Università degli Studi La Sapienza. Facoltà di Economia. Anno accademico Matematica Finanziaria Canale D - K

Transcript

1 1 Matematica Fiaziaria Uiversità degli Studi La Sapieza Facoltà di Ecoomia Ao accademico Matematica Fiaziaria Caale D - K Capitolo 3 Ammortameto di prestiti idivisi Atoio Aibali Atoio Aibali a.a

2 2 Matematica Fiaziaria Capitolo 3 Ammortameto di prestiti idivisi 3.1 Cocetti di base Per ammortameto di u prestito (mutuo) idiviso si itede quel procedimeto i base al quale u soggetto (uico) detto mutuate o creditore cede ad u tempo iiziale (es. ) ad u altro soggetto detto mutuatario o debitore ua somma D (importo del prestito) a frote della restituzioe da parte del debitore di ua redita, fiaziariamete equivalete alla somma prestata. Tale procedimeto di ammortameto è deomiato progressivo e, cosiderato el regime fiaziario uiforme della capitalizzazioe composta, risulta caratterizzato dalle segueti gradezze: Importo del prestito D Durata dell ammortameto Rate di ammortameto 1 R Quote capitale 1 C Quote iteresse I 1 Debiti residui 1 D Atoio Aibali a.a

3 3 Matematica Fiaziaria e dalle segueti relazioi tra le diverse gradezze fiaziarie: Codizioi di equilibrio del processo di ammortameto (Debito iiziale = importo del prestito) D 1 ( ) 1 1 C R 1 i R v Debiti residui (ache iiziale) D C C 1 h h h 1 h 1 D h h h h D r Rh r Rhv Rhv Rhv h 1 h 1 h 1 h 1 D Quote iteressi 1 i D Ch i Ch h 1 h I i D h h 1 i D r Rh r i Rhv h 1 h Rate di ammortameto 1 R C I C i D 1 1 C R I R i D 1 da cui possoo trarsi diverse relazioi ricorreti: Atoio Aibali a.a

4 4 Matematica Fiaziaria D h 1 C C C D C h h 1 h 1 h h ( 1 ) h ( 1 ) Rhv r Rhv r Rhv Rv r D 1 R h 1 h 1 h 1 C D D 1 1 R r D D 1 I I C i D C C D R v R v D 1 D 1 1 ( ) 1 R R C C r Ammortameti co quote capitali prefissate C 1 C D h h h 1 h 1 1 h 1 h 1 D D C... D C C I i D... i C R C I... C i C h h C I R D D 1 C I i D R C I D D C C I i D R C I D D C C I i D R C I D D C C I i D R C I D 1 Atoio Aibali a.a

5 5 Matematica Fiaziaria Esercizio; Verificare che la somma dei valori attuali delle rate corrispode all importo del prestito R v ( C I ) v ( C i D ) v ( C i C ) v 1 h h h C v i Chv C v i Ch v 1 1 h 1 h v h h C v i Ch C v Ch Ch v Ch D 1 h 1 i 1 h 1 h 1 h 1 Ammortameto di mutuo puro (co quote capitali ulle, trae l ultima pari al debito iiziale) 1 1 C C D D D, D I i D R I i D, R D i D r D C I R D D 1 C I i D R i D D D C I i D R i D D D C I i D R i D D D C D I i D R r D D Atoio Aibali a.a

6 6 Matematica Fiaziaria Esercizio : Verificare che la somma dei valori attuali delle rate corrispode all importo del prestito 1 1 R v i D v r D v i D a D 1 i v v i i D D v D ( 1 v v ) D Ammortameto di tipo italiao (co quote capitale costati e rate i progressioe aritmetica) D C 1 C D C D 1 1 D D C... D C ( ) C D 1 I ( 1) i C, I I i C R ( 1 ( 1) i ) C, R R i C C I R D D 1 C C I i C R ( 1 i ) C D ( 1) C C C I ( 1) i C R ( 1 ( 1) i ) C D ( 2 ) C C C I ( 1) i C R ( 1 ( 1) i ) C D ( ) C C C I i C R ( 1 i ) C D Atoio Aibali a.a

7 7 Matematica Fiaziaria Esercizio: Verificare che la somma dei valori attuali delle rate corrispode all importo del prestito 1 ( 1) i D Rv Dv ( 1 ( 1) i ) v D D v i ( 1) v a i ( 1) v v i D D a i ( 1) a i ( Ia) a ( 1)( 1 v ) a v i i i i i D a i a i D ) D 1 v v v v 1 1 v D 3.3 Ammortameti co rate prefissate R 1 Rv D 1 h h D r D 1 R... D r Rh r Rhv 1 h 1 h 1 1 h 1 h 1 I i D... i R v h 1 C R I... C i R v h h h 1 C I R D D 1 C R I I i D R D D C C R I I i D R D D C C R I I i D R D D C C R I I i D R D 1 Atoio Aibali a.a

8 8 Matematica Fiaziaria Esercizio: Verificare che la somma delle quote capitali corrispode all importo del prestito h 1 C ( R I ) ( R i D 1 ) ( R i Rhv ) h h h 1 h 1 R i Rhv R i Rh v 1 1 h 1 h v h h h R i Rh R Rh Rhv Rhv D 1 h 1 i 1 h 1 h 1 h 1 Ammortameto di tipo fracese (co rate costati e quote capitale i progressioe geometrica) D R a 1 R D i Rv a D i a 1 i i D r D 1 R... D r Rs Ra R i i 1 a i 1 ( ), 1 i I i Ra R 1 v I I C i D C Rv r C C r 1 1, 1 1 si 2 a C I R D D 1 C Rv I R ( 1 v ) R R D Ra i 2 C Rv I R 1 v R R D Ra ( ) i C Rv I R 1 v R R D Ra 1 1 ( ) i C Rv I R ( 1 v ) R R D Atoio Aibali a.a

