La gestione del rischio di credito con modelli di derivazione attuariale: il caso di CreditRisk+

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1 L getoe del rcho d credto co odell d deroe tturle: l co d CredtR Adre Ret, uertà d Bergo Fcer c ge r, ut eer doe of t coletely. Th hold uch for ettg lo-defult rte for lfe urer ourg oer ortlty tle or P&C urer clcultg the r of fre. A dry d cllou the e of uer y ee, they fulfl ueful ocl fucto. The Ecoot, Noeer 6 th, troduoe E rtcolrete dffcle ceglere le role co cu ccoglere l lettore ll o d u ggo dedcto l rcho d credto. L rgoe d queto ro rede ell coeole che l trttoe, er quto cruolo o rtcolreggt, è dett relr colet e lcuo. effett, o re ecceo fferre che l tttà d coceoe del credto rreet, qulche ur, l te rgo d eere del te cro, ù cor dell getoe del rro o dell ordt troe de get. Per queto oto, l lettertur ulle che e u ecc ecooc che e goero l fuoeto è, rte, dedct roro ll fuoe d roduoe dell tttà d retto; ed u cotruto orgle ter uò oltto rre d ggugere qulche rtocco d u edfco or eteo e cooldto. L ttule fe d rtrutturoe de te credt t ccrece l cetrltà dell tttà d erogoe del credto, che le certee e le de che quet tttà coort. D u lto, ftt, le che trdol coto ur ere ù rct l cocorre d ltre ctegore d teredr ell getoe del rro e ero de er d geto; d coegue, l coceoe d rett rtcolre cletel d ede deo re fore l uc re d ue cu l rto delle che fort d u cooce del teuto ecooco locle o fclete relcle d rte d u outder o o eere fclete dto. Dll ltro, l grdule crect del ruolo del ercto de ctl tr le fot d feto delle ree ort co é u rcho d eleoe er egl tt cr: effett, o o che le ree d deoe edo-grde dro coqutdo l oltà d clre o e deto drettete reo rrtor, l ortfoglo credt delle che otree olrr ulle ree che l ercto o è grdo d lutre utooete, coè le ù ccole, le ù rchoe, le eo trret el rreetre le rore trtege d crect. L reeoe del rcho d credto uò ere due dtt lell. D u lto, trtt d terere ulle crttertche delle gole eoo er rdurre l ettà delle erdte che otreero cturre d ogu d ee. Dll ltro, è ltreì ecero terere ull truttur cole del ortfoglo credt dell c, er teere otto cotrollo l grdo d derfcoe. A lello d golo retto, l c uò tutelr cotro le erdte future ttrero u ccort eleoe de redtor, coì d olre e regere quell cotrddtt d u ù elet roltà d ole; uò oltre trutturre l gol oeroe d credto oedo cluole cceore o rchededo gre che coeto d ltre le erdte che ree d u

2 deto del detore; fe, el co d lee d credto reocl, uò rdurre l eooe rcho ree de r egl d deteroreto del erto credto dell cotrorte. A lello d ortfoglo, è ecero eregure u effett derfcoe del rcho rrtedo l credto tr cotrort dtte e crete correlte tr loro. A queto rooto, ert oerre reeete coe le trdol ctegore logche d fretoe e cocetroe del rcho o olo rte degute ctturre l reltà. l cocetto d cocetroe ttee l uero d credt eere ed ll loro ort ter relt; è tuto che, otto ote t geerl, u lurltà d ccol credt o offrre u ù effcce rete cotro l rcho d credto, d quto o fcc ece u ortfoglo cooto d oche, grd eoo. All cocetroe ed ll fretoe, che è l uo cotrro fo rfereto truet tetc eleetr lrgete dffu, coe l dce d Hch-Herfdhl e recett ort or etrt ell rtc oert delle che euroee, coe l drett u coddett grd fd 2. Tutt, rtà d cocetroe u ortfoglo uò eere ù derfcto e le cotrort che lo coogoo tedoo uoer odo crete correlto; l cotrro, e redtor coddoo ede eget d tttà ecooc, e retoo delle edee cue d tltà e deto, u ortfoglo credt ltete fretto e duque e derfcto e lle trdol ure te ull dce d Hrch-Herfdhl uò retre d erdte olto elete, doute ll coteore ole d tutte o qu le cotrort ffdte. L ur dell correloe tr lo tto d lute ecooc de detor, e degl effett che quet correloe h ull ettà delle erdte future, o rreet u coto geole dl uto d t tetco-tttco. l oto è dto dll o-orltà e, ù geerle, dll etr dell dtruoe delle erdte ol u u ortfoglo d credt 3, che rede otlete utll trdol odell ed/r lut er l ottoe de ortfogl or 4. Negl ult, tutt, oo tt e uto der lgort er l ur dell effett derfcoe d u ortfoglo credt, che ho dchuo ltrettt, roettet flo d rcerc. Rtorereo ull rgoeto cocluoe del rgrfo, reetdo l truttur d queto ggo che rofodce, rtcolre, u d quete etodologe. Pr, tutt, cceo reeete qul doreero eere gl oett d u odero te d cotrollo del rcho d credto c. l credt r geet o uò oete, elre rch lct ell tttà d retto, l cu ree rreet, ult l, l te rgo d eere de cher. Tutt, dee rre dre u rreetoe quto ù ole rec de rch lct elle gole oero d retto e ell truttur cole del ortfoglo credt. rtcolre, u uo odello d credt r geet dee tre l dtruoe delle erdte o couque delle ulee che otreero orgre d rett ttulete eere, ecfcdo le roltà octe lle dere reo ù o eo otttche d erdt. Per u eeo d ur del rcho d ortfoglo cetrto eelete u ure trdol d cocetroe, qule l dce d Hrch-Herfdhl, cfr. d e. Ford Drett Ue 92/2. Per u ree coeto, cfr. d e. Lug 996, ctolo. 3 Perdte odete oo ltete rol, erdte elete oo oco frequet, ol: cò f ì che l dtruoe d roltà delle erdte reet u lug cod detr, e duque forteete etrc. 4 Cfr. Mrowt, Beett terl Alt o lro Couette. 2

3 l odello dee coè dcre l geet dell c l otre d erdte che è rgoeole tteder ul ortfoglo erdte ttee ed l lello o d erdte che otreero erfcr etro u dto lello d cofde d eeo, el 99% de c. l dco otro eere utlte er fltà d roog deoeto ottle delle rere, d ottoe del leerge e d rcg de rett. Ad oguo d quet tre oett dedcho u ree rfleoe.. U roog role rchede che le erdte ttee ul ortfoglo credt o terete coerte d rere, gà ete coto ecooco. olo coì, ftt, le rettfche d lore ltche legte lle f d receoe otro trore ce ote oc trol, e o grero er tero o rte, coe ttulete ccde ull utle lordo d u golo eerco. Ne rultero tlt l cclo de roftt dell c e l ordt crect del uo lore, co ote rercuo ull oldtà de gol ttut d credto e del te cro el uo coleo. 2. L rcerc del leerge ottle er u re cr o uò recdere dll coderoe che e dee oter froteggre, co ctle roro, l urto d rch crete rol, e tutt ol d u dto lello d cofde. L t dell erdt role d e. el 95%, o el 99% de c rreet duque l reuoto er u effcce deoeto de e ror reloe rch lct u dt truttur dell tto; olo e oede u rgoeole t dell dtruoe delle erdte future det ole dottre u leerge che teg coto tto delle egee d oe dell utle el ree erodo, quto dell ecetà d grtre l tltà futur dell c e le rgo de ter credtor. 3. U te d credt r geet deguto dee qud coetre u effcce deoeto delle rere e del ctle roro. Le re rchedoo d eere ete coto ecooco, ed l ecodo dee eere reuerto ttrero u roe deguto coere gl ot er rch del loro eteto 5. cot d troo e rere oct d u retto deoo o eere correttete trlt ul clete, etre che l erogoe d credto coort u erdt uttoto che u roftto 6. Tr tgg d u uo te d getoe de rch d credto è duque che quello d coetre u rcg equo e role delle gole oero, ttrero u cooce ù rec de cot del rcho e lct, che o or orl cot oert d creeg, otorg, getoe del rorto coercle. Quet ult rcdut ot c re rtcolrete reo er u te credto, coe quello tlo, che ù olte, to, h dotrto d o eere cce d rere rett odo deguto, rededo egt, ù d u co, l reddttà ex ot del roro ortfoglo egh 7. Aedo coì reetto ter geerl l te del cotrollo del rcho d credto, cu queto ggo erce, re d deltre eglo l cotruto ecfco offerto l lettore dlle ge che eguoo. ltre role, ret d chrre qule l lore gguto roeo ch legge co dell u ftc. 5 Cfr. fr, queto eo, duque, le erdte u credt o dero olo dlle ol olee, che d u ctto rcg del rcho oortto ex te. Rult qud rtcolrete ttule l defoe geerle d rcho d credto dt d Dell Aore 965. l roltà che l oeroe o d lcu cotruto oto ll reddttà dell ed ftrce, o cd ddrttur egtete u uo rultt d eerco. 7 Tr le l dell reddttà ex ot degl egh cr, rcordo Co e Mod 998, ro

