Automi e Linguaggi Formali. Cambiamenti di orario. Altre informazioni utili. Motivazione. Anno accademico

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1 Automi e Linguaggi Formali Anno accademico 5-6 Docente: Francesca Rossi frossi@math.unipd.it Orario: Lunedi 5:3 7:3, LUM 5 Venerdi 3:3 6:3, LUM 5 Cambiamenti di orario non si fara lezione Venerdi 7 Gennaio Ricevimento: Giovedi, 6: - 8:, studio Sito del corso: frossi/automi6.html Altre informazioni utili Libro di testo: J. E. Hopcroft, R. Motwani, and J. D. Ullman Automi, linguaggi e calcolabilita, Addison-Wesley, 3. Si trova alla libreria Progetto (Via Marzolo o Via Portello). Prezzo: circa 34,5 euro. Compitini: Due compitini, uno a meta del corso e uno alla fine. Possono sostituire lo scritto. Esame: Scritto e, se richiesto dal docente, collouio orale. Due appelli a fine corso. Due appelli di recupero: uno a Luglio e uno a Settembre. Lucidi in inglese: sul sito slides/. I lucidi che uso per i capitoli -7 sono basati sui lucidi in inglese di Gösta Grahne. Grazie anche David Ford per l assistenza T E X. 3 Motivazione Automa = dispositivo astratto per fare delle computazioni Turing ha studiato e definito le macchine di Turing (= computer astratti) prima che esistessero veri calcolatori Studieremo anche dispositivi piu semplici delle macchine di Turing (automi a stati finiti, automi a pila,... ), e modi di definire linguaggi, come grammatiche e espressioni regolari. Problemi nella classe NP = che non possono essere risolti efficientemente 4

2 Automi a stati finiti Gli automi a stati finiti sono usati come modello per Software per la progettazione di circuiti digitali. Analizzatori lessicali di un compilatore. Ricerca di parole chiave in un file o sul web. Esempio: automa a stati finiti per un interruttore on/off off Push Push Esempio: automa a stati finiti che riconosce la stringa then on Software per verificare sistemi a stati finiti, come protocolli di comunicazione. t h e n t th the then 5 6 Rappresentazioni strutturali Ci sono vari modi di specificare una macchina Grammatiche: Una regola come E E + E specifica un spressione aritmetica Coda P ersona.coda dice che una coda e costituita da una persona seguita da una coda. Espressioni regolari: Denotano la struttura dei dati, per esempio: [A-Z][a-z]*[][A-Z][A-Z] e compatibile con (matches) Ithaca NY non e compatibile con Palo Alto CA Concetti di base Alfabeto: Insieme fnito e non vuoto di simboli Esempio: Σ = {, } alfabeto binario Esempio: Σ = {a, b, c,..., z} insieme di tutte le lettere minuscole Esempio: Insieme di tutti i caratteri ASCII Stringa: Seuenza fnita di simboli da un alfabeto Σ, e.g. Stringa vuota: La stringa con zero occorrenze di simboli da Σ Domanda: Quale espressione e compatibile con Palo Alto CA 7 La stringa vuota e denotata con ǫ 8

3 Lunghezza di una stringa: Numero di posizioni per i simboli nella stringa. w denota la lunghezza della stringa w = 4, ǫ = Potenze di un alpfabeto: Σ k = insieme delle stringhe di lunghezza k con simboli da Σ Example: Σ = {,} Σ = {,} Σ = {,,,} Σ = {ǫ} Domanda: Quante stringhe ci sono in Σ 3 9 L insieme di tutte le stringhe su Σ e denotato da Σ Σ = Σ Σ Σ Anche: Σ + = Σ Σ Σ 3 Σ = Σ + {ǫ} Concatenazione: Se x e y sono stringhe, allora xy e la stringa ottenuta rimpiazzando una copia di y immediatamente dopo una copia di x x = a a... a i, y = b b... b j xy = a a... a i b b... b j Esempio: x =, y =, xy = Nota: Per ogni stringa x xǫ = ǫx = x Linguaggi: Se Σ e un alfabeto, e L Σ allora L e un linguaggio Esempi di linguaggi: L insieme delle parole italiane legali L insieme delle stringhe con un numero uguale di zeri e di uni {ǫ,,,,,,...} L P = insieme dei numeri binari il cui valore e primo L insieme dei programmi C legali L insieme delle stringhe che consistono di n zeri seguiti da n uni {,,,,,...} Il linguaggio vuoto Il linguaggio {ǫ} consiste della stringa vuota {ǫ,,,,...} Nota: = {ǫ} Nota: L alfabeto Σ e sempre finito

