Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico Matematica Finanziaria Canale D - K

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico 2012-13. Matematica Finanziaria Canale D - K"

Transcript

1 1 Matematica Fiaziaria Uiversità degli Studi La Sapieza Facoltà di Ecoomia Ao accademico Matematica Fiaziaria Caale D - K Capitolo 3 Ammortameto di prestiti idivisi Atoio Aibali Atoio Aibali a.a

2 2 Matematica Fiaziaria Capitolo 3 Ammortameto di prestiti idivisi 3.1 Cocetti di base Per ammortameto di u prestito (mutuo) idiviso si itede quel procedimeto i base al quale u soggetto (uico) detto mutuate o creditore cede ad u tempo iiziale (es. ) ad u altro soggetto detto mutuatario o debitore ua somma D (importo del prestito) a frote della restituzioe da parte del debitore di ua redita, fiaziariamete equivalete alla somma prestata. Tale procedimeto di ammortameto è deomiato progressivo e, cosiderato el regime fiaziario uiforme della capitalizzazioe composta, risulta caratterizzato dalle segueti gradezze: Importo del prestito D Durata dell ammortameto Rate di ammortameto 1 R Quote capitale 1 C Quote iteresse I 1 Debiti residui 1 D Atoio Aibali a.a

3 3 Matematica Fiaziaria e dalle segueti relazioi tra le diverse gradezze fiaziarie: Codizioi di equilibrio del processo di ammortameto (Debito iiziale = importo del prestito) D 1 ( ) 1 1 C R 1 i R v Debiti residui (ache iiziale) D C C 1 h h h 1 h 1 D h h h h D r Rh r Rhv Rhv Rhv h 1 h 1 h 1 h 1 D Quote iteressi 1 i D Ch i Ch h 1 h I i D h h 1 i D r Rh r i Rhv h 1 h Rate di ammortameto 1 R C I C i D 1 1 C R I R i D 1 da cui possoo trarsi diverse relazioi ricorreti: Atoio Aibali a.a

4 4 Matematica Fiaziaria D h 1 C C C D C h h 1 h 1 h h ( 1 ) h ( 1 ) Rhv r Rhv r Rhv Rv r D 1 R h 1 h 1 h 1 C D D 1 1 R r D D 1 I I C i D C C D R v R v D 1 D 1 1 ( ) 1 R R C C r Ammortameti co quote capitali prefissate C 1 C D h h h 1 h 1 1 h 1 h 1 D D C... D C C I i D... i C R C I... C i C h h C I R D D 1 C I i D R C I D D C C I i D R C I D D C C I i D R C I D D C C I i D R C I D 1 Atoio Aibali a.a

5 5 Matematica Fiaziaria Esercizio; Verificare che la somma dei valori attuali delle rate corrispode all importo del prestito R v ( C I ) v ( C i D ) v ( C i C ) v 1 h h h C v i Chv C v i Ch v 1 1 h 1 h v h h C v i Ch C v Ch Ch v Ch D 1 h 1 i 1 h 1 h 1 h 1 Ammortameto di mutuo puro (co quote capitali ulle, trae l ultima pari al debito iiziale) 1 1 C C D D D, D I i D R I i D, R D i D r D C I R D D 1 C I i D R i D D D C I i D R i D D D C I i D R i D D D C D I i D R r D D Atoio Aibali a.a

6 6 Matematica Fiaziaria Esercizio : Verificare che la somma dei valori attuali delle rate corrispode all importo del prestito 1 1 R v i D v r D v i D a D 1 i v v i i D D v D ( 1 v v ) D Ammortameto di tipo italiao (co quote capitale costati e rate i progressioe aritmetica) D C 1 C D C D 1 1 D D C... D C ( ) C D 1 I ( 1) i C, I I i C R ( 1 ( 1) i ) C, R R i C C I R D D 1 C C I i C R ( 1 i ) C D ( 1) C C C I ( 1) i C R ( 1 ( 1) i ) C D ( 2 ) C C C I ( 1) i C R ( 1 ( 1) i ) C D ( ) C C C I i C R ( 1 i ) C D Atoio Aibali a.a

7 7 Matematica Fiaziaria Esercizio: Verificare che la somma dei valori attuali delle rate corrispode all importo del prestito 1 ( 1) i D Rv Dv ( 1 ( 1) i ) v D D v i ( 1) v a i ( 1) v v i D D a i ( 1) a i ( Ia) a ( 1)( 1 v ) a v i i i i i D a i a i D ) D 1 v v v v 1 1 v D 3.3 Ammortameti co rate prefissate R 1 Rv D 1 h h D r D 1 R... D r Rh r Rhv 1 h 1 h 1 1 h 1 h 1 I i D... i R v h 1 C R I... C i R v h h h 1 C I R D D 1 C R I I i D R D D C C R I I i D R D D C C R I I i D R D D C C R I I i D R D 1 Atoio Aibali a.a

8 8 Matematica Fiaziaria Esercizio: Verificare che la somma delle quote capitali corrispode all importo del prestito h 1 C ( R I ) ( R i D 1 ) ( R i Rhv ) h h h 1 h 1 R i Rhv R i Rh v 1 1 h 1 h v h h h R i Rh R Rh Rhv Rhv D 1 h 1 i 1 h 1 h 1 h 1 Ammortameto di tipo fracese (co rate costati e quote capitale i progressioe geometrica) D R a 1 R D i Rv a D i a 1 i i D r D 1 R... D r Rs Ra R i i 1 a i 1 ( ), 1 i I i Ra R 1 v I I C i D C Rv r C C r 1 1, 1 1 si 2 a C I R D D 1 C Rv I R ( 1 v ) R R D Ra i 2 C Rv I R 1 v R R D Ra ( ) i C Rv I R 1 v R R D Ra 1 1 ( ) i C Rv I R ( 1 v ) R R D Atoio Aibali a.a

9 9 Matematica Fiaziaria Esercizio: Verificare che la somma delle quote capitali corrispode all importo del prestito e che le quote capitali soo i progressioe geometrica di ragioe r 1 1 C v v r v s a D i i 1 1 a a i i 1 a a i i D R R C C 1 r C C 1 r essedo C1 s 2 R R 1 D D D D i Esercizio Dato u capitale P (es. 1) prestato al tempo iiziale, costruire i piai di ammortameto relativamete ad ua durata pari a T (=5) e ad u tasso effettivo auo d iteresse i (es. 6%), ei diversi casi sotto idicati: Caso 1: Ammortameto co quote capitali prefissate (3, 1,, 4,?) 1 C D C 1 ( ) 2 1 Atoio Aibali a.a

10 1 Matematica Fiaziaria Caso 2: Ammortameto di mutuo puro 1 1 C, C D 1 Caso 3: Ammortameto di tipo italiao Atoio Aibali a.a

11 11 Matematica Fiaziaria D 1 C C Caso 4: Ammortameto co rate prefissate (25, 18,, 4,?) ( ), 1 1 R v D R v 1 25v 18v 4v R D r R 1 r ( 25 r 18 r 4 r ) ( 1 i ) Atoio Aibali a.a

12 12 Matematica Fiaziaria Caso 5: Ammortameto di tipo fracese D 1 R R a a 1 i 5. 6 Atoio Aibali a.a

13 13 Matematica Fiaziaria Caso 3b: Ammortameto co quote capitali i progressioe aritmetica C C ( 1 ( 1) g ) 1 ( 1) D D C C ( 1 ( 1) g ) C ( g ) C ( 1) g 2 D ( 1 ( 1) g) C ( 1) 1 g 2 Atoio Aibali a.a

14 14 Matematica Fiaziaria Nota: se g = >>> ammortameto di tipo italiao Caso 3c: Ammortameto co quote capitali i progressioe geometrica 1 1 C C rg, D C C rg D s C g s g 1 D r D g r C s r g g g g D Atoio Aibali a.a

15 15 Matematica Fiaziaria Nota: se g = se g + se g = i >>> ammortameto di tipo italiao >>> ammortameto di tipo mutuo puro >>> ammortameto di tipo fracese Caso 3d: Ammortameto co quote capitali i proporzioe a umeri prefissati C C, D Ch C h C 1 h 1 h 1 h h1 1 C D D essedo 1 ˆ ˆ 1 h h1 D 1 1 h h h 1 h 1 1 h 1 h 1 D D D ˆ... D 1 ˆ D ˆ I i D... i D ˆ R C I... D ˆ i ˆ h h Atoio Aibali a.a

16 16 Matematica Fiaziaria Nota: >>> ammortameto di tipo italiao ˆ >>> ammortameto di tipo mutuo puro Atoio Aibali a.a

17 17 Matematica Fiaziaria ˆ 1 ˆ 1 1 >>> ammortameto di tipo fracese ˆ 1 1 r r 1 1 s i >>> ammortameto co quote capitali i progressioe aritmetica ˆ 1 ( 1) g 1 ( 1) g ( 1) g >>> ammortameto co quote capitali i progressioe geometrica 1 1 ˆ g rg 1 1 s g r Caso 5b: Ammortameto co rate i progressioe aritmetica D ( 1 g( 1)) D ( 1 g( 1)) i ( ) ( )( ) ( ) R ( g ) 1 Ia 1 g 1 v g a v i i Atoio Aibali a.a

18 18 Matematica Fiaziaria Caso 5c: Ammortameto co rate i progressioe geometrica Atoio Aibali a.a

