LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUANTITATIVI

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1 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUATITATIVI L osservazioe di uo o più feomei su delle uità statistiche coduce quasi sempre all osservazioi di determiazioi diverse tra le diverse uità statistiche. Quado le variabili soo quatitative, le determiazioi assumoo la tradizioale forma umerica. La variabilità di u isieme di osservazioi attiee all attitudie delle variabili studiate ad assumere modalità umeriche diverse. I termii variabilità, dispersioe o variazioe soo tra loro sioimi. Come è oto, la media aritmetica è ua misura di sitesi, che forisce iformazioi sulla posizioe occupata dalle osservazioi ordiate su u cotiuum ideale impiegato per rappresetare la variabile. Da sola la media o è sufficiete a sitetizzare compiutamete il feomeo osservato. È ifatti ecessario associarle ua misura che forisca iformazioi sul grado di diversità delle osservazioi ordiate sul cotiuum. I altre parole, metre la media ci dice dov è la distribuzioe ordiata sul cotiuum, ua misura di variabilità ci può dire quato è ampia la porzioe di cotiuum occupata dalla distribuzioe ordiata, o ache quato diverse soo le osservazioi poste sul cotiuum. Disporre di ua misura di variabilità cosete di cooscere l ammotare di dispersioe presete i u isieme di dati. Esistoo idici di variabilità diversi, per tipi diversi di variabilità: ad esempio, potremmo essere iteressati a cooscere il grado di diversità tra tutte le coppie formate co le sigole osservazioi (differeze semplici), o a cooscere il grado di diversità di ciascua osservazioe rispetto ad u valore cetrale di riferimeto (scostameti). O, acora, potremmo essere iteressati a cooscere la variabilità di u uico isieme di dati (variabilità assoluta), o a cofrotare di due o più isiemi di dati, rispetto alla variabilità i essi osservata (variabilità relativa). I ogi caso, scelto il tipo di variabilità e l opportuo idice, questo dovrebbe sempre soddisfare tre proprietà, ovvero, essere:. pari a zero, quado tutti i valori osservati soo uguali tra loro, ovvero quado la variabilità della distribuzioe è ulla;. diverso da zero, quado i valori osservati soo diversi tra loro, ovvero quado la variabilità della distribuzioe è o ulla; 3. crescete (decrescete) al crescere (decrescere) del grado di diversità tra i valori osservati, ovvero quado la variabilità della distribuzioe cresce (decresce). Ad esempio, se i valori osservati soo tra loro molto simili, sebbee diversi, l ammotare di variabilità sarà di modesta etità. Più i geerale, u idice di variabilità deve essere i grado di soddisfare due proprietà: i. assumere valore zero se e solo se tutti i termii della distribuzioe osservata soo uguali tra loro; ii. variare al variare della diversità tra i valori osservati. La prima proprietà garatisce che, se u idice di variabilità è uguale a zero, allora tutti i valori osservati soo uguali tra loro (e uguali alla media della distribuzioe, se scegliamo di usare gli scostameti). I tal caso la distribuzioe è perfettamete idividuata e qualuque sia l idice di variabilità scelto, questo assumerà ecessariamete valore pari a zero. La secoda proprietà richiede geericamete ad u idice di variabilità di riflettere il diverso grado di variabilità che i valori possoo esibire, crescedo, o dimiuedo, al crescere, o al descrere della diversità tra i valori osservati.

2 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea Per le variabili quatitative, ci occuperemo essezialmete di misure di variabilità basate sugli scostameti e di poche ed elemetari misure basate su semplici differeze. Studieremo misure di variabilità assoluta e relativa. LA VARIABILITÀ ASSOLUTA Qui di seguito sarao esposte alcue misure di variabilità assoluta, ovvero della dispersioe osservata su u uico isieme di dati, assumedo che si tratti di osservazioi ordiate, (x, x,, x ), di ua variabile quatitativa X. Queste misure, come quelle di tedeza cetrale, si calcolao opportuamete i base al modo i cui soo orgaizzati i dati. L ITERVALLO DI VARIAZIOE (RAGE) Sia data la distribuzioe per uità di osservazioi, orgaizzate i ua graduatoria, secodo u ordie o decrescete, tale che: x x x. Ua misura della dispersioe presete i questa distribuzioe è l itervallo di variazioe, o rage (R). Esso è u idice di variabilità assoluta elemetare, dato dalla differeza fra due particolari valori osservati ell isieme di dati ordiati: il valore osservato più grade, o massimo, (x max ) ed il valore osservato più piccolo, o miimo, (x mi ). Poiché gli valori soo ordiati, si ha che x max = x e x mi = x, così il rage (R) è: R = x x = x max x mi [] L utilità del rage è molto limitata, poiché esso tiee coto soltato dei due valori estremi della distribuzioe, igorado qualsiasi iformazioe sul comportameto dei valori itermedi. A rigore ifatti il rage o è u buo idice di variabilità, poiché disattede la secoda proprietà, dato che o varia al variare della diversità dei valori compresi tra gli estremi. Ifatti, esso varia solo se varia la diversità tra i valori estremi, gli uici da cui dipede. Riassumedo, R è ua misura grossolaa della variabilità e, ache se molto usato perché facile da calcolare, deve essere usato co cautela, perché affetto da due limiti:. o cosidera tutti i termii della distribuzioe;. è sufficiete u solo valore aomalo, o outlier, tra x o x, per modificare sesibilmete il valore, qualuque sia la dispersioe di tutti gli altri termii compresi tra x e x. Il vataggio dell uso del rage è fodametalmete legato alla sua semplicità di calcolo e all immediatezza d iterpretazioe che lo cotraddistiguoo. LA DIFFEREZA ITERQUARTILE È ach essa ua misura di variabilità assoluta che cosete di superare, almeo parzialmete, l icoveiete del rage. Ifatti, ach essa è calcolata come differeza tra due soli termii della

