Unità Didattica N 28

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1 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Unità Didattica N 8 Estremi, asintti, lessi del graic di una unzine ) Estremi delle unzini derivabili ) Prprietà degli estremi delle unzini () ) Metdi elementari per la risluzine di prblemi di massim e di minim 4) La cncavità di una curva piana 5) Punti di less 6) Asintti di una curva piana 7) Indicazini generali per l studi e la rappresentazine graica delle unzini () 8) La discussine dei prblemi di secnd grad ed il metd dell'islament del parametr

2 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Estremi delle unzini derivabili Il punt DEFINIZINE 8. dm è dett punt di massim relativ per la unzine se è il valre più grande che la unzine ( ) assume in un pprtun intrn del punt. Cn parle diverse pssiam dire che dm è un punt di massim relativ per la unzine ( ) se è pssibile trvare almen un intrn I( ) del punt i cui punti I( ) { } hann immagini ( ) minri di ( ), il che equivale ad aermare che risulta : { } < I [] Il valre ( ) è dett massim relativ della unzine ( ) DEFINIZINE 8. Il punt dm è dett punt di minim relativ per la unzine se è il valre più piccl che la unzine ( ) assume in un pprtun intrn del punt. Cn parle diverse pssiam dire che dm è un punt di minim relativ per la unzine ( ) se è pssibile trvare almen un intrn I( ) del punt i cui punti I( ) { } hann immagini ( ) minri di ( ), il che equivale ad aermare che risulta : { } > I [] Il valre ( ) è dett minim relativ della unzine ( ) y ( ) () ( () ) () () I I( ) I punti di massim di minim relativi della unzine ( ) si dicn anche punti estremanti per la unzine ( ), mentre i massimi i minimi relativi di ( ) si dicn estremi relativi di ( ). Estremi delle unzini derivabili Pagina di

3 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine I punti estremanti appartengn al dmini di (), gli estremi al cdmini di (). L aggettiv relativ va intes nel sens che la [] la [] è veriicata in un pprtun intrn del punt e nn in tutt il dmini di ( ). Il punt gemetric del pian cartesian avente cme ascissa il punt estremante e cme rdinata l estrem relativ ( ) dicesi immagine gemetrica ( punt immagine ) dell estrem relativ, ciè il punt cartesian [ ; ] M è dett immagine gemetrica dell estrem relativ. Di slit utilizzerem la lettera M ( N ) per indicare l immagine gemetrica del punt di massim ( minim ). Quindi,il punt di massim ( minim ) ed il massim ( minim ) ( ) di una unzine ( ), intesi cme cppia rdinata di numeri reali (, ( ) ), individuan nel pian cartesian il punt M(, ( ) ) [ N(, ( ) ) ] dett immagine gemetrica del massim ( minim ). dm è un punt di massim ( minim ) relativ se la unzine ( ) è strettamente crescente ( decrescente ) in un pprtun intrn sinistr I ( ) del punt e strettamente decrescente ( crescente ) in un pprtun intrn destr I del punt. TEREMA 8. Se ( ) è cntinua in [ ab, ], derivabile in ] ab, [, se è > 0 [ < 0 ] allra strettamente crescente ( decrescente ) in [ ab, ]. TEREMA 8. è ( ) 0 è cndizine necessaria ( ma in generale nn suiciente ) perché dm sia un punt estremante per la unzine ( ) derivabile nel punt. punt estremante ( ) 0, 0 / punt estremante HP { punt estremante Th { ( ) 0 ( una cndizine necessaria rappresenta una tesi, una cndizine suiciente rappresenta una iptesi ). SSERVAZINE 8. In igura è riprtat il graic di una unzine che y presenta nel punt un punt di massim relativ senza che la unzine sia ivi derivabile. Nel punt la unzine è cntinua ma nn derivabile. Per il graic della unzine è un punt angls. Estremi delle unzini derivabili Pagina di