19 19 Matematica Fiaziaria D r D r ( Ga) 1 ( i ) i 1 i g g R ( g ) 1 1 ( Ga) D rg D rg i ( g ) ( Ga) a i i g 1 g i g D r 1 1 i g g 1 ( g ) D ( ) r Ga g i rd 1 a i g 1 g i g 1 D D rd D r rd D r h h h 1 i g h 1 h rg v ( g ) h 1 ( Ga) i Drg h 1 h ( g ) g ( Ga) i h 1 D r r v D r r v D ( g ) i g i 1g rg D ( ) r g g ( Ga) a i i g 1 g i g ( Ga) a i D r 1 1 i g I i D ( Ga) ( g ) 1 i g i 1 1g i D rg i D ( g ) rg ( Ga) a i i g 1 g i g a Atoio Aibali a.a

20 2 Matematica Fiaziaria Dr Dr 1 i v ( 1) 1 d ( 1) i g C R I D r D r g ( g ) g 1 1 i v ( ) g ( Ga) 1 i v g a g 1 i i g ( Ga) a 1 i i g 1g 1 g i g C C 1 r R R 1 C 1 r R 1 rg R 1 C 1 r R 1 g 2 Caso 5d: Ammortameto co rate i proporzioe a umeri prefissati Atoio Aibali a.a

21 21 Matematica Fiaziaria h h R R, D Rhv R hv R 1 h 1 h 1 h h1 1 R D D essedo v 1 ˆ ˆ h 1 hv h1 D v h ˆ ˆ h... ˆ h D r D 1 D D r h r D hv 1 h 1 h 1 1 h 1 h 1 I i D... i D ˆ v h 1 C... ˆ ˆ R I D i hv h h 1 Atoio Aibali a.a

22 22 Matematica Fiaziaria Nota: >>> ammortameto di tipo italiao ˆ 1 ( 1) i 1 ( 1) i 1 1 >>> ammortameto di tipo mutuo puro i r ˆ i ˆ r >>> ammortameto di tipo fracese 1 ˆ 1 1 a i 1 >>> ammortameto co quote capitali i progressioe aritmetica ˆ 1 ( 1) g 1 ( 1) g ( ) g 1 1 ( Ia) i >>> ammortameto co quote capitali i progressioe geometrica Atoio Aibali a.a

23 23 Matematica Fiaziaria 1 ( 1 i ) ( 1 i ) i g ( Ga) ( i ) 1 i 1 ˆ ( 1 g) ( 1 g) ( g ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( Ga) 1 g 1 g i i g ( g ) ( Ga) a i i g 1 g Esercizio A U prestito di importo P doveva essere estito i T (=12) ai secodo la metodologia dell ammortameto fracese, al tasso auo effettivo d iteresse i. D P D T T T T Rt, It Dt 1 i, Ct Rt It, Dt Dt 1 Ct t 1 at i t 1 t 1 t 1 Dopo il pagameto della R-sima (=5) rata, il debitore ottiee la moratoria per S (=3) ai, a codizioe di aumetare il tasso auo di u puto e di estiguere il debito etro la scadeza stabilita. Cosiderare i due segueti casi: Caso 1: la moratoria o esoera il debitore dal pagameto delle quote iteressi, Caso 2: la moratoria esoera il debitore dal pagameto delle quote iteressi. Atoio Aibali a.a

24 24 Matematica Fiaziaria D P R R S T R S Rt Rt D ˆ, t 1 i ( sw 1), Rt t 1 at i t R 1 t R S 1 at R S ˆ i R t t 1 t t 1 t 1 t R 1 T D I D i, I D ˆ i C R I, D D C t t t t t 1 t t 1 t 1 T T D Atoio Aibali a.a

25 25 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

26 26 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

27 27 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

28 28 Matematica Fiaziaria 3.4 Valutazioe di u prestito Tasso del prestito Tasso del valutazioe i i 1 Valore di u prestito (valore attuale delle rate) 1 ( h ) h Ah ( i1 ) R ( 1 i1 ) Rv1 h h 1 h 1 ( 1 ) 1 1 A i R v se, i particolare, il tasso di valutazioe coicide co il tasso del prestito, risulta ( i i) 1 1 h h h () h h 1 A i R v D () 1 A i R v D Nuda proprietà (valore attuale delle quote capitale) 1 h h h ( 1 ) 1 h 1 P i C v ( 1 ) C v1 1 P i Usufrutto (valore attuale delle quote iteressi) 1 h h h ( 1 ) 1 h 1 U i I v ( 1 ) 1 1 U i I v Idice del grado di capitalizzazioe (rapporto tra l usufrutto e il valore del prestito) Atoio Aibali a.a

29 29 Matematica Fiaziaria h 1 Iv1 Uh ( i1 ) h 1 Gh( i1) h Ah( i1) h Rv 1 h 1 G Iv1 U ( i1 ) 1 ( i1) A( i1) Rv 1 1 se, i particolare, il tasso di valutazioe coicide co il tasso del prestito, risulta ( i i) 1 1 h U () i G () i h I v h h 1 D h Ah ( i ) h 1 Rv h h G I v U () i 1 () i D Rv A ( i ) 1 da cui possoo trarsi diverse relazioi ricorreti: 1 h1 A ( i ) ( A ( i ) R ) v, A ( i ) R v h 1 1 h 1 h h1 P ( i ) ( P ( i ) C ) v, P ( i ) C v h 1 1 h 1 h h1 U ( i ) ( U ( i ) I ) v, U ( i ) I v h 1 1 h 1 h U ( i ) U ( i ) I G ( i ) A ( i ) I 1 h 1 1 h 1 h h 1 h 1 h Gh 1 ( i1 ) h1 Ah 1 ( i1 ) Ah ( i1 ) R h Ah ( i1 ) R h G U 1 ( i1 ) I ( i ) A ( i ) R Atoio Aibali a.a

30 3 Matematica Fiaziaria Formula di Maeham 1 h h h Ah ( i1 ) Rv1 ( C I ) v1 Ph ( i1 ) i D 1 v1 h h 1 h 1 h 1 g h h Ph ( i1 ) i Cg v1 Ph ( i1 ) i Cg v1 Ph ( i1 ) i Cga g h i1 h 1 g g h 1 h 1 g h 1 i i gh Ph ( i1 ) Cg ( 1 v1 ) Ph ( i1 ) Cg i1 g h 1 i1 g h 1 g h 1 i i i P ( i ) ( D P ( i )) D ( D P ( i )) 1 h 1 h h 1 h h h 1 i1 i Ah ( i ) 1 Uh ( i1 ) Ah ( i1 ) Ah ( i ) C v gh g 1 i i i A ( i ) P ( i ) ( D P ( i )) D ( D P ( i )) i1 i A ( i ) 1 U ( i1 ) A ( i1 ) A ( i ) 1 i A ( i ) P ( i ) ( D P ( i )) ( A ( i ) P ( i )) i ( D P ( i )) i h 1 h 1 h h 1 h 1 h 1 1 h h 1 h i1 P ( i )( i i ) ( D i A ( i ) i ) h 1 1 h h 1 1 D i A ( i ) i 1 h h 1 1 Ph( i1) h i i1 D i A ( i ) i P( i1) i i ( A ( i ) D ) i 1 h 1 h Uh( i1) h i i1 ( A ( i1 ) D ) i U( i1) i i 1 D 1 i ( ) h 1 ( ) Ah i1 Gh i1 h i i1 D 1 i A( i1) G ( ) i1 i i 1 Atoio Aibali a.a

31 31 Matematica Fiaziaria Esercizio (da esercizio precedete) Calcolare la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e l idice del grado di capitalizzazioe, relativamete ad u tasso di valutazioe i 1 (es. 5%) ei diversi casi sotto idicati: Caso 1: Ammortameto co quote capitali prefissate Atoio Aibali a.a

32 32 Matematica Fiaziaria Caso 2: Ammortameto di mutuo puro 1 h P ( i ) D v h h i h U h ( i1 ) D i a D ( ) h i 1 v1 1 h i1 1 v 1 h h h 1 Ah ( i1 ) Ph ( i1 ) U h ( i1 ) D v1 D i a D h i v1 D i 1 h i1 D D i v i ( 1 v ) i ( i i ) v i h h h i1 i h 1 D ( 1 v1 ) h Uh( i1) i1 i ( 1 v1 ) Gh( i1) ( ) ( h h Ah i D 1 h i i ) ( ) 1 i v i i 1 1 i v1 i1 se, i particolare, il tasso di valutazioe coicide co il tasso del prestito ( i i), risulta 1 1 h A () i D D h h 1 h P () i D v h h 1 h U i D 1 v h h( ) ( ) 1 h G ( i ) 1 v h 1 h Atoio Aibali a.a

33 33 Matematica Fiaziaria Caso 3: Ammortameto di tipo italiao Atoio Aibali a.a

34 34 Matematica Fiaziaria 1 h D P ( i ) a h 1 h i1 1 i i h i U h ( i1 ) Dh Ph ( i1 ) D a h i h a 1 h i1 h i1 i1 i1 D D D i 1 Ah ( i1 ) Ph ( i1 ) U h ( i1 ) a h a h i1 h i1 h i1 D i a h a i h i1 h i1 1 1 U ( ) h i1 h i1 i1 Gh( i1) h h( 1) a h a h i1 h i1 i1 D i h a h a h i1 A i D i i a h a i D h i1 h i1 1 se, i particolare, il tasso di valutazioe coicide co il tasso del prestito, risulta ( i i) 1 1 h D Ah( i ) Dh ( h) 1 h D Ph () i a h i 1 h D U h () i h a h i a 1 h i G h () i 1 h h Atoio Aibali a.a