4 Problema: La stringa w e un elemento di un linguaggio L? Esempio: Dato un numero binario, e primo = e un elemento di L P? E L P? Che risorse computazionali sono necessarie per rispondere a uesta domanda? Di solito non pensiamo ai problemi come delle decisioni si/no, ma come ualcosa che trasforma un input in un output. Introduzione informale agli automi Protocollo per commercio elettronico usando soldi elettronici Eventi permessi:. Il cliente puo pagare il negozio (= spedire il file dei soldi al negozio). Il cliente puo cancellare i soldi (come fermare un assegno) 3. Il negozio puo spedire la merce al cliente Esempio: Fare il parsing di un programma C = controllare se il programma e corretto, e se lo e, produrre un albero di parsing Il negozio puo prendere i soldi (= incassare un assegno) 5. La banca puo trasferire i soldi al negozio 4 Commercio elettronico Protocolli completati: Il protocollo per ogni partecipante: pay redeem transfer a b d f ship ship (a) Store c e g redeem transfer ship cancel pay,cancel pay,cancel pay,cancel a b d f pay redeem transfer ship ship (a) Store redeem c e transfer ship g pay,cancel pay,cancel pay,cancel pay, ship cancel pay cancel 3 4 redeem transfer ship. redeem, transfer, pay, cancel cancel pay, ship pay,redeem, cancel, ship 3 4 redeem transfer pay,redeem, cancel, ship (b) Customer (c) Bank (b) Customer (c) Bank 5 6

5 Dimostrazioni deduttive L intero sistema come automa: a b c d e f g P P P P P P P S S S R C C C C C C C R P S S S P P P P P P R P,C P,C P,C P S R S S 3 C P,C P,C P,C T P R T S S S 4 R C P,C P,C P,C P,C P,C P,C Seuenza di enunciati la cui verita porta da un enunciato iniziale (l ipotesi) ad un enunciato finale (la conclusione) Forma del teorema: Se H, allora C H= ipotesi, C= conclusione Esempio: se x 4, allora x x x parametro uantificato universalmente (vale per tutti gli x) Modus ponens: regola logica che passare da un enuciato al successivo 7 8 Quantificatori Se H e vera, e sappiamo che se H allora C, allora possiamo concludere che anche C e vera Teoremi della forma C se e solo se C : due direzioni di prova Dimostrazione per assurdo: H e non C implica il falso Per ogni x ( x): vale per tutti i valori della variabile Esiste x ( x): vale per almeno un valore della variabile Esempio: un insieme s e infinito se e solo se, per ogni intero n, esiste almeno un sottoinsieme T di S con n elementi Dobbiamo considerare un n arbitrario e poi trovare un insieme con uel numero n di elementi precede 9

6 Dimostrazioni per induzione Utili uando ci sono cose definite ricorsivamente Esempio: e un intero, e se n e un intero allora n+ e un intero Enunciato simile ma di significato diverso, e scorretto: Esiste un sottoinsieme T dell insieme S tale che, per ogni n, T ha n elementi Induzione sugli interi: dobbiamo dimostrare un enunciato S(n) su un intero n Base: dimostriamo S(i) per un intero particolare ( o di solito) Passo induttivo: per n i, dimostriamo che se vale S(n) allora vale anche S(n+ ) Possiamo concludere che S(n) e vero per ogni n i Esempio Se x 4, allora x x Base: x = 4 x = 4 = 6 e x = 4 = 6 Induzione: Supponiamo che x x per x 4 Se x 4, /x /4 + /x.5 Dobbiamo dimostrare che x+ (x + ) Abbiamo: x+ = x x (dalla base) Dimostriamo adesso che x (x+) Semplificando: x + /x

7 Induzione strutturale Esempio Molte strutture possono essere definite ricorsivamente Esempio (espressioni): caso base: ualunue numero o lettera e un espressione caso induttivo: se E e F sono espressioni, allora lo sono anche E+F, E F, e (E) Esempi: 3+(4x), (x(5+7))x4 Per dimostrare teoremi su un espressione: si dimostra l enunciato sul caso base, e poi si dimostra l enunciato sulla struttura X a partire dalla validita dell enunciato sulle strutture di cui X e composta secondo la definizione ricorsiva Teorema: ogni espressione ha un numero uguale di parentesi aperte e chiuse Caso base: zero parentesi vero Induzione: Tre modi per costruire un espressione induttivamente: E + F, E F, e (E) Per E + F e E F: se vale per E e F, supponiamo che E abbia n parentesi aperte e chiuse e F ne abbia m E + F ne ha n + m Per (E): se vale per E, supponiamo che E abbia n parentesi aperte e chiuse (E) ne ha n + 3 Automi a stati finiti deterministici Un DFA e una uintupla A = (Q,Σ, δ,, F) Q e un insieme finito di stati Σ e un alfabeto finito (= simboli in input) δ e una funzione di transizione (, a) p Esempio: Un automa A che accetta L = {xy : x, y {,} } L automa A = ({,, }, {,}, δ,, { }) come una tabella di transizione: L automa come un diagramma di transizione: Q e lo stato iniziale F Q e un insieme di stati finali, 4 5

