PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI"

Transcript

1 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI {(x,c) x R} = {(x,y) R 2 y=c} R 2 è una retta parallela all asse delle ascisse L asse delle ascisse è una retta di equazione y=0 Analogamente {(c,y) y R} = {(x,y) R 2 x=c} R 2 è una retta parallela all asse delle ordinate L asse delle ordinate è una retta di equazione x=0

2 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI f: A R R, il grafico G f della funzione f è G f ={(x,y) AxR y=f(x)} Esempi: f: R R, il polinomio f(x) = x 2 - x -2. Il grafico di f è l insieme di equazione y= x 2 - x -2, che è una parabola. f: [-1,1] R, la funzione (1-x 2 ). Il grafico di f è l insieme di equazione y = (1-x 2 ), che è la semicirconferenza superiore di centro l origine e raggio 1, dove x è compreso nell intervallo [-1,1].

3 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI Esercizio:Nei due esempi precedenti, determina per quali valori di c l equazione f(x)=c ha soluzione Primo esempio:il grafico della funzione f è la parabola y= x 2 - x -2; essa interseca l asse delle ascisse nei punti (-1,0) e (2,0) (dunque x=-1 ed x=2 sono soluzioni dell equazione f(x)=0). Essendo la parabola rivolta verso l alto, il grafico di f ha ordinata minima nel vertice (1/2,f(1/2)) = (1/2,-9/4). Dunque:

4 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI

5 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI Se c< -9/4, il grafico di f non interseca la retta y=c, di conseguenza l equazione f(x) =c non ha soluzioni Se c=-9/4, la retta y=-9/4 interseca il grafico di f in un sol punto, di conseguenza l equazione f(x) = -9/4 ha una sola soluzione Se c>-9/4, la retta y=c interseca il grafico di f in due punti, pertanto l equazione f(x) = c ha due soluzioni distinte.

6 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI Nel secondo esempio: f: [-1,1] R, la funzione (1-x 2 ). Poichè y = (1-x 2 ) è la semicirconferenza superiore di centro l origine e raggio 1, il grafico di f ha ordinata massima nel punto (0,f(0))=(0,1), inoltre f(x)=0 per x=-1 oppure per x=1, per -1<x<1 f(x)>0. Dunque, l equazione f(x)=c per c<0 non ha soluzioni per 0 c<1 ha due soluzioni per c=1 ha una sola soluzione x=0 per c>1 non ha soluzione

7 PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI

8 PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONI Il semipiano superiore è rappresentato dalla disequazione y>0 Le soluzioni della disequazione f(x)>0 sono le ascisse dei punti del grafico di f contenuti nel semipiano superiore Esempio: Risolvere x 2 - x -2 > 0. Posto f(x) = x 2 - x -2, risolvere la disequazione equivale a determinare f -1 (R + ) f -1 (R + )={x R x<-1 o x>2} = (-, -1) (2, + )

9 PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONI Fissato un sistema di riferimento monometrico, disegna nel piano i seguenti insiemi: a) S 1 ={(x,y) R 2 1 x 3,y<x} b) S 2 ={(x,y) R 2-2 y 3,y 3x-1 } c) S 3 ={(x,y) R 2 x+1 y 3x-2} d) S 4 ={(x,y) R 2 1 y 3,x 2x+2 }

10 PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONI Fissato un sistema di riferimento monometrico, descrivi in termini di equazioni e disequazioni i seguenti insiemi: a) Il rettangolo (senza bordo) di vertici (-1,0). (-1,4), (6,0) e (6,4); b) Il segmento aperto a sinistra di estremi (-10,10) e (4,10); c) Il semipiano chiuso situato sopra la retta orizzontale passante per il punto (0,-1); d) Il primo, il secondo, il terzo e il quarto quadrante; e) Il semipiano aperto situato a sinistra della retta verticale passante per il punto (2,1); f) La regione compresa fra le rette verticali passanti per (-3,5) e (2,5) incluse le rette.

11 PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONI Determina graficamente il numero delle soluzioni del sistema: kx-y=3 x+y=-1 al variare del parametro k reale. Il numero delle soluzioni è lo stesso per ogni valore di k?