4 queto loro tedo cocetrrc u u uo geeroe d odell che, rtre dll ulto corco degl 9, oo tt e uto e dffu, ell teto d coegure te ttedl del rcho octo ortfogl d credt teedo coto tto dell cocetroe de rch, quto dell effett correloe tr der detor. rtcolre, doo er deleto u recedete ggo ecc d fuoeto, reg ed lt del odello Credtetrc, eo uto dll c erc J.P. Morg 8, tedo cocetrrc or u u ecod etodolog, rtcolrete terete quto uoe d reuot teorc e tetc olutete der dll r 9. trtt d Credtr, u odello d credt r geet reetto el 997 d Credt ue Fcl Product, ocetà del gruo ero Crédt ue - Wterthur. L truttur del loro è l eguete: el rgrfo 2 reet l tuoe fodetle che t detro l odello, e coè che credt cr oo eere codert ll tregu d ole curte ed lt ttrero etodologe rore dell tetc delle curo. l rgrfo 3 è dedcto d u reetoe dettglt de ecc d fuoeto del odello, re uclete ù chr co l ulo d lcu ee uerc. l rgrfo 4 otr coe l odello Credtr o eere utlto er clcolre rere e troo ecer frote d u ortfoglo d credt, e e ette luce l ldtà che le cree ttrero l cofroto co u g d ol tuo rel. l rgrfo 5 trcc u rdo lco d queto loro. 2. L log curt ed l odello Credtr 2. credt cr coe ole curte Coe è detto, l rocco d Credtr ll ur del rcho d credto f ero u etodologe tturl, gà utlte d teo ell deteroe delle rere trol ecere frote d u ortfoglo d ole curte. effett, er coredere coe quete tecche oo dttr l co de credt cr, è ecero gurdre l ortfoglo rett d u c odo leggerete dero dll uule. o ftt tut coderre l ole d uo o ù detor coe u ftto ecceole leo ul o logco, che e ell rtc o trtt certo u eeto frequete : coe u deoe, certo eo trutc, retto llo che cotrttule che leg c e clete uo che e l qule l retto doree cocluder co l rettuoe del ctle, ggorto d tere. Proo ece utre roett, e coco col chederc erché l clete g tere ul retto. Le rote oo oete oltelc, e gà ote gl tudo d c e d tetc fr. Per cocre, gl tere oo ecer er redere equlet due 8 Cfr. Ret, 999, Guto et l No retr tr gl oett d queto loro u cofroto tr le dere etodologe. ull rgoeto, cfr. d e. Crouhy et l. 2, Gordy 2, Fger 998. Alcu rolt tecc del odello coe l clcolo delle r cotruto, e delle correlo tr credt erro trcurt er cocetrr u uo ecc fodetl. l lettore tereto uò coultre l docuetoe orgr del odello cfr. Crédt ue Frt Boto, 997 L te locuoe oorre u retto, coueete ut el lguggo quotdo, c rreet l ole coe uo tto qulche ur dooreole. Vceer, edreo coe, e egue fo fodo l rdg curto, l defult e l oltà d ddore ll c cot del roro deto fro det u ort d drtto cotrttule del clete, cqutto detro geto d u reo coto detro gl tere corrot ul deto 4

5 reto oetre che egoo oet der; oo, ltre role, l reo del teo che tercorrerà tr l coceoe e l rettuoe del credto. Per quet rgoe, è orle che ego gt che d detor ercet coe otlete r d rcho coe ù old tr gl tt or. Nel co d u c, oltre, gl tere coroo o doreero corre cot oert ecer ll eleoe ed l otorggo d u cletel. fe, e cludoo l reo l rcho, l rcoe er l certe coe ll effett rettuoe dell orto ttuto. Cocetroc, rtcolre, u quet ter ed ult cooete. l cocetto d reo c rcoduce, o co, l coteto curto, doe co queto tere dc l cotrortt che u cog c d clet frote dell eetultà d eere cht d u retoe oetr letor futur 2. Nel co d u ol ull t co orte, d eeo, l retoe uò eere dt dl geto eefcr d u certo ctle co d reore dell curto. Tr clet d u cog d curoe rel u lct rrtoe del rcho, to che tutt otegoo u coto certo l reo, grtedo coì cotro eet ù gr, che e crete rol. Poo leggere odo logo che l ecco che goer l erogoe e l ct rettuoe de credt cr cfr. fgur 2.. flu d tere ercet dll cletel, oltre cotture l reo del teo er l rte egt dl to ro d rcho e cocorrere ll coertur de cot oert, cludoo l reo gto ogg frote de rch futur. u oeto ucceo. rte detr dell fgur l c errà cht ldre l coto delle loro olee, rucdo l ctle retto clet eggor ftto lo l recuero degl ort coert d eetul gre. L log curt Ogg clet go u reo frote de rch futur. geo 999 Do l c g l coto delle loro olee 8 ettere 23 Bc Bc To r-free Cot Preo Gre Perdt To tto Ctle retto Fgur 2.: coe fuo l log curt D quet lettur del rorto c-clete dcede u oe rec del crcuto che leg re e erdte ell getoe fr dell c. ftt, etre gl tere clcolt l to r-free o dett ll coertur de cot d rot, e l quot legt froteggre cot oert correttete utt l coto ecooco d eerco, l reo l rcho ole, otlete, due fuo, etre relte gl eerc futur. Coe otrto ell fgur 2.2, l coleo de re rco dll cletel dee ftt: coere l c er le erdte 2 effett, che re curt cotegoo u cooete rettete fr quell che o defto reo del teo ccto quell ù rettete d rcho. Per l uddoe reo l rcho e reo d rro del reo cto d u curtore, cfr. d e. Vole d Prgo, 985,

6 ttee ul uo ortfoglo d credt; coere gl ot dell c er l ctle d e forto, coertur d eetul erdte ueror lle ttee. L r cooete h che fre co l cocetto tttco d lore tteo, coè co l ed dell dtruoe d roltà delle erdte future orgte d u dto ee d rett; quet rreet, tutt gl effett, u coto d ere coto ecooco, ttrero u corrodete olue d cctoet rer 3. Tutt, oché u dto o le erdte ooo eere feror, che ueror lle ttee, è ecer l ecod cooete, u deguto cucetto trole 4 teuto dll c frote d quet cotet; che l coto d queto ctle che reuerto ur uerore l to r-free dee trore ce e re rco 5. Bc Pre Pre Pre Pre Pre Pre Aleto le rere Reuero l ctle Froteggo le erdte Fgur 2.2: l log curt ecod rte Queto odo d gurdre ll tttà d retto delle che c re tolte, che e è corele che eo o detre qulche rlutt e erletà 6. Collocr u le roett o rchede couque d dore totlete l trdole oe cr cotrot, uto, quell curt 7 del roceo d erogoe del credto. rtcolre, oero che: E ero che tr clet d u curoe ute u ecco d r-hrg, er cu è l geerltà degl curt gre, ro-quot, l coto delle reto future el otro co, l coto delle erdte u credt. Cò o gfc, tutt, che l cog o l c 3 uò ddrttur dre che tle cooete rreet u coto, e o u rcho, er l c, quto o h tur letor, eì tte. 4 trtt del ctle rcho o ctle orto dl ortfoglo credt, d cu è detto el rgrfo. l ctle rcho rreet u cocetto ete dffuo ell lettertur tturle, doe è oto che coe urlu, rge d olltà, rer d rcho, rer d equloe cfr. Dy et l., L t d etre quete cooet rchede, oete, l cooce dell dtruoe delle ol erdte future, coè del lello d roltà octo tutt ol lell d erdt, dl ù otttco erdte ulle, erché tutt detor ooro l retto fo l eggore erdte r l totle degl ort rett, l etto d eetul gre. Proro ll t d quet dtruoe è dedct l rte cetrle del reete loro cfr E certete dffcle forr d ere ll ole coe u ort d drtto cotrttulete grtto, l detore-curto, dll c 7 Cfr. Loctell

