Equazioni della fisica matematica

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1 Equazioni ella fisica matematica Equazione i conservazione ella massa in fluioinamica Questo principio ella fisica si può scrivere come ρ = ρv n, t ove è una generica porzione i spazio occupata al fluio, ρ è la ensità e v la velocità el fluio, e n è il versore normale alla superficie, che qui, come sempre nel seguito, sarà consierato come orientato verso l esterno i. Applicano il teorema ella ivergenza si ottiene: (1) ρ + iv(ρv) = 0. [Bramanti-Pagani-alsa, Analisi Matematica 2, pag. 338.] Equazione i conservazione ella quantità i moto in fluioinamica Analogamente al caso ella conservazione ella massa, questo principio ella fisica si può scrivere, per ogni componente ρv i, i = 1, 2, 3, come ρv i = ρv i v n p n i + (T n) i + ρf i, t ove è una generica porzione i spazio occupata al fluio, f è l accelerazione elle forze esterne, ρ è la ensità, v la velocità, p la pressione el fluio, T è il tensore elle tensioni interne viscose, e l espressione (T n) i significa (T n) i = T ik n k. Applicano il teorema ella ivergenza si ottiene (notano che pn i = pe i n e iv(pe i ) = p x i, e similmente, per ogni i = 1, 2, 3, T ik n k = T ik e k n e iv(t ik e k ) = T ik, aveno inicato con e k il versore ell asse x k ) ρv i v n pn i + (T n) i e quini = Data l arbitrarietà el volume si ottiene iv(ρv i v) ( ρv i + iv(ρv i v) + p x i ρv p x i + T ik ρf i + iv(ρv v) + gra p iv T = ρ f, ) T ik, = 0 aveno inicato con ρv v il tensore i elementi ρv i v k e con iv(ρv v) e iv T i vettori la cui i-esima T ik componente è iv(ρv i v) e, rispettivamente. 1

2 Per i fluii viscosi classici il tensore elle tensioni T è ato a T ik = 2 µ D ik + (ζ 2 ) 3 µ iv v δ ik, ove le costanti µ > 0 e ζ 0 sono i coefficienti i viscosità i scorrimento e i volume, rispettivamente, D ik = 1 2 ( vi + v ) k x i è la parte simmetrica ella matrice jacobiana i v, e δ ik è il tensore i Kronecker (che vale 1 per i = k e 0 altrimenti). Di conseguenza l equazione iviene (2) ρv + iv(ρv v) + gra p µ v (ζ + 1 ) 3 µ gra iv v = ρ f, poiché iv T = µ iv gra v + µ gra iv v + (ζ 2 3 µ) gra iv v. Equazione i incomprimibilità in fluioinamica Questo principio ella fisica si può scrivere come conservazione i ogni volume i fluio nel corso el moto: 1 = 0, t (t) ove (t) è la regione i spazio occupata al fluio all istante t. i sta quini segueno il fluio nel suo moto, con un impostazione lagrangiana. Dimostriamo innanzitutto una relazione generale (il cosietto teorema el trasporto): (3) ( ) f = + v gra f + f iv v, t (t) (t) ove f è una qualunque funzione e v è la velocità el fluio. Per imostrare questo risultato introuciamo il campo vettoriale Φ(t, x), che è la posizione all istante t ella particella che all istante 0 stava in x. Dunque si ha (t) = {Φ(t, x) x (0)}. Dato che il fluio si muove con velocità v, il campo vettoriale Φ(t, x) soisfa al seguente problema i Cauchy (in cui x viene consierato come parametro fissato): (4) Φ(t, x) = v(t, Φ(t, x)) for t > 0, t Φ(0, x) = x. In altri termini, la posizione Φ(t, x), che è eterminata alla velocità el fluio, si ottiene integrano la velocità lungo la traiettoria che la particella i fluio sta percorreno. iamo ora in grao i completare la verifica ella relazione (3): innanzitutto si ha, per cambiamento i variabili X = Φ(t, x) a ogni t fissato, (5) (t) f(t, X) X = (0) f(t, Φ(t, x)) et Jac Φ(t, x) x. 2