12 FUNZIONI LINEARI Una funzione è lineare se il suo valore varia in modo proporzionale alla variazione del suo argomento. Supponiamo che l argomento vari da x 0 a x, la variazione dell argomento è, dunque, Δx= x - x 0. Se f: R R è una funzione lineare, la variazione Δf = f(x) - f(x 0 ) deve essere proporzionale a x - x 0, vale a dire deve esistere una costante m tale che f(x) - f(x 0 ) = m (x - x 0 ), Δf = m Δx, dunque f(x) =mx + q, dove si è posto q= f(x 0 ) - m x 0

13 FUNZIONI LINEARI Viceversa, se f: R R è una funzione f(x) =mx + q, dove m e q sono costanti, allora f(x) - f(x 0 )=mx+q -(mx 0 +q)= m (x - x 0 ), quindi f è lineare. Le funzioni lineari sono tutte e sole le funzioni del tipo f(x) = mx + q, dove m e q sono opportune costanti reali.

14 FUNZIONI LINEARI In generale: per una funzione f(x) = mx + q, assegnate due coppie di dati (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ), per determinare m e q, si pone y 1 - y 2 = f(x 2 )-f(x 1 ) = m(x 2 -x 1 ) m=(y 1 - y 2 )/(x 2 -x 1 ) q= f(x 1 ) -m x 1 = f(x 2 )- mx 2 Due punti bastano per individuare una funzione lineare, viceversa data una funzione lineare, bastano due punti per disegnare il suo grafico.

15 FUNZIONI LINEARI I grafici delle funzioni lineari sono tutte le rette non parallele all asse delle ordinate. Per ottenere tutte le rette dobbiamo considerare, più in generale, l equazione ax + by = c Per b 0 otteniamo y = -(a/b) x + c/b, se a=0 allora y=c/b, vale a dire la retta parallela all asse delle ascisse passante per il punto (0, c/b) Per b=0, a 0 otteniamo x=c/a, vale a dire una retta parallela all asse delle ordinate passante per il punto (c/a,0)

16 FUNZIONI LINEARI Assegnata f(x)=mx+q, conoscendo un valore y=f(x) determinare x, si ottiene: per m 0 x= (y-q)/m, soluzione unica per m=0 se y q, non ci sono soluzioni per m=0 se y=q, ogni valore di x va bene, infinite soluzioni.

17 FUNZIONI MONOTONE Diremo che una funzione f: A R R è crescente se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) f(x 2 ). Diremo che la funzione è strettamente crescente se se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) < f(x 2 ). Diremo che la funzione f è decrescente se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) f(x 2 ). Diremo che la funzione f è strettamente decrescente se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) > f(x 2 ).

18 FUNZIONI LINEARI Sia f una funzione lineare f(x) = mx + q, come decidere se f è monotona? Sappiamo che m= Δf(x)/ Δx, possiamo quindi dire: se m > 0, quando Δx > 0 anche Δf(x) > 0 quindi f è strettamente crescente se m < 0, quando Δx > 0 allora Δf(x) < 0 quindi f è strettamente decrescente se m=0 la funzione è costante, si ha f(x)=q

19 MAX E MIN Sia f: [a, b] R diremo che x 0 [a, b] è un punto di minimo per f, se per ogni x [a, b] si ha f(x) f(x 0 ). f(x 0 ) è il valore minimo che la funzione f assume nell intervallo [a, b] Sia f: [a, b] R diremo che x 0 [a, b] è un punto di massimo per f, se per ogni x [a, b] si ha f(x) f(x 0 ). f(x 0 ) è il valore massimo che la funzione f assume nell intervallo [a, b]

20 Se f: [a, b] R è crescente MAX E MIN il punto di minimo è a (perché?) ( ed è unico se la funzione è strettamente crescente) ed il valore minimo è f(a); il punto di massimo è b (perché?) (ed è unico se la funzione è strettamente crescente) e il valore massimo assunto da f in [a, b] è f(b).

21 MAX E MIN Se f: [a, b] R è decrescente il punto di minimo è b (ed è unico se la funzione è strettamente decrescente) ed il valore minimo è f(b); il punto di massimo è a (ed è unico se la funzione è strettamente decrescente) e il valore massimo assunto da f in [a, b] è f(a).

