Disequazioni in una variabile. Disequazioni in due variabili

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1 Disequazioni in una variabile Disequazioni in due variabili 2 () 2 3 > (2) > (3) < (4) 2 > + (5) 2 < 3 (6) 3 8 > (7) + < 2 < 2 (8) 2 α (α parametro reale) (9) 3 log /2 ( ) < 2 log /2 () + log /2 ( 3) () sin () ( 2 3) < ( 2 3) (2) cos sin (3) y (4) y < ( ) 2 (5) 2 + y 2 4 (6) y2 9 > (7) y > (8) y > (9) + y < (2) y y 2 4y 4 (2) ( ) 2 + y (y ) 2 < (22) ( ) 2 + y (y ) 2 < (23)

2 Sistemi di equazioni in due variabili { 2 y = y = { 3 y = y + 2 = (24) (25) Complessi Trovare e disegnare nel piano di Gauss le soluzioni dei seguenti problemi Dato il polinomio z + i = z (26) { Im(z 2 z 2 ) 4 (27) z i z 2i z + + 2i z i z 2 i Re(iz 2 iz 2 ) 4 (z + z) 2 z 2 z + i Im(z) Re(z) (28) (29) z i 2 + z( + i) = z i + z( + 3i) (3) z z i < (3) z iz 2 25 = (32) z 4 = 6e iπ/4 (33) z 3 = f( + i 3), f(z) = z + z 8 z (34) z + + z 2α, α R + (35) P (z) = z 3 + ( + i)z 2 + λz + 6 (36) determinare il valore di λ C tale che 2i sia radice di P (z); per tale valore di λ trovare le altre due radici di P (z). Dato il polinomio P (z) = z 3 + λz 2 + µz + (37) trovare i due valori di λ e µ tali che i e i siano radici di P (z); per tali valori di λ e µ trovare la terza radice di P (z). Dato il polinomio P (z) = z 3 + iz 2 + (2i 5)z + α (38) trovare il valore di α C tale che i sia radice di P (z); per tale valore di α trovare le altre radici di P (z). Suggerimento: si tenga presente che per calcolare le due radici w di un numero complesso w non è necessario conoscere l argomento θ di w; servono invece le quantità cos(θ/2) e sin(θ/2). 2

3 Limiti Intuire il risultato dei seguenti iti e dimostrarlo (usando la definizione di ite) Dimostrare che ± log(e + 4) (39) ± arctan(e + ) (4) ( ) arcsin (4) + e ± arcsin tanh() (42) arctanh() (43) ± arctan =, facendo uso di costruzioni geometriche analoghe a quelle usate per il calcolo del ite notevole sin / =. Dimostrare che non esistono i iti seguenti ( ) sin tan ± = (44) (45) ( nπ ) n + 2 (n N) (46) sin (47) + + tan α (per ogni α R + ) (48) Calcolare i seguenti iti al variare del parametro α R + sin (49) + α tan (5) + α cos (5) + α tan sin (52) + α arcsin (53) + α arctan (54) + α 3

4 Lista di iti notevoli Si tenga presente che i seguenti iti fondamentali devono essere imparati a memoria, e che si deve essere in grado di dimostrare almeno il primo di ognuna delle tre categorie (trigonometrici, esponenziali/logaritmici, iperbolici). n + ± sin = (55) tan = (56) cos = (57) 2 2 tan sin = (58) 3 2 arcsin = (59) arctan = (6) ( + n) n = e ( ) (6) ( + ) a = e a, a R (62) a β = β log a = β, a >, β R (63) log a e e β = β, β R (64) log a ( + ) = log a e =, a > (65) log a ( + ) α = α, α R (66) sinh tanh = (67) = (68) cosh = 2 2 (69) sinh tanh = 3 2 (7) arcsinh = (7) arctanh = (72) 4