3 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea distribuzioe, ma e cosidera due meo estremi: il primo quartile, Q, ed il terzo, Q 3. La differeza iterquartile (DI) è quidi così defiita: DI = Q 3 Q [] Aaloghe misure possoo essere calcolate impiegado le differeze tra i percetili o i decili. I ogi caso tutti questi idici a rigore o possoo essere cosiderati dei veri e propri idici di variabilità, perché soo tutti affetti dal problema al puto ) del paragrafo precedete. LA VARIAZA A differeza delle due precedeti misure di variabilità, basate sulla differeza tra coppie di valori opportuamete scelti, la variaza è ua misura di sitesi della dispersioe dei valori osservati itoro ad u valore di riferimeto, o baricetro, qual è la media aritmetica. La variaza, σ, misura di quato, i media, i valori osservati differiscoo dalla loro media aritmetica, µ. I geerale, quado i valori osservati soo:. molto cocetrati itoro alla loro media (poco dispersi), la variabilità è bassa e il valore della variaza piccolo;. poco cocetrati itoro alla loro media (molto dispersi), la variabilità è alta e il valore della variaza grade. È chiaro che il valore assuto dalla variaza el caso è certamete miore di quello assuto el caso. È importate calcolare ua misura di variabilità che tega coto della dispersioe dei valori osservati itoro alla loro media. Tale misura è calcolata attraverso u rapporto, detto apputo variaza, σ, il cui umeratore, oto come deviaza, è la somma delle differeza (scarti) al quadrato tra ogi valore osservato, x i, e la media, µ; il deomiatore, ivece, è dato dal umero di termii della sommatoria, ovvero dal umero di osservazioi,. Le quatità poste a rapporto vao idividuate correttamete, a secoda del modo i cui soo orgaizzate le osservazioi. Ifatti: - se si ha ua distribuzioe di dati idividuali ordiati, allora la formula della variaza è: ( x µ ) i σ i= = [3] - se si ha ua distribuzioe di frequeza i modalità, allora la formula della variaza è: σ = = ( x µ ) = - se, ifie, i valori osservati soo distribuiti i classi, si sostituisce alla -esima modalità, x, ella formula [4], il valore cetrale della classe -esima, c x : [4] 3

4 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea σ = c ( x ) µ = =. [5] si ricorda che = = Se la variaza è riferita a dati campioari, al deomiatore va posta la quatità ( ) e o. La formula ridotta per il calcolo della variaza Quado il umero delle osservazioi è elevato, l uso delle formule precedeti può essere troppo dispedioso. È utile allora ricorrere alle formule ridotte della variaza, che soo rispettivamete: - per osservazioi: - per modalità (o classi): σ = σ = xi i= i= x ( x ) x = = = = che forisce la variaza come differeza tra la media quadratica e la media aritmetica al quadrato. È utile fare ua riflessioe circa il fatto che la variaza è espressa come risultato di differeze al quadrato tra valori espressi co idetica uità di misura e ordie di gradezza. Pertato, il valore fiale di σ sarà espresso i uità di misura della variabile X osservata, ma al quadrato! i, LA SCARTO QUADRATICO MEDIO Come sopra detto la variaza, σ, o è espressa ella stessa uità di misura dei valori osservati, x i, besì i uità di misura al quadrato. Ad esempio, se stiamo studiado la variabilità osservata ella lughezza, espressa i mm, della produzioe gioraliera di chiodi, la misura di σ sarà espressa i mm. Per perveire a u idice di variabilità espresso ella stessa uità di misura origiaria dei dati, e per questo più sfruttabile, è sufficiete estrarre semplicemete la radice quadrata della variaza. Tale operazioe coduce allo scarto quadratico medio, σ, se riferito agli valori di ua popolazioe, o alla deviazioe stadard, s, se riferito agli valori di u Campioe. I geerale, lo scarto quadratico medio di valori distribuiti i modalità è: 4

