Excel: una piattaforma facile per l ottimizzazione. Excel ha un toolbox di ottimizzazione: Risolutore

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1 Excel: una piattaforma facile per l ottimizzazione Excel ha un toolbox di ottimizzazione: Risolutore

2 Il problema di produzione con Excel Consideriamo il foglio Excel Variabili di decisione reali c8,d8 Funzione obiettivo c6*c8+d6*d8 4 Prezzo unitario Costo Unitario 1,5 1 6 Profitto Unitario 4,5 4 7 ore per unità 0,001 0,001 8 produzione Profitto dati 11 Costo totale budget max_ore 14 Differenza Ore utilizzo 6 Costo: c5*c8+d5*d8 Ore: c7*c8+d7*d8 Equazioni dei vincoli

3 Risolvere un problema di LP con Excel Nel menù principale selezionate Strumenti e poi solutore

4 Risolvere un problema di LP con Excel Apparirà una finestra di dialogo simile a questa: Funzione obiettivo Variabili di decisione Vincoli Tipo di problema (max o min)

5 Definire la funzione obiettivo Funzione obiettivo P TOT = c9 Il valore può essere ottenuto con un click sulla cella che contiene l obiettivo

6 Inizializzare le variabili di decisione Occorre dare un valore iniziale (zero è ammissibile) - ipotizza Le celle C8 and D8 contengono il valore delle variabili. Alla fine del processo di calcolo conterranno il valore ottimale

7 Definire i vincoli Click Aggiungi Finestra dei vincoli

8 Definire i vincoli Indirizzi delle celle Indirizzo di una cella o un valore costante I vincoli possono essere: B A Int (valore intero) A bin (valore binario 0,1) A

9 Definire le opzioni Cliccando su Opzioni compare la finestra dei parametri Dobbiamo usare il modello lineare (usa il metodo del simplesso) e variabili non negative (in alternativa possiamo definire I vincoli alternativi c8, d8 0).

10 Definire le opzioni Tempo massimo Numero massimo di iterazioni Modello del simplesso Modelli più complessi (non lineari)

11 Risolvere il problema di LB con Excel Partiamo con l ottimizzazione Click sul pulsante Risolvi

12 Risultato finale con Excel I valori iniziali sono stati sostituiti con i valori ottimi La soluzione algoritmica è la stessa di quella ottenuta per via grafica

13 Cambi nelle opzioni del problema LP Riduzione del tempo Riduzione delle iterazioni Riduzione o aumento della tolleranza Soluzione inalterata

14 Cambi nelle opzioni del problema LP Cambio del modello Soluzione inalterata Questo in generale non è vero

15 Modello matematico per il Capital budgeting Variabili di decisione x i = 1 se il progetto i è selezionato i=1,2,3 0 se il progetto i non è selezionato Funzione obiettivo Vincoli max 12 x 1 +8 x 2 +7 x 3 Guadagno 8 x 1 +6 x 2 +5 x 3 15 budget x 1, x 2, x 3 0,1 Programmazione lineare intera (ILP)

16 Capital Budget con Excel B C D E 2 Capital Budgeting 3 progetto 1 progetto 2 progetto 3 4 investimento guadagno dati 6 7 Valori di tentativo investimento totale 6 15 budget 9 guadagno totale 8 Variabili di dcisione intere c7,d7,e7 Obiettivo C5*C7+D5*D7+E5*E7 Vincoli C4*C7+D4*D7+E4*E7

17 Modello matematico per il Capital budgeting Variabili di decisione 1 se il progetto i è selezionato x i = i=1,2,3 0 se il progetto i non è selezionato Funzione obiettivo Vincoli max 12 x 1 +8 x 2 +7 x 3 Guadagno 8 x 1 +6 x 2 +5 x 3 15 budget x 1, x 2, x 3 0,1 Programmazione lineare intera (ILP)

18 Capital Budget con Excel B C D E 2 Capital Budgeting 3 progetto 1 progetto 2 progetto 3 4 investimento guadagno dati 6 7 Valori di tentativo investimento totale 6 15 budget 9 guadagno totale 8 Variabili di dcisione intere c7,d7,e7 Vincoli C4*C7+D4*D7+E4*E7 Obiettivo C5*C7+D5*D7+E5*E 7