35 35 Matematica Fiaziaria Caso 4: Ammortameto co rate prefissate Atoio Aibali a.a

36 36 Matematica Fiaziaria Caso 5: Ammortameto di tipo fracese Atoio Aibali a.a

37 37 Matematica Fiaziaria 1 h a h i1 Ah ( i1 ) D a i a h i h i D 1 i D i 1 1 h h Dh i Ah ( i1 ) i a a 1 i i D v1 v Ph( i1) h i i1 i i1 a i i i 1 a a h i1 h i D D i 1 ( A ( ) ) h i1 Dh i a a i i D i a a h i1 h i Uh( i1) h i i1 i i1 a i i i 1 a D i a a h i1 h i U ( i ) a i i i a 1 h 1 i 1 h i1 h i Gh( i1) h Ah ( i1 ) a h i i i 1 1 a h i1 D a i a se, i particolare, il tasso di valutazioe coicide co il tasso del prestito, risulta ( i i) 1 a 1 h i Ah () i Dh D h a i D 1 ( i ) h 1 Ph ( i ) ( Ga) ( h) v h i h s a i i D a D D 1 h i h 1 h 1 U ( ) ( ) h i D h v ( a ( h) v ) h i h a a a i i i 1 h 1 ( h) v h G ( i ) 1 1 h 1 h a s h i h i Atoio Aibali a.a

38 38 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

39 39 Matematica Fiaziaria Caso 3b: Ammortameto co quote capitali i progressioe aritmetica (cotrollare formule sul foglio excel) Caso 3c: Ammortameto co quote capitali i progressioe geometrica (cotrollare formule sul foglio excel) Atoio Aibali a.a

40 4 Matematica Fiaziaria Caso 3d: Ammortameto co quote capitali i proporzioe a umeri prefissati (cotrollare formule sul foglio excel) Caso 5b: Ammortameto co rate i progressioe aritmetica (cotrollare formule sul foglio excel) Atoio Aibali a.a

41 41 Matematica Fiaziaria Caso 5c: Ammortameto co rate i progressioe geometrica (cotrollare formule sul foglio excel) Caso 5d: Ammortameto co rate i proporzioe a umeri prefissati (cotrollare formule sul foglio excel) Esercizio A (proseguimeto) Calcolare la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e l idice del grado di capitalizzazioe, relativamete ad u tasso di valutazioe i 1 (es. 8%) Atoio Aibali a.a

42 42 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

43 43 Matematica Fiaziaria Esercizio A (proseguimeto) Ripetizioe dell esercizio ell ipotesi che le rate costituiscao ua progressioe aritmetica di ragioe relativa g (=1%) D P D ( 1 g( t 1)),,, T T T T Rt It Dt 1 i C g t Rt It Dt Dt 1 Ct t 1 Ia ( ) ( ) T i t 1 t 1 t 1 D P R R S t ( g ) t t 1 t 1 ( Ia) T i t R 1 R T RS Rt ( g ) t R S 1 ( Ia) T R S i t t 1 t t 1 t 1 t R 1 T D ( 1 g( t 1)) R, R D ˆ i ( sw 1) D ( 1 g( t R S 1)) I D i, I D ˆ i C R I, D D C t t t t t 1 t t 1 t 1 T T Atoio Aibali a.a

44 44 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

45 45 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

46 46 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

47 47 Matematica Fiaziaria Esercizio A (proseguimeto) Ripetizioe dell esercizio ell ipotesi che le rate costituiscao ua progressioe geometrica di ragioe relativa g (=1%) D P D ( 1 g) T t1 T T T Rt, It D g t 1 i Ct Rt It Dt Dt 1 Ct t 1 Ga ( ),, ( ) T i t 1 t 1 t 1 Atoio Aibali a.a

48 48 Matematica Fiaziaria D P R t1 R S t ( g ) t t 1 t 1 ( Ga) T i t R 1 R T t R S 1 RS Rt ( g ) t R S 1 ( Ga) T R S i t t 1 t t 1 t 1 t R 1 T D ( 1 g ) R, R D ˆ i ( sw 1) D ( 1 g ) I D i, I D ˆ i C R I, D D C t t t t t 1 t t 1 t 1 T T Atoio Aibali a.a

49 49 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

50 5 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

51 51 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

52 52 Matematica Fiaziaria Esercizio B Al tempo iiziale u idividuo cotrae u mutuo di ammotare D (=1), co obbligo di rimborso, secodo la metodologia dell ammortameto italiao, i S (=7) ai ed al tasso auo d iteresse i 1 (=6%). Immediatamete dopo il versameto della P-sima (=4) rata, l idividuo accetta la modifica delle modalità di rimborso del mutuo, co raddoppio del periodo residuo di pagameto, cambio del tasso auo di iteresse da i 1 a i 2 (=8%) e suddivisioe del debito residuo i due parti: ua parte del debito residuo pari al H% (=6%), da rimborsare secodo la metodologia dell ammortameto fracese, ua parte del citato debito residuo pari al (1-H)%, da rimborsare secodo la metodologia dell ammortameto a mutuo puro. Si chiede di determiare: il piao di ammortameto italiao origiario relativo al periodo di S ai, il piao di ammortameto fracese relativo al periodo di 2(S-P) ai, il piao di ammortameto a mutuo puro relativo al periodo di 2(S-P) ai, Atoio Aibali a.a

53 53 Matematica Fiaziaria Il piao di ammortameto completo relativo al periodo di 2S-P ai e composto dai primi P ai del piao origiario e, per i successivi 2(S-P) ai, dalla somma dei due piai (fracese e a mutuo puro), la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e il coseguete idice del grado di capitalizzazioe, relativamete al piao di ammortameto completo ed al tasso auo di iteresse i 3 (=1%). Nota: Cosiderare fisse le gradezze (di tipo durata) S e P e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, i 1, i 2, i 3 ed H. Dati del problema Ammortameto italiao relativo al periodo di S ai D S S S S Ct Dt Dt 1 Ct It Dt 1 i1 Rt Ct It t 1 S,,, t 1 t 1 t 1 Atoio Aibali a.a

54 54 Matematica Fiaziaria Ammortameto fracese relativo al periodo di 2 (S-P) ai D D HD R D D C 2 S P F 2 S P F F P F F F P P, t, t t 1 t t P 1 a2 ( S P ) i t P S P 2 S P F F F F F It Dt 1 i 2, Ct Rt It t P 1 t P 1 Atoio Aibali a.a

55 55 Matematica Fiaziaria Ammortameto a mutuo puro relativo al periodo di 2 (S-P) ai 2 S P 1 U 2 S P U Ct U U U P ( ) P, t P 1, t t 1 t U U t P 1 C2 S P DP D 1 H D D D C 2 S P 2 S P U U U U U It Dt 1 i 2, Rt Ct It t P 1 t P 1 Ammortameto completo relativo al periodo di 2S-P ai Atoio Aibali a.a

56 56 Matematica Fiaziaria P C C C C Ct Ct, It It, Rt Rt, Dt Dt t1 2 S P C F U C F U C F U C F U Ct Ct Ct, It It It, Rt Rt Rt, Dt Dt Dt t P 1 Nuda proprietà, usufrutto, valore del prestito e coseguete idice del grado di capitalizzazioe Atoio Aibali a.a

57 57 Matematica Fiaziaria 2 S P 2 S P C t C t t ( 3 ), t ( 3 ) t 1 t 1 NPr C 1 i Usu I 1 i 2 S P I C ( ) t t 1 i 2 S P 3 C t Usu t1 Val Rt ( 1 i 3), GrC 2 S P t1 Val C t Rt ( 1 i 3) t1 Atoio Aibali a.a

58 58 Matematica Fiaziaria Esercizio C Al tempo iiziale u idividuo cotrae u mutuo di ammotare D (=1), co obbligo di rimborso, secodo la metodologia dell ammortameto di tipo fracese, i S (=1) ai ed al tasso auo effettivo d iteresse i (=4%). Immediatamete dopo il versameto della P-sima (=6) rata, l idividuo propoe, a partire dalla successiva rata, di pagare, quale quota capitale, ua porzioe, pari ad H% (6%), della quota capitale dell ammortameto origiario, co accettazioe del raddoppio del tasso d iteresse. Il debito residuo o rimborsato alla scadeza S, dovrà essere estito co u ammortameto di tipo italiao, per ua durata pari ad ulteriori S-P ai e ad u tasso auo effettivo auo d iteresse pari alla media aritmetica dei due tassi precedetemete utilizzati. Si chiede di determiare: Atoio Aibali a.a

59 59 Matematica Fiaziaria il piao di ammortameto fracese origiario relativo al periodo di S ai, il piao di ammortameto modificato (a quote capitale prefissate) relativo al periodo di S-P ai, il piao di ammortameto italiao residuo relativo al periodo S-P ai, Il piao di ammortameto completo relativo al periodo di 2S- P ai, co riguardo al piao di ammortameto completo, la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e l idice del grado di capitalizzazioe, ai diversi tempi di evoluzioe del processo di ammortameto ed al tasso auo medio utilizzato el terzo periodo. Nota: Cosiderare fisse le gradezze (di tipo durata) S e P e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, i ed H. Dati del problema Ammortameto fracese relativo al periodo di S ai Atoio Aibali a.a