9 9 Matematica Fiaziaria Esercizio: Verificare che la somma delle quote capitali corrispode all importo del prestito e che le quote capitali soo i progressioe geometrica di ragioe r 1 1 C v v r v s a D i i 1 1 a a i i 1 a a i i D R R C C 1 r C C 1 r essedo C1 s 2 R R 1 D D D D i Esercizio Dato u capitale P (es. 1) prestato al tempo iiziale, costruire i piai di ammortameto relativamete ad ua durata pari a T (=5) e ad u tasso effettivo auo d iteresse i (es. 6%), ei diversi casi sotto idicati: Caso 1: Ammortameto co quote capitali prefissate (3, 1,, 4,?) 1 C D C 1 ( ) 2 1 Atoio Aibali a.a

10 1 Matematica Fiaziaria Caso 2: Ammortameto di mutuo puro 1 1 C, C D 1 Caso 3: Ammortameto di tipo italiao Atoio Aibali a.a

11 11 Matematica Fiaziaria D 1 C C Caso 4: Ammortameto co rate prefissate (25, 18,, 4,?) ( ), 1 1 R v D R v 1 25v 18v 4v R D r R 1 r ( 25 r 18 r 4 r ) ( 1 i ) Atoio Aibali a.a

12 12 Matematica Fiaziaria Caso 5: Ammortameto di tipo fracese D 1 R R a a 1 i 5. 6 Atoio Aibali a.a

13 13 Matematica Fiaziaria Caso 3b: Ammortameto co quote capitali i progressioe aritmetica C C ( 1 ( 1) g ) 1 ( 1) D D C C ( 1 ( 1) g ) C ( g ) C ( 1) g 2 D ( 1 ( 1) g) C ( 1) 1 g 2 Atoio Aibali a.a

14 14 Matematica Fiaziaria Nota: se g = >>> ammortameto di tipo italiao Caso 3c: Ammortameto co quote capitali i progressioe geometrica 1 1 C C rg, D C C rg D s C g s g 1 D r D g r C s r g g g g D Atoio Aibali a.a

15 15 Matematica Fiaziaria Nota: se g = se g + se g = i >>> ammortameto di tipo italiao >>> ammortameto di tipo mutuo puro >>> ammortameto di tipo fracese Caso 3d: Ammortameto co quote capitali i proporzioe a umeri prefissati C C, D Ch C h C 1 h 1 h 1 h h1 1 C D D essedo 1 ˆ ˆ 1 h h1 D 1 1 h h h 1 h 1 1 h 1 h 1 D D D ˆ... D 1 ˆ D ˆ I i D... i D ˆ R C I... D ˆ i ˆ h h Atoio Aibali a.a

16 16 Matematica Fiaziaria Nota: >>> ammortameto di tipo italiao ˆ >>> ammortameto di tipo mutuo puro Atoio Aibali a.a

17 17 Matematica Fiaziaria ˆ 1 ˆ 1 1 >>> ammortameto di tipo fracese ˆ 1 1 r r 1 1 s i >>> ammortameto co quote capitali i progressioe aritmetica ˆ 1 ( 1) g 1 ( 1) g ( 1) g >>> ammortameto co quote capitali i progressioe geometrica 1 1 ˆ g rg 1 1 s g r Caso 5b: Ammortameto co rate i progressioe aritmetica D ( 1 g( 1)) D ( 1 g( 1)) i ( ) ( )( ) ( ) R ( g ) 1 Ia 1 g 1 v g a v i i Atoio Aibali a.a

18 18 Matematica Fiaziaria Caso 5c: Ammortameto co rate i progressioe geometrica Atoio Aibali a.a

19 19 Matematica Fiaziaria D r D r ( Ga) 1 ( i ) i 1 i g g R ( g ) 1 1 ( Ga) D rg D rg i ( g ) ( Ga) a i i g 1 g i g D r 1 1 i g g 1 ( g ) D ( ) r Ga g i rd 1 a i g 1 g i g 1 D D rd D r rd D r h h h 1 i g h 1 h rg v ( g ) h 1 ( Ga) i Drg h 1 h ( g ) g ( Ga) i h 1 D r r v D r r v D ( g ) i g i 1g rg D ( ) r g g ( Ga) a i i g 1 g i g ( Ga) a i D r 1 1 i g I i D ( Ga) ( g ) 1 i g i 1 1g i D rg i D ( g ) rg ( Ga) a i i g 1 g i g a Atoio Aibali a.a

20 2 Matematica Fiaziaria Dr Dr 1 i v ( 1) 1 d ( 1) i g C R I D r D r g ( g ) g 1 1 i v ( ) g ( Ga) 1 i v g a g 1 i i g ( Ga) a 1 i i g 1g 1 g i g C C 1 r R R 1 C 1 r R 1 rg R 1 C 1 r R 1 g 2 Caso 5d: Ammortameto co rate i proporzioe a umeri prefissati Atoio Aibali a.a

21 21 Matematica Fiaziaria h h R R, D Rhv R hv R 1 h 1 h 1 h h1 1 R D D essedo v 1 ˆ ˆ h 1 hv h1 D v h ˆ ˆ h... ˆ h D r D 1 D D r h r D hv 1 h 1 h 1 1 h 1 h 1 I i D... i D ˆ v h 1 C... ˆ ˆ R I D i hv h h 1 Atoio Aibali a.a

22 22 Matematica Fiaziaria Nota: >>> ammortameto di tipo italiao ˆ 1 ( 1) i 1 ( 1) i 1 1 >>> ammortameto di tipo mutuo puro i r ˆ i ˆ r >>> ammortameto di tipo fracese 1 ˆ 1 1 a i 1 >>> ammortameto co quote capitali i progressioe aritmetica ˆ 1 ( 1) g 1 ( 1) g ( ) g 1 1 ( Ia) i >>> ammortameto co quote capitali i progressioe geometrica Atoio Aibali a.a

