Primo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.

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1 Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: z = iz z.. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: + 5 lim. + e + e. Derivata di funzione inversa. Sia f = log log + a. Calcolare f e dimostrare che f è strettamente monotona su, + e quindi invertibile in tale intervallo. b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g log e g log.. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in altro modo la concavità plausibile. f = 5 e +.

2 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n= n e n cos n 6. Calcolare il seguente integrale definito: e d. 7. Calcolare il seguente integrale indefinito: cos sin + d.

3 Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Tema n 5 6 Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo esplicitamente quante sono: z iz = i.. Stima all infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di f per ± ; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo. + 5 f = log.. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: arctan π lim + arctan.. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in altro modo la concavità plausibile. f = e log.

4 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n= n + n n! 6. Calcolare il seguente integrale definito: d. 7. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati. a. f = f d; b. log + 5/ sin. + f d, dove in entrambi i casi

5 Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es Tot. Punti. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: z = iz z. Poniamo z = ρe iϑ e riscriviamo l equazione nella forma da cui { ρ = ρ ρ e iϑ = e i π ρ e iϑ ρ ρ e iϑ = ρ e i π ϑ ϑ = π ϑ + kπ { ρ =, ρ = Perciò le soluzioni sono 7 in tutto: ϑ = π + kπ, k =,,,,, 5. z k = ei π + kπ, con k =,,,,, 5 z 6 =.. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: + 5 lim. + e + e + 5 = + 5 poiché per + 5, 5 =. e + e = e e + 5

6 poiché per + +, + e = e e, quindi e questo è il limite cercato. f e = 6e,. Derivata di funzione inversa. Sia f = log log + a. Calcolare f e dimostrare che f è strettamente monotona su, + e quindi invertibile in tale intervallo. b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g log e g log. f = log log log + log + per ogni > perché: = log log log + log + > log log + > perché log + > perché + > perché > inoltre 6 >, log + > e log + > perché è >. quindi g log = f = log log = log, g log = f = log log + 6 log log = log + log = log log +.. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell insieme 6

7 di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in altro modo la concavità plausibile. Definita per. Per ±, f = 5 e +. f e + { + + = asintoto verticale da destra, punto d arresto a tangente orizzontale perché f si annulla con velocità esponenziale da sinistra. Per ±, f 5 + con crescita lineare. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui. f 5 = 5 e + 5 = 5 e + e +. e + per ± 5 e + 5 Quindi per ± e la funzione ha gli asintoti obliqui: + 5 = ±5 per ± { f 5 ±5 = 9 y = 5 + per + y = 5 9 per. Calcoliamo, per, f = e sgn + = e per < + = Per > e per > + e per > e per < = e + + f per sempre sgn 7

8 La funzione è sempre crescente per >. Per < f per < < quindi = 5 5 è punto di minimo relativo, = 5+ 5 è punto di massimo relativo. f + = 9e; f = e, quindi = è punto angoloso, e punto di minimo relativo. f = per = 5, = ± 5. Grafico qualitativo: 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n e n cos n n e n cos = n n n= e n = n + n + o n cos n = n +!n + o n = n + n +!n + o n n + n + o n = n n + o n + n +!n + o n 6n 8

9 quindi la serie è a termini almeno definitivamente positivi, e per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata convergente 6n, converge. 6. Calcolare il seguente integrale definito: e d. e d = e d + e d. e d = e + e d = e e + c g f = e + c e d = [ e ] + [ e ] = e + e + e = + e e. 7. Calcolare il seguente integrale indefinito: cos sin + d cos sin + d = sin cos d = sin + [sin = t; cos d = dt] t = t + dt = + t + 5 t + t + t + = t + t + t + dt = t + log t + + t + + c = t + log t + + t + + c = sin + + log sin + + dt t + dt sin + + c. 9

10 Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es. 5 6 Tot. Punti. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo esplicitamente quante sono: z iz = i. Risolviamo prima in z : z + 8 = i + iz z = 8 i8 z = 8 i8 da cui e poiché si ha: arg z = 8 i8 8 i8 = 6 8 i8 = 6 i = π z = π 6 cos + kπ π = cos + kπ + i sin i π + i sin π + kπ + kπ

11 con k =,,,, e le soluzioni sono in tutto: z = + i = + i z = + i = + i z = i = i z = i = i.. Stima all infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di f per ± ; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo. + 5 f = log. Per ± è f log ± con crescita lineare, perciò cerco eventuale asintoto obliquo. [ ] + 5 f log = log log [ ] + 5 = log [ e poiché +5 ] per ±, [ ] = 6 6 = 6 perciò esiste l asintoto obliquo di equazione y = log Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: arctan π lim + arctan.