60 6 Matematica Fiaziaria S S Rt, Dt Dt 1 Ct t 1 asi t 1 S D I D i, C R I t t 1 t t t t 1 t 1 S Ammortameto modificato relativo al periodo di S-P ai S S M M M M M P P, t t, t t 1 t t P 1 t P 1 D D C H K D D C S S M M M M M It Dt 1 2 i, Rt Ct It t P 1 t P 1 Atoio Aibali a.a

61 61 Matematica Fiaziaria Ammortameto italiao relativo al periodo di S-P ai D D D K D D K S P I S P I M I S I I I S S, t, t t 1 t t S 1 S P t S 1 S P S P I I 3 I I I It Dt 1 i, Rt Kt It t S 1 2 t S 1 Atoio Aibali a.a

62 62 Matematica Fiaziaria Ammortameto completo relativo al periodo di 2S-P ai P P P P C C C C Ct Ct It It Rt Rt Dt Dt t 1 t 1 t 1 t 1 S S S S C M C M C M C M Ct Ct, It It, Rt Rt, Dt Dt t P 1 t P 1 t P 1 t P 1 S P S P S P S P C I C I C I C I Ct Ct It It Rt Rt Dt Dt t S 1 t S 1 t S 1 t S 1 Atoio Aibali a.a

63 63 Matematica Fiaziaria Nuda proprietà, usufrutto, valore del prestito ed idice del grado di capitalizzazioe NPr C C S P S P S P 1 UsuS P 1 C C t 1 t 1 t 1 t 1 NPrt Usu t t S P 2 3 t S P 2 3 ( 1) ( 1) Val S P 1 C t 1 t 1 Valt t S P 2 3 ( 1 ) C I i 1 i 2 2, NPr C Usu I C RSP 3 1 i 2 Val 1 i 1 i 2 2 R 1 i 2, S P 1 t Usut GrCt Val t Atoio Aibali a.a

64 64 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

65 65 Matematica Fiaziaria Esercizio D U idividuo cotrae al tempo iiziale u mutuo di ammotare pari a D (=1), da rimborsare secodo la metodologia dell ammortameto fracese, per ua durata pari ad N (=8) ai e u tasso auo effettivo d iteresse pari a i (=13.75%). Le rate di tale ammortameto vegoo idicizzate, al mometo del pagameto, cosiderado: i cambi Ecu/Lira (rilevati all'iizio di ogi periodo auo, a partire dal tempo iiziale), foriti dal vettore E t=,1,,n (co N+1 compoeti), i tassi aui di iflazioe, dati dal vettore U t=1,2,,n (co N compoeti), secodo le segueti modalità: determiazioe per ciascu ao della rata modificata legata all'ecu, otteuta come prodotto tra la rata base auale ed il rapporto tra il cambio Ecu/Lira dello stesso ao e quello vigete all'iizio dell'operazioe, pagameto per ciascu ao della rata modificata, sio ad ua rata massima legata all'iflazioe, otteuta come prodotto tra la rata base ed il coefficiete totale d'iflazioe dell'ao correte rispetto alla situazioe vigete all'iizio dell'operazioe, cotabilizzazioe, al tempo fiale dell operazioe, delle evetuali differeze tra le rate modificate e gli importi pagati, i base ad u tasso auo pari al tasso itero dell operazioe, calcolato co riguardo alle rate modificate, Atoio Aibali a.a

66 66 Matematica Fiaziaria pagameto del motate residuale al tempo N, tramite u uovo ammortameto di tipo italiao, di durata pari ad N ed al tasso itero calcolato. Si chiede di determiare: il piao di ammortameto origiario ed il vettore delle rate modificate, il vettore delle rate effettivamete pagate e l'ammotare, al tempo N, del uovo debito da ammortizzare, il uovo piao di ammortameto, verificado che il tasso itero dell itera operazioe coicide co il tasso itero precedetemete calcolato, il piao di ammortameto globale a posteriori calcolato i base al tasso itero uico. Nota: Cosiderare fissa la gradezza (di tipo durata) N e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, i, i cambi Ecu/Lira e i tassi di iflazioe: N t N t1 E ( t ) U ( % 5. 1% % % % % % %) t Dati del problema Atoio Aibali a.a

67 67 Matematica Fiaziaria Ammortameto fracese relativo al periodo di N ai, vettore delle rate modificate e tasso itero di redimeto coseguete D N N Rt, Dt Dt 1 Ct t 1 ani t 1 N N N mod t It Dt 1 i, Kt Rt It, Rt Rt t 1 t 1 t 1 E N mod t ( t ) t1 D R 1 i E Atoio Aibali a.a

68 68 Matematica Fiaziaria Vettore della rate effettivamete pagate e ammotare del debito da ammortizzare N t1 t pag mod Rt mi Rt, Rt ( 1 Uh ) h1 N M ( R R )( 1 i ) t1 mod pag N t t t Atoio Aibali a.a

69 69 Matematica Fiaziaria Nuovo piao di ammortameto D M I N D 2 N I 2 N I S I I I Kt, Dt Dt 1 Ct t N 1 N t N 1 2 N 2 N I I I I I It Dt 1 i, Rt Ct It t N 1 t N 1 Atoio Aibali a.a

70 7 Matematica Fiaziaria Piao di ammortameto a posteriori N # pag Rt Rt 2 N 2 N t1 # # # # #,, 2N t t 1 t t t # I t 1 t 1 Rt Rt t N 1 2N t1 D D C I D i 2N # # # # t t t, t ( t ) t1 C R I D R 1 i Atoio Aibali a.a

71 71 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

72 72 Matematica Fiaziaria Esercizio E U idividuo dispoe di u capitale D (=1) e al tempo iiziale lo cocede i prestito ad u altro soggetto, il quale si impega a rimborsarlo i N (=1) ai, ad u tasso auo i (=1%), secodo il procedimeto di ammortameto fracese. Il creditore, all'atto della riscossioe delle rate, deve pagare sulle quote iteressi u'imposta caratterizzata da M (=5) aliquote progressive a scaglioi e versa il etto ricavo (ossia la rata al etto dell'imposta) i u c/c bacario, caratterizzato da u tasso auo di iteresse pari a i 1 (=5%). Idicado co A h=1,2,,m : il vettore delle M aliquote d'imposta, S h=1,2,,m-1 : il vettore delle M-1 ampiezze degli scaglioi fiiti, cosiderado l ultimo scaglioe illimitato, Atoio Aibali a.a

73 73 Matematica Fiaziaria calcolare il saldo del c/c bacario al tempo N+K, essedo K (=5) u qualsiasi umero aturale. Si chiede di determiare: il piao di ammortameto origiario (del debitore), il vettore delle imposte aualmete pagate e delle corrispodeti aliquote medie auali, il piao di ammortameto etto (del creditore) : piao co quote capitali predetermiate (corrispodeti a quelle dell ammortameto origiario) e tassi di iteresse aui (variabili, al etto delle imposte), il saldo del c/c bacario al tempo fiale dell operazioe. Nota: Cosiderare fissa la gradezza (di tipo durata) N e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, i, i 1, le aliquote d imposta e le ampiezze degli scaglioi: M h h1 M1 h1 A ( 5 % 1 % 15 % 25 % 4 %) S ( ) h Dati del problema Atoio Aibali a.a

74 74 Matematica Fiaziaria Ammortameto fracese relativo al periodo di N ai N N Rt, Dt Dt 1 Ct t 1 ani t 1 N D I D i, C R I t t 1 t t t t 1 t 1 N Atoio Aibali a.a

75 75 Matematica Fiaziaria Limitazioi (iferiori e superiori) degli scaglioi. Per l ultimo scaglioe si è cosiderata ua limitazioe diamica legata al massimo valore delle quote iteressi M 1 N L, Lh Lh 1 Sh, LM max LM 1, It h 1 t 1 Porzioi di quote iteressi eccedeti le diverse limitazioi di scaglioe N M I, max (, I L ) I mi( I, L ) t h t h t t h t 1 h Atoio Aibali a.a

76 76 Matematica Fiaziaria Imposte relative alle diverse porzioi di quote iteressi rietrati ei diversi scaglioi N M t 1 h 1 P A ( I I ) A ( mi( I, L ) mi( I, L )) t, h h t, h 1 t, h h t h t h 1 Imposte relative alle diverse quote iteressi N M M t1 P P, A ( mi( I, L ) mi( I, L )) t t h h t h t h 1 h 1 h 1 Aliquote d imposta relative alle diverse quote iteressi A ( mi( I, L ) mi( I, L )) P N h t h t h 1 ˆ t h 1 At t1 It It M L L M h h 1 Ah ( mi( 1, ) mi( 1, )) h1 It It Tassi etti aui (variabili, al etto delle imposte) N M ˆ ˆ h h 1 i t i ( 1 At ) i 1 Ah ( mi( 1, ) mi( 1, )) t1 h1 It It L L Atoio Aibali a.a

77 77 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

78 78 Matematica Fiaziaria il piao di ammortameto etto (del creditore) e il saldo del c/c bacario al tempo fiale dell operazioe N N C, D D C t t t 1 t t 1 t 1 N ˆ I D ˆ i, Rˆ C ˆ I t t 1 t t t t t 1 t 1 N N M R ˆ ( 1 i ) t1 N t t 1 Atoio Aibali a.a

