Metodi iterativi per sistemi lineari

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1 Generare una successione di vettori Metodi iterativi per sistemi lineari convergente alla soluzione del sistema Convergenza in norma Costruzione di un metodo iterativo Per una qualche norma vettoriale Si dimostra che si ha convergenza in norma se e solo se si ha convergenza per componenti. Se M è non singolare si ha il sistema equivalente 1

2 Relazione di ricorrenza Analisi di convergenza Se è la soluzione del sistema allora Cercare condizioni su G ( su M) per avere convergenza alla soluzione Errore di troncamento al passo k A partire da un qualunque Residuo al passo k Si ha convergenza quando Si dimostra che è verificata se e solo se dove Condizione sufficiente Raggio spettrale 2

3 Criteri d arresto Si deve stabilire un criterio soddisfatto il quale si può arrestare il procedimento ottenendo un approssimazione della soluzione di sufficiente accuratezza. Il criterio ideale sarebbe Si osserva che Criteri d arresto per un valore piccolo di ma la soluzione esatta non è nota. Criteri d arresto Criteri d arresto Vale la relazione Se piccolo. è piccola e anche è piccola, allora l errore è se la matrice A non è troppo malcondizionata si può usare il seguente criterio d arresto 3

4 Formula generale di un metodo iterativo Metodi di decomposizione Cercare una decomposizione di A La scelta ideale per M sarebbe Ovviamente non è una scelta pratica Scegliere M che assomigli ad A ma abbia una struttura che permetta di calcolarne facilmente l inversa Si sceglie la matrice M nonsingolare come un pezzo di A di cui sia facile calcolare l inversa. Decomposizione di A Metodo di Jacobi (in forma matriciale) Matrice di Jacobi 4

5 Metodo di Jacobi (per componenti) Esempio Interpretazione geometrica 5

6 Metodo di Gauss-Seidel (in forma matriciale) Metodo di Gauss-Seidel (per componenti) Occorre risolvere un sistema triangolare inferiore ad ogni passo Matrice di Gauss-Seidel Algoritmo di sostituzione in avanti Esempio 6

7 Interpretazione geometrica Osservazione Fallimento dei metodi. (Es. Gauss- Seidel Trovare condizioni su A tali da garantire la convergenza dei metodi Condizioni sufficienti per la convergenza A strettamente diagonale dominante per righe o per colonne. A irriducibilmente diagonale dominante per righe o per colonne. Definizione Grafo associato ad una matrice di ordine n: è costituitito da n nodi e da archi orientati che collegano il nodo i al nodo j se Esempio

8 Definizioni Un grafo orientato si dice strettamente connesso se per ogni i, j esiste un cammino orientato (successione di archi consecutivi) che li connette. Una matrice A si dice irriducibile se il grafo associato ad A è strettamente connesso. Esempi 1 2 Partendo dal nodo 2 non si riesce ad arrivare al nodo 1: la matrice è riducibile Tutti i nodi sono connessi: la matrice è irriducibile. Definizione Una matrice A si dice irriducibilmente diagonale dominante per righe o per colonne se è irriducibile e diagonale dominante con almeno una riga o una colonna per cui vale la disuguaglianza in senso stretto. Esempio E irriducibile e diagonale dominante con la disuguaglianza in senso stretto per la seconda riga. E irriducibilmente diagonale dominante Proprietà Per le matrici irriducibilmente diagonali dominanti i metodi di Jacobi e Gauss- Seidel convergono. Se una matrice è irriducibilmente diagonale dominante, allora è non singolare. Esistono versioni accelerate del metodo di Gauss-Seidel che dipendono da un parametro Metodo SOR (Successive Over Relaxation) 8

9 Osservazioni generali La complessità di un metodo iterativo è di un prodotto matricevettore per ogni passo. La convergenza può essere lenta. Si usano quando non è richiesta molta accuratezza nella soluzione (p. es. metodi inesatti). Conclusioni I metodi diretti comportano solo prodotti matrice-vettore. Sono convenienti quando La matrice è sparsa o ha una struttura che potrebbe venire distrutta da una fattorizzazione La matrice è densa e di grandi dimensioni e non è disponibile esplicitamente in memoria ma è nota come operatore per i prodotti matricevettore 9