4 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine SSERVAZINE 8. Se nel punt la unzine ( ) ha un punt estremante allra è sicuramente è ( ) 0 nn pssiam aermare che sia un punt estremante, ciè 0 ; ma se 0 nn è una cndizine suiciente per aermare che è un punt estremante per la unzine ( ). SSERVAZINE 8. Un punt nel quale si annulla la derivata prima [ ( ) 0 ] dicesi punt stazinari ( punt estremale punt critic ), mentre i valri ivi assunti dalla unzine ƒ sn detti valri critici. Un punt stazinari indica sltant un pssibile punt estremante. TEREMA 8. Se ( ) è derivabile in un intrn cmplet del punt allra : è un punt di massim relativ se ( ) è psitiva per < e negativa per > è un punt di minim relativ se ( ) è negativa per < e psitiva per > Cn parle diverse pssiam aermare che : ( ) 0, ( ) > 0 ( ) < 0 [ ( ) 0 ( ) < 0, sn C.N.S. perché > 0 ] dm sia un punt di massim ( minim ) relativ per la unzine ( ) derivabile nel punt. In breve : << se, quand la passa per il valre ( dalla sinistra alla destra ), la derivata prima muta il su segn allra è un punt estremante, precisamente è un punt di massim relativ se la derivata prima muta il su segn da << >> a << - >>, si tratta di un punt di minim relativ se la derivata prima muta il su segn da << - >> a << >>. La dimstrazine di quest terema è evidente se si tiene presenta che il segn della derivata prima ci dice se una unzine è strettamente crescente strettamente decrescente. >> TEREMA 8.4 << ( ) 0, ( ) < 0 [ ( ) 0, > 0 ] sn C.N.S. perché dm sia un punt di massim ( minim ) relativ per la unzine ( ) derivabile due vlte nel punt >>. ESEMPI dm R - { ± } ( ) ( ) 0 0, ±,, ( ) ( ) Estremi delle unzini derivabili Pagina 4 di

5 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine punt di minim relativ, ( ) ( ) ; minim relativ N, immagine gemetrica del minim relativ punt di massim relativ, M, massim relativ immagine gemetrica del massim relativ > 0 punt di minim relativ < 0 punt di massim relativ sin cs cn ]0;π[ e sin π ; π; π ( cs sin ) sin cs ( sin cs ) sin ( cs sin ) sin (cs sin ) ( sin cs ) sin cs sin (sin cs sin sin sin ) ( cs sin ) () sin ( sin ) 7 () 0 cs sin 0 tg, π sin > 0 [0;π] 4 0 π 4-7 π 4 π ' () cs sin π 4 sin sin cs < 0 sin cs > 0 7 π 4 cs Estremi delle unzini derivabili Pagina 5 di

6 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine π punt di massim relativ M π; immagine gemetrica del massim relativ π punt di minim relativ N π; immagine gemetrica del minim relativ 4 4 Prprietà degli estremi delle unzini () 0) Gli eventuali punti di massim e di minim della unzine cincidn ci gli eventuali punti di minim e di massim della unzine ( ). Inatti : y [ ] ciè il segn della derivata prima della unzine l ppst del segn della derivata prima della unzine ( ) ed inltre gli zeri di cn quelli di ( ). y Calcliam gli eventuali punti estremanti della unzine 4 6 ( ) y è y cincidn , ( 4 ) ( ) 44 > 0 punt di minim per ( ) e di massim per y ( 0) 6 < 0 0 punt di massim per ( ) e di minim per y () 48 > 0 punt di minim per ( ) e di massim per y y y( 0) minim relativ di 5 minim relativ di y 6 y y () 50 5 massim relativ di y 0) Gli eventuali punti di massim e di minim della unzine cincidn a) ci gli eventuali punti di massim e di minim della unzine b) ci gli eventuali punti di minim e di massim della unzine g se risulta k < 0 g se risulta k <> 0 0) Gli eventuali punti di massim e di minim della unzine nn negativa ( ) [ 0 cincidn cn quelli della unzine [ ] n e viceversa. k g ] Estremi delle unzini derivabili Pagina 6 di

