PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI

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1 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI {(x,c) x R} = {(x,y) R 2 y=c} R 2 è una retta parallela all asse delle ascisse L asse delle ascisse è una retta di equazione y=0 Analogamente {(c,y) y R} = {(x,y) R 2 x=c} R 2 è una retta parallela all asse delle ordinate L asse delle ordinate è una retta di equazione x=0

2 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI f: A R R, il grafico G f della funzione f è G f ={(x,y) AxR y=f(x)} Esempi: f: R R, il polinomio f(x) = x 2 - x -2. Il grafico di f è l insieme di equazione y= x 2 - x -2, che è una parabola. f: [-1,1] R, la funzione (1-x 2 ). Il grafico di f è l insieme di equazione y = (1-x 2 ), che è la semicirconferenza superiore di centro l origine e raggio 1, dove x è compreso nell intervallo [-1,1].

3 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI Esercizio:Nei due esempi precedenti, determina per quali valori di c l equazione f(x)=c ha soluzione Primo esempio:il grafico della funzione f è la parabola y= x 2 - x -2; essa interseca l asse delle ascisse nei punti (-1,0) e (2,0) (dunque x=-1 ed x=2 sono soluzioni dell equazione f(x)=0). Essendo la parabola rivolta verso l alto, il grafico di f ha ordinata minima nel vertice (1/2,f(1/2)) = (1/2,-9/4). Dunque:

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5 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI Se c< -9/4, il grafico di f non interseca la retta y=c, di conseguenza l equazione f(x) =c non ha soluzioni Se c=-9/4, la retta y=-9/4 interseca il grafico di f in un sol punto, di conseguenza l equazione f(x) = -9/4 ha una sola soluzione Se c>-9/4, la retta y=c interseca il grafico di f in due punti, pertanto l equazione f(x) = c ha due soluzioni distinte.

6 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI Nel secondo esempio: f: [-1,1] R, la funzione (1-x 2 ). Poichè y = (1-x 2 ) è la semicirconferenza superiore di centro l origine e raggio 1, il grafico di f ha ordinata massima nel punto (0,f(0))=(0,1), inoltre f(x)=0 per x=-1 oppure per x=1, per -1<x<1 f(x)>0. Dunque, l equazione f(x)=c per c<0 non ha soluzioni per 0 c<1 ha due soluzioni per c=1 ha una sola soluzione x=0 per c>1 non ha soluzione

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8 PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONI Il semipiano superiore è rappresentato dalla disequazione y>0 Le soluzioni della disequazione f(x)>0 sono le ascisse dei punti del grafico di f contenuti nel semipiano superiore Esempio: Risolvere x 2 - x -2 > 0. Posto f(x) = x 2 - x -2, risolvere la disequazione equivale a determinare f -1 (R + ) f -1 (R + )={x R x<-1 o x>2} = (-, -1) (2, + )

9 PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONI Fissato un sistema di riferimento monometrico, disegna nel piano i seguenti insiemi: a) S 1 ={(x,y) R 2 1 x 3,y<x} b) S 2 ={(x,y) R 2-2 y 3,y 3x-1 } c) S 3 ={(x,y) R 2 x+1 y 3x-2} d) S 4 ={(x,y) R 2 1 y 3,x 2x+2 }

10 PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONI Fissato un sistema di riferimento monometrico, descrivi in termini di equazioni e disequazioni i seguenti insiemi: a) Il rettangolo (senza bordo) di vertici (-1,0). (-1,4), (6,0) e (6,4); b) Il segmento aperto a sinistra di estremi (-10,10) e (4,10); c) Il semipiano chiuso situato sopra la retta orizzontale passante per il punto (0,-1); d) Il primo, il secondo, il terzo e il quarto quadrante; e) Il semipiano aperto situato a sinistra della retta verticale passante per il punto (2,1); f) La regione compresa fra le rette verticali passanti per (-3,5) e (2,5) incluse le rette.

11 PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONI Determina graficamente il numero delle soluzioni del sistema: kx-y=3 x+y=-1 al variare del parametro k reale. Il numero delle soluzioni è lo stesso per ogni valore di k?

