compotameto damco d u tegatoe o caattezzat dalla peeza d ua ola cotate d tempo pedomate; Regolatoe tegale I.: K p T...co T cotate d tempo dell azoe tegale S mpega pe tem d tpo d dffcle tablzzazoe e pe tem co tad ft domat pe qual u egolatoe P. poduebbe u eoe a egme accettable, oché quado è eceao l oddfacmeto de equt ull eoe a tatoo eauto, ma o chede u elevata veloctà d pota; può eee tepetato come ua ete tadatce co l polo poto ell oge e lo zeo all fto, da cu u accetuazoe del etgmeto d bada todotto. Regolatoe popozoale-tegale P.I.: K p T Pemette d coevae ua maggoe bada paate del egolatoe I. e qud ua maggo potezza pota; vee qud ad eo pefeto come ua ete tadatce pefece ad ua ete tegatce; Regolatoe popozoale-devatvo P.D.:...co T d cotate d tempo dell azoe devatva K p T d S mpega pe mgloae la veloctà d pota d tem d tpo o gà tecamete d tpo ; l uo teveto è del tutto aalogo a quello d ua ete atcpatce ed è fatt tpco d que ca cu o v ao poblem d tabltà o d petazo tatche, ma a vece eceao otteee la bada paate pù ampa poble; T Regolatoe popozoale-tegale-devatvo P.I.D.: K p d T S può mpegae alteatva al P.D. pe foe maggoe potezza d pota a tem d tpo e peeta, petto ad eo, l vataggo d coete ache u eoe tatco ullo; è l egolatoe tadad pù geeale e coete d otteee pecedet come uo ca patcola. Oevazo: E facle vefcae che P.I.D., almeo ella loo foma deale, oo tem damc lea e vaat, ma mpop, quato dectt dalla fuzoe d tafemeto d gado elatvo -: P. I. D. K p TTd Td K p T T T I patca, fatt, l azoe devatva è otteuta pe mezzo della fuzoe d tafemeto... D K Td p T N d....co N uffcetemete gade. Pu otttededo la peeza del polo aggutvo alta fequeza, fa comuque empe femeto alla foma deale. Nella fuzoe d tafemeto d u egolatoe tadad clude peo ache quella K t del taduttoe d mua, otteedo K t. Iolte, eedo peo K t K t, l epeoe d ottee da quella d ottuedov la ebltà popozoale co la coddetta ebltà popozoale compleva K p K t K p, la cu vea pede l ome d bada popozoale copodete all ecuoe della vaable cotollata eceaa ad ua vaazoe utaa della vaable mapolable, aeza d azoe D. e I.. Mao - Captolo 6 / Bolze - Captolo 4, Il pogetto de egolato 7 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