7 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Inatti : D n n [ ] n [ ] Il segn e gli zeri della derivata prima di ( ) cincidn rispettivamente cl segn e gli zeri della derivata prima della unzine [ ] n. y 0 cn 0 0, y y Si tratta di una unzine nn negativa e quindi i sui eventuali punti estremanti cincidn cn quelli della unzine : [ ] 0, y 0, 0 5, 5 è un punt di massim asslut per la unzine data y() massim asslut della unzine y < 0 04) Cnsideriam la unzine a g b cn a, b cstanti reali. Se risulta a > 0, allra gli eventuali punti di massim e di minim di ( ) cincidn cn gli eventuali punti di massim e di minim di g. Quest signiica che, ai ini del calcl dei punti estremanti di una unzine, si pssn trascurare le cstanti additive di qualsiasi segn e le cstanti mltiplicative psitive. Se risulta a < 0 allra gli eventuali punti di massim e di minim della unzine ( ) cincidn cn gli eventuali punti di minim e di massim della unzine g. Quindi anche le cstanti mltiplicative negative pssn essere trascurate, ma l eventuale massim ( minim ) di g diventa l eventuale minim ( massim ) di ( ). Estremi delle unzini derivabili Pagina 7 di

8 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Estremi assluti delle unzini () Se la unzine ( ) è cntinua in un intervall limitat e chius [ ab, ] essa ammette, per il terema di Weierstrass, il massim asslut M ed il minim asslut m. Vediam cme pssiam calclare questi valri : ( ) è derivabile [ a, b] Si calclan i massimi ( minimi ) relativi e suppniam che sian : ( ), ( ), ( ) [ ( 4 ), ( 5 ) ] Pi calcliam ( a ), ( b ). Il massim ( minim ) asslut di ( ) in [ ab, ] cincide cl più grande ( piccl ) dei seguenti valri : ( a ), ( ), ( ), ( ), ( b ) [ ( a ), ( 4 ), ( 5 ), ( b ) ] Estremi delle unzini derivabili Pagina 8 di

9 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Cncavità di una curva piana Sia P[, ( )] un punt della curva piana γ avente equazine y, cn deinita in [ ab, ] ed ivi derivabile quant ccrre. Sia t la retta tangente a γ in P. Diciam che la curva γ vlge la cncavità vers l alt nel vers psitiv delle y ( vers il bass nel vers negativ delle y ) se è pssibile trvare un intrn cmplet I( ) del punt tale che gni punt P di γ avente ascissa I( ) { } si trvi al di spra ( al di stt ) della retta t. Quindi la curva γ vlge nel punt P la cncavità vers l alt ( vers il bass ) se essa giace lcalmente ( ciè in un pprtun intrn di ) al di spra ( al di stt ) della tangente a γ in P. Se la suddetta prprietà si veriica [ a, b], allra diciam che la curva vlge la cncavità vers l alt ( il bass ) in tutt l intervall [ ab, ]. Se il G( ) in [ ab, ] vlge la cncavità vers l alt ( il bass ), diciam pure che la unzine ( ) è in [ ab, ] cnvessa ( cncava ). Il punt in cui la curva γ cambia la prpria cncavità da vers il bass a vers l alt e viceversa è dett punt di less punt di inlessine. TEREMA N ( ) > 0 [ ( ) < 0 ] è C.N.S. perché il graic ( ), derivabile due vlte nel punt dm, vlga nel punt P ( ) cncavità vers l alt ( vers il bass ). CRLLARI G della unzine [, ] la > 0 [ < 0 ] [ a, b] è cndizine necessaria e suiciente perché il graic G( ) della unzine ( ), derivabile due vlte nell intervall [ ab, ], vlga la cncavità vers l alt ( il bass ) in tutt l intervall [ ab, ]. Cncavità di una curva piana Pagina 9 di

10 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Cncavità di una curva piana Pagina 0 di