22 FUNZIONI LINEARI Se f: [a, b] R è lineare f(x) = mx + q Per m>0 x=a punto di minimo, x=b punto di massimo Per m<0 x=a punto di massimo, x=b punto di minimo f: R R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di massimo né punti di minimo

23 FUNZIONI LINEARI f: R R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di massimo né punti di minimo Infatti se m>0, per ogni M>0, per quanto grande possiamo sceglierlo, esiste un valore x 0 tale che per ogni x x 0 f(x) M basta porre mx+q M e ricavare x 0 = (M-q)/m quindi non si può avere un punto di massimo

24 FUNZIONI LINEARI f: R R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di massimo né punti di minimo Infatti se m>0, per ogni M<0, per quanto grande possiamo sceglierlo in valore assoluto, esiste un valore x 0 tale che per ogni x x 0 f(x) M basta porre mx+q M e ricavare x 0 = (M-q)/m quindi non si può avere un punto di minimo

25 FUNZIONI QUADRATICHE f: R R si dice funzione quadratica se è del tipo f(x) =ax 2 +bx+c, dove a,b,c sono costanti Il grafico di una funzione quadratica è una curva detta parabola Abbiamo incontrato funzioni di questo tipo quando abbiamo parlato delle frequenze genotipiche in funzione della frequenza di un assegnato allele, limitando però il dominio all intervallo [0, 1] (si trattava di frequenze relative!)

26 FUNZIONI QUADRATICHE

27 FUNZIONI QUADRATICHE Consideriamo f: R R f(x) = x 2, si osserva: f(x) 0 con f(x)=0 se e solo se x=0, quindi x=0 è un punto di minimo per f con valore minimo 0; f(-x) = f(x) per ogni x (funzione pari), la retta x=0 è asse di simmetria per il grafico di f Se x 1 < x 2 <0 allora 0 < x 2 2 < x 1 2 quindi f è decrescente per valori di x< 0; Se 0 < x 1 < x 2 allora 0 < x 1 2 < x 2 2 quindi f è crescente per valori di x>0

28 FUNZIONI QUADRATICHE Poiché f(x) = x 2 risulta decrescente per x<0 e crescente per x > 0 si dice che la parabola (grafico di f) ha la concavità rivolta verso l alto.

29 FUNZIONI QUADRATICHE Determina le proprietà di f(x) = - x 2 f(x) = a x 2 per a > 0 f(x) = a x 2 per a < 0 Confronta i grafici di f(x) = a x 2 con quelli di f(x) = a x 2 per a >1 per 0<a<1 E per a < 0?

30 FUNZIONI QUADRATICHE Consideriamo g(x) = a x 2 + d, quale sarà il suo grafico? Si può ottenerlo da quello di f(x) = ax 2? Basta traslare il grafico di f(x) = ax 2 di d unità nella direzione verticale (verso l alto se d>0, verso il basso se d<0), il vertice della parabola grafico di g(x) è il punto (0,d).

31 FUNZIONI QUADRATICHE Consideriamo g(x) = a(x-h) 2, quale sarà il suo grafico? Si può ottenerlo da quello di f(x) = ax 2? Basta traslare il grafico di f(x) = ax 2 di h unità nella direzione orizzontale (verso destra se h>0, verso sinistra se h<0), il vertice della parabola grafico di g(x) è il punto (h,0).

32 FUNZIONI QUADRATICHE Consideriamo f(x) = a(x-h) 2 + d La parabola grafico di f(x) ha vertice nel punto (h,d) x = h sarà punto di minimo per f se a>0, punto di massimo se a<0 Il grafico di f(x) è simmetrico rispetto alla retta x=h Il grafico di f(x) ha la concavità rivolta verso l alto se a>0, rivolta verso il basso se a<0.

33 FUNZIONI QUADRATICHE f(x) = a(x-h) 2 + d =ax 2 +bx+c Basta porre b = -2ah, c = ah 2 + d Viceversa ogni funzione quadratica f(x) =ax 2 +bx+c Può essere scritta come f(x) = a(x-h) 2 + d Basta porre h= -b/2a, d = c- ah 2 =(4ac-b 2 )/4a

34 FUNZIONI QUADRATICHE Riassumendo, per la funzione quadratica f(x) =ax 2 +bx+c Valgono le seguenti proprietà: 1) f(x) ha un solo punto di minimo se a >0 (punto di massimo se a<0) in x=-b/2a, il valore minimo (o massimo) è f(-b/2a) = c -b 2 /4a. Vertice della parabola (-b/2a, c -b 2 /4a) 2) Il grafico (parabola) di f ha come asse di simmetria la retta x =-b/2a 3) Il grafico ha la concavità rivolta verso l alto se a>0, verso il basso se a<0

35 FUNZIONI QUADRATICHE

36 FUNZIONI QUADRATICHE

37 FUNZIONI QUADRATICHE

38 FUNZIONI QUADRATICHE Scrivendo una funzione quadratica nella forma f(x) = a(x-h) 2 + d diviene chiara la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, infatti posto f(x) = a(x-h) 2 + d = 0, si ha (x-h) 2 = - d/a Affinchè ci siano soluzion reali, deve essere - d/a>0 Ricordiamo che d =(4ac-b 2 )/4a, dunque 4ac-b 2 <0, da cui b 2-4ac>0 In tal caso le soluzioni sono x 1,2 = h ± (b 2-4ac)/2a, ricordiamo h = -b/2a ecco ottenuta la formula!

PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI

PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI {(x,c) x R} = {(x,y) R 2 y=c} R 2 è una retta parallela all asse delle ascisse L asse delle ascisse è una retta di equazione y=0 Analogamente {(c,y) y R} = {(x,y) R 2 x=c} R

Dettagli

FUNZIONI QUADRATICHE

FUNZIONI QUADRATICHE f: R R si dice funzione quadratica se è del tipo f(x) =ax 2 +bx+c, dove a,b,c sono costanti Il grafico di una funzione quadratica è una curva detta parabola Abbiamo incontrato funzioni di questo tipo quando

Dettagli

ESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE

ESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE ESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: Martedi 16-18 Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126 4 Dicembre 2012 L espressione

Dettagli

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

, per cui le due curve f( x)

, per cui le due curve f( x) DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Pagina di 9 eas matematica http://spazioinwind.libero.it/adolscim DAL GRAFICO DI F(X) AL GRAFICO DI G(X) Dal grafico della funzione f( x ) al grafico della funzione

Dettagli

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica 1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata

Dettagli

Funzioni elementari: funzioni potenza

Funzioni elementari: funzioni potenza Funzioni elementari: funzioni potenza Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni elementari: funzioni potenza 1 / 36 Funzioni lineari Come abbiamo già visto,

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione

Dettagli

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione.

Dettagli

RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI. Angela Donatiello 1

RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI. Angela Donatiello 1 RICHIAMI SU RETTA, PARABOLA E DISEQUAZIONI Angela Donatiello 1 Una funzione del tipo f() = m + q, con m e q numeri reali, è una FUNZIONE LINEARE. Il numero q è detto INTERCETTA o ORDINATA ALL ORIGINE,

Dettagli

Ripasso Formule sulle parabole:

Ripasso Formule sulle parabole: Ripasso Formule sulle parabole: Equazione generica: Y = ax 2 + bx + c a Apertura della parabola: 1/2p c Punto d incontro con l asse delle Y p Distanza focale: Fuoco direttrice (2 FV) Radici: Risoluzione

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse: La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione

Dettagli

Matematica I, Funzione inversa. Funzioni elementari (II).

Matematica I, Funzione inversa. Funzioni elementari (II). Matematica I, 02.10.2012 Funzione inversa. Funzioni elementari (II). 1. Sia f : A B una funzione reale di variabile reale (A, B R); se f e biiettiva, allora la posizione f 1 (b) = unico elemento a A tale

Dettagli

Punti nel piano cartesiano

Punti nel piano cartesiano Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta

FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta 1 FUNZIONI ELEMENTARI Funzione retta L equazione generale della funzione retta è y = a x + b dove a, b sono numeri reali fissati. Il termine b si chiama termine noto e dà l ordinata dell intersezione tra

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

Le funzioni reali di una variabile reale

Le funzioni reali di una variabile reale Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

Argomento 7. Studio di funzione

Argomento 7. Studio di funzione Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ).

ESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ). ESPONENZIALI E LOGARITMI Data una espressione del tipo a b = c, che chiameremo notazione esponenziale (e dove a>0), stabiliamo di scriverla anche in un modo diverso: log a c = b che chiameremo logaritmica

Dettagli

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: sia f una funzione reale di variabile reale. Gli elementi del dominio di f su cui la funzione assume valore nullo costituiscono l' insieme

Dettagli

Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2016/2017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III

Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2016/2017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 016/017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III Gli esercizi vanno svolti e consegnati, anche su un quaderno, il giorno dell esame per il

Dettagli

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano:

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: QUESITI 1 PIANO CARTESIANO 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78 2.

Dettagli

Unità Didattica N 9 : La parabola

Unità Didattica N 9 : La parabola 0 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 9 La parabola Unità Didattica N 9 : La parabola ) La parabola ad asse verticale ) La parabola ad asse orizzontale 5) Intersezione di una parabola con una retta 6)

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica Precorso di Matematica Lezione 3 Andrea Susa OPERATORE DI PRODOTTO Π 2 1 Operatore di prodotto Π Consideriamo un insieme numerico ={ =1, }. Definiamo prodotto degli elementi in, = Esempio: ={ =1, =2, =3,

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Le Funzioni Modulo Esponenziali Logaritmiche Definizione di modulo o valore assoluto Se x è un generico numero reale, il suo modulo o valore assoluto è: x = x se x 0 -x se x

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

Esame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E

Esame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E Esame di Matematica Generale 7 Febbraio 013 - Soluzione Traccia E ESERCIZIO 1. Si consideri la funzione f : R R f(x) = x + 1 x. (a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie (3 punti). Dominio.

