Introduzione ai Problemi di Flusso su Reti

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1 UNIVERSI DI PIS IROCINIO ORMIVO IVO - I CICLO CLSSE DI BILIZIONE MEMIC PPLIC Introduzione ai Problemi di lusso su Reti Relatore: Prof. V. Georgiev.U: Prof. M. Berni Elisabetta lderighi

2 R.O e Riforma della scuola Superiore La Ricerca Operativa è la disciplina che applica modelli matematici e algoritmi di calcolo alla soluzione di problemi decisionali (in particolare, problemi di ottimizzazione) Malgrado l importanza della matematica applicata nella formazione superiore, nessun rappresentante delle comunità scientifiche di matematica applicata è stato inserito nella Commissione ministeriale incaricata di redigere le Indicazioni nazionali per le scuole. Vorremmo mettere in evidenza quella che riteniamo prospettarsi come una grave lacuna formativa nell insegnamento della matematica, in particolare nei licei scientifici. [obiettivi specifici di apprendimento] E fortemente carente tutto quanto riguarda l uso del linguaggio matematico per la descrizione e la soluzione di problemi decisionali. Ciò costituisce una lacuna formativa gravissima rispetto alle esigenze del nostro tempo

3 Introduzione I problemi di flusso su reti non vengono generalmente inclusi nel programma di matematica; nei libri di testo viene al massimo dato qualche cenno (sotto forma di esempio risolto) parlando in genere di altri problemi di ricerca operativa Sotto la dicitura problemi di flusso su reti, si trovano un certo numero di problemi specifici per la cui risoluzione sono stati creati nel tempo algoritmi dedicati (più efficienti) Introducendo il metodo del simplesso nella sua formulazione algebrica è possibile, con alcune piccole modifiche, trattare anche i problemi di flusso su rete (problemi di flusso di costo minimo, MC) Un simile approccio offre l opportunità di introdurre in modo concreto alcuni importanti concetti sulla teoria dei grafi che ben si prestano per la rappresentazione della struttura di questi problemi (simplesso su reti), senza richiedere ulteriori approfondimenti teorici

4 Un problema in due variabili Per introdurre il concetto di configurazione dei flussi su rete si presenta un semplice problema di flusso con due variabili Una ditta vuole trasportare una quantità di merce da una località all altra e per farlo ha a disposizione due strade. Il costo di trasporto unitario è costante per ogni strada. Supponendo che non ci siano limiti alla quantità di merce trasportata, decidere quale sia il percorso più conveniente. Come si può rappresentare il problema? X () + - X () Il modello matematico min z x( ) + x x( ) + x() x x ( ( ) ) ()

5 Un problema in due variabili Rappresentazione grafica del dominio di ammissibilità del problema Il dominio di ammissibilità, è costituito dal segmento CD. Il vertice ottimo è C, corrispondente alla soluzione, ovvia x (-), x (-) e z Ma che succede se le capacità degli archi sono finite? X () () + - (6) X () min z x x() + x() x() 6 x() x, x () + x () () Soluzione OIM del problema è il vertice E x (-), x (-) z6 ()

6 Problema a più variabili: la rete Nei problemi di flusso su reti, si vuole in genere determinare la configurazione dei flussi sulla rete che soddisfi i vincoli di generazione e di attrazione al minimo costo Una ditta vuole trasportare una quantità di merce da una località all altra e per farlo ha a disposizione diverse strade. Il costo di trasporto unitario è costante per ogni strada. Supponendo che non ci siano limiti alla quantità di merce trasportata, decidere quale distribuzione di prodotto garantisce il minimo costo. + - {(,);(,);(,);(,);(,);(,);(,)} - b i i V

7 Problema a più variabili: modello matematico x x x x x min + x + x + x + x + x x x x + x x + (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Matrice di incidenza nodo - arco + x + x + x + x + x x Problema di PL In forma SNDRD

8 Problemi così strutturati vengono detti di flusso di costo minimo e sono risolvibili tramite l algoritmo del simplesso Osservazioni: -ciascun vincolo del problema può essere ottenuto dalla somma di tutti gli altri, ne consegue che uno qualunque di essi può essere rimosso - la matrice dei vincoli un numero di righe pari a m V - - una qualunque base del problema deve avere rango r m Problemi di flusso di costo minimo esiste una corrispondenza biunivoca fra basi ed alberi di supporto un albero è un sottoinsieme di un grafo privo di cicli e card()n-; se è di supporto - deve contenere tutti i nodi Matrice di incidenza nodi - archi (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,)

9 Problemi di flusso di costo minimo B { x, x, x, x } N { x, x, x } La soluzione di base associata è data da: B x x x x x N x z 6 x Ma come si sceglie la base iniziale? La soluzione di base trovata è MMISSIBILE e DEGENERERE E anche OIM???