79 79 Matematica Fiaziaria Esercizio F Al tempo iiziale u idividuo cotrae u mutuo di ammotare D (=1) co obbligo di rimborso secodo la metodologia dell ammortameto co rate i progressioe geometrica di Atoio Aibali a.a

80 8 Matematica Fiaziaria ragioe 1+g (1+15%) i S (=12) ai al tasso auo d iteresse i (=4%). Dopo S 1 (=7) pagameti l idividuo accetta la modifica i ammortameto co quote capitali i progressioe geometrica, sempre di ragioe 1+g, per i successivi S-S 1 ai e al tasso auo d iteresse i 2 (=8%). All atto della riscossioe delle rate, il creditore deve versare all erario u imposta di aliquota A% (=5%) sulla quota iteresse, limitatamete alla quota eccedete la frachigia F (=35) e versa il etto ricavo auale i u c/c bacario caratterizzato da u tasso auo di iteresse i 3 (2%). Si chiede di determiare: il piao di ammortameto origiario, il piao di ammortameto modificato, e, co riferimeto all ammortameto modificato, le imposte pagate dal creditore sulle quote iteresse, i saldi auali del coto correte bacario sio al termie dell ammortameto, la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e l idice del grado di capitalizzazioe al tempo, sia dalla parte del debitore che da quella del creditore, a u tasso auo d iteresse pari alla media dei due tassi origiari. Nota: Cosiderare fisse la gradezza (di tipo durata) S ed S 1 e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, g, i, i 2, A, F e i 3. Atoio Aibali a.a

81 81 Matematica Fiaziaria Piao di ammortameto co rate variabili i progressioe geometrica (fracese, se g=) relativo al periodo di S ai S S t t 1 t ( g ) t ( ) 1( ) ( ) 1( ) Si 1 ( g ) t 1 t 1 ( Ga) Si D R 1 i R 1 g 1 i R Ga R D N t1 Rt ( g ) t1 ( Ga) Si N t t 1 t t t 1 t 1 t 1 t 1 D g S a 1 ( 1 i ) Si i t 1 D ( 1 g) D ( 1 g ) g i D ( 1 g ) S S 1 g t 1 t 1 D ( 1 g ) D ( ) 1 g g i S a i g S i g 1 g N 1 g D D C, I D i, C R I N D t t t g i g t Atoio Aibali a.a

82 82 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

83 83 Matematica Fiaziaria Piao di ammortameto modificato co quota capitale i progressioe geometrica (italiao, se g=) relativo al periodo di S S 1 ai S S t S1 1 S1 S ( ) 1 t S1 1 S1 1 S S1 g S1 1 t S1 1 t S1 1 ss S1 g D C C 1 g C s C D S1 Cˆ t Ct t1 t S1 1 DS ( 1 g) 1 g S S D ( 1 g ) ( 1 g) 1 g S t S1 1 1 ˆ S1 C t S1 1 t DS ( 1 g) 1 t S1 1 ss S 1 g g SS1 Dˆ D ˆ I I,, S Dˆ Dˆ Cˆ ˆ I Dˆ i S1 S1 S1 t t t t t 1 t 1 t 1 S t t 1 t t t 1 2 t S11 t S11 S t S1 1 Rˆ R t t Rˆ Cˆ ˆ I t t t Atoio Aibali a.a

84 84 Matematica Fiaziaria Imposte pagate dal creditore sulle quote iteresse e saldi auali del coto correte bacario Atoio Aibali a.a

85 85 Matematica Fiaziaria S t1 Imp max (( ˆ I F ), ) A t t t1 S ˆ# I ˆ t It Impt t1 S # Rˆ Rˆ Imp t t t S ˆ # t t t 1 3 t1 Z, Z R Z ( 1 i ) Atoio Aibali a.a

86 86 Matematica Fiaziaria la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e l idice del grado di capitalizzazioe al tempo, sia dalla parte del debitore che da quella del creditore i m i i 2 S 2 NPr Cˆ ( 1 i ) t1 t t m S S ˆ t ( ), ˆ t t m t ( m ) t 1 t 1 Usu I 1 i Val R 1 i S S # ˆ # ( ) t ( ) t t m t m t 1 t 1 Usu I 1 i Usu Imp 1 i Usu Imp S S # ˆ # t t t ( m ) t ( m ) t 1 t 1 Val R 1 i Val Imp 1 i Val Imp Atoio Aibali a.a

87 87 Matematica Fiaziaria ˆ It ( 1 i ) Usu t1 GrC Val S Rˆ ( 1 i ) GrC S t1 t t m t m S ˆ # # ( ) t It 1 i m # t1 GrC # S # Val # ˆ t Val Imp Val Val Rt ( 1 i m) t1 Usu Usu Imp Imp Npr Atoio Aibali a.a

88 88 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

89 89 Matematica Fiaziaria Esercizio G Al tempo iiziale u soggetto cotrae u mutuo avete le segueti caratteristiche: Importo: D (=1) Durata del prestito: T 1 (=1 ai) Tasso auo di iteresse i 1 (=6%) Metodologia: ammortameto progressivo co quote capitale i progressioe aritmetica di ragioe pari a G (= -1), ma si accorge di o poter impiegare il capitale otteuto D, per cui, dopo w (=1) a1 di improduttivita, decide di darlo i prestito, cocededo u mutuo alle segueti codizioi: Durata del prestito: T 2 (=6 ai oppure =12 ai) Tasso auo di iteresse: i 2 (=9%) Metodologia: ammortameto di tipo fracese, versado oppure prelevado le differeze i oppure da u c/c bacario caratterizzato dai due tassi aui di iteresse, rispettivamete creditore e debitore i 3 (=2%) e i 4 (=12%). Si chiede di determiare: i diversi piai di ammortameto, il saldo del c/c bacario al termie di etrambe le operazioi di mutuo, elle due ipotesi di durata del secodo mutuo, suppoedo di poter distribuire il secodo ammortameto tra due possibili durate T 2, secodo ua percetuale A h % di ammortameto secodo la durata breve e ua percetuale (1-A h )% di ammortameto secodo la durata luga, idicare per quale percetuale A h % si ottiee il massimo valore del saldo del c/c bacario alla fie dell operazioe. Atoio Aibali a.a

90 9 Matematica Fiaziaria Nota: Cosiderare fisse la gradezza (di tipo durata) T 1, T 2 e w e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, G, i, i 2, i 3, i 4 ed A h 2 h h Ah ( % 5 % 1 %... 9 % 95% 1 %) 1 Dati del problema Piao di ammortameto co quote capitale i progressioe aritmetica (italiao, se G=) relativo al periodo di T 1 ai T1 T1 T1 G ( T1 1) T1 D C ( C G( t 1)) C T G( t 1) C T 2 t t 1 t 1 t 1 D G( T1 1) C1 T 2 1 D G( T 1) D G( 2t T 1) N 1 1 Ct G( t 1) t1 T1 2 T1 2 N N N D D C, I D i, R C I t t 1 t t t 1 1 t t t t 1 t 1 t 1 Atoio Aibali a.a

91 91 Matematica Fiaziaria Piao di ammortameto di tipo fracese al periodo di T 2 ai e saldo del C/C bacario (elle due ipotesi di durata del secodo mutuo) Atoio Aibali a.a

92 92 Matematica Fiaziaria 2 T2, w 2 T2, w ( ) D ( ) ( ) ( ) Rt, Dt Dt 1 Ct 1 t w 1 at 2, i 1 t w T2, w 2 T2, w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) It Dt 1 i 2, Ct Rt It 1 t w 1 1 t w 1 2 T2, w 1 t w 1 ( ) ( ) Cf R R t t t 2 2 T2, w ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 i3 ) se St 1 ( ) S, St St 1 Cf ( ) t 1 1 t w 1 ( 1 i 4 ) se St 1 Atoio Aibali a.a

93 93 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

94 94 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

95 95 Matematica Fiaziaria 2 T2 max w h t 1 ( 1) ( 2) Cf, A R ( 1 A ) R R h t h t h t t Atoio Aibali a.a

96 96 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

97 97 Matematica Fiaziaria 2 2 T2 max w 3 h, t 1 Sh,, Sh, t Sh, t 1 Cf h, t ( 1 i ) 4 se Sh, t 1 h h t 1 A S max ( S ) hˆ hˆ, T h h, T2 max 1 2 max 1 ( 1 i ) se S Atoio Aibali a.a

98 98 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

99 99 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

L ammortamento dei prestiti. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08

L ammortamento dei prestiti. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 L ammortameto dei prestiti. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8 Prestiti idivisi Operazioi fiaziarie co due cotraeti mutuate o creditore: presta u capitale mutuatario o debitore: si impega a restituire

Dettagli

Rendita perpetua con rate crescenti in progressione aritmetica

Rendita perpetua con rate crescenti in progressione aritmetica edita perpetua co rate cresceti i progressioe aritmetica iprediamo l'esempio visto ella scorsa lezioe di redita perpetua co rate cresceti i progressioe arimetica: Questa redita può ache essere vista come

Dettagli

Appunti su rendite e ammortamenti

Appunti su rendite e ammortamenti Corso di Matematica I Facoltà di Ecoomia Dipartimeto di Matematica Applicata Uiversità Ca Foscari di Veezia Fuari Stefaia, fuari@uive.it Apputi su redite e ammortameti 1. Redite Per redita si itede u isieme

Dettagli

DISPENSE DI MATEMATICA FINANZIARIA

DISPENSE DI MATEMATICA FINANZIARIA SPENSE MATEMATA FNANZAA 3 Piai di ammortameto. 3. osiderazioi geerali. U piao di ammortameto cosiste ella restituzioe di u importo preso a prestito mediate il versameto d'importi distribuiti el tempo.