23 23 Matematica Fiaziaria 1 ( 1 i ) ( 1 i ) i g ( Ga) ( i ) 1 i 1 ˆ ( 1 g) ( 1 g) ( g ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( Ga) 1 g 1 g i i g ( g ) ( Ga) a i i g 1 g Esercizio A U prestito di importo P doveva essere estito i T (=12) ai secodo la metodologia dell ammortameto fracese, al tasso auo effettivo d iteresse i. D P D T T T T Rt, It Dt 1 i, Ct Rt It, Dt Dt 1 Ct t 1 at i t 1 t 1 t 1 Dopo il pagameto della R-sima (=5) rata, il debitore ottiee la moratoria per S (=3) ai, a codizioe di aumetare il tasso auo di u puto e di estiguere il debito etro la scadeza stabilita. Cosiderare i due segueti casi: Caso 1: la moratoria o esoera il debitore dal pagameto delle quote iteressi, Caso 2: la moratoria esoera il debitore dal pagameto delle quote iteressi. Atoio Aibali a.a

24 24 Matematica Fiaziaria D P R R S T R S Rt Rt D ˆ, t 1 i ( sw 1), Rt t 1 at i t R 1 t R S 1 at R S ˆ i R t t 1 t t 1 t 1 t R 1 T D I D i, I D ˆ i C R I, D D C t t t t t 1 t t 1 t 1 T T D Atoio Aibali a.a

25 25 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

26 26 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

27 27 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

28 28 Matematica Fiaziaria 3.4 Valutazioe di u prestito Tasso del prestito Tasso del valutazioe i i 1 Valore di u prestito (valore attuale delle rate) 1 ( h ) h Ah ( i1 ) R ( 1 i1 ) Rv1 h h 1 h 1 ( 1 ) 1 1 A i R v se, i particolare, il tasso di valutazioe coicide co il tasso del prestito, risulta ( i i) 1 1 h h h () h h 1 A i R v D () 1 A i R v D Nuda proprietà (valore attuale delle quote capitale) 1 h h h ( 1 ) 1 h 1 P i C v ( 1 ) C v1 1 P i Usufrutto (valore attuale delle quote iteressi) 1 h h h ( 1 ) 1 h 1 U i I v ( 1 ) 1 1 U i I v Idice del grado di capitalizzazioe (rapporto tra l usufrutto e il valore del prestito) Atoio Aibali a.a

29 29 Matematica Fiaziaria h 1 Iv1 Uh ( i1 ) h 1 Gh( i1) h Ah( i1) h Rv 1 h 1 G Iv1 U ( i1 ) 1 ( i1) A( i1) Rv 1 1 se, i particolare, il tasso di valutazioe coicide co il tasso del prestito, risulta ( i i) 1 1 h U () i G () i h I v h h 1 D h Ah ( i ) h 1 Rv h h G I v U () i 1 () i D Rv A ( i ) 1 da cui possoo trarsi diverse relazioi ricorreti: 1 h1 A ( i ) ( A ( i ) R ) v, A ( i ) R v h 1 1 h 1 h h1 P ( i ) ( P ( i ) C ) v, P ( i ) C v h 1 1 h 1 h h1 U ( i ) ( U ( i ) I ) v, U ( i ) I v h 1 1 h 1 h U ( i ) U ( i ) I G ( i ) A ( i ) I 1 h 1 1 h 1 h h 1 h 1 h Gh 1 ( i1 ) h1 Ah 1 ( i1 ) Ah ( i1 ) R h Ah ( i1 ) R h G U 1 ( i1 ) I ( i ) A ( i ) R Atoio Aibali a.a

30 3 Matematica Fiaziaria Formula di Maeham 1 h h h Ah ( i1 ) Rv1 ( C I ) v1 Ph ( i1 ) i D 1 v1 h h 1 h 1 h 1 g h h Ph ( i1 ) i Cg v1 Ph ( i1 ) i Cg v1 Ph ( i1 ) i Cga g h i1 h 1 g g h 1 h 1 g h 1 i i gh Ph ( i1 ) Cg ( 1 v1 ) Ph ( i1 ) Cg i1 g h 1 i1 g h 1 g h 1 i i i P ( i ) ( D P ( i )) D ( D P ( i )) 1 h 1 h h 1 h h h 1 i1 i Ah ( i ) 1 Uh ( i1 ) Ah ( i1 ) Ah ( i ) C v gh g 1 i i i A ( i ) P ( i ) ( D P ( i )) D ( D P ( i )) i1 i A ( i ) 1 U ( i1 ) A ( i1 ) A ( i ) 1 i A ( i ) P ( i ) ( D P ( i )) ( A ( i ) P ( i )) i ( D P ( i )) i h 1 h 1 h h 1 h 1 h 1 1 h h 1 h i1 P ( i )( i i ) ( D i A ( i ) i ) h 1 1 h h 1 1 D i A ( i ) i 1 h h 1 1 Ph( i1) h i i1 D i A ( i ) i P( i1) i i ( A ( i ) D ) i 1 h 1 h Uh( i1) h i i1 ( A ( i1 ) D ) i U( i1) i i 1 D 1 i ( ) h 1 ( ) Ah i1 Gh i1 h i i1 D 1 i A( i1) G ( ) i1 i i 1 Atoio Aibali a.a

31 31 Matematica Fiaziaria Esercizio (da esercizio precedete) Calcolare la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e l idice del grado di capitalizzazioe, relativamete ad u tasso di valutazioe i 1 (es. 5%) ei diversi casi sotto idicati: Caso 1: Ammortameto co quote capitali prefissate Atoio Aibali a.a