7 det coletete eutrle retto lell d rcho del roro ortfoglo d clet, olo erché è ole trlre u re l coto d u eetule deteroreto ell qultà delle ole ottocrtte. Per eeo, el co d curo tre o ull t, l cog coer u teree detfcre, olre ed eetulete rfutre le cotrort cotrddtte d u roltà d deceo, o d ltt, ecceete elet. Ache ll tero dell log curt re duque gutfct l te tttà d creeg dell cletel co cu le che cerco d reere, ex-te, l rcho d credto, uttoto che ltr clcolre correttete cot futur. 2 L ete d u for d cocuroe o lc che l reo rcheto clet er etrre fr rte dell curoe de eere detco er tutt. Al cotrro, rà couque ecero egetre correttete l cletel, rtcdo re dfferet fuoe del roflo d rcho dell curto e, d eeo, lle ole ull reoltà cle o u furt, doe è or r dffu che l lello del reo r fuoe d u grgl d crttertche oggette. U te d re ecceete ufore e dffereto, ftt, rec co é l eetultà o, uttoto, l certe d tere feoe d eleoe er, er cu oltto clet ù rcho ercecoo coe equo, o ddrttur tggoo, l reo del ero, etre l cletel d glore qultà è oggetto dello cherry cg oerto dlle coge cocorret ttrero lt ù rec e duque offerte ggorete tggoe er ch le rcee e tutt degutete reuerte er ch le rooe. Gurdre l ortfoglo credt delle che ttrero l lete curt o equle qud uggerre che tutt gho couque er tutt, odo geerlto e dtto; l cotrro, roro l log co le ole rdce l ecetà d fodre l rcg de rett cr u u retcolo degutete fe d eget o cluter qulttete oogee. 2.2 Credtr: crttertche e lt L log curt cotee duque, otro o, teret eleet d tolo tellettule. D cò è derto l dedero d rofodre, e qud d reetre, queto loro, u odello d credt r geet to u logche tturl. rtcolre, dedcherà o Credtr, l etodolog d ur e getoe del rcho credto e uto e dffu d Credt ue Fcl Product 8, cercdo d reetre odo chro ed euto ecc tecc d e. A tl fe, erro rre e lut uero gg dell docuetoe tecc dffu d Credt ue Fcl Product, reetdo che lcu ee uerc d clcolo t u u elce ortfoglo d ro, cooto d u dec d credt. Nell ult rte del loro, l odello errà utlto er tre le ol erdte future u u ortfoglo ù reltco, cooto d lcue cet d rett. L oetto d rccotre odo quto ù ole chro e fedele l etodolog Credtr o c edrà, erltro, d ettere luce lcu lt, che eer. Pr d ffrotre, el roo rgrfo, l truttur tetc del odello, dedero rcordre reeete le rcl crttertche; cò c coetrà d cocre trtteggre che lcue cree retto rcl cocorret 9. rtcolre, c offerereo u eguet ett d Credtr che erro reeete egt el eguto d queto rgrfo: E u etodolog er l t dell dtruoe delle erdte future; 8 Cfr. Credt ue Fcl Product, U troduoe Credtr e rcl odell ltert è offert, tr gl ltr, d Bellucc et l. 999 e t 2. 7

8 coder l rcho d cotrorte, etre dedc eo tteoe rch d eooe e d recuero; c dott u dtruoe ole degl eet credt; d otul che le dere cotrort o dedet tr loro er og dto cero croecooco; e rchede dt d ut rte der d quell ecer er leetre ltr odell d credt r geet. Credtr cocetr l ror tteoe ull t delle erdte future. trtt d u rocco ete codle e coerete co gl oett del credt r geet,c oì coe l o delet e rgrf recedet; o trtt, tutt, del olo rocco ole. ltert, ftt, ree ole gurdre lle ro el lore ttule de credt o el loro lore d ercto, e trtt d credt quott u u ercto ecodro. l lore ttule d u credto è fuoe de flu d c tte e dell cur de t utlt er cotrl; quet cur de t coror uo red che è fuoe: del grdo d lqudtà del ercto eetul hoc d lqudtà ooo ccrecere teoreete t; del erto credto del detore coè, ult l, dell roltà che l detore o rultre olete e der td d t del deto. L dtruoe delle erdte cttur l ecodo fttore, o l ro. ltr ter, e uo hoc u t douto, d eeo, u feoeo d flght to qulty doee rddore lo red rcheto dl ercto er rett d u cert cle d detor rcho lcdo cotte l loro roltà d ole, l dtruoe delle erdte o e recheree trcc, etre l lore d ercto de rett gà erogt r dello hoc ullo red regtreree cotet ulee. Lordo ull dtruoe delle erdte, e o de lor ttul, Credtr eree qud d u t del rcho d credto che è olt retto d eetul hoc egl red d ercto; uò dcutere e cò rreet o eo u trtto dederle. Nell ooe d ch cre, tutt, o re ggo che l lore d u ortfoglo d credt cr r fuoe de ru rchet dl ercto, e quet credt o ho cceo d u ercto ecodro e oo dett d eere coert el lco dell c fo ll loro cde turle. D queto uto d t, duque, l rfereto ll dtruoe delle erdte re otlete corretto er l ggor rte de rett cr, er qul u r-to-ret rgoroo, oltre che dffcle, ree crete gutfcle ul o teorco. E ltreì ero, tutt, che e l dffuoe degl truet d ttolroe e ceoe del rcho d credto d eeo ttrero truet dert doee uere le crttertche d u ercto d, derree ù corretto, ed urgete, cororre el lore del ortfoglo credt e ell ur delle ol ulee future che l effetto de ol cet egl red. e recde dl rcho legto ll eoluoe degl red che, coe è to, o tro o u odello to ull dtruoe delle erdte, l rcho d credto uò eere logcete cooto tre cooet, coe edeto d u recete urey ulle etodologe d credt r geet ggorete dffue to terole 2. Pù recete, l eetule erdt regtrt d u c u u retto uò eere t coe l rodotto d: defult u rle r che le uo co ole, eeto che uò eere 2 Cfr. BR