10 I coefficienti di costo ridotto Data una base con relativa soluzione di base ammissibile, ad ogni variabile fuori base è associato un coefficiente di costo ridotto Come si calcolano? Si inserisce nel grafo l arco relativo all variabile fuori base e si considera l unico ciclo che così si forma c + c + + c 7 La soluzione di base trovata è ottima? NO Si deve effettuare un CMBIO DI BSE La variabile che entra in base è la x ma quale esce?

11 Δ- Δ Il cambio base Δ Δ- La nuova soluzione di base è ottima? c c c + + I coefficienti di costo ridotto sono tutti POSIIVI Quanto può crescere al massimo il valore sull arco (,)? intanto che una delle variabili in base non si annulla Δ max. Le candidate sono due: si fa uscire x Occorre aggiornare i flussi e costruire la nuova base B x x x x x N x z x

12 Problemi con vincolo di capacità Supponiamo adesso di introdurre dei vincoli di CPCI lungo gli archi. La soluzione di ottimo si modifica? Come? (9) + () () () (7) - (7) (7)

13 desso per ciascuna variabile sono possibili tre stati diversi: - In base - uori base a valore nullo (x ij ) - uori base con valore pari al proprio limite superiore (x ij d ij ) Soluzione di base B { variabili in base} N { variabili fuori base a valore nullo} N { variabili fuori base a valore pari al limite massimo} Sostituendo nelle equazioni di bilancio si ottiene: x { x x N B x x N { x z x La soluzione di base trovata è MMISSIBILE e DEGENERERE

14 La soluzione di base è ottima? I coefficienti di costo ridotto sono uguali ai precedenti +Δ Ottimalità -Δ +Δ c 7 c c Le variabili fuori base con valore pari al proprio limite superiore non possono crescere ma solo decrescere Un decremento del valore dell obiettivo è possibile solo per quelle con coefficiente di costo ridotto positivo. Entra in base la x Δ max perché in corrispondenza di questo la x si annulla. La base resta invariata ma cambiano gli insiemi delle variabili fuori base ed occorre aggiornare i flussi x Il valore della funzione obiettivo è z 6 B x x x N x x x

15 Ottimalità I coefficienti di costo ridotto sono ancora gli stessi (le variabili fuori base sono le medesime). Cambia la loro valutazione. Si cerca di fare entrare in base la x -Δ Quanto può crescere Δ? ino alla capacità di (,) -Δ ovvero Δ max. Pertanto la variabile x resta fuori base, cambiando il suo stato. Δ Δ B x x x x 6 6 { x x N N { x Ed il valore della funzione obiettivo è z 6 E una soluzione OIM? I coefficienti di costo ridotto sono ancora gli stessi (le variabili fuori base sono le medesime). Si cerca di fare entrare in base la x

16 Ottimalità 6-Δ +Δ 6-Δ Δ La nuova soluzione di base è ottima? c c c Δ La soluzione di base trovata è OIM e UNIC Quanto può crescere Δ? ino alla capacità di (,) che si ha per Δ max. Quindi la x esce dalla base. x x { B x x N { x 7 N z x x

17 Conclusioni La risoluzione dei problemi di flusso su rete (in particolare problemi di flusso di costo minimo) attraverso il metodo del simplesso (anche se non è il più efficiente) è da preferire come approccio per la scuola superiore vendo preventivamente introdotto il metodo del simplesso nella sua formulazione algebrica, l estensione ai grafi avviene in modo piuttosto naturale; c è il vantaggio di non dover richiedere ulteriori prerequisiti Un simile approccio, consente di introdurre senza fare ricorso ad eccessivo formalismo e contestualizzandole all interno di problemi specifici, alcune definizioni e concetti sui grafi Una trattazione di questo tipo fornisce delle buone basi per un eventuale approfondimento a livello Universitario