12 FUNZIONI LINEARI Una funzione è lineare se il suo valore varia in modo proporzionale alla variazione del suo argomento. Supponiamo che l argomento vari da x 0 a x, la variazione dell argomento è, dunque, Δx= x - x 0. Se f: R R è una funzione lineare, la variazione Δf = f(x) - f(x 0 ) deve essere proporzionale a x - x 0, vale a dire deve esistere una costante m tale che f(x) - f(x 0 ) = m (x - x 0 ), Δf = m Δx, dunque f(x) =mx + q, dove si è posto q= f(x 0 ) - m x 0

13 FUNZIONI LINEARI Viceversa, se f: R R è una funzione f(x) =mx + q, dove m e q sono costanti, allora f(x) - f(x 0 )=mx+q -(mx 0 +q)= m (x - x 0 ), quindi f è lineare. Le funzioni lineari sono tutte e sole le funzioni del tipo f(x) = mx + q, dove m e q sono opportune costanti reali.

14 FUNZIONI LINEARI In generale: per una funzione f(x) = mx + q, assegnate due coppie di dati (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ), per determinare m e q, si pone y 1 - y 2 = f(x 2 )-f(x 1 ) = m(x 2 -x 1 ) m=(y 1 - y 2 )/(x 2 -x 1 ) q= f(x 1 ) -m x 1 = f(x 2 )- mx 2 Due punti bastano per individuare una funzione lineare, viceversa data una funzione lineare, bastano due punti per disegnare il suo grafico.

15 FUNZIONI LINEARI I grafici delle funzioni lineari sono tutte le rette non parallele all asse delle ordinate. Per ottenere tutte le rette dobbiamo considerare, più in generale, l equazione ax + by = c Per b 0 otteniamo y = -(a/b) x + c/b, se a=0 allora y=c/b, vale a dire la retta parallela all asse delle ascisse passante per il punto (0, c/b) Per b=0, a 0 otteniamo x=c/a, vale a dire una retta parallela all asse delle ordinate passante per il punto (c/a,0)

16 FUNZIONI LINEARI Assegnata f(x)=mx+q, conoscendo un valore y=f(x) determinare x, si ottiene: per m 0 x= (y-q)/m, soluzione unica per m=0 se y q, non ci sono soluzioni per m=0 se y=q, ogni valore di x va bene, infinite soluzioni.

17 FUNZIONI MONOTONE Diremo che una funzione f: A R R è crescente se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) f(x 2 ). Diremo che la funzione è strettamente crescente se se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) < f(x 2 ). Diremo che la funzione f è decrescente se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) f(x 2 ). Diremo che la funzione f è strettamente decrescente se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) > f(x 2 ).

18 FUNZIONI LINEARI Sia f una funzione lineare f(x) = mx + q, come decidere se f è monotona? Sappiamo che m= Δf(x)/ Δx, possiamo quindi dire: se m > 0, quando Δx > 0 anche Δf(x) > 0 quindi f è strettamente crescente se m < 0, quando Δx > 0 allora Δf(x) < 0 quindi f è strettamente decrescente se m=0 la funzione è costante, si ha f(x)=q

19 MAX E MIN Sia f: [a, b] R diremo che x 0 [a, b] è un punto di minimo per f, se per ogni x [a, b] si ha f(x) f(x 0 ). f(x 0 ) è il valore minimo che la funzione f assume nell intervallo [a, b] Sia f: [a, b] R diremo che x 0 [a, b] è un punto di massimo per f, se per ogni x [a, b] si ha f(x) f(x 0 ). f(x 0 ) è il valore massimo che la funzione f assume nell intervallo [a, b]

20 Se f: [a, b] R è crescente MAX E MIN il punto di minimo è a (perché?) ( ed è unico se la funzione è strettamente crescente) ed il valore minimo è f(a); il punto di massimo è b (perché?) (ed è unico se la funzione è strettamente crescente) e il valore massimo assunto da f in [a, b] è f(b).

21 MAX E MIN Se f: [a, b] R è decrescente il punto di minimo è b (ed è unico se la funzione è strettamente decrescente) ed il valore minimo è f(b); il punto di massimo è a (ed è unico se la funzione è strettamente decrescente) e il valore massimo assunto da f in [a, b] è f(a).

22 FUNZIONI LINEARI Se f: [a, b] R è lineare f(x) = mx + q Per m>0 x=a punto di minimo, x=b punto di massimo Per m<0 x=a punto di massimo, x=b punto di minimo f: R R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di massimo né punti di minimo

23 FUNZIONI LINEARI f: R R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di massimo né punti di minimo Infatti se m>0, per ogni M>0, per quanto grande possiamo sceglierlo, esiste un valore x 0 tale che per ogni x x 0 f(x) M basta porre mx+q M e ricavare x 0 = (M-q)/m quindi non si può avere un punto di massimo

24 FUNZIONI LINEARI f: R R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di massimo né punti di minimo Infatti se m>0, per ogni M<0, per quanto grande possiamo sceglierlo in valore assoluto, esiste un valore x 0 tale che per ogni x x 0 f(x) M basta porre mx+q M e ricavare x 0 = (M-q)/m quindi non si può avere un punto di minimo

25 FUNZIONI QUADRATICHE f: R R si dice funzione quadratica se è del tipo f(x) =ax 2 +bx+c, dove a,b,c sono costanti Il grafico di una funzione quadratica è una curva detta parabola Abbiamo incontrato funzioni di questo tipo quando abbiamo parlato delle frequenze genotipiche in funzione della frequenza di un assegnato allele, limitando però il dominio all intervallo [0, 1] (si trattava di frequenze relative!)