19 Risoluzione del Capital Budget con Excel Funzione obiettivo

20 Risoluzione del Capital Budget con Excel Le variabili (c7,d7,e7) sono binarie (0-1)

21 Risoluzione del Capital Budget con Excel x 1 x 2 x 3 <= 1 x 1 x 2 x 3 >= 0 x 1 x 2 x 3 int

22 Risoluzione del Capital Budget con Excel

23 Risoluzione del Capital Budget con Excel

24 Cambio delle opzioni in problema di ILP Riduzione delle iterazioni Riduzione della tolleranza Soluzione inalterata ma il risolutore non certifica il raggiungimento dell ottimalità

25 Cambio delle opzioni in problema di ILP Aumento della tolleranza La soluzione cambia!!! Il risolutore dichiara di aver raggiunto l ottimo, ma non è

26 Un problema LP è molto diverso da un problema ILP? Per i problemi LP l ottimalità è sempre certificata Per i problemi LP la sub-ottimalità non esiste Per i problemi ILP l ottimalità è difficilmente certificata Per i problemi ILP possono esistere soluzioni sub-ottimali

27 Un ulteriore problema di produzione Una industria può produrre cinque tipi di prodotti PROD1, PROD2, PROD3, PROD4, PROD5 Si possono utilizzare due diversi processi di produzione basati su tornitura and foratura Ciascuna unità di prodotto richiede un certo tempo per ciascun processo PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD5 Tornitura Trapanatura L industria ha 3 torni e 2 trapani che lavorano a 6 giorni alla settimana con 2 turni di 8 ore al giorno

28 Un ulteriore problema di produzione L assemblaggio finale di ciascuna unità di prodotto utilizza 20 ore uomo 8 uomini sono impiegati nell assemblaggio per un turno al giorno Al netto del costo della materia prima, ciascuna unità di prodotto rende il seguente profitto PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD5 Profitto unitario Qual è il piano di produzione che massimizza il profitto? Funzione obiettivo

29 Modello matematico I cinque tipi di prodotti sono le variabili di decisione PROD1 = x 1, PROD2 = x 2, PROD3 = x 3, PROD4 = x 4, PROD5 = x 5 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 >= 0 La funzione obiettivo è il profitto da massimizzare max (2.5 x x x x x 5 )*100 Vincoli: Solo 8 uomini * 1 turno * 6 giorni per assemblaggio = = 8 uomini * 8 ore *6 giorni = x x x x x 5 <= 384 Ore uomo per unità assemblata

30 Modello matematico (2) Vincoli: Tornitura Vincoli tecnologici Solo 3 macchine * 2 turni * 6 giorni = = 3 macchine * 16 ore * 6 giorni = x x x x 5 <= 288 Trapanatura Solo 2 macchine * 2 turni * 6 giorni = 2 macchine * 16 ore * 6 giorni = x x x 3 <= 192

31 Modello matematico (3) max 2.5 x x x x x 5 20 x x x x x x x x x x x x x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 integer

32 Il problema di produzione con Excel 1 B C D E F G 2 PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD5 3 Profitto unitario Tornitura Trapanatura Assemblaggio Produzione Profitto totale Tempo tor Oremassime tor. 11 Tempo trap Ore massime trap. 12 Tempo ass Ore massime ass. dati 384=8 uomini * 8 ore *6 giorni 288= 3 macchine * 16 ore * 6 giorni 192= 2 macchine * 16 ore * 6 giorni

33 Il modello LP con Excel Funzione obiettivo Vincoli Variabili di decisione (reali)

34 Risolvere il problema LP con Excel Soluzione frazionaria Occorre inserire i vincoli interi

35 Approssimare la soluzione Noi possiamo approssimare la soluzione frazionaria ad un valore intero E una soluzione ottimale?

36 Modello ILP con Excel Vincoli Variabili di decisione intere

37 Risolvere il problema ILP con Excel Soluzione intera La soluzione ottenuta è migliore di quella approssimata

38 Approssimare la soluzione In questo caso si poteva pensare di arrotondare anche per eccesso In tal modo si sarebbe ottenuta la soluzione ottimale

39 Una modifica al problema di produzione Immaginiamo che per motivi commerciali sia necessario produrre almeno tre oggetti di ciascuna linea di produzione

40 Una modifica al problema di produzione Programmazione non intera prod1 prod2 prod3 prod4 prod5 Profitto unitario Tornitura Trapanaura Assemblaggio Produzione 3,0 6,6 3,6 3,0 3,0 Profitto totale 7770 Tempo tor Ore massime tor. Tempo trap. 140,4 192 Ore massime trap. Tempo ass Ore massime ass. E possibile arrotondare?