31 P - Cotoll automatc I Metod d taatua automatca: l epemet chet el eguto devoo eee effettuat, bae alla tecca mpegata, dettamete ul poceo o egolato metod aello apeto o egolato co patcolae egolatoe metod aello chuo. Iolte, pe emplctà, aumeà empe che l tema da cotollae a atotcamete table e co guadago potvo. Metodo d Zegle-Nchol aello chuo: baa ulla detemazoe della bada popozoale d pedolazoe /K, equvalete alla bada popozoale che aeza d azoe I. e D. pota l tema d egolazoe codzoe d tabltà lmte, coè ocllazoe pemaete d peodo T. Seguoo valo coglat: Cotollo P. K p,5 K ; Cotollo P.I. K p,45 K T,85 T ; Cotollo P.D. K p,5 K T d, T ; Cotollo P.I.D. K p,6 K T,5 T T d,5 T. Queto metodo chede patca d attvae pelmamete la ola azoe popozoale, alzadoe l coeffcete K p fo al valoe K p, detto guadago ctco, che pota l tema etoazoato al lmte d tabltà; tale valoe, ovvamete, o è alto che l mage d ampezza M A del tema da cotollae e petato l metodo teo è applcable olo e tale mage è fto. Detta π la pulazoe d teezoe del dagamma polae d j col emae eale egatvo, ulta olte T π/ π ; pe la taatua è qud eceao coocee le caattetche del olo puto j π - / MA j della pota fequeza del tema da cotollae. Aegameto del mage d ampezza del tema etoazoato: Pe aegae al tema etoazoato u ceto valoe M A del mage d ampezza, mpoedo che la pulazoe π cu jj teeca l emae eale egatvo cocda co π è uffcete utlzzae l egolatoe puamete popozoale: K K '/ M p p A Se pe motv d petazo tatche vuole aggugee lo teo obettvo mpegado ache l azoe tegale, aà eceao todue ache l azoe devatva e fae modo che lo faameto podotto da quet due tem a ullo copodeza d π ; paamet del egolatoe P.I.D. dovao alloa oddfae alla elazoe... ' ' j Td jπ T π...ovveo... ' TT π d Scegledo po, come pa, la popozoe T 4 T d ta le cotat d tempo tegale e devatva. Aegameto del mage d fae del tema etoazoato: Voledo mpoe al tema etoazoato l valoe M F del mage d fae, co l vcolo che la pulazoe ctca c del tema etoazoato cocda co π, occoe che Rjj oddf le elazo... ag{ π ' π '} M F j j 8 π jπ ' j π '...e qud, toducedo la eceaa azoe devatva pe avee l atcpo d fae cheto π e codeado che pe quala K p > ulta ag{k pj π } -π: ag Da cu, fe: { } ' π ' j Td M F 8 K p ' jπ ' Td ' jπ T π jπ T K p ' T d ta M K K ' co M π π ' T F p p F Metodo d Zegle-Nchol aello apeto: foce valo da aegae a K p, T e T d fuzoe d alcu paamet della pota al gado fota dal tema da cotollae; quet ultma, gafcata a lato, è peo apeoca e appomable dalla pota alla fuzoe d tafemeto... t e K T...dove valo de paamet cavao gafcamete madado la tagete alla cuva d pota el puto d fleo; co femeto alla cotuzoe a lato avao: t tempo d tado; T cotate d tempo; R t /T Nt /C appoto d tado; N C /T veloctà d pota; K C /M guadago tatco co M ampezza del gado applcato. Da cu valo coglat: M R Cotollo P. K p ' N t 3 K p ' 4 M R Cotollo I. T N t 5R Cotollo P.I. M 9 R K p ' N t Cotollo P.D. M 5 R K p ' N t 4 6 Cotollo P.I.D. K ' M 4 R 3 3R T t 9 R 6 R Td t 3R 3 6R p N t 3 4 T t 3 8R Mao - Captolo 6 / Bolze - Captolo 4, Il pogetto de egolato 8 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t 4 Td t R I mag d fae e d ampezza pooo eee calcolat modo appomato quato la tea appoma olamete l tema come: M F 4,95 77,8 t /T M A,47,87t /T empe puttoto bao Il lmte d queto appocco è la macaza d lbetà el taae paamet pe vaae le petazo mpoedo cet valo d M F e M A, ad eempo, oppue aumetado o ducedo la veloctà d pota.

32 P - Cotoll automatc I Metod d ottmzzazoe: alcu metod d taatua cotoo el detemae paamet del egolatoe modo da mmzzae oppotue fuzo obettvo caattezzat le pote del tema aello chuo o a fote d cal del femeto o de dtub; ta va fuzoal omalmete codeat, pù comu oo:.itegal quae eo ISE e t dt;.itegal quae tme eo ISTE t e t dt;.itegal quae tme eo IST E t 4 e t dt; Mete l pmo fuzoale ISE pealzza l tegale del quadato dell eoe, e uccev ISTE e IST E vegoo poco pealzzat gl eo e pm tat del tatoo e l uo d quet è duque codzoato all accettabltà d eo ache levat tal tat. Facedo acoa femeto a paamet t e T della appomata a... t e K T... defce θ t /T e calcolao paamet K p, T, T d de egolato P.I.D. ecodo le fomule... a b T b3 K p K θ T a b θ Td a3tθ...dove paamet a, b, a, b, a 3, b 3, oo cavat ecodo le tabelle che eguoo: Paamet pe la taatua d u egolatoe P.I.: Paamet pe la taatua d u egolatoe P.I.D.: I valo d mage d fae M F pulazoe ctca c e mage d ampezza M A, che ottegoo mmzzado l uo o l alto fuzoale oo f e potat ella eguete tabella. M F M F M F M A M A M A Le egole pe la taatua, ealtà, oo peo lagamete mpegate ua pma fae, ma vegoo po uccevamete completate pe tetatv ull mpato eale. Mao - Captolo 6 / Bolze - Captolo 4, Il pogetto de egolato 9 Dpoble gatutamete u - e-mal: p.aut@vzzav.t

Lezione 14. Polinomi a coefficienti interi

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