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27 FUNZIONI QUADRATICHE Consideriamo f: R R f(x) = x 2, si osserva: f(x) 0 con f(x)=0 se e solo se x=0, quindi x=0 è un punto di minimo per f con valore minimo 0; f(-x) = f(x) per ogni x (funzione pari), la retta x=0 è asse di simmetria per il grafico di f Se x 1 < x 2 <0 allora 0 < x 2 2 < x 1 2 quindi f è decrescente per valori di x< 0; Se 0 < x 1 < x 2 allora 0 < x 1 2 < x 2 2 quindi f è crescente per valori di x>0

28 FUNZIONI QUADRATICHE Poiché f(x) = x 2 risulta decrescente per x<0 e crescente per x > 0 si dice che la parabola (grafico di f) ha la concavità rivolta verso l alto.

29 FUNZIONI QUADRATICHE Determina le proprietà di f(x) = - x 2 f(x) = a x 2 per a > 0 f(x) = a x 2 per a < 0 Confronta i grafici di f(x) = a x 2 con quelli di f(x) = a x 2 per a >1 per 0<a<1 E per a < 0?

30 FUNZIONI QUADRATICHE Consideriamo g(x) = a x 2 + d, quale sarà il suo grafico? Si può ottenerlo da quello di f(x) = ax 2? Basta traslare il grafico di f(x) = ax 2 di d unità nella direzione verticale (verso l alto se d>0, verso il basso se d<0), il vertice della parabola grafico di g(x) è il punto (0,d).

31 FUNZIONI QUADRATICHE Consideriamo g(x) = a(x-h) 2, quale sarà il suo grafico? Si può ottenerlo da quello di f(x) = ax 2? Basta traslare il grafico di f(x) = ax 2 di h unità nella direzione orizzontale (verso destra se h>0, verso sinistra se h<0), il vertice della parabola grafico di g(x) è il punto (h,0).

32 FUNZIONI QUADRATICHE Consideriamo f(x) = a(x-h) 2 + d La parabola grafico di f(x) ha vertice nel punto (h,d) x = h sarà punto di minimo per f se a>0, punto di massimo se a<0 Il grafico di f(x) è simmetrico rispetto alla retta x=h Il grafico di f(x) ha la concavità rivolta verso l alto se a>0, rivolta verso il basso se a<0.

33 FUNZIONI QUADRATICHE f(x) = a(x-h) 2 + d =ax 2 +bx+c Basta porre b = -2ah, c = ah 2 + d Viceversa ogni funzione quadratica f(x) =ax 2 +bx+c Può essere scritta come f(x) = a(x-h) 2 + d Basta porre h= -b/2a, d = c- ah 2 =(4ac-b 2 )/4a

34 FUNZIONI QUADRATICHE Riassumendo, per la funzione quadratica f(x) =ax 2 +bx+c Valgono le seguenti proprietà: 1) f(x) ha un solo punto di minimo se a >0 (punto di massimo se a<0) in x=-b/2a, il valore minimo (o massimo) è f(-b/2a) = c -b 2 /4a. Vertice della parabola (-b/2a, c -b 2 /4a) 2) Il grafico (parabola) di f ha come asse di simmetria la retta x =-b/2a 3) Il grafico ha la concavità rivolta verso l alto se a>0, verso il basso se a<0

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38 FUNZIONI QUADRATICHE Scrivendo una funzione quadratica nella forma f(x) = a(x-h) 2 + d diviene chiara la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, infatti posto f(x) = a(x-h) 2 + d = 0, si ha (x-h) 2 = - d/a Affinchè ci siano soluzion reali, deve essere - d/a>0 Ricordiamo che d =(4ac-b 2 )/4a, dunque 4ac-b 2 <0, da cui b 2-4ac>0 In tal caso le soluzioni sono x 1,2 = h ± (b 2-4ac)/2a, ricordiamo h = -b/2a ecco ottenuta la formula!