Il moto di puro rotolamento

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1 l moto di puro rotolamento l moto di puro rotolamento è un moto in cui il punto di conta<o tra la superficie ed il corpo che rotola (a sezione circolare) è fermo istante per istante: P 0. Ricordiamo che, grazie ai teoremi di König, possiamo separare il moto rototraslatorio in rotazione del corpo rispe<o al suo, e traslazione del rispe<o al laboratorio. ωr ωr + ωr ωr - 0 P -ωr P P ωr } P O 0 O O T ωr T T + ωr ωr 0 Fisica Generale A.A. 06/7

2 Sia µ s il coefficiente di attrito statico R M tra il piano e il corpo rigido e supponiamo che il corpo sia fermo quando inizia il moto e si troi ad h un altezza h dal suolo. Sia inoltre θ il momento d inerzia del corpo rispetto ad un asse passante per il e al foglio. NB l attrito statico non e l attrito statico massimo in generale. All istante t 0 s il corpo iene lasciato libero di muoersi e scende lungo il piano inclinato con elocità angolare ω; il moto è fin dall inizio di puro rotolamento. E mi M E m f M + Fisica Generale A.A. 06/7 3 ω Ricordando la condizione di puro rotolamento, ωr, si ha m m! # # # " + R + mr $ % Ricordiamo ora che il rapporto tra ed R è proporzionale ad m, il coefficiente di proporzionalità dipendendo dalla geometria del corpo mr anello 3 mr mr cilindro sfera caa Fisica Generale A.A. 06/7 4

3 risultar così o<enur anno confrontar con quelli ricaar nel caso in cui il corpo rigido che scende senza rotolare dalla stessa altezza lungo un piano liscio con lo stesso angolo di inclinazione θ, sappiamo già che o<eniamo per ogni corpo lo stesso risultato,. La differenza tra le elocità o<enute nei due casi (entrambi conserari dal punto di ista energerco e con la medesima E m iniziale) è douta al fa<o che, nel caso del puro rotolamento, il corpo dee impiegare parte della sua energia potenziale graitazionale per entrare in rotazione, ciò a discapito della traslazione. Come conseguenza, nel caso del puro rotolamento, abbiamo elocità finali del più piccole. Esaminiamo ora il problema dal punto di ista dinamico. Scriiamo le due equazioni cardinali della dinamica per il corpo rigido (rotazione a<orno ad un asse principale d inerzia senza punto fisso in un sistema inerziale)!! M α ext!! F Ma ext Fisica Generale A.A. 06/7 5 Prendiamo come polo il ; la forza peso, essendo applicata nel non produce momento. Solo la forza di attrito f s produce momento. NB: Momento dinerzia rispetto Rf s α m g! + f! s + N! m a! a αr f s a R mgsinϑ f s ma N mgcosϑ 0 Fisica Generale A.A. 06/7 6

4 N ALTERNATVA SPESSO PU CONVENENTE prendiamo come polo il punto di contatto P del disegno; la forza di attrito f s, essendo applicata al punto P non produce momento. Solo il peso produce momento rispetto il polo P (la componente normale al braccio r e mgsin(θ) ) NB: Momento dinerzia rispetto P P + mr Rmgsinϑ P α m g! + f! s + N! m a! R mgsinϑ + mr αr a mgsinϑ f s ma f s a R Fisica Generale A.A. 06/ Unasta rigida rettilinea di lunezza L 80 cm e di massa M 4. kg, è appoggiata con lestremità A su un piano orizzontale ruido (con attrito) e poggia con un suo punto P su una calotta semisferica liscia (senza attrito) di raggio R 30 cm, posta sul piano e fissa con esso. Sapendo che lasta è in equilibrio con il punto di contatto P ad una distanza d 65 cm dallestremità A, calcolare modulo direzione e erso delle forze F A e F P esercitate dallasta sul piano e sulla calotta. [F A 9.64i 0.9j N, F P 9.64 i 0.90 j N, con y diretto erso l alto e x erso destra] L 80cm R30 cm M4..kg d 65.cm Calcolo innanzitu<o linclinazione θ della sbarra rispe<o al piano θ atan R/d θ deg Chiamo N e F le forze esercitate sullasta dalla calo<a e dal piano. Dato che il conta<o in P fra asta e calo<a è senza a<rito, N è perpendicolare allasta. Essendo inece il conta<o in A scabro, F arà componenr sia orizzontale che errcali Fx e Fy. ntroduco un sistema di riferimento con lasse y dire<o erso lalto e lasse x dire<o a destra. Annullando le due componenr della risultante e il momento rispe<o ad A troo: ΣF E 0 à Per risolere ricao N dalla terza e lo sosrtuisco nelle altre due Nsin θ+ F x 0 à F x N Ncos θ - Mg + F y 0 à F y 0.93 N ΣM E 0 à Mgcos θ *L/ -N *d 0 à N 3.04 N à Fsqrt(F x +F y ) Angolo phi tra asta e piano orizzontale phi π atan Fy Fx

5 6.6 Una sfera di massa M 3.5 kg e raggio R cm è posta su un piano inclinato con inclinazione θ rispetto allorizzontale. La sfera è mantenuta in equilibrio dalla forza di attrito sul piano e da una molla di costante elastica k 80 N/m che agisce tangenzialmente sulla sua superficie, in direzione parallela al piano inclinato. Determinare a) lallungamento x della molla rispetto alla posizione di riposo; b) il modulo della forza dattrito statico F s che si esercita fra la sfera e il piano. Successiamente la molla iene rimossa e la sfera inizia da ferma a rotolare senza strisciare sul piano inclinato. Determinare c) la elocità del suo centro di massa dopo che ha percorso esattamente tre giri. [x 0.08 m; µ s 0.0; 3.44 m/s] 6.7 Una puleggia è costituita da un disco omogeneo di massa M.4 kg e raggio R 0 cm. Sulla puleggia scorre senza strisciare una corda a cui è appesa una massa m 5 kg; laltro estremo della corda è fissato ad una molla di costante elastica k 30 N/m. nizialmente la molla è nella sua posizione di riposo e la massa m è mantenuta ferma e sospesa. Allistante t 0 la massa m è lasciata libera e inizia a cadere. Determinare la massima estensione h raggiunta dalla molla e la massima elocità angolare ω raggiunta dal disco durante la caduta. [ h 0.43 m, ω 3.54 rad/s]