DOMINIO E IMMAGINE DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE
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- Flaviana Santi
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1 OMINIO E IMMAGINE I UNA FUNZIONE REALE I VARIABILE REALE La prima operazione che dobbiamo fare quando ci accingiamo a studiare una funzione (per poterne poi determinare il grafico) è quella di individuare il OMINIO della funzione, ovvero di individuare l insieme di valori reali che si possono attribuire alla variabile indipendente in modo da poter determinare il corrispondente valore reale. Il OMINIO si chiama anche INSIEME I EFINIZIONE oppure INSIEME I ESISTENZA della funzione. Se da una parte il dominio è l insieme di variabilità della (variabile indipendente), l insieme di valori di variabilità per la variabile (variabile dipendente) si chiama IMMAGINE. L IMMAGINE è, in altre parole, l insieme di valori reali che la funzione può assumere. Consideriamo per esempio la funzione il cui grafico è una parabola con concavità rivolta verso l alto, con vertice nell origine: Il OMINIO della funzione è tutto l insieme dei numeri reali R: ] + [ ; mentre l IMMAGINE è l insieme dei numeri reali positivi incluso il valore 0:
2 C [ 0 [ ;+ Non solo Matematica ovvero, la parabola è disegnata nel semipiano positivo per tutte le appartenenti al dominio e non ha rami nel semipiano delle negative. Consideriamo la funzione 9 il cui grafico è il seguente: Il OMINIO della funzione 9 è l insieme dei numeri reali minori di - (incluso il valore -) e maggiori di + (incluso il valore +), mentre l IMMAGINE è l insieme dei numeri reali positivi incluso il valore 0: ] ; ] U [ + + [ [ 0 [ ; C ;+
3 Consideriamo la funzione 4 il cui grafico è il seguente: Il OMINIO della funzione 4 è l insieme di tutti i numeri reali escluso il valore +, mentre l IMMAGINE è l insieme di tutti i numeri reali escluso il valore +1: R { + } R { +1}
4 ETERMINAZIONE EL OMINIO I FUNZIONI REALI I VARIABILE REALE Vediamo ora come si determina il dominio di una funzione reale di variabile reale. FUNZIONI RAZIONALI INTERE Esempi di funzioni razionali intere sono: ( ) 5 Per tutte le funzioni razionali intere il dominio è l insieme R dei numeri reali. FUNZIONI RAZIONALI FRATTE Il dominio di una funzione razionale fratta si determina imponendo il denominatore della frazione diverso da 0; se il denominatore fosse 0 non sarebbe infatti possibile determinare il valore della funzione (la divisione per 0 non è ammissibile!). Consideriamo la funzione razionale fratta: + 4 Per calcolare il dominio occorre risolvere l equazione di primo grado 4 0 ; la soluzione di questa equazione deve essere esclusa dall insieme dei numeri reali in quanto fa diventare 0 il denominatore della funzione di cui sopra. Il dominio, pertanto, è: R { + 4} Consideriamo la funzione razionale fratta: 5 Per calcolare il dominio occorre risolvere l equazione di secondo grado 5 0 ; poiché l equazione ha due soluzioni distinte ( + 5; 5 ), entrambe devono essere escluse dall insieme dei numeri reali in quanto fanno diventare 0 il denominatore della funzione assegnata.