9 ù o eo role; lo equlet exoure, coè orto effettete retto el oeto cu erfc l defult; lo ge defult erdt, er lr rett, co d ole. Rult lee l tur toctc, coè cert, del defult che, er defoe, uò erfcr o eo; eo edete è ece coe che le ltre due cooet o trecete toctche. L exoure uò o eere cotte erché, d eeo, etoo lee d credto rreocl d cu l detore uò ttgere e tederà frlo ur crecete ll ggrr delle rore dffcoltà fre. L lo ge defult dett che eerty è ecerete cert, to che l lore degl tt d u re fllt e l te egltà delle eetul gre o uò eere reto e rg d errore, e o è duque ole tre co certe qule ercetule del credto erduto otrà eere recuert dll c. D coegue, tutte e tre quete cooet cocorroo deterre l le che crcod l otre delle erdte future. No tutt odell d credt r geet, tutt, e tegoo coto odo euto. rtcolre, Credtr cocetr ul ro fttore, oero ul defult, etre l orto retto e l eerty oo codert ot ror 2. Ne coegue u ole ottot del rcho, che duce coderre co qulche cutel le recro del odello. E couque ole, u olt reo tto d quet ltoe, forr d or redo. Per eeo, è ole utlre l truttur logc del odello e fre rcoro ulo Motecrlo er erfcre le coeguee d ro ell eerty o ell effett eooe credt. c Credtr uoe che u credto eol odo ole: l tere d u dto rco teorle l retto uò eere cor o oure er dto luogo u erdt. Tutt ol tt del odo oo qud rut dl oo ore/ole : o etoo tuo terede e, cò che ù cot, tutt credt o olet oo codert ugul. Quet celt è drett coegue delle org curte del odello: ell tetc delle curo, ftt, l cog è cht gre l retoe ttut co l clete olo qudo erfc u deterto eeto orte dell curto, cedo, dtro ereo, ecc.. Le tecche er l deoeto ottle delle rere e de re curt oo duque fodte u feoe tcete ol. reltà, u credto o uò eere coderto egle co der grd d certe: l durt redu del credto e l oldtà fr del detore cocorroo redere ù o eo role l uo roro. Per queto oto, etodologe dere d Credtr coe Credtetrc, dffu dll c erc J.P. Morg 22 refercoo decrere le ol eoluo d u retto co u dtruoe ultole, doe ccto ll ole del redtore tro oto u lurltà d tt, oguo cotrddtto d u dero lello d rchotà qud d u dero lore del credto, o d dfferet ettte crc l otre delle erdte future. l rcoro d u dtruoe ultole re rtcolrete utle qudo, er coteere l coletà degl lgort utlt ell t dell dtruoe delle erdte, rtee utle ltre d u rco d teo reltete ree l orote teorle del odello. Per eeo, 2 L ote che l lo ge defult o eere codert detertc è quto eo dcutle, erché otttede che l lore d relo delle gre ed l erodo d te o ecero er l loro effett ecuoe o ot co certe ll c. Vceer, roro l ort del lore delle gre rreet u rcho rtcolrete doo, coe otr, d eeo, l co de rel ette lo erogt dlle ce d rro ttute che d olte che coercl gle e frce el coro degl Guto et l

10 ree d u ortfoglo cooto d fet d cde der, coreo d oo edo e lugo tere, è ole decdere d ltr coderre olo l lello delle erdte che fetero ll fe del ro o. u le eee, e codero oltto ole e ore, tutt credt rt doo dodc e erro codert ll tregu d ort cert, gugedo d u rultto trecete reco. Vceer, u odello d to ultole coetrà d regtrre l der qultà de rett cor o, e d teere coto d eetul ro d lore el ortfoglo doute d u rduoe dell ffdltà de detor. Nturlete, u odello ole rult, rtà d ltre codo, eo coleo dl uto d t tetco; è duque reltete ù fcle etedere l orote teorle fo d rccre l tero rco d t de rett rteet l ortfoglo coderto 23. d Credtr ot l dede codole de gol credt. Areo odo d rtorre dffuete u quet ote, d cu c lto chrre, er or, ecc fodetl. rtc, ue che, er og ole tto del odo, credt reet el ortfoglo d u c o correlt, coè che l flleto d u detore o ded, eu odo, d quello degl ltr. Areteete, cò equle egre l reltà, to che l eere ed l eo coue uggercoo che fllet delle ree cu le che cocedoo credto o oo d or olt e dedet, tedoo rodur odte, o che lo tto d deto rog d u clete ll ltro. Quet ote d dede le tutt olo er le dtruo codol coè coeguet d u dto tto del odo; e llrg l qudro fo rcoredere tutt ol tt del odo futur, llor l dtruoe cole o codole delle erdte otr u certo grdo d correloe tr der detor, to che tutt tedoo regre odo le der tt d tur. Codero u elce eeo: l tol 2. otr le roltà d ole dell dtt Ro e dell dtt Bch. rtcolre, l ello uerore è ldo qudo l ecoo è eoe. L roltà che etre fllco coteoreete è ettete r l rodotto delle roltà d defult ddul; ltr ter, l correloe tr Bch e Ro è reteete ull, e due detor oo dedet. Nel ello ferore è rortto ece l co d ecoo receoe: d uoo l roltà cogut è l elce rodotto d quelle rgl, tutt lor oo crecut tto l dtt Ro che l dtt Bch retoo foreolete d u receoe, coè regcoo odo le u dero tto del odo. 23 Per edere coe cò ole el co d Credtr, cfr. l edce C.

11 Eoe Ro Tol 2.: Proltà d defult d due detor due ol tt del odo Bch Fllce No fllce Totle Fllce.8%.92% 2% No fllce 3.92% 94.8% 98% Totle 4% 96% % Receoe Bch Fllce No fllce Totle Ro Fllce.6% 5.4% 6% No fllce 9.4% 84.6% 94% Totle % 9% % e, er elctà, etto che eoe e receoe o ol tt del odo ol, oguo co roltà r ½, llor oo cotrure l dtruoe o codole delle roltà d defult, che è rortt ell tol 2.2. D dt dell tol è ole rcre l coeffcete d correloe etete tr l defult dell dtt Ro e quello dell dtt Bch; queto, lug dll eere ullo, rult oto e uerore %. Ao duque erfcto coe ole, coderdo ù dtruo codol correloe ull, trodurre u cor ot tr det d ù redtor 24. Tol 2.2: Proltà d defult o codole d due detor Ro Bch Fllce No fllce Totle Fllce.34% 3.66% 4% No fllce 6.66% 89.34% 96% Totle 7% 93% % Queto rocco è tco d Credtr, è utlto che ltr odell d credt r geet. Per eeo, el odello CredtPortfoloVew luto d McKey & Co. 25 ot che t d ole coè le roltà d defult de gol detor rodo co eltctà ù o eo ccte d u ere d fttor croecooc, qul l floe, l doccuoe o l to d crect del rodotto tero lordo. queto odo, oltre oter cotrure u dtruoe delle olee o codole, che rcc tutt ol tt d tur, det ole cocetrr u uo o ù cer rteut rtcolrete erol ull e d u ee d reo croecooche. Coletete der re ece l otoe etodologc d Credtetrc, che lor drettete u u dtruoe o codole, ddodo gl utltor del odello l oere d ecfcre odo elcto l trce delle correlo ercete lde er og ole co d ree ffdte. Perltro, receteete gl te utor d Credtetrc ho, qulche ur, receto el loro odello l oltà d fre rcoro dtruo 24 L tol 2.2 rreet u eeo eleetre d dtruo t, otteut codo ù dtruo codol. Per u troduoe tetc, cfr. Dy et. l. 994, rtcolre l ctolo Cfr. McKey 998.