Dettagli

La matematica finanziaria

La matematica finanziaria La matematica fiaziaria La matematica fiaziaria forisce gli strumeti ecessari per cofrotare fatti fiaziari che avvegoo i mometi diversi Esempio: Come posso cofrotare i ricavi e i costi legati all acquisto

Dettagli

Elementi di matematica finanziaria

Elementi di matematica finanziaria Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate

Dettagli

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE 2015-2016 Capitolo 27 Elemeti di calcolo fiaziario EEE 205-206 27. Le diverse forme dell iteresse Si defiisce capitale (C) uo stock di moeta dispoibile i u determiato mometo. Si defiisce iteresse (I) il prezzo d

Dettagli

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R.

Capitolo Terzo. rappresenta la rata di ammortamento del debito di un capitale unitario. Si tratta di risolvere un equazione lineare nell incognita R. 70 Capitolo Terzo i cui α i rappreseta la rata di ammortameto del debito di u capitale uitario. Si tratta di risolvere u equazioe lieare ell icogita R. SIANO NOTI IL MONTANTE IL TASSO E IL NUMERO DELLE

Dettagli

Interesse e formule relative.

Interesse e formule relative. Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del

Dettagli

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA

Appunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi

Dettagli

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015

BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO. Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015 BLOCCO TEMATICO DI ESTIMO Diritti reali: usufrutto CORSO PRATICANTI 2015 Usufrutto L'usufrutto è il diritto di godimeto da parte di ua persoa detta USUFRUTTUARIO di u bee altrui; il proprietario del bee

Dettagli

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina)

APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE. (tratti da A. MONTE Elementi di Impianti Industriali Cortina) ITIS OMAR Dipartimeto di Meccaica APPUNTI DI ECONOMIA ELEMENTARE (tratti da A. MONTE Elemeti di Impiati Idustriali Cortia) Si defiisce iteresse il dearo pagato per l'uso di u capitale otteuto i prestito

Dettagli

La stima per capitalizzazione dei redditi

La stima per capitalizzazione dei redditi La stima per capitalizzazioe dei redditi 24.X.2005 La stima per capitalizzazioe La capitalizzazioe dei redditi è l operazioe matematico-fiaziaria che determia l ammotare del capitale - il valore di mercato

Dettagli

Selezione avversa e razionamento del credito

Selezione avversa e razionamento del credito Selezioe avversa e razioameto del credito Massimo A. De Fracesco Dipartimeto di Ecoomia politica e statistica, Uiversità di Siea May 3, 013 1 Itroduzioe I questa lezioe presetiamo u semplice modello del

Dettagli

ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumento Tipologie di mutui Il mercato secondario e il ruolo svolto nella crisi finanziaria

ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumento Tipologie di mutui Il mercato secondario e il ruolo svolto nella crisi finanziaria MERCATO DEI MUTUI A.A. 2015/2016 Prof. Alberto Dreassi adreassi@uits.it DEAMS Uiversità di Trieste ARGOMENTI Scopi e caratteristiche dello strumeto Tipologie di mutui Il mercato secodario e il ruolo svolto

Dettagli

SCHEMI DI BILANCIO, TABELLE DELLA NOTA INTEGRATIVA E INDICI

SCHEMI DI BILANCIO, TABELLE DELLA NOTA INTEGRATIVA E INDICI SCHEMI DI BILANCIO, TABELLE DELLA NOTA INTEGRATIVA E INDICI di Massimo FANTINI e Roberto TONELLO MATERIE: ECONOMIA AZIENDALE (classe 5 IT Idirizzo AFM; Articolazioe SIA; Articolazioe RIM; 5 IP Servizi

Dettagli

Anno 5 Successioni numeriche

Anno 5 Successioni numeriche Ao 5 Successioi umeriche Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai

Dettagli

Esercizi per il recupero e per l autovalutazione. L interesse e i problemi connessi VERIFICA 1

Esercizi per il recupero e per l autovalutazione. L interesse e i problemi connessi VERIFICA 1 Telepass + 1 bieio UNITÀ G I calcoli fiaziari Esercizi per il recupero e per l autovalutazioe L iteresse e i problemi coessi VERIFICA 1 Test 1 Il regime di capitalizzazioe secodo cui gli iteressi maturati

Dettagli

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI

Stima di un immobile a destinazione alberghiera APPROFONDIMENTI APPROFONDIMENTI www.shutterstock.com/vladitto Stima di u immobile a destiazioe alberghiera di Maria Ciua (Ricercatore di Estimo Facoltà di Igegeria dell Uiversità di Palermo) I geere ell expertise immobiliare

Dettagli

Progressioni aritmetiche

Progressioni aritmetiche Progressioi aritmetiche Comiciamo co due esempi: Esempio Cosideriamo la successioe di umeri:, 7,, 5, 9, +4 +4 +4 +4 +4 La successioe è tale che si passa da u termie al successivo aggiugedo sempre +4. Si

Dettagli

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale

Calcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale Calcolo della risposta di u sistema lieare viscoso a più gradi di libertà co il metodo dell Aalisi Modale Lezioe 2/2 Prof. Adolfo Satii - Diamica delle Strutture 1 La risposta a carichi variabili co la

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua

Dettagli

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015

Corso di Elementi di Impianti e macchine elettriche Anno Accademico 2014-2015 Corso di Elemeti di Impiati e mahie elettriche Ao Aademico 014-015 Esercizio.1 U trasformatore moofase ha i segueti dati di targa: Poteza omiale A =10 kva Tesioe omiale V 1 :V =480:10 V Frequeza omiale

Dettagli

STIMA DEI DIRITTI REALI SU COSA ALTRUI (CAPP. 15-16-17)) STIMA INERENTI L USUFRUTTO, USO E ABITAZIONE (CAP. 15)

STIMA DEI DIRITTI REALI SU COSA ALTRUI (CAPP. 15-16-17)) STIMA INERENTI L USUFRUTTO, USO E ABITAZIONE (CAP. 15) STIMA DEI DIRITTI REALI SU COSA ALTRUI (CAPP. 15-16-17)) Apputi di estimo STIMA INERENTI L USUFRUTTO, USO E ABITAZIONE (CAP. 15) DIRITTO DI USUFRUTTO Defiizioe di usufrutto L usufrutto è u diritto reale

Dettagli

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02%

52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02% RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE 2000-2001 MATEMATICA 51. L espressioe log( 2 ) equivale a : A) 2log B) log2 C) 2log D) log E) log 2 Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base

Dettagli

Matematica finanziaria

Matematica finanziaria C:\Users\Public\Documets\03_DIDATTICA\02. MATERIALE ON LINE\Documeti doc&exe\03. Matematica fiaziaria.docx Materiale didattico Ultimo aggiorameto: 28 dicembre 2012 Matematica fiaziaria A cura di Fracesco

Dettagli

Successioni. Grafico di una successione

Successioni. Grafico di una successione Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario

Dettagli

Università di Milano Bicocca Esercitazione 4 di Matematica per la Finanza 24 Aprile 2015

Università di Milano Bicocca Esercitazione 4 di Matematica per la Finanza 24 Aprile 2015 Uiversità di Milao Bicocca Esercitazioe 4 di Matematica per la Fiaza 24 Aprile 205 Esercizio Completare il seguete piao di ammortameto: 000 2 3 234 3 6 369 Osserviamo iazitutto che, per il vicolo di chiusura

Dettagli

McGraw-Hill. Tutti i diritti riservati. Caso 18

McGraw-Hill. Tutti i diritti riservati. Caso 18 Mauale di Estimo Vittorio Gallerai, Giacomo Zai, Davide Viaggi Caso 18 Copyright 2005 The Compaies srl Stima del diritto di usufrutto e del valore della uda proprietà relativi ad u appartameto di civile

Dettagli

CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE. Di seguito verranno utilizzati i seguenti simboli:

CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE. Di seguito verranno utilizzati i seguenti simboli: PROPOSTA DI UN PROTOCOLLO DI PROVE PER IL CONTROLLO DELLE CARATTERISTICHE MECCANICHE DI PIETRE NATURALI PER FACCIATE VENTILATE FINALITÀ Nel campo edile l utilizzo di rivestimeti esteri da riportare sulle

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito

Dettagli

Matematica Finanziaria

Matematica Finanziaria Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi

Dettagli

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale

Estimo rurale appunti 2005. Estimo rurale Estimo rurale apputi 2005 Estimo rurale L estimo rurale rietra ell ambito delle disciplie ecoomiche, ma metre l ecoomia si occupa della coosceza della realtà, esso si occupa della valutazioe dei bei. Compito

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioi di Statistica Il modello di Regressioe Prof. Livia De Giovai statistica@dis.uiroma.it Esercizio Solitamete è accertato che aumetado il umero di uità prodotte, u idustria possa ridurre i costi