32 32 Matematica Fiaziaria Caso 2: Ammortameto di mutuo puro 1 h P ( i ) D v h h i h U h ( i1 ) D i a D ( ) h i 1 v1 1 h i1 1 v 1 h h h 1 Ah ( i1 ) Ph ( i1 ) U h ( i1 ) D v1 D i a D h i v1 D i 1 h i1 D D i v i ( 1 v ) i ( i i ) v i h h h i1 i h 1 D ( 1 v1 ) h Uh( i1) i1 i ( 1 v1 ) Gh( i1) ( ) ( h h Ah i D 1 h i i ) ( ) 1 i v i i 1 1 i v1 i1 se, i particolare, il tasso di valutazioe coicide co il tasso del prestito ( i i), risulta 1 1 h A () i D D h h 1 h P () i D v h h 1 h U i D 1 v h h( ) ( ) 1 h G ( i ) 1 v h 1 h Atoio Aibali a.a

33 33 Matematica Fiaziaria Caso 3: Ammortameto di tipo italiao Atoio Aibali a.a

34 34 Matematica Fiaziaria 1 h D P ( i ) a h 1 h i1 1 i i h i U h ( i1 ) Dh Ph ( i1 ) D a h i h a 1 h i1 h i1 i1 i1 D D D i 1 Ah ( i1 ) Ph ( i1 ) U h ( i1 ) a h a h i1 h i1 h i1 D i a h a i h i1 h i1 1 1 U ( ) h i1 h i1 i1 Gh( i1) h h( 1) a h a h i1 h i1 i1 D i h a h a h i1 A i D i i a h a i D h i1 h i1 1 se, i particolare, il tasso di valutazioe coicide co il tasso del prestito, risulta ( i i) 1 1 h D Ah( i ) Dh ( h) 1 h D Ph () i a h i 1 h D U h () i h a h i a 1 h i G h () i 1 h h Atoio Aibali a.a

35 35 Matematica Fiaziaria Caso 4: Ammortameto co rate prefissate Atoio Aibali a.a

36 36 Matematica Fiaziaria Caso 5: Ammortameto di tipo fracese Atoio Aibali a.a

37 37 Matematica Fiaziaria 1 h a h i1 Ah ( i1 ) D a i a h i h i D 1 i D i 1 1 h h Dh i Ah ( i1 ) i a a 1 i i D v1 v Ph( i1) h i i1 i i1 a i i i 1 a a h i1 h i D D i 1 ( A ( ) ) h i1 Dh i a a i i D i a a h i1 h i Uh( i1) h i i1 i i1 a i i i 1 a D i a a h i1 h i U ( i ) a i i i a 1 h 1 i 1 h i1 h i Gh( i1) h Ah ( i1 ) a h i i i 1 1 a h i1 D a i a se, i particolare, il tasso di valutazioe coicide co il tasso del prestito, risulta ( i i) 1 a 1 h i Ah () i Dh D h a i D 1 ( i ) h 1 Ph ( i ) ( Ga) ( h) v h i h s a i i D a D D 1 h i h 1 h 1 U ( ) ( ) h i D h v ( a ( h) v ) h i h a a a i i i 1 h 1 ( h) v h G ( i ) 1 1 h 1 h a s h i h i Atoio Aibali a.a

38 38 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

39 39 Matematica Fiaziaria Caso 3b: Ammortameto co quote capitali i progressioe aritmetica (cotrollare formule sul foglio excel) Caso 3c: Ammortameto co quote capitali i progressioe geometrica (cotrollare formule sul foglio excel) Atoio Aibali a.a

40 4 Matematica Fiaziaria Caso 3d: Ammortameto co quote capitali i proporzioe a umeri prefissati (cotrollare formule sul foglio excel) Caso 5b: Ammortameto co rate i progressioe aritmetica (cotrollare formule sul foglio excel) Atoio Aibali a.a

41 41 Matematica Fiaziaria Caso 5c: Ammortameto co rate i progressioe geometrica (cotrollare formule sul foglio excel) Caso 5d: Ammortameto co rate i proporzioe a umeri prefissati (cotrollare formule sul foglio excel) Esercizio A (proseguimeto) Calcolare la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e l idice del grado di capitalizzazioe, relativamete ad u tasso di valutazioe i 1 (es. 8%) Atoio Aibali a.a

42 42 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

43 43 Matematica Fiaziaria Esercizio A (proseguimeto) Ripetizioe dell esercizio ell ipotesi che le rate costituiscao ua progressioe aritmetica di ragioe relativa g (=1%) D P D ( 1 g( t 1)),,, T T T T Rt It Dt 1 i C g t Rt It Dt Dt 1 Ct t 1 Ia ( ) ( ) T i t 1 t 1 t 1 D P R R S t ( g ) t t 1 t 1 ( Ia) T i t R 1 R T RS Rt ( g ) t R S 1 ( Ia) T R S i t t 1 t t 1 t 1 t R 1 T D ( 1 g( t 1)) R, R D ˆ i ( sw 1) D ( 1 g( t R S 1)) I D i, I D ˆ i C R I, D D C t t t t t 1 t t 1 t 1 T T Atoio Aibali a.a

44 44 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

45 45 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

46 46 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

47 47 Matematica Fiaziaria Esercizio A (proseguimeto) Ripetizioe dell esercizio ell ipotesi che le rate costituiscao ua progressioe geometrica di ragioe relativa g (=1%) D P D ( 1 g) T t1 T T T Rt, It D g t 1 i Ct Rt It Dt Dt 1 Ct t 1 Ga ( ),, ( ) T i t 1 t 1 t 1 Atoio Aibali a.a

48 48 Matematica Fiaziaria D P R t1 R S t ( g ) t t 1 t 1 ( Ga) T i t R 1 R T t R S 1 RS Rt ( g ) t R S 1 ( Ga) T R S i t t 1 t t 1 t 1 t R 1 T D ( 1 g ) R, R D ˆ i ( sw 1) D ( 1 g ) I D i, I D ˆ i C R I, D D C t t t t t 1 t t 1 t 1 T T Atoio Aibali a.a

