Circuiti elettrici in regime stazionario

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1 rcut elettrc n regme stazonaro omponent (ersone del 3-9-0) Bpol resst Equazon caratterstca d un bpolo ressto f, 0 L equazone d un bpolo ressto defnsce una cura nel pano - detta cura caratterstca I punt della cura caratterstca rappresentano tutte le possbl coppe d alor che possono assumere la tensone e la corrente del bpolo

2 Bpol resst Bpolo comandato n tensone l equazone può essere posta nella forma g Bpolo comandato n corrente l equazone può essere posta nella forma h Bpolo blaterale f, 0 f, 0 caratterstca smmetrca rspetto all orgne scambando termnal l comportamento non camba Bpolo nerte f 0,0 0 caratterstca passante per l orgne 3 Esemp comandato n e n comandato n comandato n non comandato né n né n 4

3 omponent att e pass Un componente ressto s dce passo se per ogn condzone d funzonamento (coè per ogn nseme d tenson e d corrent a termnal compatble con le sue equazon caratterstche) la potenza assorbta dal componente rsulta non negata Un componente ressto s dce atto se esste almeno una condzone d funzonamento compatble con le sue equazon caratterstche per cu la potenza assorbta rsulta negata (potenza erogata posta) Un componente atto è un componente n grado d fornre energa al crcuto n cu è nserto 5 Bpol resst pass Se la tensone e la corrente sono orentate secondo la conenzone dell utlzzatore p a 0 per punt compres nel e nel 3 quadrante p a 0 per punt compres nel e nel 4 quadrante Per un bpolo ressto passo n ogn condzone d funzonamento rsulta p a 0 La cura caratterstca è nteramente contenuta nel e nel 3 quadrante (ass nclus) Per un bpolo ressto atto esstono condzon d funzonamento nelle qual p a <0 La cura caratterstca contene punt del o del 4 quadrante 6

4 esstore Equazone: resstenza (ohm, ) conduttanza (semens, S) / ( e orentate secondo la conenzone dell utlzzatore) Il resstore è un bpolo lneare, è comandato n corrente e n tensone ed è blaterale Potenza assorbta: p a = Se 0 ( 0) l resstore è passo ura caratterstca Smbolo 7 esstor non lnear I bpol resst per qual la tensone e la corrente non sono proporzonal sono anche ndcat genercamente col nome d resstor non lnear Per rappresentare un generco bpolo ressto non lneare s utlzza l smbolo 8

5 eneratore ndpendente d tensone Equazone: Il generatore ndpendente d tensone è un bpolo comandato n corrente e non è blaterale Potenza erogata: può arare da a Il generatore ndpendente d tensone è un componente atto Smbol ura caratterstca 9 eneratore ndpendente d corrente Equazone: I Il generatore ndpendente d corrente è un bpolo comandato n tensone e non è blaterale Potenza erogata: può arare da a Il generatore ndpendente d corrente è un componente atto Smbol ura caratterstca 0

6 rcut lnear e non lnear I generator ndpendent sono cas partcolar d bpol resst non lnear (la tensone e la corrente non sono proporzonal) fornscono termn not delle equazon del crcuto rcuto lneare = crcuto formato esclusamente da component lnear e generator ndpendent n questo caso le equazon del crcuto costtuscono un sstema lneare nel quale le tenson e le corrent mpresse de generator rappresentano termn not rcuto non lneare = crcuto che contene almeno un componente non lneare derso da un generatore ndpendente ortocrcuto Equazone: 0 Potenza assorbta: p a 0 Il cortocrcuto è un componente passo Il cortocrcuto può essere consderato un caso partcolare d generatore ndpendente d tensone con 0 d resstore con 0 ura caratterstca Smbol

7 Equazone: 0 rcuto aperto Potenza assorbta: p a 0 Il crcuto aperto è un componente passo Il crcuto aperto può essere consderato un caso partcolare d generatore ndpendente d corrente con I 0 d resstore con 0 ( = ) ura caratterstca Smbol 3 Bpol n sere Bpol collegat n sere: un termnale del prmo bpolo e un termnale del secondo bpolo sono unt n un nodo a cu non sono collegat altr component LK LKI LK LKI (,, ) I bpol collegat n sere sono percors dalla stessa corrente 4

8 Bpol n parallelo Bpol collegat n parallelo: cascuno de termnal d un bpolo è collegato a uno de termnal dell altro LK LKI LK (,, ) LKI I bpol collegat n parallelo sono sottopost alla stessa tensone 5 esstor n sere LK LKI (,, ) elazon costtute (,, ) S resstor n sere equalgono a un resstore con resstenza S S = resstenza equalente sere 6