Dettagli

Modifica del regolamento della Cassa pensione Novartis

Modifica del regolamento della Cassa pensione Novartis Modifica del regolameto della Cassa pesioe Novartis Agli assicurati della Cassa pesioe Novartis Il Cosiglio di fodazioe della Cassa pesioe Novartis ha emaato importati modifiche del cocetto e delle prestazioi

Dettagli

Ambito soggettivo Possono fruire dell agevolazione: le società e gli enti indicati nell articolo

Ambito soggettivo Possono fruire dell agevolazione: le società e gli enti indicati nell articolo Co l Ace dedotto dal reddito d impresa il redimeto figurativo del capitale proprio Similitudii co la Dit itrodotta el 1997: ach essa mirava al rafforzameto patrimoiale delle imprese ma il beeficio si esplicava

Dettagli

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI

LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività

Dettagli

Indici COMIT Metodologia di calcolo

Indici COMIT Metodologia di calcolo Il presete documeto riassume le regole fodametali per il calcolo e la gestioe degli idici elaborati da Itesa Sapaolo per l itero Mercato Telematico Azioario italiao (MTA) ed il vecchio Nuovo Mercato. Gli

Dettagli

Campi vettoriali conservativi e solenoidali

Campi vettoriali conservativi e solenoidali Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile

Dettagli

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA

STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA STATISTICA ECONOMICA STATISTICA PER L ECONOMIA aa 2009-2010 Operazioi statistiche elemetari Spesso ci si preseta il problema del cofroto tra dati Ad esempio, possiamo voler cofrotare feomei [ecoomici]

Dettagli

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE

Capitolo 27. Elementi di calcolo finanziario EEE Capitolo 27 Elemeti di calcolo fiaziario EEE 2012-2013 27.1 Le diverse forme dell iteresse Si defiisce capitale (C) uo stock di moeta dispoibile i u determiato mometo. Si defiisce iteresse (I) il prezzo

Dettagli

BANDO E DISCIPLINARE PER L AFFIDAMENTO DELLE ATTIVITA DI ASSISTENZA FISCALE, SOCIETARIA E CONTABILE DELLA SOCIETA. Delibera del C.d.A.

BANDO E DISCIPLINARE PER L AFFIDAMENTO DELLE ATTIVITA DI ASSISTENZA FISCALE, SOCIETARIA E CONTABILE DELLA SOCIETA. Delibera del C.d.A. BANDO E DISCIPLINARE PER L AFFIDAMENTO DELLE ATTIVITA DI ASSISTENZA FISCALE, SOCIETARIA E CONTABILE DELLA SOCIETA Distretto tecologico Sicilia Micro e Nao Sistemi società cosortile a r.l ZONA INDUSTRIALE

Dettagli

Principi base di Ingegneria della Sicurezza

Principi base di Ingegneria della Sicurezza Pricipi base di Igegeria della Sicurezza L aalisi delle codizioi di Affidabilità del sistema si articola i: (i) idetificazioe degli sceari icidetali di riferimeto (Eveti critici Iiziatori - EI) per il

Dettagli

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI

LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUATITATIVI La variabilità di u isieme di osservazioi attiee all attitudie delle variabili studiate ad assumere modalità

Dettagli

V Tutorato 6 Novembre 2014

V Tutorato 6 Novembre 2014 1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = + 1 + 1 8 6 + 1 80 + 18 se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe

Dettagli

MATEMATICA FINANZIARIA

MATEMATICA FINANZIARIA Capializzazioe semplice e composa MATEMATICA FINANZIARIA Immagiiamo di impiegare 4500 per ai i ua operazioe fiaziaria che frua u asso del, % auo. Quao avremo realizzao alla fie dell operazioe? I u coeso

Dettagli

Il confronto tra DUE campioni indipendenti

Il confronto tra DUE campioni indipendenti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo

Dettagli

Statistica (Prof. Capitanio) Alcuni esercizi tratti da prove scritte d esame

Statistica (Prof. Capitanio) Alcuni esercizi tratti da prove scritte d esame Statistica (Prof. Capitaio) Alcui esercizi tratti da prove scritte d esame Esercizio 1 Il tempo (i miuti) che Paolo impiega, i auto, per arrivare i ufficio, può essere modellato co ua variabile casuale

Dettagli

Campionamento stratificato. Esempio

Campionamento stratificato. Esempio ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) ALGEBRA \ ARITMETICA \ NUMERI NATURALI (1) I umeri aturali hao u ordie; ogi umero aturale ha u successivo (otteuto aggiugedo 1), e ogi umero aturale diverso da zero ha u precedete (otteuto sottraedo 1).

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA

STATISTICA DESCRITTIVA STATISTICA DESCRITTIVA La statistica descrittiva serve per elaborare e sitetizzare dati. Tipicamete i dati si rappresetao i tabelle. Esempio. Suppoiamo di codurre u idagie per cooscere gli iscritti al

Dettagli

Prova scritta di Statistica per Biotecnologie. 29 Aprile Programma Cristallo 1

Prova scritta di Statistica per Biotecnologie. 29 Aprile Programma Cristallo 1 Prova scritta di Statistica per Biotecologie 9 Aprile Programma Cristallo. Uo dei processi di purificazioe impiegati i ua certa sostaza chimica prevede di metterla i soluzioe e di filtrarla co ua resia

Dettagli

STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si intende per danno economico?

STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si intende per danno economico? STIMA DEI DANNI 1) Che cosa si itede per dao ecoomico? Per dao ecoomico si itede la perdita o la dimiuzioe di valore che u bee subisce a seguito di u siistro ( eveto o prevedibile) o da u fatto doloso

Dettagli

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

EQUAZIONI ALLE RICORRENZE Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo

Dettagli

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del 23-02-15 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del 3-0-15 Puteggi: 1. 3+3+4;. +3 ; 3. 1.5 5 ; 4. 1 + 1 + 1 + 1 + 3.5. Totale = 30.

Dettagli

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M

Soluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è

Dettagli

contributo di maternità (quota fissa non frazionabile)

contributo di maternità (quota fissa non frazionabile) EPPI 03/2011 Comuicazioe obbligatoria ai sesi del Decreto Legislativo 103/96 da trasmettere all'ete etro e o oltre il 31.07.2012 Piazza della Croce Rossa 3-00161 ROMA Codice Iscritto COGNOME NOME CODICE

Dettagli

CONCETTI BASE DI STATISTICA

CONCETTI BASE DI STATISTICA CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto

Dettagli

Il test parametrico si costruisce in tre passi:

Il test parametrico si costruisce in tre passi: R. Lombardo I. Cammiatiello Dipartimeto di Ecoomia Secoda Uiversità degli studi Napoli Facoltà di Ecoomia Ifereza Statistica La Verifica delle Ipotesi Obiettivo Verifica (test) di u ipotesi statistica

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea December 18, 2013 1 ichiami su utilità attesa e avversioe al rischio Prima di cosiderare il

Dettagli

Medici Specialisti e Odontoiatri

Medici Specialisti e Odontoiatri ALLEGATO B BOLLO 16,00 P A R T E P R I M A DOMANDA DI INCLUSIONE NELLA GRADUATORIA art. 21 dell Accordo Collettivo Nazioale per la disciplia dei rapporti co i Medici specialisti ambulatoriali, Medici Veteriari

Dettagli

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014)

Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia per manager. Prima versione, marzo 2013; versione aggiornata, marzo 2014) Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia per maager. Prima versioe, marzo 2013; versioe aggiorata, marzo 2014) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea March 14, 2014 1 Prezzo

Dettagli

Ricerca del saggio di capitalizzazione nel mercato immobiliare

Ricerca del saggio di capitalizzazione nel mercato immobiliare AESTIMUM 59, Dicembre 2011: 171-180 Marco Simootti Dipartimeto di Igegeria civile, ambietale e aerospaziale Uiversità degli Studi di Palermo e-mail: m.simootti@ti.it Parole chiave: procedimeto di capitalizzazioe,

Dettagli

Strumenti di indagine per la valutazione psicologica

Strumenti di indagine per la valutazione psicologica Strumeti di idagie per la valutazioe psicologica 1.2 - Richiami di statistica descrittiva Davide Massidda davide.massidda@gmail.com Descrivere i dati Dovedo scegliere u esame opzioale, uo studete ha itezioe

Dettagli

Regolamento Foglio Informativo Analitico

Regolamento Foglio Informativo Analitico Obbligazioi co capitale e redimeto miimo garatiti a scadeza. Collocameto dal 14 luglio al 30 agosto 2003. Regolameto Foglio Iformativo Aalitico del PRESTITO OBBLIGAZIONARIO «CREDEM 2003/2008 Cocerto. 4

Dettagli

Successioni ricorsive di numeri

Successioni ricorsive di numeri Successioi ricorsive di umeri Getile Alessadro Laboratorio di matematica discreta A.A. 6/7 I queste pagie si voglioo predere i esame alcue tra le più famose successioi ricorsive, presetadoe alcue caratteristiche..