12 Applico De L Hospital: ma: lim + lim + arctan π arctan = = + + = + + = = [ ] [ ], + quindi e questo è il limite cercato =,. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in altro modo la concavità plausibile. f = e log. Definita per. f > per ogni. Per, log e f. Quindi f è prolungabile con continuità ponendo f =. { Per ±, log + con crescita sopralineare senza asintoto obliquo ± e f y = asintoto orizzontale per. Per calcoliamo f = e log log log + = e log log + log per log, log, e perciò: = punto di massimo relativo = e punto di minimo relativo = e punto di massimo relativo +

13 = punto di minimo relativo. Per ±, f log + log log +, quindi = è punto di flesso a tangente verticale, ascendente. Grafico qualitativo: 5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. Serie a termini positivi, n= n + n n! a n = n + n n! n n! b n. Studio la convergenza di n= b n col criterio del rapporto. b n+ n+ n! = b n n +! n =, n + quindi n= b n converge per il criterio del rapporto, e n= a n converge per il criterio del confronto asintotico. 6. Calcolare il seguente integrale definito: d

14 d = d = [ = t; = t ; d = tdt] Oppure = = t + t tdt = [ t arctan t ] t dt + = π d = [ = Ch t; d = ] Sh tdt SettCh Sh t = Sh tdt Ch t SettCh = Sh t + Sh Ch tdt t = [Sh t = u; Ch tdt = du] = u + u du = = [u arctan u] = π. + u du 7. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale generalizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati. a. f = f d; b. log + 5/ sin. + f d, dove in entrambi i casi La funzione f è continua in, +, illimitata in, positiva in, ma di segno variabile in, +. a. f è integrabile in [ε, ] per ogni ε > in quanto continua. Per + è f = 5/, / integrabile in perché / <. Per il criterio del confronto asintotico, l integrale in a converge.

15 b. f è integrabile in [, k] per ogni k > in quanto continua. f log + 5/ definitivamente, e poiché è integrabile a + in quanto >, per il criterio del confronto f è assolutamente integrabile, e quindi integrabile. 5

16 Recupero compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Tema n 5 6 Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: z = iz z. 6

17 . Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dal grafico noto della funzione Sh, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto. Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di f. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione ad esempio di intersezione con gli assi, di ma./min, ecc. f = arcsin + π.. Limiti di funzioni.calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: lim e + e. 7

18 . Stima all infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di f per ± ; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo. + 5 f = log. 5. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche non calcolare derivate. In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell insieme di definizione, e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc., e l andamento all infinito. f = arctan log. 8

19 6. Derivata di funzione inversa. Sia f = log log + a. Calcolare f e dimostrare che f è strettamente monotona su, + e quindi invertibile in tale intervallo. b. Detta gla funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g log e g log. 9

20 Recupero compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es Tot. Punti. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: z = iz z. Poniamo z = ρe iϑ e riscriviamo l equazione nella forma da cui { ρ = ρ ρ e iϑ = e i π ρ e iϑ ρ ρ e iϑ = ρ e i π ϑ ϑ = π ϑ + kπ { ρ =, ρ = Perciò le soluzioni sono 7 in tutto: ϑ = π + kπ, k =,,,,, 5. z k = ei π + kπ, con k =,,,,, 5 z 6 =.. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dal grafico noto della funzione Sh, applicando esclusivamente successive operazioni sul grafico traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto. Riportare anche i vari grafici di passaggio utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il grafico di f. Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione ad esempio di intersezione con gli assi, di ma./min, ecc. f = arcsin + π.

21 arcsin arcsin + arcsin + arcsin + π arcsin + π. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: + 5 lim. + e + e + 5 = + 5 poiché per + 5, e + e = e 5 =. e +

22 poiché per + +, + e = e e, quindi e questo è il limite cercato. f e = 6e,. Stima all infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di f per ± ; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo. + 5 f = log. Per ± è f log ± con crescita lineare, perciò cerco eventuale asintoto obliquo. [ ] + 5 f log = log log [ ] + 5 = log [ e poiché +5 ] per ±, [ ] = 6 6 = 6 perciò esiste l asintoto obliquo di equazione y = log Studio qualitativo di funzione. Tracciare il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche non calcolare derivate. In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell insieme di definizione, e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc., e l andamento all infinito. f = arctan log.