49 49 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

50 5 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

51 51 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

52 52 Matematica Fiaziaria Esercizio B Al tempo iiziale u idividuo cotrae u mutuo di ammotare D (=1), co obbligo di rimborso, secodo la metodologia dell ammortameto italiao, i S (=7) ai ed al tasso auo d iteresse i 1 (=6%). Immediatamete dopo il versameto della P-sima (=4) rata, l idividuo accetta la modifica delle modalità di rimborso del mutuo, co raddoppio del periodo residuo di pagameto, cambio del tasso auo di iteresse da i 1 a i 2 (=8%) e suddivisioe del debito residuo i due parti: ua parte del debito residuo pari al H% (=6%), da rimborsare secodo la metodologia dell ammortameto fracese, ua parte del citato debito residuo pari al (1-H)%, da rimborsare secodo la metodologia dell ammortameto a mutuo puro. Si chiede di determiare: il piao di ammortameto italiao origiario relativo al periodo di S ai, il piao di ammortameto fracese relativo al periodo di 2(S-P) ai, il piao di ammortameto a mutuo puro relativo al periodo di 2(S-P) ai, Atoio Aibali a.a

53 53 Matematica Fiaziaria Il piao di ammortameto completo relativo al periodo di 2S-P ai e composto dai primi P ai del piao origiario e, per i successivi 2(S-P) ai, dalla somma dei due piai (fracese e a mutuo puro), la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e il coseguete idice del grado di capitalizzazioe, relativamete al piao di ammortameto completo ed al tasso auo di iteresse i 3 (=1%). Nota: Cosiderare fisse le gradezze (di tipo durata) S e P e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, i 1, i 2, i 3 ed H. Dati del problema Ammortameto italiao relativo al periodo di S ai D S S S S Ct Dt Dt 1 Ct It Dt 1 i1 Rt Ct It t 1 S,,, t 1 t 1 t 1 Atoio Aibali a.a

54 54 Matematica Fiaziaria Ammortameto fracese relativo al periodo di 2 (S-P) ai D D HD R D D C 2 S P F 2 S P F F P F F F P P, t, t t 1 t t P 1 a2 ( S P ) i t P S P 2 S P F F F F F It Dt 1 i 2, Ct Rt It t P 1 t P 1 Atoio Aibali a.a

55 55 Matematica Fiaziaria Ammortameto a mutuo puro relativo al periodo di 2 (S-P) ai 2 S P 1 U 2 S P U Ct U U U P ( ) P, t P 1, t t 1 t U U t P 1 C2 S P DP D 1 H D D D C 2 S P 2 S P U U U U U It Dt 1 i 2, Rt Ct It t P 1 t P 1 Ammortameto completo relativo al periodo di 2S-P ai Atoio Aibali a.a

56 56 Matematica Fiaziaria P C C C C Ct Ct, It It, Rt Rt, Dt Dt t1 2 S P C F U C F U C F U C F U Ct Ct Ct, It It It, Rt Rt Rt, Dt Dt Dt t P 1 Nuda proprietà, usufrutto, valore del prestito e coseguete idice del grado di capitalizzazioe Atoio Aibali a.a

57 57 Matematica Fiaziaria 2 S P 2 S P C t C t t ( 3 ), t ( 3 ) t 1 t 1 NPr C 1 i Usu I 1 i 2 S P I C ( ) t t 1 i 2 S P 3 C t Usu t1 Val Rt ( 1 i 3), GrC 2 S P t1 Val C t Rt ( 1 i 3) t1 Atoio Aibali a.a

58 58 Matematica Fiaziaria Esercizio C Al tempo iiziale u idividuo cotrae u mutuo di ammotare D (=1), co obbligo di rimborso, secodo la metodologia dell ammortameto di tipo fracese, i S (=1) ai ed al tasso auo effettivo d iteresse i (=4%). Immediatamete dopo il versameto della P-sima (=6) rata, l idividuo propoe, a partire dalla successiva rata, di pagare, quale quota capitale, ua porzioe, pari ad H% (6%), della quota capitale dell ammortameto origiario, co accettazioe del raddoppio del tasso d iteresse. Il debito residuo o rimborsato alla scadeza S, dovrà essere estito co u ammortameto di tipo italiao, per ua durata pari ad ulteriori S-P ai e ad u tasso auo effettivo auo d iteresse pari alla media aritmetica dei due tassi precedetemete utilizzati. Si chiede di determiare: Atoio Aibali a.a

59 59 Matematica Fiaziaria il piao di ammortameto fracese origiario relativo al periodo di S ai, il piao di ammortameto modificato (a quote capitale prefissate) relativo al periodo di S-P ai, il piao di ammortameto italiao residuo relativo al periodo S-P ai, Il piao di ammortameto completo relativo al periodo di 2S- P ai, co riguardo al piao di ammortameto completo, la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e l idice del grado di capitalizzazioe, ai diversi tempi di evoluzioe del processo di ammortameto ed al tasso auo medio utilizzato el terzo periodo. Nota: Cosiderare fisse le gradezze (di tipo durata) S e P e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, i ed H. Dati del problema Ammortameto fracese relativo al periodo di S ai Atoio Aibali a.a

60 6 Matematica Fiaziaria S S Rt, Dt Dt 1 Ct t 1 asi t 1 S D I D i, C R I t t 1 t t t t 1 t 1 S Ammortameto modificato relativo al periodo di S-P ai S S M M M M M P P, t t, t t 1 t t P 1 t P 1 D D C H K D D C S S M M M M M It Dt 1 2 i, Rt Ct It t P 1 t P 1 Atoio Aibali a.a