9 esstor n parallelo LKI LK (,, ) elazon costtute (,, ) P resstor n parallelo equalgono a un resstore d conduttanza P P = conduttanza equalente parallelo 7 In termn d resstenze s ha esstor n parallelo P P P = resstenza equalente parallelo el caso partcolare d due resstor n parallelo, la resstenza equalente è P 8

10 9 Parttore d tensone Problema: dat resstor n sere, nota la tensone totale e le resstenze determnare le tenson de resstor La tensone s suddde n part drettamente proporzonal alle resstenze S j j j j Fattore d partzone ),, ( j 0 Parttore d corrente Problema: dat resstor n parallelo, nota la corrente totale e le resstenze determnare le corrent de resstor La corrente s suddde n part drettamente proporzonal alle conduttanze (nersamente proporzonal alle resstenze) P j j j j Fattore d partzone ),, ( j

11 Parttore d corrente aso partcolare d due resstor n parallelo eneratore d tensone e resstore n sere d) c) b) a) Equazon caratterstche

12 eneratore d tensone e resstore n sere Le cure caratterstche sono delle rette non passant per l orgne (se 0) Il alore d per 0, corrspondente all ntersezone della retta con l asse, è detto tensone a uoto e concde, eentualmente a meno del segno, con la tensone del generatore Il alore d per 0, corrspondente all ntersezone della retta con l asse, è detto corrente d cortocrcuto e concde, eentualmente a meno del segno, con l rapporto tra la tensone del generatore e la resstenza 3 eneratore d tensone e resstore n sere ure caratterstche 4

13 Modello d un generatore reale d tensone La tensone d un generatore deale d tensone non dpende dalla corrente Per un generatore reale la tensone è pratcamente costante solo se l alore assoluto della corrente è pccolo Per modellare un generatore reale s può utlzzare un crcuto equalente formato da un generatore deale con un resstore n sere La caratterstca tende a quella d un generatore deale al tendere a zero della resstenza 5 Potenza dsponble Potenza erogata dal bpolo pe Al arare d la potenza è massma se dpe cc 0 0 d In queste condzon la tensone è La massma potenza erogable (potenza dsponble) è p emax 4 6

14 Potenza erogata al arare de carco Potenza erogata da un generatore reale collegato a un resstore d carco pe ( ) La potenza è massma per = p e p emax 4 7 eneratore d corrente e resstore n parallelo Equazon caratterstche a) b) c) d) I I I I I I I I 8

15 eneratore d corrente e resstore n parallelo Le cure caratterstche sono delle rette non passant per l orgne (se I 0) La corrente d cortocrcuto concde, eentualmente a meno del segno, con la corrente del generatore La tensone a uoto concde, eentualmente a meno del segno, con l prodotto della corrente del generatore per la resstenza 9 eneratore d corrente e resstore n parallelo ure caratterstche 30

16 Modello d un generatore reale d corrente La corrente d un generatore deale d corrente non dpende dalla tensone Per un generatore reale la corrente è pratcamente costante solo se l alore assoluto della tensone è pccolo Per modellare un generatore reale s può utlzzare un crcuto equalente formato da un generatore deale con un resstore n parallelo La caratterstca tende a quella d un generatore deale al tendere a nfnto della resstenza I / 3 Trasformazone de generator I I I I I I due bpol sono equalent se sono erfcate le condzon I I Questa relazone ale se ers d e I sono orentat come ndcato nella fgura 3

17 Trasformazone de generator L equalenza ale solo per l comportamento a termnal a partà d e (coè d potenza erogata dal bpolo) le potenze erogate da generator (e quelle assorbte da resstor) n genere sono derse potenza erogata dal bpolo per 0 e 0 potenza erogata dal generatore d tensone potenza erogata dal generatore d corrente 33 Altr collegament tra generator e resstor Il bpolo equale al solo generatore d tensone I Il bpolo equale al solo generatore d corrente I 34

18 ollegament tra generator generator ndpendent d tensone n sere equalgono a un unco generatore d tensone S generator ndpendent d corrente n parallelo equalgono ad un unco generatore d corrente I P I 35 ollegament tra generator Il bpolo equale al solo generatore d tensone I Il bpolo equale al solo generatore d corrente I 36

