U.D. N 05 La fattorizzazione dei polinomi
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- Romina Baroni
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1 Unità Didattica N 05 La fattorizzazione dei polinomi 51 U.D. N 05 La fattorizzazione dei polinomi 01 La messa in evidenza totale 0 La messa in evidenza parziale 03 La differenza di due quadrati 04 Somma e differenza di due cubi 05 Polinomio quadrato di un binomio 06 Polinomio quadrato di un trinomio 07 Polinomio quadrato di un altro polinomio 08 La decomposizione di fattori di un trinomio di secondo grado 09 La decomposizione in fattori mediante la regola di Ruffini 10 M.C.D. e m.c.m. di polinomi
2 5 Unità Didattica N 05 La fattorizzazione dei polinomi Decomposizione in fattori di un polinomio Decomporre un polinomio in fattori significa trovare un monomio o dei polinomi il cui prodotto è uguale al polinomio dato. Più semplicemente possiamo dire che decomporre un polinomio in fattori significa sostituirlo con un prodotto di fattori. La decomposizione di un polinomio in fattori è detta anche fattorizzazione del polinomio. Analizziamo adesso i casi più comuni di decomposizione in fattori di un polinomio. MESSA IN EVIDENZA TOTALE Si applica questo metodo quando tutti i termini del polinomio ammettono un M. C. D. diverso da 1. In questo caso si raccoglie a fattore comune il M. C. D. di tutti i termini ( a 3 b 3 + 6a b + ab ab( 6a b + 3a + b 3 x x x x x x ( + + ( ( + ( + ( x a b y a b xy a b a b x y xy ( x + 3y 5x 4y x + 3y x + y x + 3y [ 5x 4y x + y ] [ ] ( x 3y ( x 3y( 4x y y( x 3y ( x 3y ( x 3y ( 4x y + + ( x 3y x 3y 8x + y + y 7x x 3y 7x 3 y x y MESSA IN EVIDENZA PARZIALE Si applica questo procedimento quando è possibile la messa in evidenza a gruppi in modo che, mediante una successiva messa in evidenza totale, il polinomio dato viene decomposto nel prodotto di due polinomi. ax + ay + bx + xy a( b + y + x( b + y ( b + y( a + x ( 4a 5y 4y( 4a 5y ( 4a 5y( 5x y 0a x 5x y 16a y + 0y 5x 4
3 Unità Didattica N 05 La fattorizzazione dei polinomi 53 Il polinomio da decomporre è un binomio differenza di due quadrati La decomposizione si effettua tenendo presente la seguente identità : a b ( a b( a + b ( xy a xy a 5xy a 5xy a 4 + Il polinomio da decomporre è un binomio somma o differenza di due cubi La decomposizione del polinomio si effettua tenendo presente le due seguenti identità : + ( + ( + a 3 b 3 ( a b( a + ab + b a b a b a ab b 3 3 7y 6 + 8a 3 3y 3 + a 3 3y + a 9y 4 6ay + 4a ( ab ab ab ab ab Il polinomio da decomporre è un trinomio che è lo sviluppo del quadrato di un binomio La decomposizione del polinomio si effettua tenendo presente le due seguenti identità : + + ( + a ab + b ( a b a ab b a b 4 4ab + 9c 1abc ab 3c 4x + 4x + 1 x + 1, Il polinomio da decomporre è un quadrinomio che è lo sviluppo del cubo di un binomio La decomposizione del polinomio si effettua tenendo presente le due seguenti identità : ( + a 3a b + 3ab b ( a b a a b ab b a b x 1x y + 6xy y x y ax 60axy + 150axy 15y ax 5y
4 54 Unità Didattica N 05 La fattorizzazione dei polinomi Il polinomio da decomporre è lo sviluppo del quadrato di un polinomio. La decomposizione del polinomio si effettua tenendo presente una delle seguenti identità : a + b + c + ab + ac + bc a + b + c a + b + c + d + ab + ac + ad + bc + bd + cd a + b + c + d x + y + xy 3x + y x y Il polinomio da decomporre è un trinomio del tipo x + sx + p Se è possibile trovare due numeri a e b per i quali risulta a + b s ab p allora il polinomio si decompone tenendo presente la seguente identità : x + sx + p x + a x + b x + 5x 14 x x + 7 a, b ( 3( x x x x 5 a 3, b 5 Il polinomio da decomporre è un trinomio avente la seguente forma : ax + bx + c Se è possibile trovare due numeri m ed n tali che m + n b, mn ac allora la decomposizione avviene sostituendo il numero b con la somma m + n. Si ottiene : ax + bx + c ax + m + n x + c ax + mx + nx + c Si effettua prima un raccoglimento parziale e poi un raccoglimento totale ( + + ( + ( + ( + 7 6x 3x 7 6x x 1x 7 x 3x 1 7 3x 1 3x 1 x b 3, m, n 1, m + n b, mn 1 4 ac 67 4
5 Unità Didattica N 05 La fattorizzazione dei polinomi 55 Se il polinomio da decomporre si annulla per un certo valore x k della sua variabile, esso può essere decomposto applicando una o più volte la regola di Ruffini. Un fattore è x k, l altro fattore è un polinomio ( inferiore di un grado rispetto al polinomio da decomporre i cui coefficienti si ricavano applicando la regola di Ruffini x 4x 7x + 34x 4 x 1 x 3x 10x + 4 ( x 1( x ( x x 1 ( x 1( x ( x 4( x # # I numeri k, se sono numeri interi relativi,vanno ricercati tra i sottomultipli ( positivi o negativi del termine noto del polinomio. ALTRI ESEMPI DI DECOMPOSIZIONE IN FATTORI x xy x y + y 5 x( x 4 y 4 y( x 4 y 4 ( x 4 y 4 ( x y ( x + y ( x y ( x y ( x + y ( x + y( x y( x y ( x + y ( x + y( x y x y x y x y 3 ( x y x y ( x y( x xy y ( x y xy( x y xy ( x y( x xy y 3 3 a b a b a b a ( x + y xy( x + y + xy + x + y b ( 3 3 x y x + a + b a ab + b + a b a + b + ab a + b ( a + b( a ab + b + a b + ab ( a + b( a + b + a b y ( x y( x + xy + y ( x y( x + y ( x y( x + xy + y x y
6 56 Unità Didattica N 05 La fattorizzazione dei polinomi 4 4 a a b + b ( a b ( a b ( a b ( a b ( a b 1 3 x 4y x ( a b( a + b( a + b + 1 y ( x y( x + y ( x + 8y ( x y( x + y ( x + y( x + xy + 4y ( x + y( x y x + xy 4y 3 a ab + a b b 3 a( a b + b( a b ( a b ( a + b ( a + b( a + b( a b ( a + b ( a b M. C. D. e mcm... di polinomi Prima bisogna decomporre in polinomi di cui vogliamo calcolare il Il fattori primi ( cioè non ulteriormente decomponibili i M. C. D. o il mc.. m.. M. C. D. di due o più polinomi è uguale al prodotto dei fattori comuni presi una sola volta con l esponente minore. Il mcm... di due o più polinomi è uguale al prodotto dei fattori comuni e non comuni presi una sola volta con l esponente maggiore. Calcolare il M. C. D. ed il mcm... dei seguenti polinomi : a 4ab + b a 4b a 6a b + 1ab 8b 4 + (, a 4b ( a b( a + b a ab b a b a 6a b + 1ab 8b a b MCD a b, m. c. m. ( a + b( a b 3
( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) =
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