Definizione di campione

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1 Defnzone d campone S consder una popolazone fnta U = {1, 2,..., N}. Defnamo campone ordnato d dmensone n qualsas sequenza d n etchette della popolazone anche rpetute. s = ( 1, 2,..., n ), dove j è l etchetta della j-esma untà estratta, con j = 1, 2,..., n. Defnamo campone un qualsas sottonseme d n untà d U. s = { 1, 2,..., n }, dove j è l etchetta della j-esma untà camponara, con j = 1, 2,..., n. ESEMIO: U = {1, 2, 3, 4}. Campon ordnat: (1, 1, 2), (1, 2, 2) e (2, 1, 1) campone: {1, 2}. 1/18?

2 Lo spazo camponaro Indcheremo con S 0 l unverso de campon ordnat e con S l unverso de campon dmensone del Dmensone dell unverso de campone campon ordnat campon ( ) n n N n N! = k n!(n n)! N N! qualsas + n!(n n)! = 2N 1 n=1 Tasso d sondaggo f = n/n 2/18?

3 Schema d selezone e pano d camponamento S chama schema d selezone del campone qualsas meccansmo o procedmento che porta alla selezone d un campone S chama pano d camponamento ogn funzone p(s) defnta su S (co sullo spazo camponaro) tale che: 1. p(s) 0, s S; 2. s S p(s) = 1. Schema d selezone ano d camponamento 3/18?

4 Esempo d schema d selezone Sa U = {1, 2,...,,..., N} 1. S estragga una etchetta a caso con probabltà ugual per ottenere la prma untà camponara. 2. S estragga una seconda etchetta a caso con probabltà ugual dalle rmanent. 3. S rpeta l passo 2 altre n 2 volte, dove n < N. ano d camponamento: p(s) = 1 ) = ( N n n!(n n)! N! 0 altrment se s ha dmensone n. Camponamento casuale semplce senza rpetzone. 4/18?

5 robabltà d nclusone del prmo ordne S chama probabltà d nclusone del prmo ordne dell untà d U la quanttà π = s p(s), dove la sommatora è estesa a tutt campon che contengono l untà. Se defnamo la varable ndcatrce δ come δ = { 1 se l untà appartene al campone 0 altrment, allora π = s S p(s)δ = E(δ ). 5/18?

6 Esempo d calcolo delle probabltà d nclusone del prmo ordne Sa U = {1, 2, 3, 4, 5} Campone p(s) δ 1 s 1 = {1, 2, 3, 4} 0,1 1 s 2 = {1, 2, 3, 5} 0,2 1 s 3 = {1, 2, 4, 5} 0,2 1 s 4 = {1, 3, 4, 5} 0,3 1 s 5 = {2, 3, 4, 5} 0,2 0 1,0 allora π 1 = 0, 8, s verfch che π 2 = 0, 7, π 3 = 0, 8, π 4 = 0, 8, π 5 = 0, 9. 6/18?

7 robabltà d nclusone del secondo ordne S chama probabltà d nclusone del secondo ordne della coppa d untà, j d U la quanttà π j = s,j p(s), dove la sommatora è estesa a tutt campon che contengono la coppa d untà e j. S ha anche che π j = s S p(s)δ δ j = E(δ δ j ). 7/18?

8 Esempo d calcolo delle probabltà d nclusone del secondo ordne Sa U = {1, 2, 3, 4, 5} Campone p(s) δ 1 δ 2 δ 1 δ 2 s 1 = {1, 2, 3, 4} 0, s 2 = {1, 2, 3, 5} 0, s 3 = {1, 2, 4, 5} 0, s 4 = {1, 3, 4, 5} 0, s 5 = {2, 3, 4, 5} 0, ,0 allora π 12 = 0, 5; s trovno per eserczo le altre. 8/18?

9 Calcolo delle probabltà d nclusone per l CCS rmo ordne π = s p(s) = (N 1)! n!(n n)! (n 1)!(N n)! N! = n N Secondo ordne π j = s j p(s) = (N 2)! n!(n n)! (n 2)!(N n)! N! = n N n 1 N 1 9/18?