41 Una modifica al problema di produzione Vincoli violati!!! Valori arrotondati prod1 prod2 prod3 prod4 prod5 Profitto unitario Tornitura Trapanaura Assemblaggio Produzione 3,0 7,0 4,0 3,0 3,0 Profitto totale 8150 Tempo tor Ore massime tor. Tempo trap Ore massime trap. Tempo ass Ore massime ass.

42 Una modifica al problema di produzione Programmazione intera prod1 prod2 prod3 prod4 prod5 Profitto unitario Tornitura Trapanaura Assemblaggio Produzione 3,0 6,0 4,0 3,0 3,0 Profitto totale 7550 Tempo tor Ore massime tor. Tempo trap Ore massime trap. Tempo ass Ore massime ass.

43 Un problema di miscelazione Un alimento è prodotto raffinando diverse qualità di olio grezzo e miscelandole opportunamente. L olio grezzo si divide in due categorie: vegetale (VEG1, VEG2) e non vegetale (OIL1,OIL2,OIL3) VEG1, VEG2 costano (alla tonnellata) ristettivamente 110 e 120 OIL1,OIL2,OIL3 costano (alla tonnellata) ristettivamente 130, 110 e 115 Costi di produzione L alimento è venduto a 150 per ton. Come deve essere prodotto l alimento per massimizzare il profitto? Prezzo di vendita Funzione obiettivo

44 Modello matematico Le variabili di decisione rappresentano le quantità di olio che devono essere miscelate insieme VEG1 = x 1, VEG2 = x 2, OIL1 = x 3, OIL2 = x 4, OIL3 = x 5 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 >= 0 Supponiamo che non ci siano perdite nel processo di raffinamento e in quello di miscelazione Prodotto totale = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 Funzione obiettivo Massimizzare profitto = prezzo di vendita - costi

45 Modello matematico Prezzo di vendita = 150 * prodotto totale = 150 * (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) Costi = 110 x x x x x 5 Costo unitario di VEG1 Problema Max 40 x x x x x 5 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 >= = profitto unitario su VEG1

46 Tavola Excel dati =SOMMA(C7:G7) costi=c5*c7+d5*d7+e5*e7+f5*f7+g5*g7 Prezzo di vendita = C9*E9

47 Impostazione del Risolutore Excel Solo il vincolo di non negatività

48 Risultato finale con Excel Non esiste soluzione ottimale (L algoritmo non converge) Illimitatezza Il modello non è ben definito!

49 Perfezionamento del modello Limiti di produzione: quantità massima di prodotto raffinabile 200 ton. di olio vegetale e 250 ton. di olio NON vegetale Disponibilità

50 Modello matematico Vincolo di disponibilità VEG1 + VEG2 <= 200 OIL1 + OIL2 + OIL3 <= 250 Il problema riformulato Max 40 x x x x x 5 x 1 + x 2 <= 200 x 3 + x 4 + x 5 <= 250 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 >= 0

51 Tavola Excel Nuovi dati x 1 +x 2 = C8+D8=C9 x 3 +x 4 +x 5 = E8+F8+G8=F9

52 Impostazione del Risolutore Funzione obiettivo = profitto Vincoli

53 Risultato finale con Excel

54 Vincolo di qualità Nei problemi di miscelazione può essere presente un vincolo che misura la qualità del prodotto finale Il prodotto finale deve avere un grado di durezza non elevato. In percentuale deve risultare compreso tra 3 e 6. Suppiamo che la durezza dipenda linearmente da quelle degli olii grezzi. Nuovi dati = durezza % degli olii grezzi

55 Modellizzare il vincolo di durezza Vincolo di durezza: Contributo alla durezza degli olii grezzi 8.8 VEG VEG2 + 2 OIL OIL2 +5 OIL3 da rapportare al prodotto finale VEG1 + VEG2 + OIL1 + OIL2 + OIL3

56 Modellizzare il vincolo di durezza Vincolo di durezza: x 1 6.1x x1 x x3 4.2 x x3 x4 x5 4 5 x 5 6 NON lineare! Durezza % del prodotto finale 8.8 x x x x x 5 <= 6(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 8.8 x x x x x 5 >= 3(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 )

57 Modello Matematico Il modello matematico del problema di miscelazione si scrive: Max 40 x x x x x 5 x 1 + x 2 <= 200 x 3 + x 4 + x 5 <= x x x x x 5 <= 6(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 8.8 x x x x x 5 >= 3(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 >= 0

58 Tavola Excel Dati del prodotto finale Vincolo di durezza

59 Impostazione del risolutore Funzione obiettivo = profitto Vincoli

60 Risultato finale con Excel Caratteristiche finali dell alimento

61 Un problema di impianti multipli Una società possiede due fabbriche: A e B. Ciascuna fabbrica produce due prodotti: standard e deluxe Ciascuna unità di prodotto produce il seguente profitto: standard deluxe Unità di profitto Ciascuna fabbrica usa due processi di produzione, rettifica e brunitura.