8 Un automa a stati finiti (FA) accetta una stringa w = a a a n se esiste un cammino nel diagramma di transizione che. Inizia nello stato iniziale. Finisce in uno stato finale (di accettazione) 3. Ha una seuanza di etichette a a a n Esempio: L automa a stati finiti, La funzione di transizione δ puo essere estesa a ˆδ che opera su stati e stringhe (invece che su stati e simboli) Base: ˆδ(, ǫ) = Induzione: ˆδ(, xa) = δ(ˆδ(, x), a) Formalmente, il linguaggio accettato da A e L(A) = {w : ˆδ(, w) F } I linguaggi accettati da automi a stati finiti sono detti linguaggi regolari accetta ad esempio la stringa 6 7 Esempio: DFA che accetta tutte e sole le stringhe con un numero pari di zeri e un numero pari di uni Esercizi 3 DFA per i seguenti linguaggi sull alfabeto {,}: Insieme di tutte le strighe che finiscono con Insieme di tutte le stringhe con tre zeri consecutivi Rappresentazione tabulare dell automa Insieme delle stringhe con come sottostringa Insieme delle stringhe che cominciano o finiscono (o entrambe le cose) con 8 9

9 Automi a stati finiti non deterministici (NFA) Un NFA puo essere in vari stati nello stesso momento, oppure, visto in un altro modo, puo scommettere su uale sara il prossimo stato Esempio: un automa che accetta tutte e solo le stringhe che finiscono in., Ecco cosa succede uando l automa elabora l input Formalmente, un NFA e una uintupla A = (Q,Σ, δ,, F) Q e un insieme finito di stati Σ e un alfabeto finito δ e una funzione di transizione da Q Σ all insieme dei sottoinsiemi di Q (stuck) (stuck) Q e lo stato iniziale F Q e un insieme di stati finali 3 3 Funzione di transizione estesa ˆδ. Esempio: L NFA di due pagine fa e Base: ˆδ(, ǫ) = {} ({,, }, {,}, δ,, { }) Induzione: ˆδ(, xa) = p ˆδ(,x) δ(p, a) dove δ e la funzione di transizione {, } { } { } Esempio: Calcoliamo ˆδ(,) sulla lavagna Formalmente, il linguaggio accettato da A e L(A) = {w : ˆδ(, w) F } 3 33

10 Proviamo formalmente che l NFA, accetta il linguaggio {x : x Σ }. Faremo una induzione mutua sui tre enunciati seguenti. w Σ ˆδ(, w). ˆδ(, w) w = x Base: Se w = allora w = ǫ. Allora l enunciato () segue dalla defnizione Per () e () entrambi i lati sono falsi per ǫ Induzione: Assumiamo che w = xa, dove a {,}, x = n e gli enunciati () () valgono per x. Si mostra che gli enunciati valgono per xa.. ˆδ(, w) w = x Euivalenza di DFA e NFA Gli NFA sono di solito piu facili da programmare. Sorprendentemente, per ogni NFA N c e un DFA D, tale che L(D) = L(N), e viceversa. Questo comporta una construzione a sottonsiemi, un esempio importante di come un automa B puo essere costruito da un altro automa A. Dato un NFA I dettagli della costruzione a sottoinsiemi: Q D = {S : S Q N }. Nota: Q D = Q N, anche se la maggior parte degli stati in Q D sono garbage, cioe non raggiungibili dallo stato iniziale. F D = {S Q N : S F N } N = (Q N,Σ, δ N,, F N ) costruiremo un DFA D = (Q D,Σ, δ D, { }, F D ) tali che L(D) = L(N). 36 Per ogni S Q N e a Σ, δ D (S, a) = δ N (p, a) p S 37

11 Costruiamo δ D dall NFA gia visto: { } {, } { } { } { } { } {, } {, } {, } {, } {, } { } {, } { } {,, } {, } {, } Nota: Gli stati di D corrispondono a sottoinsiemi di stati di N, ma potevamo denotare gli stati di D in un altro modo, per esempio A F. A A A B E B C A D D A A E E F F E B G A D H E F Possiamo spesso evitare la crescita esponenziale degli stati costruendo la tabella di transizione per D solo per stati accessibili S come segue: Base: S = { } e accessibile in D Induzione: Se lo stato S e accessibile, lo sono anche gli stati in a Σ δ D (S, a). Esempio: Il sottoinsieme DFA con stati accessibili solamente. Teorema.: Sia D il DFA ottenuto da un NFA N con la costruzione a sottoinsiemi. Allora L(D) = L(N). Prova: Prima mostriamo per induzione su w che ˆδ D ({ }, w) = ˆδ N (, w) { } {, } {, } Base: w = ǫ. L enunciato segue dalla definizione. 4 4

