1. Teoria degli insiemi. M.Simonetta Bernabei e Horst Thaler

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1 1. Teoria degli insiemi M.Simonetta ernabei e Horst Thaler

2 Insiemi Definizione. Un insieme è una ben definita collezione di oggetti. Definizione. Gli elementi di un insieme sono gli oggetti nell insieme. Notazione. Generalmente gli insiemi sono denotati con le lettere maiuscole dell alfabeto, mentre i lori elementi con le lettere minuscole. Le seguente notazione indica l appartenenza di un elemento ad un insieme indica che x è un elemento dell insieme indica che x non è un elemento dell insieme.

3 Modi di descrivere un insieme Lista degli elementi Descrizione verbale Grafica o Diagrammi di Eulero-Venn Caratteristica

4 Modi di descrivere un insieme Lista degli elementi = 1,2,3,4,5,6 La rappresentazione tabulare o per elencazione consiste nell elencare gli elementi di un insieme dentro parentesi graffe Descrizione verbale è l insieme di tutti gli interi compresi tra 1 e 6, estremi inclusi

5 Diagrammi di Eulero-Venn Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell alfabeto e si disegnano mediante linee chiuse di forma tondeggiante. Dentro tali forme gli elementi si disegnano o si indicano con dei punti con di fianco il loro nome.

6 Caratteristica Esempio: L insieme dei numeri interi compresi tra 1 e 6 sarà descritto nel seguente modo = n 1 n 6} L insieme viene definito enunciando una o più proprietà che caratterizzano univocamente gli elementi dell insieme. Il simbolo si legge «tale che»

7 Insiemi speciali Insieme nullo o insieme vuoto. E un insieme senza elementi. Si indica con il simbolo L insieme universo. E l insieme che contiene tutti gli elementi e tutti gli insiemi esistenti. Si indica con il simbolo U

8 Relazioni tra insiemi Definizione. Due insiemi e si dicono uguali se contengono gli stessi elementi: = altrimenti gli insiemi si dicono diversi:

9 Relazioni tra insiemi: inclusione x x

10 Diagramma di Eulero-Venn

11 Relazioni tra insiemi

12 Proprietà

13 Esempi Dato l insieme dei numeri naturali N = {0,1,2,3, } e l insieme dei numeri relativi Z= {, 3, 2, 1,0,1,2,3, } allora N Z

14 Operazioni tra insiemi: unione

15 Graficamente Gli insiemi e hanno elementi in comune L insieme è incluso in (sottoinsieme di ): U = Gli insiemi e non hanno elementi in comune (sono disgiunti)

16 Esempio Se a;b;c;de c;d;e, risulta a;b;c;d;e Con i diagrammi di Eulero-Venn ạ ḅ.c ḍ ẹ

17 Operazioni tra insiemi: intersezione

18 Diagramma di Eulero-Venn - Intersezione è rappresentato da un cerchio rosso e da un cerchio blu. Quando si sovrappone ad La regione di color viola rappresenta l intersezione di con

19 Graficamente Gli insiemi e hanno elementi in comune L intersezione è la parte comune blu

20 Esempio Se a;b;c;de c;d;e c;d, risulta Con i diagrammi di Eulero-Venn ạ ḅ.c ḍ ẹ

21 Proprietà Identità: Idempotenza: Commutativa: ssociativa: Distributiva dell unione rispetto all intersezione: U C C ) ( C C ) ( ) ( ) ( C C

22 Proprietà Distributiva dell intersezione rispetto all unione: C ( ) ( C)

23 Insieme complementare C = x:xï { }

24 Graficamente U C

25 Proprietà Complementare del complementare: Prima Legge di De Morgan: C C C C ( ) Seconda Legge di De Morgan: C C C ( ) Principio del Terzo Escluso: C U Principio di Non Contraddizione: C C

26 Leggi di De Morgan ( ) C C C ( ) C C C

27 Operazioni tra insiemi: differenza

28 Graficamente - La parte colorata in rosa rappresenta l insieme differenza -

29 Esempio Se a;b;c;de c;d;e a;b, risulta Con i diagrammi di Eulero-Venn ạ ḅ.c - ḍ ẹ

30 Esempi {1,2,3} {3,4,5,6} {3} {1,2,3,4,5,6} {4,5,6}

31 Operazioni tra insiemi: prodotto cartesiano

32 Esempio 1 ;2} { a; b; c 1; a; 2; a; 1; b; 2; b; 1; c;(2; c) c (1;c) (2;c) Graficamente b (1;b) (2;b) a (1;a) (2;a) 1 2

33 Esercizi

34 Esercizi C E ( C E ) C

35 Esercizi

36 Esercizio 4.1 ( )

37 Esercizio ( )

38 Esercizi 5. In un collegio vi sono 96 studenti; 40 studiano il tedesco, 55 l inglese e 8 il tedesco e l inglese. 1. Dire quanti studenti studiano solo il tedesco [32] 2. Dire quanti studenti studiano l inglese ma non il tedesco [47] 3. Dire quanti studenti non studiano né il tedesco né l inglese. [9]

39 Esercizi

40 Esercizio 6.1 ÇÍ È

41 Esercizio 6.2 -

42 Esercizio 6.3 ( )