UNITÀ 4. DISEQUAZIONI E SISTEMI DI DISEQUAZIONI 1. Generalità e definizioni sulle disequazioni. 2. I principi di equivalenza delle disequazioni. 3.

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1 UNITÀ. DISEQUAZIONI E SISTEMI DI DISEQUAZIONI. Generalità e definizioni sulle diquazioni.. I principi di equivalenza delle diquazioni.. Diquazioni di primo grado.. Diquazioni con più fattori di primo grado.. Diquazioni di condo grado. 6. Diquazioni con più fattori di condo grado. 7. Diquazioni di grado superiore al condo. 8. Diquazioni che si risolvono per scomposizione.. Diquazioni binomie, biquadratiche e trinomie.. Diquazioni fratte.. Diquazioni letterali.. I sistemi di diquazioni.. Il valore assoluto e le sue proprietà.. Equazioni con un valore assoluto.. Equazioni con più valori assoluti. 6. Diquazioni con un valore assoluto. 7. Diquazioni con più valori assoluti. 8. Equazioni irrazionali con indice dispari.. Equazioni irrazionali con indice pari.. Diquazioni irrazionali con indice dispari.. Diquazioni irrazionali con indice pari di prima specie.. Diquazioni irrazionali con indice pari di conda specie.. Problemi vari che si risolvono con diquazioni o con sistemi di diquazioni.

2 . Generalità e definizioni sulle diquazioni. Una diquazione è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti un incognita, che è verificata soltanto per alcuni valori dell incognita. Per empio, la diquazione contenente l incognita, è verificata per 7, per 8 e così via, ma non è verificata per, per e così via. In generale esistono infiniti valori dell incognita che verificano la disuguaglianza e infiniti valori che non la verificano. Le soluzioni di una diquazione sono tutti i valori dell incognita che, sostituiti nella diquazione, verificano la disuguaglianza. Risolvere una diquazione significa trovare tutte le sue soluzioni. Una diquazione si dice impossibile non ha alcuna soluzione. Per empio + < è impossibile. Una diquazione si dice algebrica al primo e al condo membro contiene polinomi o frazioni algebriche oppure radicali con polinomi o frazioni algebriche, come nei guenti empi: diquazione algebrica razionale intera; diquazione algebrica razionale fratta; diquazione algebrica irrazionale intera; diquazione algebrica irrazionale fratta. Una qualunque diquazione, dopo aver svolto gli opportuni calcoli, si riconduce mpre ad una delle guenti forme: a b è di primo grado; a b c è di condo grado; a b c d è di terzo grado e così via. Due diquazioni si dicono equivalenti hanno le stes soluzioni.. I principi di equivalenza delle diquazioni.

3 Per risolvere una diquazione bisogna trasformarla in una diquazione equivalente applicando ripetutamente due principi di equivalenza: il principio di addizione e il principio di moltiplicazione. Principio di addizione: aggiungendo o sottraendo ai due membri di una diquazione uno stesso numero, si ottiene una diquazione equivalente con lo stesso verso; da questo principio congue che è possibile trasportare un addendo dal primo al condo membro, cambiandolo di gno. Principio di moltiplicazione: moltiplicando o dividendo i due membri di una diquazione per uno stesso numero positivo, si ottiene una diquazione equivalente con lo stesso verso. moltiplicando o dividendo i due membri di una diquazione per uno stesso numero negativo si ottiene una diquazione equivalente con il verso contrario. Da questo principio congue che è possibile trasportare un fattore positivo dal numeratore del primo membro al denominatore del condo membro o dal denominatore del primo membro al numeratore del condo membro, lasciando lo stesso verso della diquazione. Congue anche che è possibile trasportare un fattore negativo dal numeratore del primo membro al denominatore del condo membro o dal denominatore del primo membro al numeratore del condo membro, cambiando il verso della diquazione.. Diquazioni di primo grado.

4 Se la diquazione è già in forma normale come: 8 > si trasporta il 8 dal primo al condo membro ottenendo: > 8 poi si dividono i membri per e si ottiene la soluzione: > 8 cioè > Se la diquazione è in forma generica come: - si portano tutti i termini al primo membro: > si gue di solito questa procedura: + > - si trova il mcm e si eguono i calcoli: > - si sommano i termini simili: 7 6 > - si moltiplicano i due membri per 6 ottenendo la forma normale: 7 > - si trasporta il al condo membro: 7 > - si dividono i membri per 7 e si ottiene la soluzione: > 7

5 . Diquazioni con più fattori di primo grado.. Diquazioni di condo grado. 6. Diquazioni con più fattori di condo grado. 7. Diquazioni di grado superiore al condo. 8. Diquazioni che si risolvono per scomposizione.. Diquazioni binomie, biquadratiche e trinomie.. Diquazioni fratte.

6 Sono diquazioni che contengono l incognita al Denominatore. Prima di risolverle bisogna trovare la condizione di esistenza CE imponendo che ogni denominatore sia diverso da zero. La procedura per poi risolverle è simile a quella delle equazioni: - si portano tutti i termini al primo membro; - si trova il m.c.m. e si eguono i calcoli al Numeratore; - si trasforma il Numeratore in forma normale ottenendo un polinomio P(), mentre il m.c.m. al Denominatore può contenere vari fattori: P() A() B() > Nelle diquazioni non si può portare il Denominatore al condo membro poiché non conosciamo il suo gno e quindi non sappiamo cambiare o no il verso della diquazione. Perciò bisogna studiare il gno di tutti i fattori che si trovano al primo membro, sia al numeratore che al denominatore. Empio: > +. Diquazioni letterali. Sono diquazioni che, oltre all incognita, contengono un altra lettera che si chiama parametro. Se si conosce il gno del parametro si risolvono come le equazioni numeriche, ma durante lo svolgimento dei calcoli bisogna tener conto del gno del parametro. Se non si conosce il gno del parametro bisogna considerare tutti i casi possibili e risolvere la diquazione supponendo prima che il parametro sia nullo, poi supponendo che il parametro sia positivo e poi supponendo che il parametro sia negativo.. I sistemi di diquazioni. Un sistema di diquazioni è un insieme di più diquazioni che devono esre verificate tutte contemporaneamente. Le diquazioni si scrivono all interno di una parentesi graffa che rapprenta il simbolo del sistema.. Il valore assoluto e le sue proprietà.