19 ollegament non ammess enerator deal d tensone n parallelo se le tenson sono derse l collegamento ola la LK se le tenson sono ugual le corrent de generator sono ndetermnate enerator deal d corrente n sere se le corrent sono derse l collegamento ola la LKI se le corrent sono ugual le tenson de generator sono ndetermnate 37 Esemp d crcut ndetermnat Tutte le coppe d alor d I e I tal che I I I sono compatbl con l crcuto Tutte le coppe d alor d e tal che I sono compatbl con l crcuto 38

20 Esemp d crcut ndetermnat L ndetermnazone può essere elmnata se s tene conto del fatto che ogn generatore reale d tensone ha n sere una resstenza non nulla ogn generatore reale d corrente ha n parallelo una resstenza d alore fnto 39 Prma formula d Mllman eq eq I eq 40

21 Prma formula d Mllman Pù n generale, per un bpolo formato da bpol de tp a, b e c collegat n parallelo, procedendo come nel caso precedente s ottene eq A I A nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo a B nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo b nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo c eq 4 Prma formula d Mllman Se termnal A e B sono lascat apert ( 0), la tensone concde con la tensone del generatore equalente La tensone tra due nod d un crcuto formato da bpol de tp a b e c collegat n parallelo può essere determnata per mezzo della prma formula d Mllman 4

22 Seconda formula d Mllman eq eq I I eq I 43 Seconda formula d Mllman Pù n generale, per un bpolo formato da bpol de tp a, b e c collegat n sere, procedendo come nel caso precedente s ottene I eq A I eq A nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo a B nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo b nseme de alor d per cu l bpolo è d tpo c 44

23 Seconda formula d Mllman Se termnal A e B sono collegat n cortocrcuto ( 0), la corrente concde con la corrente del generatore equalente In un crcuto costtuto da una sola magla formata da bpol de tp a b e c la corrente comune a tutt bpol può essere determnata per mezzo della seconda formula d Mllman 45 Stelle e polgon d resstor Stella ad ertc resstor collegat ad un nodo comune a cu non sono collegat altr component Polgono ad ertc (-)/ resstor che collegano tutte le coppe d ertc 46

24 47 Trasformazone trangolo-stella B A 3 B A aso partcolare: 48 Trasformazone stella-trangolo A B A B A B B A B A B A B A B A 3 aso partcolare:

25 Equalenza stella-trangolo - dmostrazone Per rcaare le condzon d equalenza s mpone che le resstenze equalent alutate tra tutte le coppe d termnal (con l terzo termnale solato) ne due cas sano ugual Per la stella cascuna resstenza equalente corrsponde alla sere delle due resstenze che collegano la coppa d termnal Per l trangolo cascuna resstenza equalente corrsponde al parallelo della resstenza che collega la coppa d termnal con la sere delle altre due resstenze 49 Equalenza stella-trangolo - dmostrazone Imponendo che le tre resstenze equalent sano ugual s ottene A A B B ( ( ( ) ) ) ( ) 50

26 Trasformazone stella-polgono S può dmostrare che le conduttanze de resstor d un polgono equalente ad una stella d resstor sono data dalla relazone j j Se l numero d ertc è maggore d 3, l numero d resstor del polgono è maggore del numero d resstor della stella E sempre possble trasformare una stella n un polgono, ma non è possble trasformare un generco polgono n una stella 5 enerator dpendent eneratore d tensone controllato n tensone eneratore d tensone controllato n corrente 0 0 r eneratore d corrente controllato n tensone eneratore d corrente controllato n corrente 0 g 0 5

27 enerator dpendent I generator dpendent sono component a due porte (dopp bpol) deal utlzzat prealentemente come element d crcut equalent d component multpolar Le costant rgsono dette parametr d trasfermento e sono admensonal r ha le dmenson d una resstenza g ha le dmenson d una conduttanza Potenza assorbta: p a 0 una delle grandezze relate alla porta ( per generator d corrente, per generator d tensone) può assumere alor arbtrar (dpendent solo dal crcuto n cu l componente è nserto) la potenza assorbta può arare da a generator dpendent sono component att 53 Esempo Spesso la porta d un generatore dpendente non ene rappresentata negl schem 54

28 Trasformazone de generator dpendent elazon analoghe alle formule d trasformazone de generator ndpendent algono anche nel caso de generator dpendent 0 0 g I due dopp bpol sono equalent se g 55 Trasformazone de generator dpendent 0 r 0 I due dopp bpol sono equalent se r = 56