62 Un problema di impianti multipli I tempi di rettifica e brunitura in ore per una unità di ciascun tipo di prodotto in ogni fabbrica sono: La fabbrica A ha una capacità di rettifica di 80 ore per settimana e una capacità di brunitura di 60 ore per settimana La fabbrica B ha una capacità di rettifica di 60 ore per settimana e una capacità di brunitura di 75 ore per settimana

63 Un problema di impianti multipli Disponibilità di materiale grezzo Ciascun prodottto (standard o deluxe) richiede 4 kg di materiale grezzo La società ha 120 kg di materiale grezzo alla settimana Un possibile scenario 120 kg. La fabbrica A riceve 75 Kg La fabbrica B riceve 45 Kg

64 Modello matematico per la fabbrica A Le quantità dei due tipi di prodotti sono le variabili di decisione della fabbrica A standard = x 1, deluxe = x 2 x 1, x 2 >= 0 La funzione obiettivo è il profitto che deve essere massimizzato Profitto unitario del prodotto standard max 10 x x 2 Profitto unitario del prodotto deluxe Vincoli: Disponibilità di materiale grezzo 4 x x 2 <= 75 Kg di materiale grezzo per unità di prodotto standard Kg di materiale grezzo per unità di prodotto deluxe

65 Modello matematico per la fabbrica A (2) Vincoli: Vincoli di produzione Processo di rettifica 4 x x 2 <= 80 Processo di brunitura 2 x x 2 <= 60 max 10 x x 2 4 x x 2 <= 75 4 x x 2 <= 80 2 x x 2 <= 60 x 1, x 2 >= 0 Modello complessivo della fabbrica A

66 Rappresentazione geometrica Rappresentiamo l insieme F delle soluzioni ammissibili di A Nel piano (x 1, x 2 ), disegnamo le equazioni vincolari x 2 Tutti i punti non negativi regione ammissibile x 1 Il vincolo 4 x x 2 = 80 non concorre a definire la regione ammissibile: la sua eliminazione non modifica F costituiscono la Uso cattivo delle risorse!

67 Rappresentazione geometrica del profitto Nel piano (x 1, x 2 ) disegnamo l equazione del profitto P TOT per valori crescenti = x 2 P TOT = 10 x x 2 Sono rette parallele =150 =300 Troviamo il valore P TOT per cui la corrispondente retta tocca i punti di F P TOT =300 non tocca nessun punto di F x 1

68 Soluzione geometrica x Nel piano (x 1, x 2 ) disegnamo le rette parallele all equazione P TOT = 10 x x 2 =0 fino a quella che contiene l ultimo punto che tocca la regione ammissibile Soluzione ottima 2 x x 2 = 60 4 x x 2 = ore materiale grezzo P TOT = 10 x x 2 = = x 1

69 Foglio Excel per la fabbrica A dati Variabili di decisione = livelli di produzione x 1 =C9, x 2 =D9 Profitto = C4*C9+D4*D9 Vincolo di disponibilità = C5*C9+D5*D9 Vincolo di rettifica = C6*C9+D6*D9 Vincolo di brunitura = C7*C9+D7*D9

70 Risolutore Funzione obiettivo = profitto Variabili di decisione Vincoli

71 Modello matematico per la fabbrica B Le quantità dei due tipi di prodotti sono le variabili di decisione della fabbrica A standard = x 3, deluxe = x 4 x 3, x 4 >= 0 La funzione obiettivo è il profitto che deve essere massimimizzato Profitto unitario del prodotto standard max 10 x x 2 Profitto unitario del prodotto deluxe Vincoli: Disponibilità di materiale grezzo 4 x x 2 <= 45 Kg di materiale grezzo per unità di prodotto standard Kg di materiale grezzo per unità di prodotto deluxe

72 Modello matematico per la fabbrica B (2) Vincoli: Vincoli di produzione Processo di rettifica 4 x x 4 <= 60 Processo di brunitura 2 x x 4 <= 75 max 10 x x 4 4 x x 4 <= 45 4 x x 4 <= 60 2 x x 4 <= 75 x 3, x 4 >= 0 Modello complessivo della fabbrica B

73 Rappresentazione geometrica Rappresentiamo l insieme F delle soluzioni ammissibili di B Nel piano (x 3, x 4 ), disegnamo le equazioni vincolari x 4 Tutti i punti non negativi regione ammissibile x 3 costituiscono la Due vincoli 5 x x 4 = 75 e 5 x x 4 = 60 non concorrono a definire la regione ammissibile: la loro rimozione non modifica F Uso cattivo delle risorse!