11 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Punti di less Il punt in cui la curva γ cambia la sua cncavità da vers il bass a vers l alt e viceversa è dett punt di less punt d inlessine. La tangente a γ in un punt di less è detta tangente inlessinale ed attraversa la curva. Viceversa se la tangente a γ in P attraversa la curva allra questa presenta in P un punt di less. DEFINIZINE La curva γ di equazine y ha in P ( ) [, ] un punt di less ( un punt di inlessine un less ) se vlge la cncavità vers l alt ( il bass ) alla sinistra di ( ciè per < ) e vers il bass ( l alt ) alla destra di ( ciè per > ). Punti di less Pagina di

12 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Il less è dett ascendente ( discendente ) se il G( ) è stt ( spra ) la tangente alla sinistra di P e spra ( stt ) la tangente alla destra di P. Cn parle diverse pssiam dire che un less è ascendente (discendente ) se la cncavità passa da vers il bass ( l alt ) a vers l alt ( il bass ). Se risulta ( ) 0 l less dicesi a tangente rizzntale, altrimenti dicesi a tangente bliqua Un punt P del graic γ di una unzine ( ) è un punt di less ( di inlessine ) quand determina il cambiament della cncavità della curva stessa. Se la derivata secnda cambia di segn quand la passa attravers ( dalla sinistra alla destra ) allra è l ascissa di un punt di less. Precisamente un less ascendente se passa da valri negativi a valri psitivi, discendente se passa da valri psitivi a valri negativi TEREMA 0, 0, 0 [ ( ) ( ) ( ) < > 0, > 0, < 0] sn C.N.S. perché il graic γ della unzine ( ), derivabile due vlte nel punt, presenti nel punt P ( ) [, ] un less ascendente ( discendente ). TEREMA ( ) 0, ( ) 0 sn C.N.S. perché il graic γ della unzine nel punt, presenti nel punt P ( ) se risulta ( ) > 0 [ < 0 ]., derivabile tre vlte [, ] un punt di less che è ascendente ( discendente ) Fless discendente a tangente bliqua cn unzine crescente Fig. () π ϑ t <, t retta tangente a γ in P, n retta nrmale a γ in P ESEMPI Calclare gli eventuali punti di less del graic della unzine ( ) 4 7, 6 ( )( 7 8 ) 4 0 ( ) ,, 4 ± 7 Punti di less Pagina di

13 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine punt di less discendente, 7 punt di less discendente 4 7 punt di less ascendente Calclare gli eventuali punti di less del graic della unzine { }, dm R, ( ) ( ) ( 6) ( ) ( ) 4 ( 4 6 )( ) ( )( )( 6 ) 4 ( ) 6 ( 4), 0 6 ( 4) ( ) 0, 4 0 L equazine di secnd grad ammette radici cmplesse e cniugate 4 > 0 dm 0 punt di less discendente - 0 ( ) Calclare gli eventuali punti di less del graic della unzine tg sin cn π < < π e π cs cs cs tg cs cs Punti di less Pagina di

14 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine sin sin ( cs ) tg ( cs ) tg sin sin cs cs 0 Fless ascendente π Fless ascendente cs cs π 0 π π π tg cs cs Fless discendente bliqu Fless ascendente bliqu Fless discendente verticale Fless ascendente verticale Punti di less Pagina 4 di

15 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Fless discendente rizzntale Fless ascendente rizzntale ϑ Fless discendente a tangente rizzntale cn unzine decrescente 0 Punti di less Pagina 5 di