12 Induzione: ˆδ D ({ }, xa) def = δ D (ˆδ D ({ }, x), a) i.h. = δ D (ˆδ N (, x), a) cst = δ N (p, a) p ˆδ N (,x) def = ˆδ N (, xa) Ora segue che L(D) = L(N). Teorema.: Un linguaggio L e accettato da un DFA se e solo se L e accettato da un NFA. Prova: La parte se e il Teorema.. Per la parte solo se notiamo che un ualsiasi DFA puo essere convertito in un NFA euivalente modificando la δ D in δ N secondo la regola seguente: Se δ D (, a) = p, allora δ N (, a) = {p}. Per induzione su w si puo mostrare che se ˆδ D (, w) = p, allora ˆδ N (, w) = {p}. L enunciato del teorema segue Crescita esponenziale degli stati Esiste un NFA N con n + stati che non ha nessun DFA euivalente con meno di n stati, Caso : a a n b b n,,,, n Allora deve essere sia uno stato di accettazione che uno stato di non accettazione. L(N) = {xc c 3 c n : x {,}, c i {,}} Supponiamo che esista un DFA euivalente con meno di n stati. D deve ricordare gli ultimi n simboli che ha letto. Ci sono n seuenze di bit a a a n, a a a n, b b b n : ˆδ N (, a a a n ), ˆδ N (, b b b n ), a a a n b b b n 44 Caso : a a i a i+ a n b b i b i+ b n Ora ˆδ N (, a a i a i+ a n i ) = ˆδ N (, b b i b i+ b n i ) e ˆδ N (, a a i a i+ a n i ) F D ˆδ N (, b b i b i+ b n i ) / F D 45

13 FA con transizioni epsilon Un ǫ-nfa che accetta numeri decimali consiste di:. Un segno + o -, opzionale. Una stringa di cifre decimali 3. un punto decimale Esempio: ǫ-nfa che accetta l insieme di parole chiave {ebay, web} 4. un altra stringa di cifre decimali Σ w e b 3 4 Una delle stringhe () e (4) sono opzionali,,...,9,,...,9 e b a y ε,+,- ε 3 5.,,...,9,,..., Un ǫ-nfa e una uintupla (Q,Σ, δ,, F) dove δ e una funzione da Q Σ {ǫ} all insieme dei sottoinsiemi di Q. Esempio: L ǫ-nfa della pagina precedente Epsilon-chiusura Chiudiamo uno stato aggiungendo tutti gli stati raggiungibili da lui tramite una seuenza ǫǫ ǫ E = ({,,..., 5 }, {.,+,,,,...,9} δ,, { 5 }) dove la tabella delle transizioni per δ e ǫ +,-.,...,9 { } { } { } {, 4 } { 3 } 3 { 5 } { 3 } 4 { 3 } 5 Definizione induttiva di ECLOSE() Base: ECLOSE() Induzione: p ECLOSE() and r δ(p, ǫ) r ECLOSE() 48 49

14 Definizione induttiva di ˆδ per automi ǫ-nfa Esempio di ǫ-closure Base: ε ε ε 3 6 b ˆδ(, ǫ) = ECLOSE() ε a ε Induzione: Per esempio, ˆδ(, xa) = ECLOSE(p) p δ(ˆδ(,x),a) ECLOSE() = {,,3,4,6} Calcoliamo ˆδ(,5.6) per l NFA della pagina Dato un ǫ-nfa Esempio: ǫ-nfa E E = (Q E,Σ, δ E,, F E ) costruiremo un DFA D = (Q D,Σ, δ D, D, F D ) tale che L(D) = L(E) Dettagli della costruzione: Q D = {S : S Q E e S = ECLOSE(S)} D = ECLOSE( ),,...,9,,...,9 ε,+,- ε 3 5.,,...,9,,...,9. 4 DFA D corrispondente ad E,,...,9,,...,9 +,- {, } { } {, } { 4,,...,9., 3, 5 } F D = {S : S Q D e S F E }..,,...,9 δ D (S, a) = { } { 3, 5 },,...,9 {ECLOSE(p) : p δ(t, a) per alcuni t S},,...,9 5 53

15 Teorema.: Un linguaggio L e accettato da un ǫ-nfa E se e solo se L e accettato da un DFA. Prova: Usiamo D costruito come sopra e mostriamo per induzione che ˆδ D (, w) = ˆδ E ( D, w) Base: ˆδ E (, ǫ) = ECLOSE( ) = D = ˆδ( D, ǫ) Induzione: ˆδ E (, xa) = ECLOSE(p) p δ E (ˆδ E (,x),a) = ECLOSE(p) p δ D (ˆδ D ( D,x),a) = p ˆδ D ( D,xa) ECLOSE(p) = ˆδ D ( D, xa) 54 55