7 Il valore assoluto di un numero si indica con ed è uguale allo stesso valore, all opposto di. Quindi per definizione di valore assoluto risulta: Per empio: Rapprentando i numeri reali su una retta orientata R, il valore assoluto di un numero corrisponde alla distanza di quel numero dall origine O. R Il valore assoluto possiede importanti proprietà che sono molto utili nella risoluzione di alcune equazioni e diquazioni che contengono il valore assoluto. Se ed y sono due numeri reali qualsiasi, valgono le guenti proprietà, che si possono dimostrare applicando la definizione di valore assoluto. Per comprendere e ricordare queste proprietà bisogna pensare al valore assoluto come una distanza. ) ) ) è impossibile ) ) 6) y y y 7) y y 8) y y ) ) ) y y ). Equazioni con un valore assoluto.

8 Sono equazioni che contengono l incognita all interno di un valore assoluto. L espressione che si trova nel valore assoluto si chiama argomento del valore assoluto. In generale, per risolvere un equazione con valore assoluto, è possibile, si cerca di utilizzare qualche proprietà del valore assoluto per ottenere la soluzione più rapidamente. Empio. Empio. equazione impossibil e Empio. ; Empio. ; Empio. ; ( ) ( ) La prima equazione ha le guenti soluzioni: La conda equazione non ha soluzioni e L equazione col valore assoluto ammette perciò due soluzioni: e

9 Quando non si può utilizzare alcuna proprietà del valore assoluto bisogna applicare la definizione di valore assoluto e considerare entrambi i casi: cioè argomento e argomento. Si ottengono così due sistemi da risolvere: le soluzioni dell equazione col valore assoluto sono date dall unione tra le soluzioni del primo sistema e le soluzioni del condo sistema. Empio 6. 8 accett. soluz. 6 accett. soluz. L equazione col valore assoluto ammette perciò due soluzioni: 6 e Empio 7. non accett. 6 accett. L equazione col valore assoluto ammette perciò solo la soluzione:

10 . Equazioni con più valori assoluti. Se l equazione contiene più valori assoluti, si studia il gno di ciascuno di essi, si rapprentano i gni su una retta orientata e per ogni intervallo ottenuto si risolve un sistema. Empio. Risolvere l equazione: Il valore assoluto è positivo quando: cioè cioè Il valore assoluto è positivo quando: cioè Segno dei valori assoluti accett. non accett. accett.

11 6. Diquazioni con un valore assoluto. Sono diquazioni che contengono l incognita all interno di un valore assoluto. Per risolvere queste diquazioni, è possibile, si cerca di utilizzare qualche proprietà del valore assoluto per ottenere la soluzione più rapidamente; ciò non è possibile bisogna utilizzare la definizione di valore assoluto e considerare entrambi i casi: argomento e argomento. Si ottengono così due sistemi da risolvere: le soluzioni della diquazione col valore assoluto sono date dall unione tra le soluzioni del primo sistema e le soluzioni del condo sistema. Empio. Risolvere la diquazione: 7 Si può utilizzare una proprietà del valore assoluto e si ottiene la diquazione: 7 Si aggiunge 7 a tutti i membri della diquazione: 7 7 Si dividono tutti i membri per e si ottiene la soluzione: Empio. Risolvere la diquazione: Si può utilizzare una proprietà del valore assoluto e si ottengono due diquazioni: Empio. Risolvere la diquazione: Non si può utilizzare alcuna proprietà del valore assoluto e perciò si devono risolvere due sistemi:

12 7. Diquazioni con più valori assoluti. Se la diquazione contiene più valori assoluti, si studia il gno di ciascuno di essi, si rapprentano i gni su una retta orientata e per ogni intervallo ottenuto si risolve un sistema. Empio. Risolvere l equazione: valore assoluto: cioè per valore assoluto: per Soluzione finale: 8. Equazioni irrazionali con indice dispari.. Equazioni irrazionali con indice pari.. Diquazioni irrazionali con indice dispari.

13 . Diquazioni irrazionali con indice pari di prima specie. Sono diquazioni irrazionali col gno minore, si svolgono con minore lavoro perché si risolve un solo sistema. Ridotte in forma normale sono del tipo: + < Osrvando la diquazione notiamo che: - Il radicale al primo membro esiste solo il radicando è per cui si pone la condizione di realtà del radicando: + - Se il primo membro è positivo o nullo e il condo membro deve esre maggiore del primo, allora il condo membro deve esre positivo, per cui si pone la condizione di positività del condo membro: > - Per eliminare la radice si elevano ambo i membri al quadrato e si ottiene la diquazione razionale: + < ( ) Poiché queste tre condizioni si devono verificare tutte contemporaneamente, si pongono all interno di un sistema: + { > Che si risolve in varie fasi successive + < ( ) { > + < + { > 8 > { > > Equazione associata: = ; ( ) = = = Soluzioni della diquazione di condo grado: < > perciò il sistema risulta: > { < > Che si rapprenta con questo grafico: Soluzione del sistema: >

14 . Diquazioni irrazionali con indice pari di conda specie.. Problemi vari che si risolvono con diquazioni o con sistemi di diquazioni.

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