10 Important defnzon per pan d camponamento relatve alle probabltà d nclusone Un pano d camponamento s dce probablstco se ogn untà della popolazone ha una probabltà del prmo ordne postva (π > 0, U) e calcolable. Un pano d camponamento s dce autoponderante se le probabltà d nclusone delle untà della popolazone sono tutte ugual (π costante). Un pano d camponamento s dce msurable se le probabltà d nclusone del secondo ordne sono tutte postve (π j > 0,, j U) e calcolabl. Il CCS è... 10/18?

11 ropretà delle probabltà d nclusone N 1. n(s) = δ E[n(s)] = =1 se n(s) = n, allora N π = n; =1 N =1 π 2. N N π j = V [n(s)] + E[n(s)]{E[n(s)] 1} =1 j se n(s) = n, allora N N π j = n(n 1) =1 j e π j = π (n 1). ( ) j ( ) 11/18?

12 Moment delle varabl ndcatrc δ δ per = 1, 2,..., N sono varabl casual bernoullane non ndpendent e tal che: E(δ ) = π, V (δ ) = π (1 π ), C(δ, δ j ) = E(δ δ j ) E(δ )E(δ j ) = π j π π j. 12/18?

13 La matrce de dat untà camponara etchetta varable y varable x... varable z 1 j 1 Y 1 X 1... Z 1 2 j 2 Y 2 X 2... Z 1 3 j 3 Y 3 X 3... Z j Y X... Z n j n Y n X n... Z n 13/18?

14 Le statstche camponare La meda camponara: ȳ = 1 n n =1 Y Il totale camponaro: t y = n =1 Y La varanza camponara: s 2 y = 1 n 1 n =1 (Y ȳ) 2 La covaranza camponara: s yx = 1 n 1 n =1 (Y ȳ)(x x) Il coeffcente d varazone c y = 100 s y ȳ Il rapporto tra total o mede Rc = t y t x = ȳ x Il coeffcente d correlazone lneare: rc yx = s yx s y s x Il coeffcente d regressone: bc y/x = s yx s 2 x Ad ogn parametro descrttvo della popolazone corrsponde una statstca camponara calcolata con la medesma formula (consderando l campone come una popolazone). S ottene uno stmatore naturale, ma... 14/18?

15 Stmator S chama stmatore ˆθ d un parametro θ della popolazone ogn statstca camponara prescelta per assegnare un valore al parametro consderato. S chama stma l valore numerco dello stmatore nel campone estratto. S chama errore d stma la dfferenza tra la stma e l valore del parametro. Dstrbuzone camponara dello stmatore ˆθ campone probabltà stma errore d stma s 1 p(s 1 ) ˆθ1 ˆθ1 θ s 2 p(s 2 ) ˆθ2 ˆθ2 θ s 3 p(s 3 ) ˆθ3 ˆθ3 θ.. s M p(s M ) ˆθn ˆθM θ. 15/18?.

16 Crter d selezone dello stmatore 1 Correttezza. Sa E(ˆθ) = s S ˆθ s p(s). Uno stmatore del parametro θ s dce corretto, o non dstorto, se l suo valore atteso concde con θ: E(ˆθ) = θ. S chama dstorsone d uno stmatore la quanttà B(ˆθ) = E(ˆθ) θ. 16/18?

17 Crter d selezone dello stmatore 2 Effcenza. Errore quadratco medo dello stmatore: MSE(ˆθ) = s S (ˆθ s θ) 2 p(s). Vale che MSE(ˆθ) = V (ˆθ) + B(ˆθ) 2 ( ), dove V (ˆθ) = s S [ˆθ s E(ˆθ)] 2 p(s), è la varanza dello stmatore. Uno stmatore ˆθ 1 s dce pù effcente d un altro stmatore ˆθ 2 se s verfca che MSE(ˆθ 1 ) MSE(ˆθ 2 ) per ogn valore d θ. 17/18?

18 Le stratege camponare S chama stratega camponara ogn coppa costtuta da un pano d camponamento e da uno stmatore, ovvero [p(s), ˆθ]. Correttezza. Una stratega camponara s dce corretta se lo stmatore è corretto rspetto al pano d camponamento prescelto. Effcenza. Una stratega camponara [p 1 (s), ˆθ 1 ] s dce pù effcente d un altra stratega [p 2 (s), ˆθ 2 ] se s verfca che MSE 1 (ˆθ 1 ) MSE 2 (ˆθ 2 ) per ogn valore d θ. L obettvo della teora de campon è quello d ndvduare la stratega pù effcente a partà d costo complessvo della rlevazone. 18/18?