16 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Asintti di una curva piana Sia γ una curva piana di equazine y, in termini equivalenti, γ sia il graic G( ) della unzine ƒ. Se P (, y) γ cn ed y crdinate inite, diciam che P è un punt prpri un punt al init della curva γ. (*) Se P (, y) γ ed almen una delle sue crdinate è ininita diciam che P è un punt imprpri un punt all ininit della curva γ e scriviam P P. In quest ultim cas diciam pure che la curva γ ha un ram che si estende all ininit che è una curva aperta. Cl termine punti prpri ( punti imprpri ) intendiam punti al init ( punti all ininit ). Sia PH d( P r) δ, la distanza di un generic punt P della curva γ dalla retta r di equazine y m n e di ceiciente anglare m tgϑ. Se risulta : Lim PH 0 [] P P la retta r dicesi asintt della curva γ del graic della unzine ƒ. In particlare l asintt dicesi : π ) bliqu se m è un numer init nn null (ϑ 0, ϑ ). In quest cas il punt imprpri P della curva γ ha entrambe le crdinate ininite P Lim P(, y) L asintt bliqu ha equazine del tip : y m n ) rizzntale se m 0 ( ϑ 0 ). In quest cas il punt imprpri P della curva γ ha scissa ininita ed rdinata inita. P Lim P(, n) L asintt rizzntale ( che può essere cnsiderat un asintt bliqu particlare, ciè un asintt bliqu avente ceiciente anglare null ) ha equazine : y n π ) verticale se m ( ϑ ). In quest cas il punt imprpri P della curva γ ha ascissa inita ed rdinata ininita. P Lim P( k, y) y L asintt verticale ha equazine del tip : k y (*) Diciam che P è un punt prpri della curva γ se ess appartiene alla curva ed ha crdinate (,y) inite Asintti di una curva piana Pagina 6 di

17 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine C.N.S. perché la curva γ di equazine y TEREMA N equazine y m n è che esista init e nn null il limite e che esista init il limite : ammetta cme asintt bliqu la retta r di m n Lim[ m] [] Lim [] ALTRA FRMULAZINE m Lim n Lim[ m] [4] sn C.N.S. perché il graic γ della ed unzine ƒ ammetta cme asintt bliqu la retta r di equazine y m n. Se i limiti [] e [] esistn sltant per ( ) allra la retta r dicesi asintt bliqu destr ( asintt bliqu sinistr ) della curva γ. Quand l asintt bliqu destr cincide cn l asintt bliqu sinistr allra l asintt dicesi asintt bliqu cmplet. Una curva piana γ di equazine y () nn può avere più di un asintt bliqu. Quest signiica che la curva γ : ) ha un asintt bliqu destr divers dal sinistr, ppure ) ha sl asintt bliqu destr sl asintt bliqu sinistr, ppure ) ha un sl asintt bliqu cmplet che, in particlare, può essere rizzntale, ppure 4) nn ha alcun asintt bliqu Lim TEREMA N n ( cn n numer reale init ) è C.N.S. perché la curva γ di equazine y ammetta la retta r di equazine y asintt bliqu ). n cme asintt rizzntale ( che è un cas particlare di Anche in quest cas si può parlare di asintt rizzntale sinistr, asintt rizzntale destr, cmplet. Valgn le stesse cnsiderazini atte per gli asintti bliqui. Asintti di una curva piana Pagina 7 di

18 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Asintti di una curva piana Pagina 8 di

19 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Asintti di una curva piana Pagina 9 di

20 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Lim TEREMA N è C.N.S. perché la curva γ di equazine y ammetta la retta di equazine cme asintt verticale. Gli asintti verticali di una curva piana, quand esistn, vann ricercati in crrispndenza degli eventuali punti di divergenza della ƒ, ciè nei punti in cui ( ) diverge. Una curva piana può nn ammettere asintti verticali, ne può ammettere un sl, ne può ammettere più di un, ne può ammettere ininiti cme avviene per alcune unzini gnimetriche. Lim Asintt verticale destr Lim Asintt verticale sinistr Lim Asintt verticale in alt Lim Asintt verticale in bass Lim Asintt verticale destr in alt Lim Asintt verticale destr in bass Lim Asintt verticale sinistr in alt Lim Asintt verticale sinistr in bass La retta di equazine y m n SSERVAZINE N è asintt bliqu della curva γ di equazine y ( ) può essere scritta nella rma : m n g cn : Lim g 0. se SSERVAZINE N Spess l analisi del cmprtament della unzine agli estremi del dmini ci cnsente di trvare : ) l asintt rizzntale che, se esiste, ci evita la ricerca dell eventuale asintt bliqu ) gli eventuali asintti verticali Asintti di una curva piana Pagina 0 di