12 codol, rucedo tr l ltro rdurre te d clcolo ecer er l t del ctle rcho, orttutto el co d ortfogl coot d u eleto uero d ccole oo 26. e U ult coderoe rgurd dt d ut ecer er l fuoeto d Credtr. effett, tutt odell er l ur del rcho d credto e uto egl ult oo crttert d u eleto fogo d foro, che e lt l lcltà rtc e, tlolt, l te ffdltà. Per letre tl odell o è olo ecero dorre d dte olto rtcolreggt e colludt u u rco d teo uffceteete to: è ltreì dele dorre d te ttedl er rl che o ooo eere drettete oerte d eeo, l roltà d ole de gol rett; è qud l rcho che error ell fe d t de retr oo codurre ure d rcho errte o forteete oltl. Ache er queto, gl utor d Credtr rtegoo che l loro odello u uto d for ell cctà d fuore do u u ee d dt d ut rtcolrete rdotto. effett, Credtr o rchede tlue foro che rulto ece del er oter leetre correttete ltre etodologe: rtcolre, derete d odell t ul lore d ercto del ortfoglo credt, o coort l t d cure de t d hoc er redtor d dfferete qultà t che uò rultre rtcolrete oero ed cert e h che fre co u ortfoglo d ree che o eettoo drettete deto ul ercto. oltre, coe oerto u d, o rchede ll utete d ecfcre odo elcto l trce delle correlo tr der detor, che rreet ece u ggo coleo e delcto ell leetoe d lcu lgort cocorret, coe l gà ctto Credtetrc. Tutt, che Credtr oe ll utltore l cotruoe d u e fort tutt ltro che elce. rtcolre, coe edrà eglo el roo rgrfo, è ecero dcre, er og golo credto, che odo l u roltà d defult ded d rcl fttor croecooc che goero l cclo delle offeree e de det fr. Quet fttor, oltre, deoo eere re ortogol ttrero ote rocedure tttche qul l l fttorle o l l delle cooet rcl, e erdoo qud l cootoe d elc rl croecooche coe l floe, l co, l rodotto ole, detdo qud eo tute e eo fcl d trttre. 3. l odello Credtr o doo o 3. Preedere l deceo d u credto go d ere erogto u retto cro e d coocere l roltà d ole dell ffdto u u dto rco d teo 27. cocreto, quet roltà dorà eere rot co u rocedur d rtg 28 che coet d rcodurre og detore d ottogruo d credt qulttete oogee; d og cle d rtg frà rcotro u dto torco crc l cde delle olee te, che otrà eere utlto coe t dell roltà d cr future Cfr. Fger gereo che tle erodo d teo, ugule er tutt credt ortfoglo, r d u o. ul ggo orot d rcho der rtorerà ell edce C. 28 Cfr. d e. De Luret 999 e L doltà d dt torc uffceteete gfct cottuce effett u rerequto er u effcce leetoe delle etodologe d cotrollo del rcho d credto, e l rocco tturle d cu trtt queto loro o rreet u ecceoe. E qud oto che do fttedo le te rolte dotre le che tle d u troo forto uffceteete to e flto d letre l odell d l: tr le te recet, o rcordte co oddfoe quelle dell Cetrle de Blc e dell Bc d tl, olte 2

13 Poo rreetre l eeto ole del -eo detore co u rle cule dcret, che le co d defult co roltà, ltret co roltà -. L dtruoe d roltà d quet rle cule otrà eere tett dll u fuoe geertrce delle roltà f.g.., cfr. edce, coè d F [3.] trtt d u fuoe dell rle ulr doe l tere d grdo -eo rreet l roltà d tere defult queto co, coe è detto, uò uere oltto lor e. e ché u olo detore e etoo olt dco, e e oo rteere, r rooe, che l ole d og detore dedete d quell degl ltr, llor l fuoe geertrce delle roltà dell eeto o uero d defult che erfco rtre d detor è elceete l roduttor delle fuo geertrc de gol defult coè d fuo ugul ll 3.. rtc, l f.g.. del uero totle d defult rà: log[ ] F e [3.2] F A queto uto, er oter rocedere, doo ccettre u rooe. E oto che log x x l x queto co, x - uò eere coderto roo llo ero e è rgoeolete ccolo. D coegue, e rteo che l roltà d ole de gol detor olto, oo rcrere l f.g.. del uero totle d defult coe: F e e [3.3] doe rreet l uero totle d defult tte 3 e qud è, er defoe, l ed dell rle cule uero d defult totl. Codero or l eoe ere d McLur dell F coì rot: 2 F F F F L F e e e L e 2! L! e L! [3.4] l geerco coeffcete d, coè rodurre ere torche de t d ole d gru d detor oogee rteet ll te cle d rtg el ro co, egett er ettore d tttà, re geogrfc e cle deole el ecodo. 3 Codero d eeo u ortfoglo d cqueceto credt, oguo co roltà d defult r 2%. E edete che l o delle roltà d defult qu, elceete 5 2% force l uero d olee ttee dl ortfoglo. 3

14 e [3.5]! rreet l roltà che erfcho olee. Vedo coe l [3.5] o eere lct d u elce eeo rtco. L tol 3. rort u ortfoglo d tre credt; d oguo è tt egt u cert roltà d ole; l totle è l uero d defult tte u o,35. Ne egue che l roltà d tere defult è r : e,35,35! e,35 96,56% Alogete, l roltà d tere d u ol ole o o e d rte dell dtt Bch, Ro o Verd è r : e,35,35!,35e,35 3,38% odo logo rco le roltà octe due e ddrttur tre olee rettete:,59% e,%. Tol 3. Eeo co tre credt Detore Proltà d defult Ro % 2 Bch 2% 3 Verd.5% N. d defult tte :.35 lor coleete rdott delle roltà d defult d queto eeo c ho ereo d utlre co et oddfcet l rooe otrt ell [3.3]. V ottoleto, tutt, che l grdo d ccurte dell rooe det ere eo ccettle l crecere delle roltà d ole. L tol 3.2 otr coe, e l erto d credto de tre detor foe eggore, le roltà ere dcotereero, che elete, d quelle tte ttrero l [3.5]. effett, l f.g.. dct ell [3.4] è quell d u rle cule d Poo, o degl eet rr, utlt tttc er odellre tuo cu l cu roltà d reloe d og golo eeto è trcurle 3. 3 lettor ù ttet ro ccort che, el co 3 rortto ell tol, l totle delle roltà o o %, d u lore ferore. Cò dede dl ftto che l rooe lct ell [3.5] coduce d egre u roltà ot, e ro ll uo er ceto, che d u eeto ole, e coè ll orgere d quttro defult u ortfoglo cottuto d olo tre credt! Per queto c è ro ortte ttrre l tteoe del lettore ul lore roto de rultt coegul co l tecc CredtR. 4

15 Tol 3.2 Ee d ctt rooe Co Co 2 Co 3 Proltà d defult de gol detor Ro.% 5.% 25.% Bch 2.%.% 5.% Verd.5% 2.5% 2.5% Proltà d tere defult tte Vere tte Vere tte Vere 96.6% 96.5% 83.9% 83.4% 4.7% 32.8% 3.4% 3.4% 4.7% 5.8% 36.5% 48.4% 2.%.%.3%.8% 6.% 7.2% 3.%.%.%.% 4.7%.6% Acor rooto dell [3.5], oero che e o rchede d ecfcre l uero d credt o le roltà d defult de gol redtor che ure o rortto elle tole, er redere ù corel gl ee, elceete l uero d olee ttee etro l orote d rcho recelto d eeo, etro u o. A cocluoe d quet eoe, rorto u eeo leggerete ù coleo, che c ccogerà el eguto d queto rgrfo: trtt d u ortfoglo d tredc credt, er qul o dcto le roltà d defult ddul t. 3.3 e l dtruoe dell rle cule uero totle d defult fgur 3. otteut lcdo l [3.5] er redere ù leggle l grfco, oo oe lor dell e ertcle core tr 2% e 8%. Oero che l eeto ggorete role è dto dll ore d tutt d rett, eguto dl co cu u olo redtore rult olete. Gl cer cu ù d due rett rulto coteoreete olet oo tlete rol che gl togr d e oct rulto l e l. Tol 3.3 Eeo co 3 credt Detore Proltà d defult Ro % 2 Bch 2% 3 Verd.5% 4 Gll 2% 5 Ner % 6 Mor % 7 Gro % 8 Pccol 2% 9 Atut 2.5% Codrd 2% tuo.5% 2 Molr 2% 3 Vr % N. d defult tte :.85 5