23 Definita per,. Per ±, f log log ±, quindi = è punto di discontinuità eliminabile, f =. D altro canto la funzione log tende a zero più lentamente di, ossia con tangente verticale: = è punto di flesso a tangente verticale. Per ±, f arctan ± π, quindi = è punto angoloso e di minimo relativo. f = per = ±,. Per, f arctan, che si annulla linearmente il punto è regolare. Per ±, log f log +. y = asintoto orizzontale per ±. Grafico qualitativo:

24 6. Derivata di funzione inversa. Sia f = log log + a. Calcolare f e dimostrare che f è strettamente monotona su, + e quindi invertibile in tale intervallo. b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g log e g log. f = log log log + log + per ogni > perché: = log log log + log + > log log + > perché log + > perché + > perché > inoltre 6 >, log + > e log + > perché è >. quindi g log = f = log log = log, g log = f = log log + 6 log log = log + log = log log +.

25 Recupero compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Tema n 5 6 Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo differenziale il seguente problema di massimo. Si consideri un parallelepipedo a base quadrata, sia lil lato della base e hl altezza. Tra tutti i parallelepipedi di questo tipo aventi diagonale dfissata, determinare quello di volume massimo. Ossia: calcolare in funzione di di valori di l, hper cui tale volume è massimo. Fare una figura per impostare il problema. [NB. Diagonale del parallelepipedo è ogni segmento che unisce due vertici del parallelepipedo senza essere interamente contenuto su una sua faccia; il parallelepipedo ha diagonali, tutte di uguale lunghezza]. 5

26 . Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in altro modo la concavità plausibile. f = 5 e +. 6

27 . Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: arctan π lim + arctan.. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n= n e n cos n 7

28 5. Calcolare il seguente integrale definito: e d. 6. Calcolare il seguente integrale indefinito: cos sin + d 8

29 Recupero compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es. 5 6 Tot. Punti. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo diff erenziale il seguente problema di massimo. Si consideri un parallelepipedo a base quadrata, sia l il lato della base e h l altezza. Tra tutti i parallelepipedi di questo tipo aventi diagonale d fissata, determinare quello di volume massimo. Ossia: calcolare in funzione di d i valori di l, h per cui tale volume è massimo. Fare una figura per impostare il problema. [NB. Diagonale del parallelepipedo è ogni segmento che unisce due vertici del parallelepipedo senza essere interamente contenuto su una sua faccia; il parallelepipedo ha diagonali, tutte di uguale lunghezza]. Per Pitagora si ha: h + l + l = d dove d è la diagonale fissata. Il volume del parallelepipedo è perciò ricaviamo così che dobbiamo massimizzare Calcoliamo V = l h l = d h V h = d h h = d h h per < h < d. V h = d h per Il volume è massimo per h d, h d h = d, d h l = = d d = d. 9

30 Perciò il volume è massimo quando il parallelepipedo è un cubo.. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in altro modo la concavità plausibile. Definita per. Per ±, f = 5 e +. f e + { + + = asintoto verticale da destra, punto d arresto a tangente orizzontale perché f si annulla con velocità esponenziale da sinistra. Per ±, f 5 + con crescita lineare. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui. f 5 = 5 e + 5 = 5 e + e +. e + per ± 5 e + 5 Quindi per ± e la funzione ha gli asintoti obliqui: + 5 = ±5 per ± { f 5 ±5 = 9 y = 5 + per + y = 5 9 per. Calcoliamo, per, f = e sgn + = e per < + = e per > + e per > e per < = e sgn

31 Per > f per sempre. La funzione è sempre crescente per >. Per < f per < < quindi = 5 5 è punto di minimo relativo, = 5+ 5 è punto di massimo relativo. f + = 9e; f = e, quindi = è punto angoloso, e punto di minimo relativo. f = per = 5, = ± 5. Grafico qualitativo:. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: Applico De L Hospital: lim + arctan π lim + arctan. arctan π lim + arctan = = [ ] [ ],

32 ma: = + + = + + = + quindi e questo è il limite cercato =,. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n e n cos = n n n= n e n cos n e n = n + n + o n cos n = n +!n + o n = n + n +!n + o n n + n + o n = n n + o n + n +!n + o n 6n quindi la serie è a termini almeno definitivamente positivi, e per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata convergente 6n, converge.

33 5. Calcolare il seguente integrale definito: e d. e d = e d + e d. e d = e + e d = e e + c g f = e + c e d = [ e ] + [ e ] = e + e + e = + e e. 6. Calcolare il seguente integrale indefinito: cos sin + d cos sin + d = sin cos d = sin + [sin = t; cos d = dt] t = t + dt = + t + 5 t + t + t + = t + t + t + dt = t + log t + + t + + c = t + log t + + t + + c = sin + + log sin + + dt t + dt sin + + c.