21 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine SSERVAZINE N I limiti [] e[], presentandsi rispettivamente nelle rme indeterminate e pssn essere calclati applicand le regle di De L Hspital. In particlare avrem : m Lim Lim Esistn unzini dtate di asintt bliqu il cui ceiciente anglare m nn può essere calclat cme il limite della derivata prima. SSERVAZINE N 4 L asintt bliqu ( rizzntale ) può incntrare al init la curva γ in un più punti SSERVAZINE N 5 Se il punt imprpri P della curva γ ha entrambe le crdinate ininite allra l eventuale asintt di γ è sicuramente asintt bliqu. In quest cas risulta : π ϑ 0, ϑ Se P ha ascissa ininita ed rdinata inita l asintt dicesi rizzntale. In quest cas abbiam : ϑ 0, m 0 Se P ha ascissa inita ed rdinata ininita l asintt dicesi verticale. In quest cas abbiam : π π ϑ, m tgϑ tg Asintti di una curva piana Pagina di

22 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Calclare l equazine dell asintt bliqu della curva piana γ avente equazine y 5 5, dm ], ] [, [ m Lim 5 Lim 5 Lim Lim 5 Lim 5 Lim m Lim [ ] [ 5 8 ] n Lim m Lim Lim[ ] Lim[ ] Lim[ ] Lim Lim 0 y 8 asintt bliqu destr m Lim 5 5 [ ] [ 5 ] n Lim m Lim Lim[ ] Lim[ ] Lim[ ] Lim Lim 0 y asintt bliqu sinistr Asintti di una curva piana Pagina di

23 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine 4 {} dm R Lim 0 y asintt bliqu cmplet Lim asintt verticale cmplet Asintti di una curva piana Pagina di

24 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Indicazini generali per l studi e la rappresentazine graica delle unzini ƒ() Studiare una unzine signiica individuare tutte le sue prprietà e ricercare tutti gli elementi utili per la cstruzine del su graic. Di slit cnviene analizzare le seguenti questini : 0) dmini camp di esistenza insieme di esistenza 0) intersezini cn gli assi cartesiani 0) segn della unzine 04) cndizini agli estremi, ciè cmprtament della unzine agli estremi del su dmini 05) cntinuità e discntinuità della unzine 06) asintti 07) intervalli di mntnia, ciè calcl della derivata prima e studi del su segn per la determinazine degli intervalli in cui la unzine è strettamente crescente strettamente decrescente e degli eventuali punti estremanti ( relativi ed assluti ) 08) discntinuità della derivata prima, ciè determinazine dei punti in cui la unzine è cntinua ma nn derivabile : punti anglsi, cuspidi di prima specie, lessi a tangente verticale 09) intervalli di cnvessità, ciè calcl della derivata secnda e studi del su segn per la determinazine degli intervalli in cui la unzine è cnvessa cncava e degli eventuali punti di less 0) simmetrie evidenti ) eventuale peridicità della unzine ) cdmini ) calcl di particlari valri di ( ) e di ( ) 4) tabella riepilgativa dei risultati, utile per avere una visine glbale delle prprietà della unzine 5) cstruzine del graic della unzine. E appena il cas di ricrdare che, nell studi delle unzini ( ), nn è necessari seguire l rdine spraindicat trattare tutte le questini elencate L studi delle unzini () Pagina 4 di

25 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Dmini della unzine dm R Intersezini cn gli assi cartesiani 0 y 0 Il graic della unzine incntra gli assi cartesiani nell rigine Segn della unzine 0 Lim Lim Cndizini agli estremi Lim / Lim 0 y 0 Asintt rizzntale / cmplet (In quest cas nn è necessaria la ricerca dell asintt bliqu ) Cntinuità e discntinuità della unzine La unzine prpsta è cntinua in tutt il su dmini ( ) Simmetrie evidenti La unzine è dispari e, quindi, il su graic è simmetric rispett all rigine degli assi cartesiani ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ± Intervalli di mntnia 0 e ln ln L studi delle unzini () Pagina 5 di

