Esercizi di Informatica Teorica

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1 6-myhill-nerode- Esercizi di Informtic Teoric Linguggi regolri: espressioni regolri e grmmtiche, proprietà decidiili e teorem di Myhill-Nerode Teorem di Myhill-Nerode richimi teorem si L un linguggio sull lfeto ; si dt l seguente relzione di equivlenz su * : xr L y ( z * xz L yz L) R L h indice finito L è regolre osservzioni: si ricordi che l indice di R L è il numero delle sue clssi di equivlenz, cioè il numero di elementi dell insieme quoziente R L / * il teorem di Myhill-Nerode fornisce un crtterizzzione dei linguggi regolri, e può quindi essere usto per provre si l regolrità che l non regolrità di un linguggio 2

2 6-myhill-nerode- esercizio Teorem di Myhill-Nerode. determinre tutte le clssi di equivlenz dell relzione R L per il linguggio L = **.. mostrre qulche string per ogni clsse di equivlenz esercizio 2 determinre tutte le clssi di equivlenz dell relzione R L per il linguggio L riconosciuto dll ASF qui finco. qul è l indice di R L? q q q 4 q 2 q 3 3 q P, Teorem di Myhill-Nerode esercizio 3 determinre le clssi di equivlenz dell relzione R L di Myhill- Nerode per il seguente linguggio regolre: L = ( + c) * esercizio 4 dimostrre, utilizzndo il teorem di Myhill-Nerode, che il linguggio L = { n n : n } non è regolre quli sono le clssi di equivlenz dell relzione R L? esercizio 5 dimostr trmite Myhill-Nerode che il linguggio delle stringhe plindrome su Σ={,} non è regolre (un string plindrom coincide con se stess qundo lett l contrrio, esempio:,,, ecc) 4 2

3 6-myhill-nerode- Teorem di Myhill-Nerode esercizio 6 dto il linguggio L = * () *, determinre tutte le clssi di equivlenz dell relzione R L. esercizio 7 dimostrre, utilizzndo il teorem di Myhill-Nerode, che il linguggio L = { n m c n : n,m } non è regolre quli sono le clssi di equivlenz dell relzione R L? esercizio 8 trov, trmite le clssi di equivlenz di Myhill-Nerode, un ASF con il minimo numero di stti per il linguggio su Σ={,} riconosciuto dll ASF rppresentto qui sotto A D B E C F G 5 soluzione esercizio (clssi di equivlenz per L = * * ) esistono tre distinte clssi di equivlenz: C ={ n : n } (not: comprende nche ε) C 2 ={ n m : n,m } C 3 ={w {,} * : non esiste z tle che wz L} 6 3

4 6-myhill-nerode- osservzione: le clssi di equivlenz di R L rispetto d un linguggio regolre L sono ssociili gli stti di un opportuno ASF (minimo) che riconosce L esempio per L = * *, q q q 2 C ={ n : n } q C 2 ={ n m : n,m } q C 3 ={w {,}* : non esiste z tle che wz L} q 2 7 soluzione esercizio 2 considerimo l relzione di equivlenz xr M y δ(q,x) = δ(q,y); sppimo che (vedi dimostrzione del teorem di Myhill-Nerode) se xr M y xr L y, quindi R M h indice mggiore o ugule quello di R L (le clssi di R L sono otteniili per unione di clssi di R M ) le clssi di R M si ottengono fcilmente dll ASF: C ={ε} q C 2 ={} q C 3 ={*} q 2 C 4 ={*} q 3 C 5 ={**} q 4 (not che C 5 =L) C 6 ={w {,}* : non esiste z tle che wz L} q P 8 4

5 6-myhill-nerode- C ={ε} q C 2 ={} q C 3 ={ * } q 2 C 4 ={ * } q 3 C 5 ={ * * } q 4 (not che C 5 =L) C 6 ={w {,} * : non esiste z tle che wz L} q P per ottenere le clssi di equivlenz di R L si osserv che le clssi C 2 e C 4 devono essere unite, in qunto R L ( * ); inoltre risult εr L ( * ), quindi nche C e C 3 deono essere unite; le clssi di equivlenz di R L sono dunque le seguenti: 9 C ={ * } q (unione di C e C 3 ) C 2 ={ * } q (unione di C 2 e C 4 ) C 3 ={ * * } q 3 (equivle C 5 ) C 4 ={w {,} * : non esiste z tle che wz L} q P (equivle C 6 ) si può in effetti costruire un ASF (minimo) con soli 4 stti che riconosce L q q q 3 q P 5

6 6-myhill-nerode- soluzione esercizio 3 (clssi di equivlenz per L = ( + c) * ) considerimo un ASF che riconosce L le clssi di R M sono: C ={ε} q C 2 ={} q C 3 ={} q 2 C 4 ={ *, c * } q 3 C 5 ={w {,} * : non esiste z tle che wz L} q P q q P,c,c q q 3 q 2 c è fcile osservre che non è possiile unire nessun di queste clssi nell relzione R L (l AFS h il minimo numero di stti); quindi le clssi di R M coincidono con quelle di R L. soluzione esercizio 4 (L={ n n : n } non è regolre) l relzione R L h un clsse di equivlenz { k } distint per ogni nturle k; inftti, comunque scelti k > h, risult che l string k k pprtiene l linguggio, mentre non vi pprtiene l string h k ; dunque, R L h sicurmente un numero infinito di clssi di equivlenz, e pertnto L non è regolre. le clssi di equivlenz di R L sono tutte le seguenti: {ε} { k } k > { k h } k, h >, k h {w {,}* : non esiste z tle che wz L} 2 6