5 Il dominio, pertanto, è: R { + 5; 5} Consideriamo la funzione razionale fratta: 1+ Per calcolare il dominio occorre risolvere l equazione di secondo grado ; poiché l equazione non ha soluzioni (il determinante è infatti minore di 0), il denominatore della funzione assegnata è sempre diverso da 0. Pertanto il dominio della funzione è tutto l insieme dei numeri reali: R FUNZIONI IRRAZIONALI Il dominio di una funzione irrazionale si determina imponendo il radicando maggiore o uguale 0; se il radicando fosse minore di 0 non sarebbe infatti possibile determinare il valore della funzione (la radice di un numero negativo non esiste!). Consideriamo la funzione irrazionale: Per determinare il dominio occorre risolvere la disequazione di primo grado 0 ; i valori reali della variabile che risolvono questa disequazione costituiscono il dominio della funzione assegnata. Pertanto il dominio è: + ; + Consideriamo la funzione irrazionale: + 9 Per determinare il dominio occorre risolvere la disequazione di secondo grado ; i valori reali della variabile che risolvono questa disequazione costituiscono il dominio della funzione assegnata. Si trova che il dominio è: [ ; + ]
6 FUNZIONI ESPONENZIALI Esempi di funzioni esponenziali, aventi cioè la variabile all esponente, sono: a è definita in tutto l insieme Poiché la funzione esponenziale elementare dei numeri reali, per determinare il dominio di una funzione esponenziale occorre determinare il dominio della funzione esponente. Pertanto, per le funzioni di sopra i domini sono, nell ordine, i seguenti: R R { 0} ; + [ [
7 OSSERVAZIONE PER LA ETERMINAZIONE EL OMINIO I FUNZIONI REALI I VARIABILE REALE Se la funzione della quale si vuole determinare il dominio non è semplicemente razionale fratta o irrazionale o esponenziale, ma è una funzione più complessa nella quale si possono riconoscere funzioni razionali fratte, irrazionali ed esponenziali, occorre procedere come negli esempi seguenti. Consideriamo la funzione irrazionale fratta (la è sia al denominatore che sotto il segno di radice): La prima parte della funzione è definita per tutti i valori reali escluso 4 quelli che annullano il denominatore: (1) R { ; + } La seconda parte della funzione 1 è definita per tutti i valori reali maggiori o uguali ad 1: () [ + 1; + [ La funzione assegnata è pertanto definita per tutti i valori reali appartenenti sia al primo intervallo (1) che al secondo (), cioè per tutti i valori maggiori o uguali ad 1, escluso il valore +: [ + 1 ; + [ { + } Consideriamo la funzione irrazionale fratta: 1 4 La prima parte della funzione 1 è definita per tutti i valori reali maggiori o uguali ad 1: (1) [ + 1; + [
8 La seconda parte della funzione 1 4 è definita per tutti i valori reali che soddisfano la disequazione di secondo grado: 4 > 0 (solo maggiore di 0 poiché il denominatore non può essere 0!) () ] ; [ U ] + ; + [ La funzione assegnata è pertanto definita per tutti i valori reali appartenenti sia al primo intervallo (1) che al secondo (), cioè per tutti i valori maggiori di : ] + + [ ; Consideriamo la funzione irrazionale fratta: Per determinare il dominio occorre risolvere la disequazione fratta 0 ; i valori reali della variabile che risolvono questa disequazione fratta costituiscono il dominio della funzione assegnata. Per risolvere la disequazione fratta occorre risolvere i seguenti sistemi: (1) > 0 () < 0 Nota: il radicando + 1 razionale fratta, infatti, il denominatore non può annullarsi. è solo maggiore o minore di 0; in una funzione La funzione assegnata è pertanto definita per tutti i valori reali appartenenti al seguente intervallo: ] +1 ; + ] Il valore + è incluso poiché annulla la funzione (pertanto è un valore ammissibile); mentre il valore +1 è escluso perché, annullando il denominatore, non permette di assegnare un valore alla funzione.
9 Consideriamo la funzione esponenziale fratta: La prima parte della funzione esclusione di -1 e +1: (1) R { 1 ; + 1} La seconda parte della funzione denominatore non si annulla mai): () R La terza parte della funzione esclusione del valore - che annulla il denominatore: () R { } è definita per tutti i valori reali ad è definita per tutti i valori reali (il è definita per tutti i valori reali ad La funzione assegnata è pertanto definita per tutti i valori reali ad esclusione di -1, +1 e -: R { ; 1; + 1}
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