3 Poi si può imostrare (ma non lo faremo qui... (1) ) che a x fissato la funzione j(t) = et Jac Φ(t, x) soisfa il problema i Cauchy (6) { j (t) = (iv v)(t, Φ(t, x)) j(t) for t > 0, j(0) = et Jac x = 1, per cui in particolare ( t ) j(t) = exp (iv v)(s, Φ(s, x)) s > 0. 0 Dunque nella formula (5) il moulo i j(t) = et Jac Φ(t, x) può essere tolto. eniamo finalmente al calcolo ella erivata rispetto al tempo: si ha, erivano (5), passano la erivata entro il segno i integrale e usano la regola i erivazione el prootto, f = f(t, Φ(t, x)) et Jac Φ(t, x) x t (t) t (0) = [f(t, Φ(t, x))] et Jac Φ(t, x) x + f(t, Φ(t, x)) [et Jac Φ(t, x)] x,. t t (0) Usano (4) nel primo aeno si ottiene, per erivazione i funzione composta, [f(t, Φ(t, x))] = (t, Φ(t, x)) + t = (t, Φ(t, x)) + ( = + v gra f i=1 i=1 (0) (t, Φ(t, x)) Φ i (t, x) X i t X i (t, Φ(t, x))v i (t, Φ(t, x)) ) (t, Φ(t, x)). (1) Bensì qui nella nota: ma solo in ue variabili, perché i conti sono sostanzialmente gli stessi che in tre variabili, ma occupano meno spazio. Dunque, per x fissato, sia j(t) = et Jac Φ(t, x): tralasciano a qui in avanti la ipenenza a t e x si ha j = Φ 1 x 1 Φ 2 x 2 Φ 2 x 1 Φ 1 x 2. Dalla regola i erivazione el prootto, scambiano l orine i erivazione fra tempo e spazio, usano (4) e inicano con g Φ la funzione (t, x) g(t, Φ(t, x)), otteniamo ( ) j = 2 Φ 1 Φ 2 + Φ 1 2 Φ 2 2 Φ 2 Φ 1 Φ 2 2 Φ 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 = (v 1 Φ) Φ 2 + Φ 1 (v 2 Φ) (v 2 Φ) Φ 1 Φ 2 (v 1 Φ). x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 Per erivazione i funzione composta per k, j = 1, 2 si ha ( ) ( ) (v k Φ) vk Φ1 vk Φ2 = Φ + Φ. x j X 1 x j X 2 x j Insereno questi risultati in ( ) e eliminano i termini i segno opposto si ottiene facilmente cioè (6). ( j Φ1 Φ 2 = [(iv v) Φ] Φ ) 2 Φ 1, x 1 x 2 x 1 x 2 3

4 Usano (6) nel secono aeno si trova f(t, Φ(t, x)) [et Jac Φ(t, x)] = (f iv v)(t, Φ(t, x)) et Jac Φ(t, x). t i è quini ottenuto ( ) f(t, X) X = + v gra f + f iv v (t, Φ(t, x) et Jac Φ(t, x) x, t (t) (0) e il teorema i trasporto segue riportano l integrale in (t) con il cambiamento i variabile X = Φ(t, x). Preneno f = 1 in (3) segue che 0 = t (t) 1 X = (t) iv v(t, X) X per t > 0. Dall arbitrarietà el volume (t) segue che l equazione i incomprimibilità si può esprimere come (7) iv v = 0. Equazione ell elettrostatica in elettromagnetismo Questo principio ella fisica si può scrivere come ɛe n = ρ, ove è una generica porzione i spazio, ρ è la ensità i carica, E è il campo elettrico e ɛ > 0 è la permittività elettrica. Applicano il teorema ella ivergenza si ottiene: (8) iv(ɛe) = ρ. e il problema consierato è inipenente al tempo, all equazione i Faraay (si vea (11) più avanti...) viene rot E = 0. In un ominio semplicemente connesso questo equivale a E = gra ϕ, ove ϕ è il potenziale elettrico, per cui (8) iventa iv(ɛ gra φ) = ρ ; nel caso in cui ɛ sia una costante, si arriva a ϕ = ρ ɛ, ato che iv gra =. [Bramanti-Pagani-alsa, Analisi Matematica 2, pag. 337.] Equazione ella magnetostatica in elettromagnetismo Questo principio ella fisica si può scrivere come µh n = 0, 4