5 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea σ = = ( x µ ) =. Ovviamete, come el caso della variaza, se la misura è riferita a dati campioari a deomiatore vi sarà la quatità ( ). Ache questo idice esprime di quato i media ciascua osservazioe si scosti dalla propria media. LA VARIABILITÀ RELATIVA IL COEFFICIETE DI VARIAZIOE Lo scarto quadratico medio (σ) è u importate misura di variabilità di uo specifico isieme di dati. Ma, quado l obiettivo è valutare e cofrotare la variabilità di due o più isiemi di dati, o è sufficiete, é tato meo corretto ricorrere ai sigoli scarti quadratici. I casi i cui sia utile cofrotare la variabilità di più isiemi di dati soo molteplici. Può verificarsi che i dati i studio siao relativi a osservazioi della stessa variabile i tempi e/o i luoghi diversi, espressi quidi co uità di misura e ordie di gradezza diversi: ad esempio, se si misura il reddito procapite i: Paesi diversi, co valute diverse, allora le osservazioi soo espresse i uità di misura diverse (ad esempio, dollaro i USA, euro i Italia, sterlia i GB, ecc.); oppure, i epoche diverse, allora le osservazioi possoo essere espresse i uità di misura e ordii di gradezza diversi (i Italia egli ai 930 il reddito medio auale procapite era di circa..00, egli ai 70 era di circa , egli ai 90 di circa.508,77). Altrimeti, si può essere iteressati a cofrotare la variabilità di due feomei diversi co uità di misura diverse, osservati sempre su u uica popolazioe di soggetti: ad esempio, i livelli di colesterolo (espressi i mg/00 ml) e la massa corporea (espressa i g) di u gruppo di pazieti di u ospedale. Ifie, ache se l uità di misura è idetica, si può essere iteressati a cofrotare gruppi di dati le cui medie soo molto diverse fra loro rispetto all ordie di gradezza; come quado si cofrotao due gruppi diversi di soggetti, rispetto alla massa corporea, dove il primo è composto da scolari di ua classe elemetare e il secodo da matricole uiversitarie. Se si ricorre alla deviazioe stadard dei pesi (espressi per etrambi i gruppi i g) è certo che la deviazioe stadard del secodo gruppo assume u valore umerico decisamete maggiore della deviazioe stadard del primo gruppo (σ > σ ). Ciò avviee perché i pesi degli studeti uiversitari assumoo valori decisamete maggiori di quelli degli scolari. I tal caso, l uità di misura è comue ai due gruppi (i g), ma la differeza osservata tra i due gruppi i termii di variabilità è spiegabile sia attraverso la differete dispersioe delle masse corporee misurate, sia attraverso i differeti ordii di gradezza delle misure rilevate, che soo specifici per ciascuo dei due gruppi di soggetti. Quidi, possiamo dire che lo scarto quadratico medio produce ua misura della variabilità che è affetta dall uità di misura e dall ordie di gradezza dei dati sui quali è calcolato. I casi come quelli esemplificati, quado l obiettivo è cofrotare gruppi di dati i base alla loro variabilità, l uso di ua misura di variabilità assoluta o è corretto; i tali casi è meglio ricorrere 5

6 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea ad ua misura di variabilità relativa. La misura più diffusa è il coefficiete di variazioe (cv), dato dal rapporto tra lo scarto quadratico medio e la media aritmetica, ovvero: cv = σ µ 00 moltiplicato per 00, per amplificare il risultato. Il rapporto tra due quatità espresse ella stessa uità di misura e ordie di gradezza, produce ua misura scevra da queste. Ciò sigifica che il coefficiete di variazioe è idipedete sia dall uità di misura, che dall ordie di gradezza. Per questo motivo esso è u umero puro. Riprediamo l esempio e suppoiamo di avere misurato la massa corporea dei soggetti descritti ella tabella qui di seguito: Esempio: Risultati per due gruppi di maschi. Variabili Gruppo Gruppo Età matricole scolari Peso medio µ = 70 g µ = 36 g Deviazioe stadard (σ) σ = 4,5 g σ = 4,5g Vogliamo sapere se è più variabile il peso delle matricole o degli scolari. Se basassimo il cofroto sulle due deviazioi stadard potremmo cocludere erroeamete che i due gruppi hao uguale variabilità. Se ivece ci affidiamo ai due coefficieti di variazioe, avremo: i. gruppo matricole: cv = (4,5/70) 00 = 6,4; ii. gruppo scolari: cv = (4,5/36) 00 =,5. Emerge chiaramete la diversa variabilità osservata ei due gruppi e si può cocludere che la massa corporea osservata ei più giovai è molto più variabile di quella osservata ei più aziai. 6