26 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine punt di minim asslut ( ) ( ) N minim asslut, immagine gemetrica del minim asslut punt di massim asslut ( ) massim asslut M(, ) immagine gemetrica del massim asslut Intervalli di cnvessità ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 e ( ) , ± ln punt di less ascendente punt di less ascendente 0 punt di less discendente Le rdinate dei punti di less sn :, Le immagine gemetriche dei tre lessi sn : F ( 0) 0,, ( 00),, F, Si può dimstrare che i tre lessi sn allineati e si trvan sulla retta di equazine y L studi delle unzini () Pagina 6 di

27 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine y ln Dmini della unzine dm R ] 0, [ Intersezini cn gli assi cartesiani y 0 ln 0 Il graic della unzine incntra l'asse delle ascisse nel punt N (,) 0 Segn della unzine 0 dm Cmprtament della unzine agli estremi del dmini ln Lim Limln Lim Lim ln 0 ln Lim 0 Lim 0 Lim 0 0 La unzine presenta nel punt di ascissa 0 una discntinuità di secnda specie in quant nn esiste il limite sinistr. Se pniam ( 0 ) Limln 0 0 allra prlunghiam per cntinuità dalla destra la unzine prpsta nel punt di ascissa 0. Quindi la unzine data è cntinua in tutt l'intervall [ 0, [ m Eventuale asintt bliqu Lim ( ) Lim ln Il graic della unzine nn presenta asintt bliqu. ln ( ln ) ln 0 ciè e Intervalli di mntnia 0 ln ( ln ) 0 ln 0 ciè e punt di minim asslut ( ) 0 minim asslut N( 0, ) immagine gemetrica del minim asslut e punt di massim relativ 4 massim relativ e e M 4, e e immagine gemetrica del massim relativ L studi delle unzini () Pagina 7 di

28 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine 0 e ln ln Lim La tangente destra al graic della unzine è verticale e cincide cn 0 l'asse delle y. ( ln ) Intervalli di cnvessità 0 ln 0 0 e ln e punt di less ascendente e e F, e e e less ascendente e ey 0 equazine della tangente inlessinale immagine gemetrica del e ey 0 M 4, e e N( 0, ) F, e e M F ln N L studi delle unzini () Pagina 8 di

29 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine se <, > se < < Dmini della unzine dm R { ± } Intersezini cn gli assi cartesiani 0 y 0 Il graic della unzine passa per l'rigine degli assi cartesiani Segn della unzine - 0 Cmprtament della unzine agli estremi del dmini Lim ± ± Lim ± asintt verticale cmplet in bass Lim ± asintt verticale cmplet in alt Eventuale asintt bliqu m Lim ( ) ± Lim ± n Lim [ ] Lim y ± ± ± asintt bliqu cmplet Lim 0 Intervalli di mntnia ( ) ( ) ( ) ( ) se <, > se < < L studi delle unzini () Pagina 9 di

30 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine 0 ( ) 0 0 ± - 0 ( ) punt di massim relativ ( ) massim relativ M, immagine gemetrica del massim relativ punt di minim relativ minim relativ N, immagine gemetrica del minim relativ Simmetrie evidenti ( ) La unzine prpsta è dispari ed il su graic è simmetric rispett all'rigine degli assi cartesiani. Intervalli di cnvessità ( ) se <, > ( ) ( ) se < < ( ) ( ) 0 punt di less ascendente L studi delle unzini () Pagina 0 di

31 Unità Didattica N 8 Estremi,Asintti,lessi del graic di una unzine Eventuali intersezini dell'asintt bliqu cl graic della unzine y y ± (, ) 0 0 Q, Q, N M M, N, Q, Q, Q Q L studi delle unzini () Pagina di