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Abbiamo visto come, fissato un sistema di riferimento, a ciascun punto sia possibile associare una coppia ordinata di numeri reali (le sue coordinate). Se adesso consideriamo

Dettagli

Piano cartesiano e Retta

Piano cartesiano e Retta Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L

Dettagli

Corso di Matematica II

Corso di Matematica II Corso di Matematica II Università degli Studi della Basilicata Dipartimento di Scienze Corso di laurea in Chimica e in Scienze Geologiche A.A. 2014/15 dott.ssa Vita Leonessa Elementi di geometria analitica

Dettagli

By Fabriziomax. Storia del concetto di derivata:

By Fabriziomax. Storia del concetto di derivata: By Fabriziomax Storia del concetto di derivata: Introduzione: La derivata fu inventata da Newton per risolvere il problema pratico di come definire una velocita e un accelerazione istantanea a partire

Dettagli

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Prof. Giovanni Ianne CHE COS È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE 1 Scrivi l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = (1 + 2x) 4 nel suo punto di intersezione con l asse y 2 Scrivi l equazione della retta tangente

Dettagli

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 1) È assegnato il punto P 1 (3; 1), calcolare le coordinate dei punti: P 2 simmetrico di P 1 rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante P 3 simmetrico

Dettagli

f(x) = sin cos α = k2 2 k

f(x) = sin cos α = k2 2 k 28 Maggio 2015 Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell esposizione: chiarezza, ordine ed organicità. La sufficienza

Dettagli

Cos'è una funzione? E' una legge che associa ad un numero x un altro numero y. Indichiamo questa corrispondenza con: y= f(x)

Cos'è una funzione? E' una legge che associa ad un numero x un altro numero y. Indichiamo questa corrispondenza con: y= f(x) 1 Funzioni Cos'è una funzione? E' una legge che associa ad un numero x un altro numero y. Indichiamo questa corrispondenza con: y= f(x) La corrispondenza tra x ed y è effettivamente una funzione se ad

Dettagli

Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio)

Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) lettere E-Z, a.a. 206 207 prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0;

valore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0; La parabola è una particolare conica definita come è una curva aperta, nel senso che non può essere contenuta in alcuna superficie finita del piano; è simmetrica rispetto ad una retta, detta ASSE della

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

y (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )

y (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 ) FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Siano date le seguenti funzioni: (a) f(x, y) = 3x + y (c) h(x, y) = x y (b) g(x, y) = xy (d) k(x, y) = x + y Determinare e disegnare nel piano cartesiano il dominio delle funzioni

Dettagli

ESERCITAZIONE 8 : FUNZIONI LINEARI

ESERCITAZIONE 8 : FUNZIONI LINEARI ESERCITAZIONE 8 : FUNZIONI LINEARI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: Martedi 16-18 Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126 27 Novembre 2012 Le funzioni lineari

Dettagli

Grafici di funzioni: valore assoluto, parabole 1 / 21

Grafici di funzioni: valore assoluto, parabole 1 / 21 Grafici di funzioni: valore assoluto, parabole 1 / 21 Grafico di una funzione 2 / 21 Per prima cosa stabiliamo un collegamento diretto tra la geometria analitica e lo studio di funzioni. Definizione: Siano

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Esercizio 1. a) Disegnare la retta r di equazione cartesiana x 2y 4 = 0. b) Determinare l equazione cartesiana della retta r 1 passante per P

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

Funzioni. Scrivi l espressione esplicita di una funzione quadratica passante per i punti (-1,0), (1,0) e con lim per x uguale a +

Funzioni. Scrivi l espressione esplicita di una funzione quadratica passante per i punti (-1,0), (1,0) e con lim per x uguale a + Funzioni. Trova l espressione esplicita di una funzione lineare f:r R tale che f(0)=2 ed f(1)=0 Sol:f(x)=mx+q, q=2, m=-2 La funzione è strettamente decrescente? Sol:Sì, è strettamente decrescente essendo

Dettagli

Geometria analitica di base (seconda parte)

Geometria analitica di base (seconda parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo

Dettagli

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Abbiamo già visto che in un sistema di assi cartesiani ortogonali, è possibile determinare l equazione di una retta r non parallela agli assi coordinati,

Dettagli

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 013-014 ESERCIZI RELATIVI A SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO Esercizio 1: Fissato su una retta un sistema di riferimento

Dettagli

Soluzione Problema 1

Soluzione Problema 1 Soluzione Problema 1 1. Ricordiamo che una funzione h(x) è derivabile in un punto c se esiste finita la sua derivata nel punto c. Per il significato geometrico della derivata ciò significa che esiste ed

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta.

GEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta. EQUAZIONE DELLA RETTA Teoria in sintesi GEOMETRIA ANALITICA Dati due punti A e B nel piano, essi individuano (univocamente) una retta. La retta è rappresentata da un equazione di primo grado in due variabili:

Dettagli

Simmetrie e quadriche

Simmetrie e quadriche Appendice A Simmetrie e quadriche A.1 Rappresentazione e proprietà degli insiemi nel piano Una delle prime difficoltà che si incontrano nell impostare il calcolo di un integrale doppio consiste nel rappresentare

Dettagli

Scheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica

Scheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica Tutorial - Studio di una funzione reale di variabile reale f : x R y = f (x) R Una funzione può essere: - 1 - algebrica ( razionale o irrazionale, intera o fratta) Classificare la trascendentale ( esponenziale,

Dettagli

RELAZIONI E FUNZIONI

RELAZIONI E FUNZIONI Esprimendo la legge di Hardy -Weinberg, abbiamo utilizzato la lettera p per esprimere la probabilità, in senso frequentista, dell allele A nella popolazione. Abbiamo quindi calcolato la probabilità del

Dettagli

PARTE PRIMA DAI GRAFICI ALLE FUNZIONI

PARTE PRIMA DAI GRAFICI ALLE FUNZIONI PARTE PRIMA DAI GRAFICI ALLE FUNZIONI PREREQUISITI : concetti di insieme, relazione, intervallo, intorno, quantificatori, Riferimento Cartesiano Ortogonale (RCO), le coniche, funzioni, operazioni e composizioni

Dettagli

Geometria analitica del piano

Geometria analitica del piano Geometria analitica del piano dott.ssa Vita Leonessa Università degli Studi della Basilicata (27 marzo 2008) (Analisi) Matematica 2 CdL in Chimica, Biotecnologie, Scienze Geologiche Rette Fissato un sistema

Dettagli

Equazione della circonferenza di centro e raggio assegnati

Equazione della circonferenza di centro e raggio assegnati Distanza fra due punti Dati due punti AHxA ya L e BHxB yb L la distanza fra di essi è uguale alla lunghezza del segmento AB che è a sua volta uguale al modulo del vettore vhxb - xa yb - ya L ed è dato

Dettagli

A grande richiesta, esercizi di matematica&.!

A grande richiesta, esercizi di matematica&.! A grande richiesta, esercizi di matematica&.! A partire dalla conoscenza del grafico di f(x) = 1/x, disegna il grafico delle seguenti funzioni g(x) =1/(x+1) ; g(x) =1/(2x -1); g(x) =2 + 1/x ; g(x) =2-1/x

Dettagli

1 Geometria analitica nel piano

1 Geometria analitica nel piano Lezioni di Geometria a.a. 2007-2008 cdl SIE prof. C. Franchetti 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 )

Dettagli

(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono.

(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono. Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y + xy 2 + y (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di

Dettagli

f : R! R f(x) = c il gra co coincide con le retta di equazione y = c (parallela all asse delle ascisse). f(x) = x

f : R! R f(x) = c il gra co coincide con le retta di equazione y = c (parallela all asse delle ascisse). f(x) = x Capitolo 2 Funzioni reali 2.1 Prime de nizioni ed esempi In questo capitolo ci occupiamo delle funzioni reali di variabile reale, ossia delle funzioni f : A! R, essendo A R. Se f è una funzione reale di

Dettagli

Soluzione di Adriana Lanza

Soluzione di Adriana Lanza Soluzione Dimostriamo che f(x) è una funzione dispari Osserviamo che in quanto in quanto x è una funzione dispari è una funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari Pertanto

Dettagli

Criterio di Monotonia

Criterio di Monotonia Criterio di Monotonia Criterio di monotonia: se f è una funzione derivabile in (a,b), si ha: f (x) 0 x (a,b) f è debolmente crescente in (a,b) f (x) 0 x (a,b) f è debolmente decrescente in (a,b) Nota:

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1 GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO + x 1 Punto medio d'un segmento, y + y 1 Distanza tra due punti ( - x 1 ) + (y - y 1 ) Condizione di appartenenza di un punto P (x p ;y p ) ad una curva di equazione f(x,y)

Dettagli

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica

Matematica. Funzioni. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Matematica Funzioni Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica Le Funzioni e loro caratteristiche Introduzione L analisi di diversi fenomeni della natura o la risoluzione di problemi

Dettagli

Problema ( ) = 0,!