Dettagli

SISTEMA D'IMPRESA GESTIONE GESTIONE SISTEMA DELLE OPERAZIONI SIMULTANEE E SUCCESSIVE SI DISPIEGANO DINAMICAMENTE

SISTEMA D'IMPRESA GESTIONE GESTIONE SISTEMA DELLE OPERAZIONI SIMULTANEE E SUCCESSIVE SI DISPIEGANO DINAMICAMENTE SISTEMA D'IMPRESA ORGAIZZAZIOE GESTIOE 1 GESTIOE SISTEMA DELLE OPERAZIOI SIMULTAEE E SUCCESSIVE SI DISPIEGAO DIAMICAMETE PER IL RAGGIUGIMETO DEI FII DELL IMPRESA 2 ORGAIZZAZIOE I SESO AMPIO LA RIUIOE DI

Dettagli

1 Limiti di successioni

1 Limiti di successioni Esercitazioi di matematica Corso di Istituzioi di Matematica B Facoltà di Architettura Ao Accademico 005/006 Aa Scaramuzza 4 Novembre 005 Limiti di successioi Esercizio.. Servedosi della defiizioe di ite

Dettagli

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.

Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci. Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. A cura di Eugeio Amitrao Coteuto dell articolo:. Itroduzioe......... uccessioe di Fiboacci....... 3. Formula di Biet per la successioe

Dettagli

MOTO UNIFORME NEI CANALI A PELO LIBERO

MOTO UNIFORME NEI CANALI A PELO LIBERO Carlo Gregoretti Idraulica capitolo 8 0 Nov. 08 64 MT UNIFRME NEI CANALI A PEL LIBER 8. Leggi di moto uiforme per caali a sezioi compatte Ua correte i u caale di sezioe costate tede ad assumere u regime

Dettagli

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Lezioi di Matematia per

Dettagli

I appello - 29 Giugno 2007

I appello - 29 Giugno 2007 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (

Dettagli

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione

Successioni. Capitolo 2. 2.1 Definizione Capitolo 2 Successioi 2.1 Defiizioe Ua prima descrizioe, più ituitiva che rigorosa, di quel che itediamo per successioe cosiste i: Ua successioe è ua lista ordiata di oggetti, avete u primo ma o u ultimo

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagia Giovaa Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secodaria di secodo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioi del Quadrifoglio à t i U 2 Radicali I questa Uità affrotiamo

Dettagli

Statistica 1 A.A. 2015/2016

Statistica 1 A.A. 2015/2016 Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 19 Iterdipedeza lieare fra variabili quatitative

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone

Numerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone Numerazioe biaria Pagia di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe SISTEMI DI NUMERAZIONE Sistemi di umerazioe a base fissa Facciamo ormalmete riferimeto a sistemi di umerazioe a base fissa, ad esempio el sistema

Dettagli

Analisi delle Schede di Dimissione Ospedaliera

Analisi delle Schede di Dimissione Ospedaliera Aalisi delle Schede di Dimissioe Ospedaliera ANALISI DELLE SCHEDE DI DIMISSIONE OSPEDALIERA CON DIAGNOSI ALCOL E DROGA CORRELATE Si descrive, per gli ai 2000-2004, il ricorso alle strutture ospedaliere

Dettagli

Sintassi dello studio di funzione

Sintassi dello studio di funzione Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:

Dettagli

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5

19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5 Il 16 dicembre 015 ero a Napoli. Ad u agolo di Piazza Date mi soo imbattuto el "matematico di strada", come egli si defiisce, Giuseppe Poloe immerso el suo armametario di tabelle di umeri. Il geiale persoaggio

Dettagli

Capitolo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE

Capitolo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE Capitoo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE 3.1 LA TEORIA DI WEIBULL I comportameto meccaico dee fibre di giestra e di juta è stato caratterizzato mediate o studio dea resisteza a trazioe dee fibre

Dettagli

Corsi di lingua inglese. 2 semestre a.a. 2011-2012

Corsi di lingua inglese. 2 semestre a.a. 2011-2012 Corsi di ligua iglese 2 semestre a.a. 2011-2012 Livello di coosceza della ligua iglese i igresso Per l accesso a tutti i corsi di laurea trieale e di laurea magistrale a ciclo uico è richiesta la coosceza

Dettagli

PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO

PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO Mii biblioteca de Il Giorale Ipdap per rederci coto e sapere di piu Mii biblioteca de Il Giorale Ipdap per rederci coto e sapere di piu PENSIONI INPDAP COME SI CALCOLANO I tre sistemi I cique pilastri

Dettagli

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

Capitolo 8 Le funzioni e le successioni Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo

Dettagli

FONDO EUROPEO DI SVILUPPO REGIONALE. nuove iniziative d impresa

FONDO EUROPEO DI SVILUPPO REGIONALE. nuove iniziative d impresa regioe puglia il lavoro e l iovazioe PO FESR 2007-2013 Asse VI Azioe 6.1.5. idi uove iiziative d impresa Regioe Puglia cosa trovo i questa scheda? Questa scheda cotiee alcue iformazioi sulla Misura Nidi

Dettagli

Matematica Finanziaria

Matematica Finanziaria Corso di Matematica Fiaziaria a.a. 202/203 Testo a cura del Prof. Sergio Biachi Programma Operazioi fiaziarie i codizioi di certezza L operazioe fiaziaria elemetare Operazioi a proti e a termie Regimi

Dettagli

METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI VOLUMI DI INVASO PER L INVARIANZA IDRAULICA

METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI VOLUMI DI INVASO PER L INVARIANZA IDRAULICA METODO DELLE PIOGGE PER IL CALCOLO DEI OLUMI DI INASO PER L INARIANZA IDRAULICA 1. Premessa I queste brevi ote si preseta il metodo semplificato delle piogge illustradoe l implemetazioe i u foglio di calcolo

Dettagli

07.XII Laboratorio integrato 3 - Valutazione economica del progetto - Clamarch - Prof. E. Micelli - Aa

07.XII Laboratorio integrato 3 - Valutazione economica del progetto - Clamarch - Prof. E. Micelli - Aa Elemeti di matematica fiaziaria 07.XII.2011 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate

Dettagli

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE

CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE CAPITOLO 5 TEORIA DELLA SIMILITUDINE 5.. Itroduzioe La Teoria della Similitudie ha pricipalmete due utilizzi: Estedere i risultati otteuti testado ua sigola macchia ad altre codizioi operative o a ua famiglia

Dettagli

STIMA DEL FONDO RUSTCO

STIMA DEL FONDO RUSTCO STIMA DEL FONDO RUSTCO 1) Quali soo gli aspetti ecoomici che possoo essere presi i cosiderazioe ella stima dei fodi rustici? La stima di u fodo rustico può essere fatta applicado i segueti aspetti ecoomici:

Dettagli

INTRODUZIONE ALL ANALISI ECONOMICA DEGLI INVESTIMENTI

INTRODUZIONE ALL ANALISI ECONOMICA DEGLI INVESTIMENTI INTRODUZIONE ALL ANALISI ECONOMICA DEGLI INVESTIMENTI Ig. Nio Di Fraco ENEA, Ete per le Nuove Tecologie, l Eergia e l Ambiete io.difraco@casaccia.eea.it Idice 1 Premessa 2 Logica dell'aalisi costi-beefici

Dettagli

Elementi di Matematica Finanziaria per l Estimo

Elementi di Matematica Finanziaria per l Estimo Elemeti di Matematica Fiaziaria per l Estimo Paolo Rosato Dipartimeto di Igegeria Civile e Architettura Piazzale Europa 1-34127 Trieste. Italia Tel: +39-040-5583569. Fax: +39-040-55835 80 E-mail: paolo.rosato@dia.uits.it

Dettagli

Introduzione: definizione di investimento... 2 Principali tipi di investimenti... 3 Problemi decisionali... 3 Cenni alla metrica dei flussi di

Introduzione: definizione di investimento... 2 Principali tipi di investimenti... 3 Problemi decisionali... 3 Cenni alla metrica dei flussi di Apputi di Ecoomia Capitolo 9 Aalisi degli ivestimeti Itroduzioe: defiizioe di ivestimeto... 2 Pricipali tipi di ivestimeti... 3 Problemi decisioali... 3 Cei alla metrica dei flussi di cassa... 4 Defiizioe

Dettagli

Le carte di controllo

Le carte di controllo Le carte di cotrollo Dott.ssa Bruella Caroleo 07 dicembre 007 Variabilità ei processi produttivi Le caratteristiche di qualsiasi processo produttivo soo caratterizzate da variabilità Le cause di variabilità

Dettagli

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni

Foglio di esercizi N. 1 - Soluzioni Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >

Dettagli

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio

Una funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe

Dettagli

DISTRIBUZIONI DOPPIE

DISTRIBUZIONI DOPPIE DISTRIBUZIONI DOPPIE Fio ad ora abbiamo visto teciche di aalisi dei dati per il solo caso i cui ci si occupi di u solo carattere rilevato su u collettivo (distribuzioi semplici). I termii formali fio ad

Dettagli

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione

Economia Internazionale - Soluzioni alla IV Esercitazione Ecoomia Iterazioale - Soluzioi alla IV Esercitazioe 25/03/5 Esercizio a) Cosa soo le ecoomie di scala? Come cambia la curva di oerta i preseza di ecoomie di scala? Perchè queste oroo u icetivo al commercio

Dettagli

8. Quale pesa di più?

8. Quale pesa di più? 8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora

Dettagli

USUFRUTTO. 5) Quali sono le spese a carico dell usufruttuario

USUFRUTTO. 5) Quali sono le spese a carico dell usufruttuario USUFRUTTO 1) Che cos è l sfrtto e come si pò costitire? L sfrtto è il diritto di godimeto ( ovvero di possesso) di bee altri a titolo gratito ; viee chiamato sfrttario chi esercita tale diritto, metre

Dettagli