74 Soluzione geometrica Nel piano (x 3, x 4 ) disegnamo l equazione del profitto P TOT per valori crescenti =0 x 4 P TOT = 10 x x 4 50 = Troviamo il valore P TOT per cui la corrispondente retta tocca la regione ammissibile Soluzione ottima = x 3 0 x 3 = 0 4 x x 4 = 45 P TOT = materiale grezzo

75 Foglio Excel per la fabbrica B dati Variabili di decisione = Livello di produzione x 3 =C9, x 4 =D9 Profitto = C4*C9+D4*D9 Vincolo di disponibilità = C5*C9+D5*D9 Vincolo di rettifica = C6*C9+D6*D9 Vincolo di brunitura = C7*C9+D7*D9 Nota: le formule excel sono le stesse per entrambe le fabbriche. Il modello è indipendente dai dati

76 Analisi della società in questo scenario SOCIETA' standard deluxe produzione 11,25 18,75 PROFITTO 393,75 Produzione totale = somma delle produzioni delle fabbriche A e B Profitto della società = somma dei profitti delle fabbriche A e B Questa soluzione è stata ottenuta con una allocazione arbitraria delle risorse

77 Cambio di scenario La soluzione è stata ottenuta con una allocazione arbitraria delle risorse, controlliamo cosa succede se si modificano le allocazioni di risorse Materiale grezzo totale 120 kg. La fabbrica A riceve 90 Kg La fabbrica B riceve 30 Kg

78 Cambio di scenario: vista geometrica x Fabbrica A 50 x 4 40 Fabbrica B x x 3 x Nuovo ottimo per A x 1 x Nuovo ottimo per B x P TOT = 250 P TOT = 112.5

79 Cambio di scenario: vista di excel Fabbrica A Il profitto è più alto di quello del precedente scenario Fabbrica B Il profitto è più basso di quello del precedente scenario

80 Analisi della società in questo nuovo scenario SOCIETA' standard deluxe produzione 17,5 12,5 PROFITTO 362,5 Produzione totale = somma delle produzioni delle fabbriche A e B Profitto della società = somma dei profitti delle fabbriche A e B Questa soluzione è peggiore della precedente

81 Modello matematico per la Società Le quantità dei due tipi di prodotti sono le variabili di decisione della fabbrica A e della fabbrica B standard in A= x 1, deluxe in A = x 2 standard in B= x 3, deluxe in B= x 4 x 1, x 2, x 3, x 4 >= 0 La funzione obiettivo è il profitto che deve essere massimizzato max 10 x x x x 4

82 Modello matematico per la Società (2) Vincoli: Vincoli di produzione Processo di rettifica Processo di brunitura 4 x x 2 <= 80 5 x x 4 <= 60 2 x x 2 <= 60 5 x x 4 <= 75 Fabbrica A Fabbrica B Fabbrica A Fabbrica B Vincoli: Disponibilità di materiale grezzo 4 x x x x 4 <= 120 Vincolo comune

83 Modello matematico per la Società max 10 x x x x 4 4 x x 2 <= 80 5 x x 4 <= 60 2 x x 2 <= 60 5 x x 4 <= 75 4 x x x x 4 <= 120 x 1, x 2, x 3, x 4 >= 0 Più di due variabili: utilizziamo il risolutore

84 Foglio Excel per la Società Variabili di decisione = livello di produzione Profitto = C4*(C10+E10)+D4*(D10+F10) x 1 =C10, x 2 =D10, x 3 =E10, x 4 =F10 Disponibilità = C5*(C10+ E10 )+D5*(D10+F10)

85 Definizione del risolutore

86 Soluzione ottimale per la Società Produzione ottimale: deluxe = 20.8, standard = 9.17 Profitto = Meglio di ottenuto con l allocazione arbitraria

87 Le slide utilizzate sono state tratte dal corso di Ricerca Operativa tenuto dai prof. Di Pillo e Palagi dell Università di Roma