Problema ( ) = 0,! Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente

Dettagli

LE CONICHE. CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE Un po di storia. Con materiale liberamente scaricabile da Internet.

LE CONICHE. CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE Un po di storia. Con materiale liberamente scaricabile da Internet. LE CONICHE CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE Un po di storia Con materiale liberamente scaricabile da Internet www.domenicoperrone.net 1 Prima di iniziare lo studio delle coniche facciamo dei richiami

Dettagli

Premessa allo studio dell equazione di una retta del piano

Premessa allo studio dell equazione di una retta del piano Premessa allo studio dell equazione di una retta del piano Angolo di pendenza di una retta Sia fissato un riferimento monometrico ortogonale nel piano e con esso un verso di rotazione. Allora angolo di

Dettagli

dato da { x i }; le rette verticali passanti per

dato da { x i }; le rette verticali passanti per Schema riepilogativo per lo studio di una funzione reale di una var. reale. Studio grafico-analitico delle funzioni reali di variabile reale y = f ( Sequenza dei passi utili allo studio di una funzione

Dettagli

Funzioni lineari. Esercizi: Trova l espressione esplicita di una funzione lineare f:r R tale che la sua inversa sia f -1 (y)= 3y-4

Funzioni lineari. Esercizi: Trova l espressione esplicita di una funzione lineare f:r R tale che la sua inversa sia f -1 (y)= 3y-4 Funzioni lineari Trova l espressione esplicita di una funzione lineare f:r R tale che f(0)=2 ed f(1)=0 Sol:f(x)=mx+q, q=2, m=-2 La funzione è strettamente decrescente? Sol:Sì, è strettamente decrescente

Dettagli

Algebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13. Sistemi di equazioni lineari. 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo

Algebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13. Sistemi di equazioni lineari. 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo Algebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13 Sistemi di equazioni lineari 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo ax = b, dove a e b sono numeri reali dati; a e il coefficiente

Dettagli

ESERCITAZIONE 10 : EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

ESERCITAZIONE 10 : EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESERCITAZIONE 10 : EQUAZIONI E DISEQUAZIONI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: Martedi 16-18 Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126 11 Dicembre 2012 Esercizio

Dettagli

Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche

Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche 24-25 maggio 2016 Esercizio 1 Sia P 2 il piano proiettivo complesso munito delle coordinate proiettive (x 0 : x 1 : x 2 ). Sia r la retta proiettiva di equazione

Dettagli

Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2007/2008

Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2007/2008 Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 007/008 Nicola Gigli Sunra J.N. Mosconi 19 giugno 008 Problema 1 (a) Determiniamo in funzione di a i lati del triangolo. Essendo l angolo BĈA retto

Dettagli

Funzioni elementari. Tutorial di Barberis Paola - agg grafici con GEOGebra - software open source

Funzioni elementari. Tutorial di Barberis Paola - agg grafici con GEOGebra - software open source Funzioni elementari Proporzionalità diretta e inversa Retta, funzione identità e funzione costante Parabola, funzione quadratica e cubica Funzione omografica Funzione esponenziale e logaritmica Funzioni

Dettagli

ORDINAMENTO 2011 QUESITO 1

ORDINAMENTO 2011 QUESITO 1 www.matefilia.it ORDINAMENTO 0 QUESITO Consideriamo la sezione della sfera e del cilindro con un piano passante per l asse del cilindro: Indicando con x il diametro di base del cilindro, con y la sua altezza

Dettagli

3. Generalità sulle funzioni

3. Generalità sulle funzioni ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 3. Generalità sulle funzioni A. A. 2013-2014 1 DALLA RETTA REALE AL PIANO CARTESIANO L equivalenza tra numeri reali e punti di una retta permette

Dettagli

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano 1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione

Dettagli

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse

Dettagli

Definizione Dati due insiemi A e B, contenuti nel campo reale R, si definisce funzione reale di variabile reale una legge f : A