7 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea LE MISURE DI VARIABILITÀ DI CARATTERI QUALITATIVI Quado l oggetto del proprio studio è u carattere qualitativo, il cocetto di variabilità è iteso i termii di mutabilità, ovvero l attitudie di u carattere ad assumere diverse modalità qualitative. Aalogamete a quato visto per il caso di ua variabile quatitative, ache i questo caso vi è l esigeza di misurare la mutabilità, costruedo e applicado opportui idici di mutabilità. Iazitutto, itroduciamo il cocetto di omogeeità di u collettivo rispetto ad u carattere e, per coverso, quello di eterogeeità. U collettivo si dice omogeeo rispetto ad u carattere qualitativo quado tutte le uità statistiche che lo compogoo presetao la stessa modalità del carattere. Per coverso, u collettivo è tato più eterogeeo, rispetto al carattere, quato più le uità statistiche si distribuiscoo uiformemete tra le tutte le modalità co cui esso di maifesta. Pertato, i due casi estremi di variabilità per u carattere qualitativo osservato su u dato collettivo soo il caso di omogeeità, che corrispode al caso di variabilità ulla, e il caso di massima eterogeeità, che si raggiuge quado le uità statistiche soo uiformemete distribuite tra tutte le modalità del carattere, e che corrispode alla massima variabilità osservabile. Le misure di eterogeeità, apparteedo alla famiglia degli idici di variabilità, devoo soddisfare le due segueti proprietà:. assumere valore zero quado il collettivo è omogeeo;. variare al variare dell eterogeeità tra i termii. Come già detto, gli idici di eterogeeità si calcolao per variabili poste su scala omiale o, al più, ordiale, per le quali le uiche iformazioi i formato umerico soo solo ed esclusivamete quelle relative alle frequeze assolute,, o relative f. metre la variaza impiega sia l iformazioe relativa alle frequeze (idifferetemete o f ), sia quella relativa alla determiazioe quatitativa osservata del carattere (la modalità x ). Qui di seguito illustriamo due tra gli idici di eterogeeità più utilizzati. IDICI DI ETEROGEEITÀ DI GII Il primo idice di eterogeeità che cosideriamo è l idice di Gii. Assumiamo che il carattere qualitativo i oggetto si maifesti co modalità. L idice di Gii, che idichiamo co S, assume la forma: S = = per =,,,. L idice S assume valore zero se e solo se il collettivo è omogeeo. Ifatti, i questo caso tutte le uità statistiche soo cocetrate su u uica modalità, diciamo, del carattere, la cui frequeza assoluta sarà =, metre tutte le restati ( ) modalità hao frequeza zero. Da ciò discede che le frequeze relative delle ( ) restati modalità sarao tutte ulle e ivece quella della modalità sarà f = = : f mi(s) = = 0 7

8 Apputi di Statistica Sociale Uiversità ore di Ea L idice S assume, ivece, il suo valore massimo el caso di massima eterogeeità, ovvero quado le frequeze soo uiformemete distribuite tra le modalità, ovvero =. I caso di massima eterogeeità, la distribuzioe di frequeza avrà la seguete forma: ed è: Modalità f f x / / / x / / / x / / / x / / / max(s) = ( ) = =. L idice di eterogeeità relativo, S *, si ottiee rapportado l idice assoluto, S, calcolato sulla distribuzioe osservata del carattere, al max(s): * S S = max( S) Tale idice ormalizzato è ecessario per esprimere l eterogeeità osservata i termii relativi alla massima eterogeeità teorica e/o per cofrotare l eterogeeità misurata su più collettivi, soprattutto quado il carattere qualitativo si maifesta co diverso umero di modalità elle diverse distribuzioi da porre a cofroto. L IDICE DI ETROPIA È u altro idice di eterogeeità molto i uso. Mateiamo l assuzioe che il carattere quatitativo si maifesti co modalità: H = = f log( f ) dove log(f ) è il logaritmo i base qualsiasi di f. Ache il massimo di H si ottiee da ua distribuzioe teorica massimizzate dell eterogeeità ed è uguale a: max(h) = log = log. i= 8