16 9% 85% 8% 2% 5% % 5% % N. d olee Fgur 3.: roltà octe l uero d olee u ortfoglo d 3 credt Pr d rocedere, offeroc u u ult, ortte recoe: l [3.2] è tt otteut otdo che l ole d og detore dedete d quell degl ltr. reltà è oto coe le olee cre o u feoeo cclco, e coe detor tedo fllre odo correlto gl u co gl ltr. L codoe d dede re qud ecceolete rreltc, e tle cr dere l odo rele ereree tle d re el rofodo l tero odello reetto. effett, o cfr. 2.2 che è ole otre l dede tr detor ell dtruoe d roltà codole d u dto tto del odo, e tutt otteere u dtruoe o codole cotrddtt d u cert correloe tr credt. rtcolre, el 3.3 edreo coe ole cludere el odello l ftto che l ole de gol rett dede d u ere d fttor. Pr, tutt, è ecero otrre coe, oltre che reedere l uero de detor olet, quet etodolog o erre derre u t delle ol erdte. 3.2 Preedere le erdte octe l deceo de der credt l uero d detor defult rreet u rle cule d cro teree er ch getce rch d u c: e ù gfct è l ur del do ecooco coeguete d quete olee, coè delle erdte u credt octe. Le erdte u credt rreeto u rle oetr, ler d uere u ftà d lor u u cl cotu; reteete, qud, l odello luto el rgrfo recedete, to u u rle dcret, o uò eere d grde utltà. 6

17 Per coture d ler d quel odello, è tutt ole cercre d decrere l ortfoglo credt dell c ttrero u cl dcret, rggrudo le eoo coè le erdte octe ll ole de der clet 32 u uero ltto d grd. L tol 3.4 otr l ortfoglo d 3 detor gà decrtto el rgrfo recedete: er oguo, o rortto l otre del retto e dell erdt tte co d defult. Quet ulto lore è reoto che eroe rrotodt, coè rortt d u cl dcret, udo coe utà d ur L u lore d. euro. Tol 3.4 Portfoglo d 3 detor co ort e erdte ttee # Noe Proltà d defult orto L orto rrotodto* Perdt tte λ Ro %, 2 Bch 2% 2, 24 3 Verd.5%, 55 4 Gll 2% 9,5 9 5 Ner % 22, Mor % 2, Gro % 9, Pccol 2% 2, Atut 2.5% 33, Codrd 2% 28, tuo.5% 3, Molr 2% 3, Vr % 29, 3 29 Totle 8.5% 279, 4.92 * udo coe utà d ur L. Oero che:. Co l rrotodeto det ole egre tutt credt ortfoglo d u ee fto d qu: 3 de: l r clude rett d otre rghe d 4, l ecod quell d orto 2 2 d 5 8, l ult quell co eooe 3 3 d Ao uoto che l erdt tte dt dl rodotto tr orto retto eooe e roltà d defult, uedo lctete che, co d ole, l ercetule d recuero recoery rte ull. ree ole, tutt, trodurre lor d ë < L, dcre t d recuero ot Coe rcorderà dl 2.2, geerle l eooe dc l otre totle del retto eere l oeto dell ole: d queto, reue che u cert ercetule recoery rte o eere recuert ttrero l ecuoe d gre o ttededo l cocluoe delle rocedure d lqudoe cott, etre l rette rte rreet l erdt er e ror eerty, o lo ge defult. Nel eguto d queto rgrfo, ece, uorreo che l eooe e l erdt co d defult cocdo coè che l lo ge defult ere r l %. 33 E ole cororre l recoery rte R ull -eo credto tereedo drettete ull eooe, dcdo co L -R ché co L l otre retto u cu oerre l dg è quet l trd dct el docueto tecco del CR e rre d t, 2 ltert, coe cceto el teto, uò orre r λ L -R l erdt tte er lr rett. E couque ecero coderre, R coe u grde detertc ot ror; e, correttete, deder trttrlo coe u rle toctc, eetulete correlt co, è ecero dore l odello CredtR e dottre che ù oftct, eetulete t u ulo Motecrlo. 7

18 3. E ole rcrere che le erdte ttee coe ε λ /L, dottdo coe uo utà d ur L. queto co, derete che er, o è ecero oerre rrotodet. ε 4. Per og d, defo, coè l uero d defult tte ell d 34. D coegue, dc l uero d defult tte dll tero ortfoglo. 5. ere er og d, ε ε dc l erdt totle tte quell d. E or ole lcre l [3.5] credt d u qul d. eguedo rgoet logh quell lut el rgrfo recedete h che e [3.6]! decre l roltà d tere defult ll tero dell -e d, oero d correre u erdt d otre rotete ugule L. Alogete, oo dre che e [3.7]! ere l roltà oct d u uero d erdte, ogu d otre L, roeet dll d. Dll [3.7] oo rlre ll f.g.. che l h geert, coè ll f.g.. dell rle cule uero d erdte d orto L roeet dll -e d : e e! G [3.8] ell ulto ggo, o rercoro eo ero lo luo d McLur utlto ell [3.4]. L [3.8] ere le erdte ttee dll d coe ultlo d L, coè u cl oogee er quluque. D coegue, e cotuo otre che credt o dedet e queto le ll tero delle gole de che tr de dere, otreo rcre, coe roduttor delle gole G l f.g.. cole dell rle-o uero totle d erdte d otre L geerte dll tero ortfoglo : G G e e [3.9] 34 Nell eeo dell tol 3.4, edo uoto t d recoery ull, oo crere log quto ftto el rgrfo recedete rel L quell rrotodt L.. L ugugl h lore roto er effetto del ggo dgl ort 8

19 Poché l [3.9] è u f.g.., l tere d grdo del uo luo d McLur 35 ererà l roltà d erdere L euro ull tero ortfoglo. Tutt l dtruoe delle erdte future dcrett ttrero l ggo ultl ter d L è duque or erfettete ot. Per eeo, l tere d grdo 6 ererà l roltà d erdere 6L euro, o ort e ttrero l defult d due credt d d tre, d tre credt d d due, o ltr od cor. Rrededo dt dell tol 3.4, oo or clcolre l dtruoe delle roltà delle erdte ul ortfoglo d 3 credt. A tl fe, rero ell tol 3.5 lcu dt d relogo ulle tre de: Tol 3.5 Alcu dt d te er de Eooe N defult tte Perdt tte ε Totle oero che er effetto dell rrotodeto legto ll uddoe de u u cl dcret, l uero totle d defult tte è leggerete dero d quello dcto, er l edeo ortfoglo, ell tol 3.3. L dtruoe d roltà geert co l [3.9] ttrero l leetoe decrtt ell edce B, è quell llutrt ell tol 3.6 e rreett fgur 3.2. lor d roltà oct lor d core tr e 29 o oo tt rortt ell tol, quto ro ero Lo luo d McLur dell [3.9] o è dffcle, eeo edto. Lo rorto ell edce B, che rrede e lu l docuetoe tecc de CredtR. 36 effett, trtt d lor ot, che e olto ccol. Nturlete, l rooe t ull Poo geer lor d roltà ot che e trcurl che er c ol: d eeo, geer u roltà r 5,4-8 che er 3 che equle d u erdt d crc 3., coè uerore l totle dell tol

20 Tol 3.6 Dtruoe d roltà delle erdte Perdt L Proltà %, 4.9% 2 2, 4.44% 3 3, 7.% 4 4,.52% 5 5,.37% 6 6,.3% 7 7,.3% 8 8,.2% 9 9,.%,.% 3 3,.% Coe recede, l co ù role è quello cu eu detore rult olete fe erodo, e l erdt u credt rult ull. Meo rol, o trcurl, oo gl cer cu l ortfoglo credt geer erdte coree tr. e 3. euro. L erdt ed, et er le roltà, è r crc,4l, coè 4.92 ; trtt, oete, dell te erdt tte rortt elle tole 3.4 e % 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% % % Fgur 3.2: roltà octe lle erdte u u ortfoglo d 3 credt 3.3 Co c e t d defult oo toctc. rultt f qu rortt o u due ote d loro etreete egte:. cooce, co certe, l roltà d defult d og detore; 2. ue che credt reet ortfoglo o correlt, oero, che l defult d u redtore dedete d quello d tutt gl ltr. 2