Definizione Dati due insiemi A e B, contenuti nel campo reale R, si definisce funzione reale di variabile reale una legge f : A Scopo centrale, sia della teoria statistica che della economica, è proprio quello di esprimere ed analizzare le relazioni, esistenti tra le variabili statistiche ed economiche, che, in linguaggio matematico,

Dettagli

1 Prodotto cartesiano di due insiemi 1. 5 Soluzioni degli esercizi 6

1 Prodotto cartesiano di due insiemi 1. 5 Soluzioni degli esercizi 6 1 PRODOTTO CARTESIANO DI DUE INSIEMI 1 I-4 R 2 ed R 3 Piano e spazio cartesiani Indice 1 Prodotto cartesiano di due insiemi 1 2 Rappresentazione di R 2 sul piano cartesiano 2 3 Sottoinsiemi di R 2 e regioni

Dettagli

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI Autore: Enrico Manfucci - 6/05/0 LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI PREMESSA Per Studio di funzione si intende disegnare il grafico di una funzione data la sua espressione analitica. Questo significa

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

Esercizio L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8. Sia f (x) = 4 x. Allora f (x + 1) f (x) è uguale a. Risposta. Risulta immediatamente

Esercizio L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8. Sia f (x) = 4 x. Allora f (x + 1) f (x) è uguale a. Risposta. Risulta immediatamente Sia f (x) = 4 x. Allora f (x + 1) f (x) è uguale a [1] 4 [2] f (x) [3] 2f (x) [4] 3f (x) [5] 4f (x) Risulta immediatamente f (x 1) f (x) = 4 x+1 4 x = 4 x 4 1 4 x = 4 x (4 1) = 3 4 x = 3f (x). E noto che

Dettagli

Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u.

Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Definizione Una conica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee (x,

Dettagli

CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 31 Agosto 2015 Recupero MATEMATICA

CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 31 Agosto 2015 Recupero MATEMATICA CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 3 Agosto 205 Recupero MATEMATICA. Scrivi l equazione della circonferenza passante per i punti ;2 e 2;5 e avente il centro sulla retta di equazione = 2 2. L asse del segmento

Dettagli

Breve formulario di matematica

Breve formulario di matematica Luciano Battaia a 2 = a ; lim sin = 1, se 0; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; f() = e 2 f () = 2e 2 ; sin d = cos + k; 1,2 = b± ; a m a n = 2a a n+m ; log a 2 = ; = a 2 + b + c; 2 + 2 = r 2 ; e

Dettagli

MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 1

MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 1 MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 1 1- Il volume di un corpo di qualsiasi forma è proporzionale al cubo di una qualunque delle sue dimensioni lineari.

Dettagli

Appunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano

Appunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano Appunti di Geometria Analitica In questi brevi appunti, richiameremo alcune nozioni di geometria analitica studiate negli anni precedenti: in particolare, rivedremo il concetto di coordinate cartesiane

Dettagli

ESERCIZI INTRODUTTIVI

ESERCIZI INTRODUTTIVI ESERCIZI INTRODUTTIVI () Data la proposizione p: Tutti gli uomini hanno la coda, discutere la validità delle seguenti proposte di negazione di p: (i) non tutti gli uomini hanno la coda; (ii) nessun uomo

Dettagli

1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli

1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli 1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli A) 1 2 B) [ A) 2 x 1; B) (-, - 3) ( - 3, 0) ( 0, + ) ] 2) Riferendoti al grafico rappresentato completa a) Il dominio

Dettagli

Ricordiamo. 1. Disegna una retta orientata, prendi un unità di misura e posiziona i seguenti punti: 1

Ricordiamo. 1. Disegna una retta orientata, prendi un unità di misura e posiziona i seguenti punti: 1 Geometria Analitica Piano Cartesiano Sistema di coordinate su una retta Presa una retta r orientata, su cui sono stati fissati un origine O e un unità di misura, definiamo sistema di coordinate su una

Dettagli

Funzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Funzioni: definizioni e tipi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Funzioni: definizioni e tipi Definizione di funzione Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice funzione o applicazione da A a B una relazione che associa ad ogni elemento dell insieme A uno ed un solo

Dettagli

EQUAZIONI DISEQUAZIONI

EQUAZIONI DISEQUAZIONI EQUAZIONI DISEQUAZIONI Indice 1 Background 1 1.1 Proprietà delle potenze................................ 1 1.2 Prodotti notevoli................................... 1 2 Equazioni e disequazioni razionali

Dettagli

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono

Dettagli