5 Funzioni Studiare le funzioni date sotto, procedendo secondo lo schema seguente:. Trovare il dominio D f della funzione f, studiare tutti i iti di f agli estremi di D f e determinare tutti gli eventuali asintoti di f; se possibile a questo stadio, studiare il segno di f determinandone tutti gli zeri. 2. Discutere la continuità e la derivabilità di f in D f (senza calcolare la derivata). 3. Calcolare la derivata prima f di f e studiare la monotonía locale di f; determinare tutti i punti di estremo relativo ed assoluto di f, nonché inf f e sup f. 4. Calcolare la derivata seconda f di f e studiare la convessità locale di f, determinando tutti i punti di flesso (evitare questo se troppo laborioso). 5. Se non già fatto al primo punto, studiare in modo completo il segno di f. 6. Disegnare il grafico G f di f nel modo piú accurato possibile. 7. Cercare di usare il calcolatore (o la calcolatrice grafica) solo dopo aver finito lo studio a mano e non prima! Integrali f() = log(cosh ) 2 log( sinh ) [ ] 2 f() = arcsin cosh(sin ) ( ) f() = arctan e (73) (74) (75) f() = 5/3 ( ) 2/3 (76) { f() = e, R \ {} (77), = Calcolare i seguenti integrali (e i iti, dove indicati): [ + 2 sin(π) + 2 ] d (78) + 2 a ( π I(a) = 2a ) d ; I(a) (79) + 2 a + π 2 sin d (8) d I(L; α) = L (8) d (log ) ; I(L; α), α > (82) α L + 5

6 Esercizi difficili. Dimostrare che se X è un insieme finito (avente un numero finito di elementi) allora f : X X è iniettiva se e solo se è suriettiva 2. Data la funzione di R in R f() = { 2, λ +, > disegnarne il grafico e discuterne iniettività, suriettività e invertibilità al variare del parametro λ R. Per i valori di λ per cui f è invertibile trovare l espressione esplicita della funzione inversa f e disegnarne il grafico. 3. Data la funzione da R in R f() = { 3 + α + sin, (2 )/, < trovare il valore di α che la rende continua in =. Per tale valore di α calcolare f( n) n + per ogni successione reale ( n ) n N convergente a =. 4. Calcolare per ogni N N 4N n= i n, 4N+2 n= i n 5. Calcolare la somma delle n radici n-esime dell unità. (Suggerimento: porre ω = e 2πi/3 ; allora si deve calcolare n ) ω k = + ω ω n. k= Giustuficare il risultato con un argomento geometrico che sfrutti le simmetrie (sia per n pari che per n dispari). 6. Dire se si può considerare la legge z n z (n 2) una funzione di C in C, motivando la risposta. 7. (a) Calcolare il perimetro P i n e l area A i n del poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di raggio R. (b) Calcolare il perimetro P c n e l area A c n del poligono regolare di n lati circoscritto alla circonferenza di raggio R. (c) Dimostrare che P i n, P c n 2πR, mentre A i n, A c n πr 2, quando n +. (d) Stimare il numero minimo m ε di lati che deve avere un poligono regolare inscritto affinché il suo perimetro differisca sicuramente da 2πR per una quantità piú piccola di ε. (e) Trovare la velocità con la quale P c n P i n quando n +, ovvero: trovare α > e L > tali che (P c n P i n)n α L quando n +. 6

7 8. Dimostrare usando il teorema di induzione che n k 2 = n 2 = k= 9. (a) Disegnare l area della regione di piano n(n + )(2n + ) 6. S = {(, y) R 2 : a; y 2 } (b) Suddividere l intervallo [, a] in n sottointervalli [ k, k+ ], con k = ka/n, k =,,..., n (cosí che = e n = a). (c) Disegnare i rettangoli aventi, ognuno, per base il sottointervallo [ k, k+ ] e per altezza y k = 2 k, con k =,,..., n ; calcolare l area Ai n dell unione di questi n rettangoli. (d) Disegnare i rettangoli aventi, ognuno, per base il sottointervallo [ k, k+ ] e per altezza y k = 2 k+, con k =, 2,..., n ; calcolare l area Ae n dell unione di questi n rettangoli. (e) Dimostrare che A i n < A < A e n, essendo A l area della regione S. (f) Dimostrare che A = n + Ai n = n + Ae n = a3 3.. Si consideri la seguente proposizione e la dimostrazione che segue: Tutti i punti del piano sono allineati (giacciono sulla stessa retta) Dim. Vogliamo far vedere che la proposizione p(n): n punti del piano sono allineati è vera per ogni n naturale maggiore o uguale a 2. Verifichiamo le ipotesi del Teorema di induzione: i) Due punti sono sempre allineati: p(2) è vera. ii) Dati n punti allineati, qualsiasi altro punto del piano diverso da questi n è allineato con almeno uno di essi (perché due punti sono allineati); quind n + punti sono allineati, ovvero: p(n) p(n + ). (a) Dimostrare che la proposizione è falsa. (b) Trovare l errore nella dimostrazione. 7