61 61 Matematica Fiaziaria Ammortameto italiao relativo al periodo di S-P ai D D D K D D K S P I S P I M I S I I I S S, t, t t 1 t t S 1 S P t S 1 S P S P I I 3 I I I It Dt 1 i, Rt Kt It t S 1 2 t S 1 Atoio Aibali a.a

62 62 Matematica Fiaziaria Ammortameto completo relativo al periodo di 2S-P ai P P P P C C C C Ct Ct It It Rt Rt Dt Dt t 1 t 1 t 1 t 1 S S S S C M C M C M C M Ct Ct, It It, Rt Rt, Dt Dt t P 1 t P 1 t P 1 t P 1 S P S P S P S P C I C I C I C I Ct Ct It It Rt Rt Dt Dt t S 1 t S 1 t S 1 t S 1 Atoio Aibali a.a

63 63 Matematica Fiaziaria Nuda proprietà, usufrutto, valore del prestito ed idice del grado di capitalizzazioe NPr C C S P S P S P 1 UsuS P 1 C C t 1 t 1 t 1 t 1 NPrt Usu t t S P 2 3 t S P 2 3 ( 1) ( 1) Val S P 1 C t 1 t 1 Valt t S P 2 3 ( 1 ) C I i 1 i 2 2, NPr C Usu I C RSP 3 1 i 2 Val 1 i 1 i 2 2 R 1 i 2, S P 1 t Usut GrCt Val t Atoio Aibali a.a

64 64 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

65 65 Matematica Fiaziaria Esercizio D U idividuo cotrae al tempo iiziale u mutuo di ammotare pari a D (=1), da rimborsare secodo la metodologia dell ammortameto fracese, per ua durata pari ad N (=8) ai e u tasso auo effettivo d iteresse pari a i (=13.75%). Le rate di tale ammortameto vegoo idicizzate, al mometo del pagameto, cosiderado: i cambi Ecu/Lira (rilevati all'iizio di ogi periodo auo, a partire dal tempo iiziale), foriti dal vettore E t=,1,,n (co N+1 compoeti), i tassi aui di iflazioe, dati dal vettore U t=1,2,,n (co N compoeti), secodo le segueti modalità: determiazioe per ciascu ao della rata modificata legata all'ecu, otteuta come prodotto tra la rata base auale ed il rapporto tra il cambio Ecu/Lira dello stesso ao e quello vigete all'iizio dell'operazioe, pagameto per ciascu ao della rata modificata, sio ad ua rata massima legata all'iflazioe, otteuta come prodotto tra la rata base ed il coefficiete totale d'iflazioe dell'ao correte rispetto alla situazioe vigete all'iizio dell'operazioe, cotabilizzazioe, al tempo fiale dell operazioe, delle evetuali differeze tra le rate modificate e gli importi pagati, i base ad u tasso auo pari al tasso itero dell operazioe, calcolato co riguardo alle rate modificate, Atoio Aibali a.a

66 66 Matematica Fiaziaria pagameto del motate residuale al tempo N, tramite u uovo ammortameto di tipo italiao, di durata pari ad N ed al tasso itero calcolato. Si chiede di determiare: il piao di ammortameto origiario ed il vettore delle rate modificate, il vettore delle rate effettivamete pagate e l'ammotare, al tempo N, del uovo debito da ammortizzare, il uovo piao di ammortameto, verificado che il tasso itero dell itera operazioe coicide co il tasso itero precedetemete calcolato, il piao di ammortameto globale a posteriori calcolato i base al tasso itero uico. Nota: Cosiderare fissa la gradezza (di tipo durata) N e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, i, i cambi Ecu/Lira e i tassi di iflazioe: N t N t1 E ( t ) U ( % 5. 1% % % % % % %) t Dati del problema Atoio Aibali a.a

67 67 Matematica Fiaziaria Ammortameto fracese relativo al periodo di N ai, vettore delle rate modificate e tasso itero di redimeto coseguete D N N Rt, Dt Dt 1 Ct t 1 ani t 1 N N N mod t It Dt 1 i, Kt Rt It, Rt Rt t 1 t 1 t 1 E N mod t ( t ) t1 D R 1 i E Atoio Aibali a.a

68 68 Matematica Fiaziaria Vettore della rate effettivamete pagate e ammotare del debito da ammortizzare N t1 t pag mod Rt mi Rt, Rt ( 1 Uh ) h1 N M ( R R )( 1 i ) t1 mod pag N t t t Atoio Aibali a.a

69 69 Matematica Fiaziaria Nuovo piao di ammortameto D M I N D 2 N I 2 N I S I I I Kt, Dt Dt 1 Ct t N 1 N t N 1 2 N 2 N I I I I I It Dt 1 i, Rt Ct It t N 1 t N 1 Atoio Aibali a.a

70 7 Matematica Fiaziaria Piao di ammortameto a posteriori N # pag Rt Rt 2 N 2 N t1 # # # # #,, 2N t t 1 t t t # I t 1 t 1 Rt Rt t N 1 2N t1 D D C I D i 2N # # # # t t t, t ( t ) t1 C R I D R 1 i Atoio Aibali a.a

71 71 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

72 72 Matematica Fiaziaria Esercizio E U idividuo dispoe di u capitale D (=1) e al tempo iiziale lo cocede i prestito ad u altro soggetto, il quale si impega a rimborsarlo i N (=1) ai, ad u tasso auo i (=1%), secodo il procedimeto di ammortameto fracese. Il creditore, all'atto della riscossioe delle rate, deve pagare sulle quote iteressi u'imposta caratterizzata da M (=5) aliquote progressive a scaglioi e versa il etto ricavo (ossia la rata al etto dell'imposta) i u c/c bacario, caratterizzato da u tasso auo di iteresse pari a i 1 (=5%). Idicado co A h=1,2,,m : il vettore delle M aliquote d'imposta, S h=1,2,,m-1 : il vettore delle M-1 ampiezze degli scaglioi fiiti, cosiderado l ultimo scaglioe illimitato, Atoio Aibali a.a

