Università degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica *

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1 Università degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica *. Distanza tra due punti A ; ) e B ; ) del piano cartesiano: AB = ) + ) +. Punto medio M del segmento AB dati due punti A ; ) e B ; ) del piano cartesiano: M + +. Coordinate del baricentro G di un triangolo di vertici A ; ), B ; ) e C ; ): G. Area di un triangolo di vertici A ; ), B ; ) e C ; ): A A = BC det ; + ) ; + + ) 5. Equazione implicita di una retta generica del piano cartesiano: a + b + c = 0, con a, b e c numeri reali. 6. Equazione esplicita di una retta orizzontale od obliqua) del piano cartesiano: = m + q, con m e q numeri reali. 7. Equazione esplicita di una retta verticale) del piano cartesiano: = k, con k numero reale. 8. Coefficiente angolare di una retta r orizzontale od obliqua) del piano cartesiano passante per i punti A ; ) e B ; ): m = 9. Fascio proprio di rette di centro P 0 0 ; 0 ): 0 = m 0 ). 0. Condizione di parallelismo tra rette orizzontali od oblique) nel piano cartesiano: m = m.. Condizione di perpendicolarità tra rette orizzontali od oblique) nel piano cartesiano: m m =.. Distanza punto P 0 0 ; 0 ) - retta r nella forma a + b + c = 0: dp 0 ;r ) = a 0 + b 0 + c a + b.. Formule generali sulla circonferenza: γ : α) + β) = r γ : + + a + b + c = 0 centro: α; β), raggio =r centro: a ; b ), raggio: = a condizione di esistenza per una circonferenza reale: ) + b ) c a ) + b ) c 0 γ : + + a + b + c = 0 P r = a ) + b ) c O a, b ) * Il presente formulario è relativo a piano cartesiano, coniche ed argomenti basilari di Analisi I.

2 . Formule generali sulle parabole: con asse di simmetria parallelo all asse : con asse di simmetria parallelo all asse : vertice: fuoco: γ : = a + b + c b a ; ) b a ; ) direttrice: = asse di simmetria: = b a vertice: fuoco: γ : = a + b + c ; b ) a ; b ) a direttrice: = asse di simmetria: = b a 5 = b a = F V γ : = a + b V F γ : = a + b + c = b a = a > 0 < 0.0 a < 0 > a > 0 > a < 0 < 0 6.0

3 5. Formule generali sulle ellissi forma canonica): con asse maggiore coincidente all asse : a b) con asse maggiore coincidente all asse :a b) γ : a + b = vertici: a;0), a;0),0;b),0; b) γ : a + b = vertici: a;0), a;0),0;b),0; b) c = a b, fuochi: c;0), c;0) eccentricità: e = c a = c = a b, fuochi: 0;c),0; c) b a eccentricità: e = c b = a b = b F = a F = b = b F = a N.B. Qualora un ellisse abbia eccentricità e = degenererebbe in una circonferenza di equazione + = a, di centro - quindi - O0;0) e raggio r = a. = a F = a = b

4 6. Formule generali sulle iperboli forma canonica): con i fuochi sull asse : con i fuochi sull asse : vertici: a;0), a;0) γ : a b = vertici: 0;b),0; b) γ : a + b = c = a + b, fuochi: c;0), c;0) eccentricità: e = c a = c = a + b, fuochi: 0;c),0; c) + b a > eccentricità: e = c b = + a b > asintoti: = ± b a asintoti: = ± b a = b a F = b a F F = b a F = b a N.B. Una iperbole non può avere eccentricità e =. 7. Formule generali sulle iperboli equilatere riferite ai propri assi di simmetria: con i fuochi sull asse : con i fuochi sull asse : γ : = a γ : + = a vertici: a;0), a;0) vertici: 0; a),0; a) c = a, fuochi: a ;0 ), a ;0 ) c = a, fuochi: 0; a ),0; a ) eccentricità: e = eccentricità: e = asintoti: = ± asintoti: = ±

5 8. Formule generali sulle iperboli equilatere a = b ) riferite ai propri asintoti: = k, con k R asintoti: = 0, = 0. se k > 0 se k < 0 k; ) vertici: k e k; ) k ) vertici: k ; k e k ; ) k A,k) = k, k > 0 A,k) = k, k < 0 9. Formule generali sulle iperboli equilatere traslate: = a + b c + d, con c 0 e ad bc 0 asintoti: = d c, = a c. = a+b c+d 6 = a c = d c 0. Definizione e proprietà dei logaritmi a) Definizione: = log a a = a log a = b) Casi particolari i. log a a = a > 0 ii. log a = 0 a > 0 iii. n = n log a a = log a a n a > 0,n 0 c) Proprietà, per ogni a > 0, b > 0 e n 0 i. logab) = log a + logb ii. loga : b) = log a logb, inoltre log a = log a = log a iii. log a n = n log a d) Cambiamento di base: log c a = log b a log b c c > 0 5

6 . Limiti fondamentali Forme di indeterminazione 0 0 sin cos lim = lim 0 0 = e ln + ) lim = lim = 0 0 a log lim = ln a a > 0 lim a + ) = log 0 0 a e a > 0 tan cos lim = lim = arcsin arctan lim = lim = ) k lim = k 0 Forme di indeterminazione Forme di indeterminazione 0 lim + ) = e lim + ln = lim + ) = e 0 6

7 . Derivate fondamentali e principali regole di derivazione Derivate fondamentali Funzione Derivata Funzione costante = k = 0 Funzione potenza = n,n R = n n = = = = = = = = = n = n n n Funzione logaritmica = log a = log a e = = ln = Funzione esponenziale = a = a ln a = e = e Funzioni goniometriche = sin = cos = cos = sin = tan = cos = + tan = cot = sin Funzioni goniometriche inverse = arcsin = = arccos = = arctan = + = arccot = + ln a Regole di derivazione fondamentali Derivata di una somma di funzioni Derivata di un prodotto di funzioni Derivata di un rapporto di funzioni Derivata di una funzione composta Derivata di una funzione composta esponenziale Derivata di una funzione inversa D [ k f ) + h g ) ] D [ f ) g ) ] D [ ] f ) g ) D [ g f ) )] = ln = [ f ) ] n = a f ) = e f ) = ln f ) D [ f ) ] g ) = k f ) + h g ) = f ) g ) + f ) g ) = f ) g ) f ) g ) [g )] = g f ) ) f ) = = n [f ) ] n f ) = a f ) ln a f ) = e f ) f ) = f ) f ) = [ f ) ] g ) D [ f ) ] [ ] = f ) =f ) [ ] g ) ln f ) + g ) f ) f ) 7

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