Statistica Descrittiva Esercitazione 3. Indici di variabilità

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Giacinta Spano
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1 Statistica Descrittiva Esercitazione 3. Indici di variabilità Esercizio 1 Si considerino i seguenti valori di altezza (in centimetri) misurati su un gruppo di 9 soggetti: Soggetti Altezza Con riferimento al carattere altezza, che indichiamo con X, si calcolino: a) il campo di variazione o range, lo scostamento semplice medio (dalla media aritmetica), la varianza con formula diretta e indiretta. b) La varianza di Y = 1 + 0,9 X. Esercizio 2 Consideriamo la distribuzione in classi del peso di 100 prodotti da forno preparati e confezionati in tre stabilimenti di una certa ditta. Il peso è espresso in grammi. a) Calcolare la varianza con formula diretta e indiretta; b) calcolare gli indici di asimmetria e curtosi. Esercizio 3 Peso Si considerino le seguenti due distribuzioni per classi di età dei maschi occupati, con diploma di scuola media superiore e con diploma di laurea: Età Media superiore Laurea (15-20] (20-25] (25-30] (30-40] (40-50] (50-60] (60-65] (65-70] ( ] 22 ( ] 30 ( ] 36 ( ] 12 Totale 100 1

2 Si dica quale distribuzione presenta la maggiore variabilità. Esercizio 4 Si consideri la tabella seguente che riporta gli ettari (X) di superficie adibiti alla coltivazione di piante da frutto nel 2005 in Veneto: Pianta Ettari Melo 7214 Pero 4574 Pesco 2438 Albicocco 460 Kiwi 3185 a) si calcoli la varianza del carattere X (ettari), sia con la formula diretta che con la formula indiretta; b) calcolare lo scarto quadratico medio di Y = ,3 X. Esercizio 5 Per 10 clienti di un supermercato si conosce il numero di prodotti acquistati nell ultimo mese: x i Si determini la differenza interquartile e l indice di asimmetria α 2. Esercizio 6 Si consideri la seguente tabella che riporta l età del gruppo di persone presenti in una certa sala cinematografica allo spettacolo delle ore 18 un venerdì pomeriggio: Classi di età (12-15] 0 (15-20] 4 (20-25] 6 (25-30] 7 (30-35] 5 (35-40] 0 (40-50] 0 a) Calcolare lo scostamento semplice medio. b) Valutare simmetria e curtosi della distribuzione. Esercizio 7 Si consideri la seguente tabella che riporta le frequenze relative del carattere Statura di un gruppo di partecipanti ad una gara podistica, ripartiti secondo il sesso. a) Si confronti la variabilità delle due distribuzioni. b) In riferimento alla distribuzione dei maschi, calcolare il campo di variazione e la differenza interquartile. 2

3 Sesso Classi di statura f M f F ( ] 0,008 0,03 ( ] 0,036 0,1 ( ] 0,127 0,242 ( ] 0,55 0,518 ( ] 0,187 0,086 ( ] 0,071 0,02 ( ] 0,021 0,004 Esercizio 8 La seguente tabella riporta la distribuzione in classi di 115 prodotti dolciari da forno classificati secondo il peso (in grammi). Viene inoltre riportato, per ogni classe, il peso medio (in grammi). Peso µ i σ 2 i (0 200] ,3 ( ] ,5 ( ] ,4 ( ] ,5 115 a) Utilizzando le medie di classe, determinare il peso medio dei 115 prodotti. b) Assumendo che la varianza del peso nelle quattro classi sia pari alla varianza riportata nella quarta colonna della tabella, determinare la varianza dei 115 prodotti. Esercizio 9 Si consideri la seguente distribuzione della Popolazione residente nelle Marche per classi di età (Compendio Statistico Italiano, 1998): Classi di età (0-1] (1-5] (5-10] (10-15] (15-25] (25-45] (45-65] (65-100] Si calcolino gli indici di simmetria e di curtosi. Si commentino i risultati ottenuti. Esercizio 10 Sia X un carattere che assume valori (5, 6, 7, 8), con frequenza (10, 20, 30, 40) nel gruppo A, (80, 60, 40, 20) nel gruppo B e (100, 100, 50, 50) nel gruppo C. a) Si calcolino media, varianza e scarto quadratico medio in ogni gruppo; b) calcolare media e varianza unendo i 3 gruppi; c) esprimere i risultati in b) in funzione della media e della varianza dei singoli gruppi. 3

4 Esercizio 11 Si consideri la seguente distribuzione disaggregata relativa al prezzo (in euro) di una determinata barretta di cioccolato in 6 diversi esercizi commerciali: 1,29 0,99 1,59 1,49 1,09 Si consideri inoltre la seguente distribuzione disaggregata relativa al prezzo (in euro) di una determinata confezione di cioccolatini negli stessi 6 esercizi commerciali: 11,99 9,99 15,99 13,99 12,99 a) Per entrambe le distribuzioni si calcolino la media, la varianza ed il coefficiente di variazione. b) Considerando la prima distribuzione disaggregata x 1 = 1,29 x 2 = 0,99 x 3 = 1,59 x 4 = 1,49 x 5 = 1,09 ed indicando con µ x la sua media aritmetica e con σ 2 x la sua varianza, si consideri la distribuzione disaggregata y 1, y 2,, y 5 ottenuta applicando la particolare trasformazione lineare (standardizzazione) y i = x i µ x σ x, i = 1,, 5. Si verifichi che la media aritmetica e la varianza della distribuzione disaggregata y 1, y 2,, y 5 sono rispettivamente pari a zero e a uno. Esercizio 12 Si consideri il seguente estratto della tavole 2.1 del Compendio Statistico Italiano 1998 (Istat): Regioni Morti Popolazione Umbria Toscana Sicilia Sardegna Considerando le Regioni come unità statistiche, si calcolino le differenze medie semplici senza e con ripetizione del numero di abitanti. Esercizio 1 di riepilogo Si consideri la seguente distribuzione dei 150 studenti iscritti al primo anno del corso di laurea in Statistica di un dato ateneo secondo il numero di esami sostenuti: Numero di esami a) Si ricavi e si disegni la funzione di ripartizione del numero di esami sostenuti. b) Si calcoli la varianza con formula diretta e indiretta. 4

5 Esercizio 2 di riepilogo Data la seguente distribuzione di frequenze x (0 10] 20 (10 20] 150 (20 30] 385 (30 40] 180 (40 50] 50 (50 60] 15 a) Dare la definizione di media aritmetica e calcolarla; b) calcolare moda, mediana e 3 quartile; c) calcolare range e varianza; d) valutare l asimmetria della distribuzione. 5

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