73 73 Matematica Fiaziaria calcolare il saldo del c/c bacario al tempo N+K, essedo K (=5) u qualsiasi umero aturale. Si chiede di determiare: il piao di ammortameto origiario (del debitore), il vettore delle imposte aualmete pagate e delle corrispodeti aliquote medie auali, il piao di ammortameto etto (del creditore) : piao co quote capitali predetermiate (corrispodeti a quelle dell ammortameto origiario) e tassi di iteresse aui (variabili, al etto delle imposte), il saldo del c/c bacario al tempo fiale dell operazioe. Nota: Cosiderare fissa la gradezza (di tipo durata) N e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, i, i 1, le aliquote d imposta e le ampiezze degli scaglioi: M h h1 M1 h1 A ( 5 % 1 % 15 % 25 % 4 %) S ( ) h Dati del problema Atoio Aibali a.a

74 74 Matematica Fiaziaria Ammortameto fracese relativo al periodo di N ai N N Rt, Dt Dt 1 Ct t 1 ani t 1 N D I D i, C R I t t 1 t t t t 1 t 1 N Atoio Aibali a.a

75 75 Matematica Fiaziaria Limitazioi (iferiori e superiori) degli scaglioi. Per l ultimo scaglioe si è cosiderata ua limitazioe diamica legata al massimo valore delle quote iteressi M 1 N L, Lh Lh 1 Sh, LM max LM 1, It h 1 t 1 Porzioi di quote iteressi eccedeti le diverse limitazioi di scaglioe N M I, max (, I L ) I mi( I, L ) t h t h t t h t 1 h Atoio Aibali a.a

76 76 Matematica Fiaziaria Imposte relative alle diverse porzioi di quote iteressi rietrati ei diversi scaglioi N M t 1 h 1 P A ( I I ) A ( mi( I, L ) mi( I, L )) t, h h t, h 1 t, h h t h t h 1 Imposte relative alle diverse quote iteressi N M M t1 P P, A ( mi( I, L ) mi( I, L )) t t h h t h t h 1 h 1 h 1 Aliquote d imposta relative alle diverse quote iteressi A ( mi( I, L ) mi( I, L )) P N h t h t h 1 ˆ t h 1 At t1 It It M L L M h h 1 Ah ( mi( 1, ) mi( 1, )) h1 It It Tassi etti aui (variabili, al etto delle imposte) N M ˆ ˆ h h 1 i t i ( 1 At ) i 1 Ah ( mi( 1, ) mi( 1, )) t1 h1 It It L L Atoio Aibali a.a

77 77 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

78 78 Matematica Fiaziaria il piao di ammortameto etto (del creditore) e il saldo del c/c bacario al tempo fiale dell operazioe N N C, D D C t t t 1 t t 1 t 1 N ˆ I D ˆ i, Rˆ C ˆ I t t 1 t t t t t 1 t 1 N N M R ˆ ( 1 i ) t1 N t t 1 Atoio Aibali a.a

79 79 Matematica Fiaziaria Esercizio F Al tempo iiziale u idividuo cotrae u mutuo di ammotare D (=1) co obbligo di rimborso secodo la metodologia dell ammortameto co rate i progressioe geometrica di Atoio Aibali a.a

80 8 Matematica Fiaziaria ragioe 1+g (1+15%) i S (=12) ai al tasso auo d iteresse i (=4%). Dopo S 1 (=7) pagameti l idividuo accetta la modifica i ammortameto co quote capitali i progressioe geometrica, sempre di ragioe 1+g, per i successivi S-S 1 ai e al tasso auo d iteresse i 2 (=8%). All atto della riscossioe delle rate, il creditore deve versare all erario u imposta di aliquota A% (=5%) sulla quota iteresse, limitatamete alla quota eccedete la frachigia F (=35) e versa il etto ricavo auale i u c/c bacario caratterizzato da u tasso auo di iteresse i 3 (2%). Si chiede di determiare: il piao di ammortameto origiario, il piao di ammortameto modificato, e, co riferimeto all ammortameto modificato, le imposte pagate dal creditore sulle quote iteresse, i saldi auali del coto correte bacario sio al termie dell ammortameto, la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e l idice del grado di capitalizzazioe al tempo, sia dalla parte del debitore che da quella del creditore, a u tasso auo d iteresse pari alla media dei due tassi origiari. Nota: Cosiderare fisse la gradezza (di tipo durata) S ed S 1 e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, g, i, i 2, A, F e i 3. Atoio Aibali a.a

81 81 Matematica Fiaziaria Piao di ammortameto co rate variabili i progressioe geometrica (fracese, se g=) relativo al periodo di S ai S S t t 1 t ( g ) t ( ) 1( ) ( ) 1( ) Si 1 ( g ) t 1 t 1 ( Ga) Si D R 1 i R 1 g 1 i R Ga R D N t1 Rt ( g ) t1 ( Ga) Si N t t 1 t t t 1 t 1 t 1 t 1 D g S a 1 ( 1 i ) Si i t 1 D ( 1 g) D ( 1 g ) g i D ( 1 g ) S S 1 g t 1 t 1 D ( 1 g ) D ( ) 1 g g i S a i g S i g 1 g N 1 g D D C, I D i, C R I N D t t t g i g t Atoio Aibali a.a

82 82 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

83 83 Matematica Fiaziaria Piao di ammortameto modificato co quota capitale i progressioe geometrica (italiao, se g=) relativo al periodo di S S 1 ai S S t S1 1 S1 S ( ) 1 t S1 1 S1 1 S S1 g S1 1 t S1 1 t S1 1 ss S1 g D C C 1 g C s C D S1 Cˆ t Ct t1 t S1 1 DS ( 1 g) 1 g S S D ( 1 g ) ( 1 g) 1 g S t S1 1 1 ˆ S1 C t S1 1 t DS ( 1 g) 1 t S1 1 ss S 1 g g SS1 Dˆ D ˆ I I,, S Dˆ Dˆ Cˆ ˆ I Dˆ i S1 S1 S1 t t t t t 1 t 1 t 1 S t t 1 t t t 1 2 t S11 t S11 S t S1 1 Rˆ R t t Rˆ Cˆ ˆ I t t t Atoio Aibali a.a