21 Nell reltà, erò, ccde che l to d ole de detor o cotte. Pro e è che l to d defult edo del ortfoglo uò eere, d o o, uerore o ferore l uo lore tteo d lugo erodo e queto ftto ccrece l roltà d tere erdte etree. effett, l to d defult de gol detor o è detertco, uò eere rreetto coe u rle toctc fluet d uo o ù fttor etl cgroud fctor, dedet tr loro. r rooe oo ere che der fttor etl flueo odo ecluo der ettor cu è ole udddere l ortfoglo credt d u c: d eeo, lo tto d lute dell ecoo tl è u fttore etle che flue oltto l to d defult de detor tl, ed è dedete d fttor che flueo rett ettor del ortfoglo. trtt d u oe cortet tg e u o elctc, che edreo d ruoere el eguto. Pur e ltt, tutt, e rreet u o t retto lle ote de rgrf recedet, erché c coete d odellre l ftto che t d ole delle ree tle o tedeche, o erce tedoo crecere e rdur ee, rot lle fluttuo dell cogutur croecooc. # Noe ettore orto L Tol 3.7 Crttertche del ortfoglo ettorto Bd Rtg Proltà d defult tte Errore td dell roltà d defult σ Perdt tte Ro, AA.%.% 2 Bch 2, BBB 2.% 3.% 24 3 Verd, AAA.5%.9% 55 4 Gll 9,5 BBB 2.% 3.% 9 5 Ner 22, 2 AA.%.% 22 6 Mor 2, 2 AA.%.% 2 7 Gro 9,5 2 AA.%.% 95 8 Pccol 2,8 2 BBB 2.% 3.% 46 9 Atut 33, 3 BB 2.5%.9% 825 Codrd 28,5 3 BBB 2.% 3.% 57 tuo 3, 3 AAA.5%.9% 55 2 Molr 3,8 3 BBB 2.% 3.% 66 3 Vr 29, 3 AA.%.% 29 Totle er.% 6.% Totle dutr 7.5% 9.6% λ L tol 3.7 c otr lcue odfche che è ecero trodurre el otro ortfoglo er oter dre coto de der ettor eo reet. Le rghe ertcl trtteggte ddoo l tell quttro eo, che coeto ertete:. L r eoe cotee, coe ere, uero rogreo e oto de detor. 2. L ecod otr l uddoe de 3 credt due ettor coe dutr e coe er 37, che, er or, erro codert utulete dedet. Quet uddoe 37 trtt, oete, olo d u eeo ddttco; ell reltà, due dc coguturl relt dutr e er o reero certo dedet, e o rreetereero qud de uo cgroud fctor er Credtr. 2

22 edet che co l dero colore dello fodo o ottuce quell er fce d orto oert recede, oroe d e, coì che or og -eo ettore rtcol de. Per og d del -eo ettore, cotuereo clcolre le grdee gà cotrte el rgrfo recedete, d eeo l orto o l erdt tte ε. 3. L ter eoe llutr u rofodo ceto d gfcto e t d defult de gol detor, o ù detertc, eì toctc. e r l roltà d ole del gor Ro er dt e cotte, or è dett u rle cule d cu, tell, rorto l ed e l errore tdrd. Poché o è ole cotrure, er og golo oto ortfoglo, u t d quet due retr, coee ffdr d u rocedeto ll groo : d og detore gl lt dell c ego u rtg, e er og lello del rtg oo dol te te u dt t del to d defult tteo e dell u oltltà u eeo d quete te è rortto ell tol 3.8, che è tt re rfereto er l eeo dell tol 3.7. Tol 3.8 Eeo d rtg To d defult tteo Errore tdrd AAA.5%.3% AA %.% A.5%.9% BBB 2% 3.% BB 2.5% 4.4% B 3% 6.% CCC 5% 5.% 4. Nell ult eoe rort, coe recede, l erdt tte. Ache e re l lore o è cto, è l uo gfcto d eere dero. e r queto lore er otteuto oltlcdo l lore del credto er l roltà cert d u eeto certo l defult, or eo coror l lore del credto e l lore tteo d u roltà cert l dchereo co ~, roro erché è deut toctc. Vedo or d chrre eglo l tur toctc delle uoe Per frlo, codero l uero totle d olee che feto, u o, ll tero d u dto ettore. E edete che tle lore o è cotte, rete delle codo coguturl. E qud del tutto rgoeole rreetrlo co u rle cule x co ed ed d lugo erodo del uero d olee er o ed u cert r σ 2 : E 2 x ; Vr x σ [3.] Rcordo or l defoe del uero totle d olee dt el rgrfo recedete e ld che ll tero de gol ettor: ~. ree ece ecero trtt d u ggo che oltre gl oett d queto loro trforre le rl croecooche uo o ù fttor ortogol, d eeo ttrero u l delle cooet rcl. 22

23 ε ε Quet defoe, che f qu le tr grdee detertche, re or ld olo lello d lor tte to che h cquto l gfcto d lore tteo d x : ε ε [3.] De eere qud: x ε ~ ε [3.2] erché queto odo ccde che E x E ~ ε [3.2] ε ε e l defoe d dt ell [3.] è erfct. ltr ter, er og credto, l erdt tte toctc u certo o ε ~ è dt dl rodotto tr l lore edo d lugo erodo ε ed u rle cule x / co ed utr. E fcle edere che qulco d le le che er l erdt tte u og euro retto ε ~ ε x e che er l roltà d defult. ftt, dll defoe d ε cfr. che l ot 33, egue che: [3.3] ~ L ~ L R ε~ ε [3.4] R E oché l uco eleeto toctco 38 ell forul recedete è dto d ε ~, oo dre che che ~ è dt dl rodotto tr l uo lore edo d lugo erodo ed u rle cule co ed utr. Dll [3.4] egue che che, e l to d recuero è ouque roo ero, llor [3.5] Codero or l errore tdrd σ ε dell rle cule retto; dll [3.3] è edete che ε ~ / erdt tte u og euro 38 Rcordo che l to d recuero è coderto detertco. 23

24 ε σ ε σ ε σ σ [3.6] Qulco d le le che er l roltà d defult, olo e l to d recuero è ouque roo ero. ftt, e σ è l errore tdrd d ~, dll [3.4] egue che σε σ [3.7] R e qud, e R : σ σ [3.8] Attrero l [3.5] e l [3.6] è ole tre e σ rtedo d e σ ddul 39. l rultto del clcolo, er ettor dell dutr e de er utlt el otro eeo, è rortto elle ulte due rghe dell tol Preedere l uero d olee e defult oo toctc Nel rgrfo recedete c o cotrut o e qulche ftc l retro cocettule ecero er ffrotre l co d t d defult toctc u ortfoglo rtcolto er ettor utulete dedet. L utlo d queto retro, er fortu, o è ecceete colcto. coco col dre che, e due ettor oo dedet, oguo uò eere to coe u ortfoglo, co u u f.g.. che rclc l [3.3]: F e [3.9] e l uero d defult tte el -eo ettore è toctco, l u f.g.. codole d u certo lore x d x det F x x e x. [3.2] L fuoe geertrce d roltà o codole è dt dll tegrle d tutte le ol f.g.. codol d u certo x, ogu et er l corrodete lore dell fuoe d detà d roltà f x: x e F f x dx [3.2] Per rolere queto tegrle è ecero ecfcre l fuoe d detà d roltà d x. Gl utor d CredtR utlo u fuoe g 4, coè: 39 reltà, le roltà d defult oo grdee oco eggeol erché le forule coe l [3.5] e l [3.8] recdoo dll rrotodeto lcto el ggo d L /L, e otulo che R roo ero. Coee ε ~ /, coè co l erdt tte u og euro retto. trtt, tutt, d u cocetto eo duque lorre co tuto retto ll roltà d defult, ed è er queto che, ell cotruoe dell eeo ell tol 3.7, o rlegto ~, che coto d doer otre u recoery rte ullo. 24