5 ove è una generica porzione i spazio, H è il campo elettrico e µ > 0 è la permeabilità magnetica: in altri termini, non esistono cariche magnetiche isolate. Applicano il teorema ella ivergenza si ottiene: (9) iv(µh) = 0. Equazione i Ampère in elettromagnetismo Questo principio ella fisica si può scrivere come J n = + H r, ove è una generica superficie nello spazio, J è la ensità i corrente e H il campo magnetico: in altri termini, il flusso ella ensità i corrente, cioè l intensità i corrente, attraverso una superficie è uguale alla circuitazione el campo magnetico lungo il boro ella superficie (percorso nel verso coerente con la normale a, cioè in moo che, abbracciano la normale, si lasci a sinistra la superficie ). La legge però richiee che la ensità i corrente sia costante nel tempo: in caso contrario, bisogna consierare la più generale equazione i Maxwell Ampère (si vea (13) più avanti...). Applicano il teorema i tokes si ha H r = rot H n, e unque + (rot H J) n. Dall arbitrarietà ella superficie (che può essere in ogni posizione el ominio consierato, e con qualsiasi orientazione ella sua normale) si ottiene la relazione vettoriale (10) rot H = J. Equazione i Faraay in elettromagnetismo Questo principio ella fisica si può scrivere come µh n = E r, t + ove è una generica superficie nello spazio, H è il campo magnetico, E è il campo elettrico e µ la permeabilità magnetica: in altri termini, la variazione in tempo el flusso ell inuzione magnetica B = µh attraverso una superficie è uguale all opposto alla circuitazione el campo elettrico lungo il boro ella superficie (percorso nel verso coerente con la normale a, cioè in moo che, abbracciano la normale, si lasci a sinistra la superficie ). Applicano il teorema i tokes si ha E r = rot E n, + e unque ( ) B + rot E n = 0. 5

6 Dall arbitrarietà ella superficie (che può essere in ogni posizione el ominio consierato, e con qualsiasi orientazione ella sua normale) si ottiene la relazione vettoriale (11) B + rot E = 0. [Bramanti-Pagani-alsa, Analisi Matematica 2, pag. 342, esempio 6.3.] Equazione i conservazione ella carica in elettromagnetismo imilmente al principio i conservazione ella massa, questo principio ella fisica si può scrivere come ρ = J n, t ove è una generica porzione i spazio occupata al fluio, ρ è la ensità i carica e J la ensità i corrente. Applicano il teorema ella ivergenza si ottiene: (12) ρ + iv J = 0. Equazione i Maxwell Ampère in elettromagnetismo È una generalizzazione ell equazione i Ampère al caso ipenente al tempo. Parteno a (8) e faceno la erivata in tempo si ottiene ρ = iv(ɛe) ; utilizzano (12) ne viene quini iv J = iv(ɛe) ( ) ɛe iv + J = 0. In una regione ello spazio la cui frontiera sia connessa questa relazione ice che la quantità ɛe + J eve avere un potenziale vettore, cioè eve esistere un campo vettoriale A per cui ɛe + J = rot A. Nel caso non ipenente al tempo a (10) sappiamo che A = H, unque è coerente con le equazioni ell elettromagnetismo già eterminate che valga, (13) ɛe + J = rot H, che è l equazione che Maxwell propose come generalizzazione ell equazione i Ampère al caso ipenente al tempo. [Non esattamente con questo approccio, ma con lo stesso risultato: Bramanti-Pagani-alsa, Analisi Matematica 2, pag. 344, esercizio 32.] 6

7 Equazione i conuzione el calore In moo simile al principio i conservazione ella carica, questo principio ella fisica si può scrivere come c v ρ ϑ = j n + q, t ove è una generica porzione i spazio occupata al corpo consierato, ϑ è la temperatura, j è la ensità el flusso i calore, q è la ensità ella sorgente i calore (per unità i tempo), e le costanti ρ > 0 e c v > 0 sono la ensità e il calore specifico a volume costante, rispettivamente. Applicano il teorema ella ivergenza si ottiene c v ρ ϑ + iv j = q. La legge i Fourier ella conuzione el calore afferma che j = k gra ϑ, ove k > 0 è la iffusività. [Per motivare il segno che lega j a gra ϑ, si pensi al fatto che il flusso i calore è iretto alle zone a temperatura più alta verso quelle a temperatura più bassa, mentre accae l opposto per il graiente i temperatura.] Insereno questa relazione nell equazione preceente si ottiene se k è costante, si conclue con ϑ 1 1 iv(k gra ϑ) = c v ρ c v ρ q ; (14) ϑ κ ϑ = 1 c v ρ q, k c vρ. ove κ = Nel caso il problema sia inipenente al tempo (quini in particolare la sorgente q non ipena al tempo) questo iventa ϑ = 1 k q. 7