84 84 Matematica Fiaziaria Imposte pagate dal creditore sulle quote iteresse e saldi auali del coto correte bacario Atoio Aibali a.a

85 85 Matematica Fiaziaria S t1 Imp max (( ˆ I F ), ) A t t t1 S ˆ# I ˆ t It Impt t1 S # Rˆ Rˆ Imp t t t S ˆ # t t t 1 3 t1 Z, Z R Z ( 1 i ) Atoio Aibali a.a

86 86 Matematica Fiaziaria la uda proprietà, l usufrutto, il valore del prestito e l idice del grado di capitalizzazioe al tempo, sia dalla parte del debitore che da quella del creditore i m i i 2 S 2 NPr Cˆ ( 1 i ) t1 t t m S S ˆ t ( ), ˆ t t m t ( m ) t 1 t 1 Usu I 1 i Val R 1 i S S # ˆ # ( ) t ( ) t t m t m t 1 t 1 Usu I 1 i Usu Imp 1 i Usu Imp S S # ˆ # t t t ( m ) t ( m ) t 1 t 1 Val R 1 i Val Imp 1 i Val Imp Atoio Aibali a.a

87 87 Matematica Fiaziaria ˆ It ( 1 i ) Usu t1 GrC Val S Rˆ ( 1 i ) GrC S t1 t t m t m S ˆ # # ( ) t It 1 i m # t1 GrC # S # Val # ˆ t Val Imp Val Val Rt ( 1 i m) t1 Usu Usu Imp Imp Npr Atoio Aibali a.a

88 88 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

89 89 Matematica Fiaziaria Esercizio G Al tempo iiziale u soggetto cotrae u mutuo avete le segueti caratteristiche: Importo: D (=1) Durata del prestito: T 1 (=1 ai) Tasso auo di iteresse i 1 (=6%) Metodologia: ammortameto progressivo co quote capitale i progressioe aritmetica di ragioe pari a G (= -1), ma si accorge di o poter impiegare il capitale otteuto D, per cui, dopo w (=1) a1 di improduttivita, decide di darlo i prestito, cocededo u mutuo alle segueti codizioi: Durata del prestito: T 2 (=6 ai oppure =12 ai) Tasso auo di iteresse: i 2 (=9%) Metodologia: ammortameto di tipo fracese, versado oppure prelevado le differeze i oppure da u c/c bacario caratterizzato dai due tassi aui di iteresse, rispettivamete creditore e debitore i 3 (=2%) e i 4 (=12%). Si chiede di determiare: i diversi piai di ammortameto, il saldo del c/c bacario al termie di etrambe le operazioi di mutuo, elle due ipotesi di durata del secodo mutuo, suppoedo di poter distribuire il secodo ammortameto tra due possibili durate T 2, secodo ua percetuale A h % di ammortameto secodo la durata breve e ua percetuale (1-A h )% di ammortameto secodo la durata luga, idicare per quale percetuale A h % si ottiee il massimo valore del saldo del c/c bacario alla fie dell operazioe. Atoio Aibali a.a

90 9 Matematica Fiaziaria Nota: Cosiderare fisse la gradezza (di tipo durata) T 1, T 2 e w e variabili le altre gradezze (di tipo fiaziario) D, G, i, i 2, i 3, i 4 ed A h 2 h h Ah ( % 5 % 1 %... 9 % 95% 1 %) 1 Dati del problema Piao di ammortameto co quote capitale i progressioe aritmetica (italiao, se G=) relativo al periodo di T 1 ai T1 T1 T1 G ( T1 1) T1 D C ( C G( t 1)) C T G( t 1) C T 2 t t 1 t 1 t 1 D G( T1 1) C1 T 2 1 D G( T 1) D G( 2t T 1) N 1 1 Ct G( t 1) t1 T1 2 T1 2 N N N D D C, I D i, R C I t t 1 t t t 1 1 t t t t 1 t 1 t 1 Atoio Aibali a.a

91 91 Matematica Fiaziaria Piao di ammortameto di tipo fracese al periodo di T 2 ai e saldo del C/C bacario (elle due ipotesi di durata del secodo mutuo) Atoio Aibali a.a

92 92 Matematica Fiaziaria 2 T2, w 2 T2, w ( ) D ( ) ( ) ( ) Rt, Dt Dt 1 Ct 1 t w 1 at 2, i 1 t w T2, w 2 T2, w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) It Dt 1 i 2, Ct Rt It 1 t w 1 1 t w 1 2 T2, w 1 t w 1 ( ) ( ) Cf R R t t t 2 2 T2, w ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 i3 ) se St 1 ( ) S, St St 1 Cf ( ) t 1 1 t w 1 ( 1 i 4 ) se St 1 Atoio Aibali a.a

93 93 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

94 94 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

95 95 Matematica Fiaziaria 2 T2 max w h t 1 ( 1) ( 2) Cf, A R ( 1 A ) R R h t h t h t t Atoio Aibali a.a

96 96 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

97 97 Matematica Fiaziaria 2 2 T2 max w 3 h, t 1 Sh,, Sh, t Sh, t 1 Cf h, t ( 1 i ) 4 se Sh, t 1 h h t 1 A S max ( S ) hˆ hˆ, T h h, T2 max 1 2 max 1 ( 1 i ) se S Atoio Aibali a.a

98 98 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a

99 99 Matematica Fiaziaria Atoio Aibali a.a