25 f x β α e x x α x ; co Γ α e x dx α β Γ α [3.22] Tle celt è legt rclete due ot:. L dtruoe g, ur eedo terete decrtt d due retr 4 α e β, uò uere u retà d cofguro; tr quete, è che l co d u lug cod detr, rtcolrete dtto decrere l coorteto de t d defult che crcote occol rultre che elete ueror l lore edo d lugo erodo. Nell fgur 3.3 o trccto tre dtruo g relte ll eeo dell tol 3.7: trtt del to d defult edo 42 er: l ottoortfoglo legto ll dutr; quello de er, e c u golo credto l ro, l clete Ro. Coe ede, quet ulto - ur o dcotdo olto d due ettor ter d to d defult tteo - è oteolete ù oltle, to che u golo credto o uò eefcre dell effetto d derfcoe tco d u ortfoglo cotrddtto d ù oero. 2 dutr er Ro %.% 2.% 3.% 4.% 5.% Fgur 3.3: dtruo g relte ll eeo dell tol ottut ll tero dell [3.2] coduce rdete ll oluoe dell tegrle. ottee ftt: 4 L [3.2] rreet quell che, ell tetc delle curo, è ot coe dtruoe d Poo t; l celt d u g, ed rultt rortt el rgrfo eguete, cottucoo u co rtcolre dell Poo t, detto co d Póly, e lto er l r olt d Eggeerger e Póly egl 2. 4 Med e r dell dtruoe g oo dte, rettete, d αβ e d σ 2 αβ 2. Nel otro co, qud, reo che α 2 /σ 2 e βσ 2 /. 42 Ao referto trccre l dtruoe del to d defult edo. d defult /. d credt uttoto che del uero d defult, erché queto odo oo cofrotre tr loro geolete due ettor che rccolgoo u dero uero d credt ette er l dutr, e er er ed u golo clete, er l qule to d defult e uero d defult tte cocdoo. 25

26 26 Γ dx x e F x α β α α β che, oedo y xβ - -, det α α α α α α α α α β β β β β α β β β α β Γ Γ dy y e dy y e F y y o che F α co β β [3.23] doe l edce d α e d ere rcordrc che α e β d cu è u fuoe oo ecfc er l -eo ettore cfr. ot 4. Poché ettor oo, er ote, dedet tr loro, è edto rcre l f.g.. del ortfoglo, che è dt elceete dll roduttor delle f.g.. d ettore: F F α [3.24] Ache dll [3.24] è ole rcre uo luo ere d McLur ed u dcoe crc l roltà d tere defult. Per l ortfoglo dell tol 3.7, l dtruoe d roltà è quell dct ell fgur 3.4, doe rorto che, er cofroto, gl togr gà reett el rgrfo 3. coè otteut otdo che t d defult foero detertc. Coe gà recede, l e ertcle è tto odfcto er coetre u glore uloe.

27 9% 8% 7% 6% 2% 5% 8% 4% 6% T d defult toctc T d defult detertc 3% 4% 2% 2% % % 8% % 6% 4% 2% T d defult toctc T d defult detertc % Fgur 3.4: dtruoe del uero d defult e cofroto co l co detertco L dtruoe geert queto rgrfo uoedo che le roltà d ole o toctche oc roltà ù elete gl eet etre eu ole, oure d due quttro olee; ceer, l ecch dtruoe, geert rtre d roltà d ole fte ror, eg u ggore roltà ll eeto cetrle u ol ole. l rultto è che gl dc d deroe toro ll ed rulto ù elet er l r dtruoe l errore tdrd, d eeo, è r 46,9%, ché 43% 43. Cò ccde erché d u r fote d certe, gà reete el odello Qut detor fllro, dte le loro roltà d defult?, e o ggut u ecod e qul ro, effett, le roltà d defult quet o, edo che l loro fuoe d detà è u g?. Coe gà ftto ll fe del rgrfo 3., tutt, oero che, ù che l uero d detor olet, c tere coocere l otre delle ol erdte. E queto l oggetto del rgrfo che egue. 3.5 Preedere le erdte e t d defult oo toctc Toro rleggere l f.g.. delle erdte dert, el 3.2 co roltà d defult detertche. Poo rcrere l [3.9] el odo eguete: 43 Cò è erfettete coerete co l rultto geerle cfr. d e. l teore Dy et l., 994 che uole l r d u Poo t ugule ll r dell Poo d rte codole ù u tere oto, che è fuoe crecete dell r dell Poo o codole e dell r dell rle ut er decrere l fttore etle x. 27

28 28 P P e P F G co [3.25] rtc, G uò eere t coe l f.g.. d u dtruoe d Poo, doe l oto dell rle ulr core u fuoe P. Prtedo d quet cottoe, oero che:. Og -eo ettore uò eder coe u ortfoglo, che h l ror G. Quete G ho l te for dct ell [3.9] e ell [3.25], che e l otoe colc leggerete, erché è ecero ettere u edce er rcordrc che to decredo l otre d erdte geerto dl -eo ettore: P P e P F G ε co [3.26] 2. Le gole G ooo eere ree toctche ottuedo co x e ε co ε ~ cfr. l [3.3]. ottee: P x x x P e P F G ε ε [3.27] Noto che l P o det, reltà, toctc, erché l fttore etle x colce llo teo odo uertore e deotore. 3. L [3.27] ere l f.g.. delle erdte dert dl -eo ettore, codol d u certo lore x del fttore etle. Coe recede, rco er tegroe l f.g.. o codole: [ ] dx x f e dx x f P F P F P x x x [3.28] trtt d u ereoe olutete log ll [3.2], to che P è, effett, u cotte retto ll rle d tegroe x. e qud cotuo uorre che x dtrut ecodo u g, oo ltre drettete ll oluoe dell [3.2] cfr. l [3.23] e rortrl, utt utd, er l [3.28]: P P F G α α ε [3.29] 4. fe, oché ettor oo, er ote dedet, oo crere l f.g.. glole del ortfoglo elceete coe roduttor delle f.g.. d ettore cfr. l [3.24]:

29 G G [3.3] Dll ereoe ltc dell [3.3] è or ole che e o ere geole rcre, er dero uccee, le roltà 44 octe erdte d otre L. L rocedur d egure è reett ell edce D. Vedo or coe l [3.3] o eere utlt er tre l dtruoe delle erdte ul ortfoglo d eeo llutrto ell tol 3.7. ro luogo, è ecero rggrure 3 credt er ettor e qud, ll tero d og ettore, er de; cò è tto ftto ell tol 3.9. ettore Tol 3.9 Dt d te del ortfoglo Eooe * N d defult tte Perdt tte ε * dutr.7.65 dutr dutr er.43.4 er er Totle * utà d L Prtedo d quet dt, è ole cotrure cfr. [3.5] e [3.6] ed e deoe tdrd delle rl x uero d defult tte u credt legt l ettore dutr e x uero d defult tte u credt legt l ettore er ; d quete eguoo retr α, β e delle rette dtruo g cfr. ot 4; tl lor oo rortt ell tol 3.. Tol 3. Dt d te de due ettor e delle loro dtruo g σ α κ β κ dutr er A queto uto, doo d tutt gl eleet er l clcolo dell [3.3] e de coeffcet dell u eoe ere d McLur che rreeto le roltà octe der lell d erdt. l rultto è otrto ell tol 3. e ell fgur A queto uto l lettore rà ccorto che tr, e P o tercorre lcu rorto d retel. L ogl è cule e dout l dedero d egure, er quto ole, l olog utlt dgl utor d CredtR che, ur edo dooe le 26 lettere dell lfeto glee, eo edeteete u deole er le. 29

30 Tol 3.: Dtruoe delle erdte L Proltà 83.8% 4.% % % 4 4.7% 5 5.6% 6 6.5% 7 7.% 8 8.% 9 9.%.%.% 2 2.% 3 3.% 4 4.% 5 5.% 6 6.% 7 7.% rtcolre, l fgur rort, er cofroto, che l dtruoe codole delle erdte geert el rgrfo 3.2 t d defult detertc - rtc σ er quluque ettore. Coe ede, or che t d defult oo deut toctc, le roltà octe gl eet etre oo uette. Ad eeo, l 99 ercetle dell dtruoe, che recede le 4. euro, or è crecuto 5. euro, co edet lco ter d ctle rcho. Queto ccde erché defult de gol redtor o oo ù dedet, dedoo rte d fttor cou; rtc, l effetto rtuoo dell derfcoe fuo d eo, to che tutt rett orett ero l edeo ettore dutr o er, ell eeo retoo del edeo cclo croecooco. 3